Wykład IV - Wydział Nauk Geograficznych i Geologicznych

GEOSTATYSTYKA
I ANALIZA PRZESTRZENNA
Wykład dla III roku Geografii
specjalność - geoinformacja
Alfred Stach
Instytut Geoekologii i Geoinformacji
Wydział Nauk Geograficznych i Geologicznych UAM
Notacja i terminologia 1
• Cecha – fizyczna właściwość (parametr) oznaczana
kursywą małą literą np. z lub s. Cechy ciągłe takie jak
np. stężenia, są oznaczane na skali ilościowej , cechy
kategoryzowane mogą przybierać określoną,
limitowaną ilość wartości, zazwyczaj nie mających
charakteru porządkowego np. typ skał czy kategoria
użytkowania terenu
• Zmienna – jest oznaczana kursywą i duża literą np.
Z lub S i oznacza zbiór wartości lub stanów cechy z
lub s, które mogą występować na analizowanym
obszarze lub w punkcie o wektorze współrzędnych u.
W tym wypadku oznaczane zmienna jest oznaczana
Z(u) lub S(u).
Notacja i terminologia 1
• Obiekt – Cecha jest określana (mierzona) na
fizycznej próbce, jak na przykład okruch skały, czy
rdzeń glebowy itp. W przypadku analizy
eksploracyjnej nieprzestrzennej (bez uwzględniania
lokalizacji) o próbce mówimy obiekt. We wszystkich
innych sytuacjach każda próbka jest związana ze
ścisłą lokalizacją miejsca jej poboru, które określamy
u
• Populacja – jest zdefiniowana jako zbiór wszystkich
pomiarów interesującej nas cechy, które mogą być
dokonane w obrębie obszaru badań. Skończona ilość
pomiarów, która dysponujemy to próbka lub
podzbiór.
Notacja i terminologia 1
• Parametr – to stała wartość (nie losowa)
charakteryzująca model, na przykład wariancja nuggetowa
semiwariogramu, lub średnia rozkładu funkcji
prawdopodobieństwa na podstawie której modelujemy
teoretyczny histogram
• Statystyka – jest to wielkość charakteryzująca rozkład,
która może dotyczyć jednej lub większej ilości cech, i/lub
jednej lub większej ilości lokalizacji w przestrzeni.
Jednozmienna, dwuzmienna lub wielozmienna statystyka
jest związana z charakterystyką jednej, dwóch lub wielu
cech. Terminy statystyka jednopunktowa, dwupunktowa
lub wielopunktowa są stosowane są stosowane kiedy
odnosi się ona do tej samej cechy w jednej, dwóch lub
wielu lokalizacjach. Na przykład współczynnik korelacji jest statystyka
dwuzmienną, podczas gdy semiwariogram – dwupunktową. Krossemiwariogram jest
statystyką dwuzmienną i dwupunktową, ponieważ uwzględnia dwie różne cechy
zarejestrowane w dwóch odmiennych lokalizacjach.
Przestrzenna eksploracyjna analiza
danych
• Wykresy rozrzutu jednej zmiennej z przesunięciem (hscattergram)
• Miary ciągłości i zmienności przestrzennej zmiennych
ilościowych
–
–
–
–
Funkcja kowariancji
Korelogram
Semiwariogram
Anizotropia miar ciągłości i zmienności przestrzennej
• Miary ciągłości i zmienności przestrzennej zastosowane do
zmiennych kategoryzowanych
• Struktura przestrzenna analizowanych danych satelitarnych
– Anizotropia przestrzenna
– Wpływ wartości ekstremalnych
– Interpretacja struktury zmienności przestrzennej
Statystyczne miary zmienności jednej
zmiennej: wariancja i odchylenie
standardowe
n
1
    z    m 
n  1
2
2
Statystyczne miary zmienności
dwóch zmiennych: kowariancja i
współczynnik korelacji
1 n
 ij    zi    mi    z j    m j 
n  1
 ij
ij 
 i  j
  1,1
Wykres rozrzutu XY i miary relacji dwóch
zmiennych w tych samych lokalizacjach
A co uzyskamy jeśli zbadamy relację
między wartościami tej samej cechy w
różnych lokalizacjach?
Regularny układ punktów
Porównywanie wartości
cechy punktów odległych
np. od 100 m
Regularny układ punktów
Porównywanie wartości
cechy punktów odległych
np. od 200 m
A co uzyskamy jeśli zbadamy relację
między wartościami tej samej cechy w
różnych lokalizacjach?
Idea porównania wartości
cechy tej samej cechy w
różnych lokalizacjach dla
nieregularnego układu
punktów pomiarowych –
przedział odległości
u+h
„ogon”
tail
u
„głowa”
head
Wykresy rozrzutu jednej zmiennej z
przesunięciem (h-scattergram)
Dane cechy b1_03b ze zbioru Horbye3.dat Dane z punktów odległych od
siebie o 4522,5m
Średnia odległość 17,645m
400
380
Ilość par punktów: 74
Kowariancja: 81,715
Korelacja: 0,66685
b1_03b (x+h)
360
340
320
300
280
280
300
320
340
360
b1_03b (x)
380
400
Statystyki podzbiorów:
Średnia dla z(): 326,12
Wariancja dla z(): 122.54
Średnia dla z(+45): 326,12
Wariancja dla z(+45): 122.54
Dane cechy b1_03b ze zbioru
Horbye3.dat
Dane z punktów odległych od
siebie o 45-90m
Średnia odległość 51,381m
400
380
Ilość par punktów: 640
Kowariancja: 63,037
Korelacja: 0,4354
b1_03b (x+h)
360
340
320
300
280
280
300
320
340
360
b1_03b (x)
380
400
Statystyki podzbiorów:
Średnia dla z(): 326,26
Wariancja dla z(): 144.78
Średnia dla z(+45): 326,26
Wariancja dla z(+45): 144.78
Dane cechy b1_03b ze zbioru
Horbye3.dat
Dane z punktów odległych od
siebie o 90-135m
Średnia odległość 92,41m
400
380
Ilość par punktów: 1048
Kowariancja: 51,472
Korelacja: 0,31496
b1_03b (x+h)
360
340
320
300
280
280
300
320
340
360
b1_03b (x)
380
400
Statystyki podzbiorów:
Średnia dla z(): 327,75
Wariancja dla z(): 163.43
Średnia dla z(+45): 327,75
Wariancja dla z(+45): 163.43
Dane cechy b1_03b ze zbioru
Horbye3.dat
Dane z punktów odległych od
siebie o 135-180m
Średnia odległość 136,27m
400
380
Ilość par punktów: 1472
Kowariancja: 33,667
Korelacja: 0,20181
b1_03b (x+h)
360
340
320
300
280
280
300
320
360
340
b1_03b (x)
380
400
Statystyki podzbiorów:
Średnia dla z(): 327,91
Wariancja dla z(): 166.83
Średnia dla z(+45): 327,91
Wariancja dla z(+45): 166.83
Dane cechy b1_03b ze zbioru
Horbye3.dat
Dane z punktów odległych od
siebie o 225-270m
Średnia odległość 226,47m
400
380
Ilość par punktów: 2304
Kowariancja: 12,211
Korelacja: 0,078558
b1_03b (x+h)
360
340
320
300
280
280
300
320
340
360
b1_03b (x)
380
400
Statystyki podzbiorów:
Średnia dla z(): 327,71
Wariancja dla z(): 155.44
Średnia dla z(+45): 327,71
Wariancja dla z(+45): 155.44
Dane cechy b1_03b ze zbioru
Horbye3.dat
400
380
b1_03b (x+h)
360
400
400
380
380
340
320
360
b1_03b (x+h)
b1_03b (x+h)
360
340
320
280
280
300
320
340
360
b1_03b (x)
380
280
280
400
400
400
380
380
360
360
340
320
300
300
300
320
340
360
b1_03b (x)
380
400
300
320
340
360
b1_03b (x)
380
400
300
320
340
360
b1_03b (x)
380
400
340
320
280
280
300
320
340
360
b1_03b (x)
380
400
300
b1_03b (x+h)
b1_03b (x+h)
340
320
300
280
280
300
280
280
17,6m
51,4m
92,4m
136,3m
181,3m
226,5m
270,4m
0,667
0,435
0,315
0,202
0,170
0,079
0,075
Funkcja kowariancji
Autokowariancja przestrzenna
 
1
C (h) 
z  u   z  u  h   m-h  m+h

N  h   1
N h
Średnia wartości podzbioru
ogona (tail values)
1
m-h 
N (h)
N (h )
z (u )


1
Średnia wartości podzbioru
głowy (head values)
1
m+h 
N (h)
Eksperymentalna funkcja autokowariancji =
eksperymentalna funkcja kowariancji
N (h )
z (u  h)


1
Funkcja kowariancji
Autokowariancja – C(h)
80
60
40
20
0
-20
0
100
200
300
400
500
Odstęp – h (m)
600
700
Korelogram
Autokorelacja przestrzenna
 (h) 
1
 
N (h)
N (h )
1

N (h)
N (h )
2
-h

2
+h
C (h)
 
2
-h
 z  u   m


1
 [1, 1]
2
+h
-h
2
Wariancja wartości
podzbioru „ogona”

 z  u  h   m


1
+h
2

Wariancja wartości
podzbioru „głowy”
Eksperymentalna funkcja autokorelacji = korelogram
Korelogram
Autokorelacja – (h)
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
100
200
300
400
500
Odstęp – h (m)
600
700
Semiwariogram
Semiwariancja empiryczna: połowa średniej kwadratu
różnic wartości cechy w lokalizacjach odległych o wektor h.
Miara średniego niepodobieństwa (różnicy)
Interpretacja geometryczna: moment bezwładności wokół pierwszego
bisektora wykresu rozrzutu z przesunięciem (h-scaterplot)
1
 (h) 
2 N (h)
2 Wariancja wartości
N (h )
  z (u )  z(u  h)
podzbioru „ogona”
 1
2
2
1 N (h ) 2
1 N (h )


d

z
(
u
)

z
u

h

cos
45




  N (h) 

 
 
 
N (h)  1
 1
2
1 N (h )
 z (u )  z  u  h     (h)

2 N (h)  1
Eksperymentalna funkcja semiwariancji = semiwariogram
Semiwariogram
kt
or
para próbek nr 
1
bi
s te
z(u+h)
z(u +h)
d
d  z(u )  z(u  h)  cos 45
z(u )
z(u)
Semiwariogram
Semiwariancja – (h)
160
120
80
40
0
0
100
200
300
400
500
Odstęp – h (m)
600
700
Właściwości semiwariogramu –
chmura semiwariogramu (variogram cloud)
 (|h|)
44644 pairs on plot
4500
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
10
90
170
250
330
410
|h|
490
570
650
730
Właściwości semiwariogramu
2
1 N (h )
 (h) 
 z (u )  z (u  h)

2 N (h)  1
wariancja próby
semiwariancja progowa = sill
Semiwariancja – (h)
160
120
zasięg autokorelacji
= range
80
semiwariancja nuggetowa
= nugget
40
0
0
100
200
300
400
500
Odstęp – h (m)
600
700
Właściwości
semiwariogramu
Gringarten, Deutsch 2001
Właściwości semiwariogramu
Tak jak inne statystyki typu wariancji, wartości kowariancji i
semiwariogramu są bardzo czułe na występowanie danych
ekstremalnych – potencjalnie błędnych. Stosuje się trzy
sposoby aby ten problem rozwiązać:
• Transformację matematyczną danych (logarytmowanie,
pierwiastkowanie itp.) , aby zredukować skośność ich
histogramu,
• Usuwanie par danych, które zaburzają wartość semiwariancji
dla określonych odstępów h. Procedura ta zwana jest
czyszczeniem wykresu rozrzutu z przesunięciem („hscattergram cleansing”).
• Używanie innych statystyk h-scattergramu, które są mniej
czułe na występowanie danych ekstremalnych.
Mapa lokalizacyjna
1000
Y-m
800
600
400
200
0
0
200
400
600
X-m
800
1000
1200
910
Czyszczenie wykresu rozrzutu
z przesunięciem
840
770
b1_03b (x+h)
700
 (|h|)
 (|h|)
9000
180
2700
8000
160
2400
7000
140
2100
6000
120
1800
5000
100
1500
4000
80
1200
3000
60
900
2000
40
600
1000
20
300
0
00
0
630
560
490
420
350
280
280 350 420 490 560 630 700 770 840 910
b1_03b (x)
0
80
80
80
160
240
320
400
480
560
640
720
160
240
320
400
480
560
640
720
720
640
560
480
400
320
240
160
|h|
|h|
|h|
Semiwariogram zmodyfikowany
Semiwariogram do potęgi :
1
  (h) 
2N
dla
N (h )


1

z (u )  z (u  h)
   0, 2
 = 2 – tradycyjny semiwariogram
 = 1 – madogram
 = ½ – rodogram
Semiwariogram zmodyfikowany madogram
M(|h|)
M(|h|)
18
10
16
14
8
12
6
10
8
4
6
24
2
00
00
80
80
160
160
240
240
320
400
320
400
|h|
|h|
480
480
560
560
640
640
720
720
Anizotropia struktury przestrzennej
Wysokość
W rzeczywistych układach przestrzennych różnica
wartości cechy zależy nie tylko od odległości, ale także
od kierunku
Teoria + pomiar = precyzyjna prognoza
Odległość
Anizotropia struktury przestrzennej
Dwa sposoby obliczania kierunkowych miar
ciągłości/zmienności przestrzennej
Geometryczna interpretacja
powierzchni wariogramu (mapy wariogramu)
Anizotropia geometryczna
i
Anizotropia strefowa
Geometryczna interpretacja powierzchni
wariogramu (mapy wariogramu)
Geometryczna interpretacja powierzchni
wariogramu (mapy wariogramu)
Geometryczna interpretacja powierzchni
wariogramu (mapy wariogramu)
Geometryczna
interpretacja
powierzchni
wariogramu
(mapy wariogramu)
Geometryczna
interpretacja
powierzchni
wariogramu
(mapy wariogramu)
Wariogramy kierunkowe
zmiennej b1_03b
Wykres
czerwony –
kierunek
maksymalnej
ciągłości: kąt
320°
Wykres
czarny –
kierunek
minimalnej
ciągłości: kąt 60°
Anizotropia struktury przestrzennej –
powierzchnia wariogramu
zmienna b1_03b
Dwuwymiarowy
obraz
powierzchni
wariogramu
próbki i
populacji
Anizotropia struktury przestrzennej – powierzchnia
wariogramu - zmienna b1_03b
Trójwymiarowy obraz
powierzchni
wariogramu populacji i
próbki
Anizotropia struktury przestrzennej – powierzchnia
wariogramu - zmienna b1_03b
Anizotropia pola maksymalnych
opadów dobowych na terenie
Polski
Anizotropia
pola
maksymalnych
opadów
dobowych na
terenie Polski