MUMIO: Lab 1, Pakiet Maple, rozkłady, sploty

MUMIO: Lab 1, Pakiet Maple, rozkłady, sploty
W matematyce ubezpieczeniowej wielkości szkód, ryzyko, wielkości wystepuj
ace
w kontrak,
,
tach sa, zmiennymi losowymi. Dla wyliczenia składek za ubezpieczenie szkód podstawowe znaczenie maja, liczby: EX, V arX. Do liczenia tych liczb wygodnie jest używać gotowych pakietów,
np. Maple.
1. Zapoznaj sie, ze struktura, pakietu Maple V:
a) przejdź: New User’s Tour z menu Help korzystając z pomocy prowadzącego
b) zapoznaj sie, z poleceniami : plot, plot3d, animate, int, Int, sum, lim, heaviside, za
każdym razem wpisujac
w menu
, komende, do arkusza, markujac
, ja, myszka,
, a nastepnie
,
help wybierajac
help
on...
,
2. a) Sprawdź, (wygodniej przy pomocy Maple) że podane niżej wzory definiuja, rozkłady.
b) Policz wartość oczekiwana, i wariancje, tych rozkładów używając Maple
c) Zrób animację wykresu funkcji prawdopodobieństwa rozkładu w wybranym przez siebie
zakresie parametrów, dla punktu (a), (c) oraz dla (b) przy n = 40.
(a) Rozkład Poissona z parameterem λ: p(j) = exp(−λ)λj /j!, j = 0, 1, 2, . . . .
(b) Rozkład dwumianowy z parametrami n = 1, 2, . . . , p ∈ (0, 1): p(j) =
j = 0, . . . , n.
n j
(n−j) ,
j p (1−p)
(c) Rozkład geometryczny z parametrem p: p(j) = p(1 − p)j , j = 0, 1, . . ..
3. Ryzyko X ma rozkład z atomami P (X = 0) = 0.8, P (X = 1) = 0.1 oraz gȩstość fX (x) =
0.1 dla x ∈ (0, 1). Ryzyko Y ma rozkład z atomami P (Y = 0) = 0.7, P (Y = 2) = 0.1 i
gȩstościa̧ fY (y) = 0.1 dla y ∈ (0, 2).
a) Znajdź dystrybuante, zmiennych X oraz Y .
b) Przedstaw FX oraz FY w postaci mieszanki dystrybuant czystych typów.
c) Jeśli X i Y sa̧ niezależne, policz E(XY ), V ar(X + Y ), P (X + Y ∈ [1, 2]), P (XY < 0.5).
4. Policz P (X + Y ¬ 5) dla X, Y niezależnych o rozkładzie dwumianowym z parametrami
n = 10, p = 1/3.
5. Jeśli X ma dystrybuante, FX (x) = 1 − exp(−x) dla x ­ 0 i równa jest zero poza tym, to
a) znajdź jej gestość
,
b) policz EX, V arX
c) znajdź dystrybuanty zmiennych losowych Y = min(X, d), Z = max(d, X) dla d = 1.
1
Przykłady rozkładów
Rozkłady maksimów
Znajdź w Maple i zapoznaj sie z użyciem rozkładów:
Rozkład Weibulla
x r
F (x) = (1 − e( λ ) )I[0,∞) (x)
λ, r > 0, x ∈ R.
6. Znajdź gęstość i momenty zwykłe rozkładu Weibulla. Zrób animację wykresu gęstości dla
ustalonego λ = 1 i różnych wartości r.
Rozkład Gumbela
−(x−µ)/λ
G(x) = e−e
x, µ ∈ R, λ > 0.
7. Znajdź gęstość i wartość oczekiwaną rozkładu Gumbela. Zrób animację wykresu gęstości
dla ustalonego µ = 1, µ = 2 i różnych wartości λ.
Rozkład Pareto
F (x) = (1 − (
x0 α
) )I[x0 ,∞) (x)
x
α, x0 > 0.
8. Znajdź gęstość i wartość oczekiwaną rozkładu Gumbela. Zrób animację wykresu gęstości
dla ustalonego x0 = 1 i różnych wartości α.
Dystrybuanta empiryczna
Niech x1 , . . . , xn będą wartościami liczbowymi uzyskanymi jak wynik pewnego zjawiska
losowego powtarzanego n razy niezależnie. Możemy myśleć o tych wartościach jako o próbce
z pewnego rozkładu danego przez dystrybuantę F , która jest związana z niezależnymi
zmiennymi losowymi X1 , . . . , Xn o jednakowym rozkładzie danym przez F . Wtedy
F̂n (x) :=
1
(I
(x) + · · · + I[xn ,∞) (x))
n [x1 ,∞)
jest dystrybuantą czysto dyskretną nazywaną dystrybuantą empiryczną rozmiaru n,
dla próbki x1 , . . . , xn . Oznaczmy uporządkowane wartości x1 , . . . , xn od najmniejszej do
największej przez x1:n ¬ x2:n ¬ · · · ¬ xn:n (statystyki porządkowe). Jeśli wartości próbki
są wszystkie różne, to F̂n (xi:n ) = i/n, i = 1, . . . , n.
2
F̂n często używana jest jako przybliżenie F . Piszemy F̂n (x) ∼ F (x), rozumiejac to jako
graniczną relację (lemat Gliwenki-Cantellego)
sup |F̂n (x) − F (x)| →n→∞ 0
x
dla prawie wszystkich realizacji x1 , x2 , . . . ciągu iid X1 , X2 , . . ..
9. Wygeneruj (Maple) próbkę z rozkładu wykładniczego oraz z rozkładu Pareto i zbadaj
graficznie jakość przybliżenia rozkładów przez odpowiednie dystrybuanty empiryczne.
3