I RACHUNEK ZDAŃ

ĆWICZENIA 1 – TEORIA (rachunek zdań, kwantyfikatory, algebra zbiorów)
I RACHUNEK ZDAŃ
Definicja 1
Zdanie postaci „nieprawda, Ŝe p”, które zapisujemy ~p nazywamy negacją zdania p. Negacja ma
następującą tabelkę wartości logicznych:
p
~p
1
0
0
1
Definicja 2
1) Zdanie postaci „ p i q”, które zapisujemy p ∧ q, nazywamy koniunkcją, czyli iloczynem
logicznym zdań p, q.
2) Zdanie postaci „ p lub q”, które zapisujemy p ∨ q, nazywamy alternatywą, czyli sumą logiczną
zdań p, q.
3) Zdanie postaci „ jeŜeli p, to q”, które zapisujemy p ⇒ q, nazywamy implikacją o poprzedniku p
i następniku q.
4) Zdanie postaci „p wtedy i tylko wtedy, gdy q”, które zapisujemy p ⇔ q, nazywamy
równowaŜnością zdań p, q.
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p∧q
0
0
0
1
p∨q
0
1
1
1
p⇒q
1
1
0
1
p⇔q
1
0
0
1
PoniŜsza tabelka przedstawia spójniki zdań logicznych .
Nazwa
spójnika
Negacja
Symbol Podstawowy odpowiednik
Inne odpowiedniki
~
nieprawda, Ŝe
nie jest tak, Ŝe; nie
Koniunkcja
∧
i
oraz; a takŜe; lecz; a; ale
Alternatywa
∨
lub
albo... albo; bądź
Implikacja
⇒
jeśli... to....
gdyby.... to...; o ile... to...
RównowaŜność
⇔
wtedy i tylko wtedy
zawsze i tylko wtedy
Definicja 3
Tautologią, czyli prawem rachunku zdań, nazywamy taki schemat zdania złoŜonego, Ŝe kaŜde zdanie
utworzone według tego schematu jest prawdziwe, niezaleŜnie od tego, czy zdania, z których jest
zbudowane, są prawdziwe czy fałszywe.
Następujące wyraŜenia są prawami rachunku zdań:
1) prawo podwójnego przeczenia:
~ (~ p) ⇒ p;
2) prawo wyłączonej sprzeczności:
~( p ∧ ~ p);
3) prawo wyłączonego środka:
p ∨ ~ p;
4) prawo łączności koniunkcji:
((p ∧ q) ∧s) ⇔ (p ∧ (q ∧s));
1
ĆWICZENIA 1 – TEORIA (rachunek zdań, kwantyfikatory, algebra zbiorów)
5) prawo łączności alternatywy:
((p ∨ q) ∨s) ⇔ (p ∨ (q ∨s));
6) prawo przemienności koniunkcji:
(p ∧ q) ⇔ (q ∧p);
7) prawo przemienności alternatywy:
(p ∨ q) ⇔ (q ∨p);
8) prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji:
((p ∧ q) ∨s) ⇔ ((p ∨ s) ∧ (q ∨s));
9) prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy:
((p ∨ q) ∧ s) ⇔ ((p ∧ s) ∨ (q ∧ s));
10) I prawo de Morgana:
~(p ∧ q) ⇔ (~p ∨ ~q);
11) II prawo de Morgana:
~(p ∨ q) ⇔ (~p ∧ ~q);
12) prawo sylogizmu warunkowego:
((p⇒q) ∧ (q⇒s)) ⇒ (p⇒s);
Przykład :
Sprawdź, czy wyraŜenie [p ∨ (q ∨ r)] ⇔ (p ∨ q) ∨ r] jest tautologią.
Najpierw sprawdzamy jakie zdania pojawiają się w wyraŜeniu. W tym przypadku są to: p, q, r.
Następnie wyznaczamy odpowiednie części wyraŜeń (pierwszeństwo mają te w nawiasach).
p q r
(q ∨ r)
A
647
48
p ∨ (q ∨ r)
(p ∨ q)
B
647
48
(p ∨ q) ∨ r
A⇔B
Jak widać na początku zapisujemy zdania, a następnie poszczególne części wyraŜenia. Na końcu
zapisujemy całe wyraŜenie. Następnie zapisujemy wszystkie moŜliwe relacje, jakie mogą istnieć
pomiędzy zdaniami p, q i r. Na koniec rozwiązujemy resztę tabeli. JeŜeli w ostatniej kolumnie będą
same 1, to wyraŜenie jest tautologią. Jeśli zaś pojawi się chociaŜ jedne 0, to wyraŜenie nie jest
tautologią.
p q r
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
(q ∨ r)
1
1
1
1
1
1
0
0
A
647
48
p ∨ (q ∨ r)
1
1
1
1
1
1
1
0
(p ∨ q)
1
1
1
1
0
1
1
0
B
647
48
(p ∨ q) ∨ r
1
1
1
1
1
1
1
0
A⇔B
1
1
1
1
1
1
1
1
Jak widać w ostatniej kolumnie są tylko 1, a więc wyraŜenie jest tautologią.
II KWANTYFIKATORY
Definicja 4
1) WyraŜenie „dla kaŜdego x naleŜącego do zbioru X”, które zapisujemy
lub
∧
x∈X
zbioru X.
∀
x∈X
, nazywamy kwantyfikatorem ogólnym, wiąŜącym zmienną x o zakresie ograniczonym do
2
ĆWICZENIA 1 – TEORIA (rachunek zdań, kwantyfikatory, algebra zbiorów)
2) WyraŜenie „istnieje takie x naleŜące do zbioru X”, które zapisujemy
∃ lub x∨
, nazywamy
∈X
x∈X
kwantyfikatorem szczegółowym, wiąŜącym zmienną x o zakresie ograniczonym do zbioru X.
Twierdzenie
Prawa zaprzeczenia zdań z kwantyfikatorami:
~ ( ∀ ϕ ( x)) ⇔ ( ∃ ~ ϕ ( x ))
x∈X
x∈X
~ ( ∃ ϕ ( x)) ⇔ ( ∀ ~ ϕ ( x))
x∈X
x∈X
III ZBIORY
Definicja 5
1) Sumą albo unią zbiorów nazywamy zbiór złoŜony
ze
wszystkich
elementów
naleŜących
do
któregokolwiek z sumowanych zbiorów. Suma
zbiorów A i B jest oznaczana przez A∪
∪B:
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}
Np. JeŜeli A = {1,2,5} i B = {1,3,4}, to A∪B ={1,2,3,4,5}. Pomimo tego, Ŝe 1 występuje w obydwu
zbiorach, w sumie tych zbiorów występuje tylko jeden raz.
2) Iloczyn (inaczej część wspólna lub przekrój)
zbiorów A i B to zbiór, do którego naleŜą te
elementy zbioru A, które naleŜą równieŜ do B.
Część wspólna zbiorów A i B jest oznaczana przez
A∩
∩B:
A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}
Np. Jeśli A = {1,2,5} i B = {1,3,4}, to A∩B={1}. Liczba 1 jest jedynym wspólnym elementem tych
zbiorów.
3) RóŜnica zbiorów A\B - zbiór złoŜony z tych
elementów zbioru A, które nie naleŜą do B:
A \ B = {x : x ∈ A ∧ x ∉ B}
3
ĆWICZENIA 1 – TEORIA (rachunek zdań, kwantyfikatory, algebra zbiorów)
Np. Jeśli A = {1,2,5} i B = {1,3,4}, to A\B={2,5}. Jedynym wspólnym elementem obydwu zbiorów
jest 1, więc otrzymany zbiór będzie bardzo podobny do zbioru A, lecz nie posiadający liczby 1.
4) Dopełnieniem zbioru A, zawartego w przestrzeni
U, nazywamy zbiór U \ A, i oznaczamy A' lub Ac.
Jest to zbiór wszystkich elementów przestrzeni U,
które nie naleŜą do A (czyli jest to róŜnica zbiorów
U i A). Zatem dopełnienie zbioru zaleŜy od
obrania przestrzeni tego zbioru.
Np. Jeśli A = {1,2,3}, a przestrzenią U jest zbiór
wszystkich liczby całkowitych dodatnich, to dopełnieniem zbioru A będzie zbiór A'={4,5,6,7,8,…}.
Np. Jeśli A = {2,3,5,6}, a przestrzenią U jest zbiór wszystkich liczb całkowitych dodatnich
jednocyfrowych, to dopełnieniem zbioru A będzie zbiór A' = {1,4,7,8,9}, poniewaŜ:
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A = {2,3,5,6}
A'=U\A={1,4,7,8,9}
Twierdzenie
Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą prawa:
1) (A∪B) '=A'∩B'
(I prawo De Morgana)
2) (A∩B) '=A'∪B'
(II prawo De Morgana)
3) A∪B= B∪A
(przemienność dodawania zbiorów)
4) A∩B= B∩A
(przemienność mnoŜenia zbiorów)
5) (A∪B) ∪C= A∪(B∪C)
(łączność dodawania zbiorów)
6) (A∩B) ∩C= A∩ (B∩C)
(łączność mnoŜenia zbiorów)
7) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
(rozdzielność dodawania zbiorów względem mnoŜenia)
8) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
(rozdzielność mnoŜenia zbiorów względem dodawania)
WaŜne zbiory
Ø
zbiór pusty
ℝ
zbiór liczb rzeczywistych
ℚ
zbiór liczb wymiernych
ℤ
zbiór liczb całkowitych
ℕ
zbiór liczb naturalnych
4