Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej oraz operacji arytmetycznych

LABORATORIUM
„PROCESORY SYGNAŁOWE W
AUTOMATYCE PRZEMYSŁOWEJ”
Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej oraz
operacji arytmetycznych w formatach Q
1. Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej.
Kody stałopozycyjne mają ustalone miejsce rozdziału części całkowitej i ułamkowej, czyli
miejsce przecinka, co oznacza, że dokładność reprezentacji jest stała.
Aby mówić o arytmetyce stałoprzecinkowej trzeba wiedzieć, w jaki sposób zapisywane są
liczby dodatnie i ujemne.
Dla reprezentacji liczb dodatnich i ujemnych najpowszechniej stosowane są dwa kody:
-
kod znak – moduł (ZM)
-
kod uzupełnienia do dwóch (U2)
Kod ZM jest tworzony przez dodanie bitu znaku na początku każdej liczby, który wskazuje
czy liczba jest dodatnia czy ujemna. Przyjęło się, że gdy liczba jest ujemna bit jest równy 1 a
dalsze bity reprezentują moduł liczby. Gdy liczba jest dodatnia to bit znaku jest równy 0.
Zakres reprezentowanych liczb zależy od długości słowa. Za pomocą n-bitowego słowa
można przedstawić liczby z zakresu:
 2
n 1

 1 ; 2 n1  1 , gdzie n – ilość bitów liczby.
Na przykład za pomocą 8-bitowego słowa można przedstawić liczby z zakresu –127 do 127.
Liczba 34 10  będzie zapisana w tym kodzie jako 00100010, a liczba  34 10  jako 10100010.
Kod ZM ma wadę która stwarza problemy przy realizacji algorytmów arytmetycznych, jest to
podwójna reprezentacja liczby zero. Dla słowa 8-bitowego jest to liczba 00000000, jak i
10000000.
Aby mówić o kodzie U2 należy najpierw wspomnieć o kodzie uzupełnienia do jednego (U1).
W kodzie tym waga najbardziej znaczącej pozycji (MSB) ma wagę ujemną równą sumie
wszystkich innych wag. Wartość liczbową można obliczyć ze wzoru:


n 2


X  a n1 2 n1  1   ai  2i , gdzie n – ilość bitów liczby, a – wartość bitu (0 lub 1)
i 0
Stąd wynika, że w tym kodzie liczby dodatnie są reprezentowane tak jak w naturalnym kodzie
binarnym (NKB), pod warunkiem, że długość słowa będzie odpowiednio duża, aby na MSB
było „0”. Przykładowo liczba 4 10  nie może być reprezentowana przez 3-bitowe słowo 100,
ale, przez co najmniej 4-bitowe 0100. Natomiast liczby ujemne na MSB mają „1”, a pozostałe
bity mają wartości przeciwne niż bity słowa kodu NKB reprezentującego moduł tej liczby.
Przykładowo liczba 34 10  jest przedstawiana w kodzie U1 na 8 pozycjach jako 00100010, a
liczba  34 10  jako 11011101.
Dla kodu U2 wartość liczbową można obliczyć ze wzoru:
n 2


X  a n1  2 n 1   a i  2 i , gdzie n – ilość bitów liczby, a – wartość bitu (0 lub 1).
i 0
Stąd wynika, że w tym kodzie liczby dodatnie są reprezentowane tak jak w NKB, gdyż waga
najbardziej znaczącej pozycji jest ujemna. Aby zapisać liczbę ujemną w kodzie U2 należy
najpierw zapisać ją w kodzie U1 a następnie dodać 1. Na przykład  34 10  jest przedstawiana
w kodzie U2 na 8 pozycjach jako 11011110.
Istotną cechą kodu U2 jest fakt, że liczba 0 ma tylko jedną reprezentację (dla słowa 8bitowego 00000000). Wielką zaletą jest to, że podczas wykonywania operacji arytmetycznych
wymagany jest tylko jeden sumator dla liczb dodatnich i ujemnych.
Stałoprzecinkowe urządzenia DSP wykorzystują kod U2 i dlatego zasady arytmetyki
stałoprzecinkowej zostaną omówione w oparciu o ten kod.
Dodawanie liczb stałopozycyjnych.
Operację dodawania realizuje się od najmniej znaczących bitów składników sumy:
34 10 

1310
00100010 U 2 

47 10

00001101U 2 
00101111U 2 
Odejmowanie liczb stałopozycyjnych.
Operacja ta sprowadza się do dodawania liczb ujemnych:
34 10 

1310 
2110 
00100010 U 2 


11110011U 2 
00010101U 2 
Projektując układy realizujące operacje arytmetyczne należy uwzględniać zakres argumentów
tych operacji oraz zakres wyniku. Ponieważ często zakłada się, że wynik operacji ma taką
samą długość, co argumenty, to w czasie wykonywania operacji arytmetycznych należy
kontrolować zakres wyniku. Innymi słowy mówiąc dodając liczby tego samego znaku, istnieje
możliwość, że ilość bitów wyniku będzie większa niż ilość bitów argumentów. W takim
przypadku wynik oczywiście jest błędny. Aby wykryć taką sytuację należy porównać znak
argumentów ze znakiem wyniku.
Mnożenie liczb stałopozycyjnych.
Podobnie jak w systemie dziesiętnym tak i w systemie dwójkowym liczby mnoży się w tylu
krokach z ilu bitów składają się czynniki. Jeśli mnożymy dwie liczby 8-bitowe w systemie
dwójkowym, to mnożenie wykonujemy w 8 krokach a wynik może być 16-bitowy. Mnożenie
liczb dziesiętnych polega na tym, że w jednym kroku mnożymy jedną cyfrę mnożnika przez
mnożną, a iloczyn, zwany cząstkowym, wpisujemy z odpowiednim przesunięciem. Na końcu
algorytmu sumujemy wszystkie iloczyny cząstkowe, co daje nam wynik. Ponieważ w
urządzeniach cyfrowych stosuje się zwykle sumatory 2-argumentowe, to algorytm mnożenia
musi być tak zmodyfikowany, aby w każdym kroku wykonywać sumowanie iloczynów
cząstkowych. Dlatego w każdym kroku mnożenia liczb dwójkowych wykonywane są dwie
operacje: dodawanie i przesunięcie iloczynu cząstkowego o jedną pozycję w prawo. Jednym
ze składników dodawania jest zawsze iloczyn cząstkowy a drugi składnik zależy od aktualnej
wartości najmniej znaczącego bitu (LSB) mnożnika. Jeśli jest on równy „1” to składnikiem
jest mnożna, jeśli jest on równy „0” to składnikiem jest zero.
Algorytm mnożenia można przedstawić następująco:
1.Wpisać na mniej znaczącej części (RL) rejestru mnożnik.
2.Do bardziej znaczącej części (RH) rejestru dodawać odpowiednią wartość (zero lub
mnożną) w zależności od LSB.
3.Przesunąć wynik w rejestrze o jedną pozycję w prawo.
4.Jeśli wykonano odpowiednią liczbę kroków (liczba bitów argumentów) to algorytm
sprawdza czy mnożnik był liczbą ujemną. Jeśli tak, należy dokonać korekcji, która
polega na dodaniu do bardziej znaczącej części rejestru mnożną. Jeśli nie, korekcja nie
jest wymagana i algorytm kończy się.
Schemat blokowy algorytmu mnożenia:
S TA R T
N - licznik kroków
M - m nożna
R L - m nożnik
RH - 00..00
N
T
R 0=1
R H =R H +0
R H =R H +M
Przesunięcie R
w prawo
N =N -1
N
T
N =0
N
M>0
R H =R H +M
S T OP
T
Przykład: mnożenie liczb 0111 ( 7 10  ) i 0101 ( 510  ).
00000101
01110101
zapisanie mnożnika na mniej
znaczącą część rejestru
dodanie 7
krok
00111010
przesunięcie
1
00111010
dodanie 0
krok
00011101
przesunięcie
2
10001101
dodanie 7
krok
01000110
przesunięcie
3
01000110
dodanie 0
0010001
wynik 3510 
przesunięcie
krok
4
Istnieje
możliwość
przyspieszenia
działania
algorytmu
przez
grupowanie
bitów.
Przyspieszenie polega na tym, że w niektórych krokach algorytmu pomija się operację
dodawania. W każdym kroku algorytmu modyfikacja zawartości RH następuje w zależności
od pary najmniej znaczących bitów rejestru wyniku częściowego. Jeśli para ta jest 00 lub 11,
to w danym kroku do RH dodaje się 0. Jeśli para ta jest 01, to w danym kroku do RH dodaje
się mnożną, a gdy para ta jest 10, to od RH odejmuje się mnożną.
Tak zmodyfikowany algorytm nosi nazwę algorytmu Bootha.
Schemat blokowy algorytmu:
STAR T
N - licznik kroków
M - m nożna
RL - m nożnik
RH - 00..00
R 1R 0
01
10
00
R H=RH +M
11
R H=RH +0
R H=RH -M
Przesunięcie w
prawo R
N =N -1
N
N =0
T
S TOP
Dzielenie liczb stałopozycyjnych.
Dzielenie liczb dwójkowych jest działaniem trudniejszym od ich mnożenia, gdyż iloraz trzeba
zapisać na skończonej liczbie bitów. Oznacza to, że wynik otrzymamy z pewną dokładnością.
W algorytmie należy założyć liczbę kroków i długość wyniku. Algorytmów dzielenia jest
bardzo dużo, a tu zostanie przedstawiony jeden z prostszych:
1.Wpisać do rejestru (RH+RL) dzielną.
2.Przesunąć zawartość rejestru o jedną pozycję w lewo.
3.Odjąć od zawartości RH dzielnik
a) Jeśli wynik jest dodatni to na LSB rejestru RL wpisujemy 1, a w rejestrze RH
pozostaje otrzymana różnica.
b)Jeśli wynik jest ujemny to na LSB rejestru RL wpisujemy 0, a do rejestru RH
zapisujemy wartość sprzed odejmowania.
4.Jeżeli wykonano założoną liczbę kroków algorytm kończy się, iloraz jest dostępny w
RL a reszta w RH.
Schemat blokowy:
S TA R T
N - licznik kroków
M - dzielnik
R L+R H - dzielna
Przesunięcie R
w lewo
R H=RH -M
T
R H>0
N
R 0 =0
RH=RH+M
R 0 =1
N =N -1
N
N =0
T
S TOP
Przykład: dzielenie liczb 00100100 36 10   - dzielna i 0101 510   - dzielnik.
00100100
zapisanie dzielnej w rejestrze R
0100100_
przesunięcie
krok
1111100_ < 0
odejmowanie
1
01001000
R0=0, RH=RH+D
1001000_
przesunięcie
krok
0100000_ > 0
odejmowanie
2
01000001
R0=1
1000001_
przesunięcie
krok
0011001_ > 0
odejmowanie
3
00110011
R0=1
0110011_
przesunięcie
0001011_ > 0
odejmowanie
00010111
wynik 7 reszty 1
krok
4
R0=1
2. Zasady operacji arytmetycznych w formatach Q.
Opisany wyżej format U2 nie zawiera ułamka binarnego i nie może reprezentować postaci
ułamkowej liczby. Technika cyfrowego przetwarzania sygnałów bardzo często wykorzystuje
jednak zapis ułamkowy. Jednym z powodów jest fakt, że podczas mnożenia ułamków wynik
zawsze będzie mniejszy od jedności, dzięki czemu nie może nastąpić przepełnienie. W celu
reprezentacji liczb ułamkowych niezbędne jest zastosowanie przecinka binarnego.
Umiejscowienie przecinka nie ma wpływu na funkcjonowanie jednostki arytmetycznej, czy
też układu mnożącego. Przecinek ten ma jedynie wpływ na dokładność wyniku i jest on
kwestią umowną programisty. W celu ujednolicenia 16-bitowej struktury rodziny procesorów
TMS320 firma Texas Instruments przyjęła format zapisu Q15. Liczba występująca po Q
oznacza liczbę bitów części ułamkowej. Wynika z tego, że dla słowa 16-bitowego format Q15
wydziela 1 bit dla znaku liczby i 15 bitów na jej część ułamkową, bez przydziału bitów na
część całkowitą. Podobnie liczba 4-bitowa o formacie Q3 zawiera 1 bit znaku i 3 bity części
ułamkowej. Zasada tworzenia liczb w formacie Q polega na tym, że pierwszy bit określa znak
liczby („0”-dodatnia, „1”- ujemna), kolejne bity określają wartość ułamka.
N 1


Wartość tą można obliczyć ze wzoru: X  a0   a n  2  n , a0 - najstarszy bit, określa znak
n 1
liczby, N - ilość bitów liczby.
Przykład:
Liczba w formacie Q3 0.101 jest dwójkowym odpowiednikiem dziesiętnego ułamka 0,625.
Liczba w formacie Q3 1.110 jest dwójkowym odpowiednikiem dziesiętnego ułamka -0,75.
Wszystkie operacje arytmetyczne na liczbach, niezależnie od formatu Q, w jakim są zapisane,
realizuje się w jednakowy sposób, dlatego wszystkie przykładowe obliczenia zostaną
przeprowadzone w formacie Q3.
Dodawanie i odejmowanie liczb w formacie Q3.
Zasady dodawania i odejmowania są identyczne jak w przypadku binarnych liczb
całkowitych, co można zauważyć w przykładach:
0,750 10

0,12510
0,87510
0 .110U 2 


0.001U 2 
0 .111U 2 
0,750 10 

0,12510 
0,625 10 
Mnożenie liczb w formacie Q3.
Przykład: mnożenie liczb 0.100 ( 0,510  ) i 0.011 ( 0,37510  ).
00000100
00000100
zapisanie mnożnika na mniej
znaczącą część rejestru
dodanie 0
krok
00000010
przesunięcie
1
00000010
dodanie 0
krok
00000001
przesunięcie
2
00110001
dodanie 0,375
krok
00011000
przesunięcie
3
00011000
dodanie 0
00.001100
wynik 0,187510 
przesunięcie
krok
4
0 .110 U 2 


1.111U 2 
0 .101U 2 
Użycie postaci ułamkowej powoduje, że mnożenie nigdy nie wywoła przepełnienia, natomiast
kolejne dodawania mogą je spowodować. Rodzina układów TMS320, jest wyposażona w
mechanizm zabezpieczający przed negatywnymi skutkami przepełnienia oraz sygnalizuje jego
wystąpienie.