FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE

FUNKCJE
TRYGONOMETRYCZNE
Wykonał: Maciej Dębski kl. 1 LPzi
SPIS TREŚCI
• TROCHE HISTORII
• FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
•
FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE W TRÓJKĄCIE PROSTOKĄTNYM
• PODSTAWOWE TOŻSAMOŚCI TRYGONOMETRYCZNE
• TROCHE ZASTOSOWAŃ WIEDZY O FUNKCJACH
• PODSTAWOWE WARTOŚCI FUNKCJI
TRYGONOMETRYCZNYCH
• MIARA KĄTA NA PODSTAWIE WARTOŚCI FUNKCJI
TRYGONOMETRYCZNYCH
• ŹRÓDŁA
• PODZIĘKOWANIA
TROCHE HISTORII
Trygonometria to dział matematyki, którego przedmiotem
badań są związki miarowe między bokami i kątami trójkątów
oraz funkcje trygonometryczne. Trygonometria powstała i
rozwinęła się głównie w związku z zagadnieniami pomiarów
na powierzchni Ziemi oraz potrzebami żeglugi morskiej
(określenia położenia i kierunku przy pomocy ciał
niebieskich). Na rozwój trygonometrii miały też znaczący
wpływ badania astronomiczne.
FUNKCJE
TRYGONOMETRYCZNE
funkcje matematyczne, wyrażające między innymi
stosunki między długościami boków trójkąta
prostokątnego w zależności od miar jego kątów
wewnętrznych.
FUNKCJE
TRYGONOMETRYYCZNE
Do funkcji trygonometrycznych współcześnie zalicza się:
sinus, cosinus, tangens, cotangens
Istnieją również dwie funkcje teraz już rzadko używane:
secans i cosecans
Funkcję secans w Europie wprowadził Mikołaj Kopernik w
dziele „O obrotach sfer niebieskich” , choć islamscy
matematycy używali jej już w X wieku.
Funkcje trygonometryczne znajdują zastosowanie w
wielu działach matematyki, innych naukach ścisłych i
technice
FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE W
TRÓJKĄCIE PROSTOKĄTNYM
Funkcje trygonometryczne dla kątów ostrych można zdefiniować jako stosunki
długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego dla danej miary kąta
wewnętrznego.
•sinus – oznaczany sin – stosunek przyprostokątnej przeciwległej do kąta
ostrego i przeciwprostokątnej
•cosinus – oznaczany cos – stosunek przyprostokątnej przyległej do kąta
ostrego i przeciwprostokątnej
•tangens – oznaczany tg– stosunek przyprostokątnej przeciwległej do kąta
ostrego i przyprostokątnej przyległej do kąta ostrego
•cotangens– oznaczany ctg – stosunek przyprostokątnej przyległej do kąta
ostrego i przyprostokątnej przeciwległej do kąta ostrego
FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE W
TRÓJKĄCIE PROSTOKĄTNYM
a
sin  
c
b
cos  
c
a
tg 
b
b
ctg 
a
PODSTAWOWE TOŻSAMOŚCI
TRYGONOMETRYCZNE
Moim zdaniem najłatwiej jest nauczyć się z tego prostego zapisu:
PODSTAWOWE TOŻSAMOŚCI
TRYGONOMETRYCZNE
Związki między funkcjami trygonometrycznymi spełnione dla dowolnego
argumentu ich dziedziny to tzw. tożsamości trygonometryczne. Najczęściej
używane są:
•Jedynka trygonometryczna:
sin   cos   1
2
2
•Definicja tangensa i cotangensa za pomocą sinusa i cosinusa (pozwala
wyprowadzić tożsamości dla tangensa i cotangensa z tożsamości dla
sinusa i cosinusa):
cos 
ctg 
sin 
sin 
tg 
cos 
TROCHE ZASTOSOWAŃ WIEDZY
O FUNKCJACH
ZADANIE 1
W prostokącie przekątna o długości
4cm tworzy z krótszym bokiem kąt
70○. Oblicz pole tego prostokąta.
Rozwiązanie:
a
sin 70 
4
a
0,94  /  4
4
0,94  4  a
a  3,76
cos 70 
b
4
b
4
/
4
0,34  4  b
0,34 
b  1,36
P  a  b  3,76 1,36  5,11cm2
Odpowiedź. Pole prostokąta wynosi ok. 5,11 cm2.
TROCHE ZASTOSOWAŃ WIEDZY
O FUNKCJACH
Zadanie 2
Oblicz wartość pozostałych funkcji
trygonometrycznych dla kąta ostrego,
jeżeli:
3
sin  
5
sin   cos   1 (Korzystamy ze wzoru na
2
„jedynkę trygonometryczna”)
3
2
   cos   1
5
9
 cos 2   1
25
9
cos 2   1 
25
16
cos 2 
25
16 4
cos  

25 5
2
2
(następnie korzystamy z kolejnych wzorów
tożsamości trygonometrycznych)
3
sin 
3 4 3 5
3
tg 
 5  :   
4
cos 
5 5 5 4
4
5
4
cos  5 4 3 4 5 4
1
ctg 
  :  :  1
sin  3 5 5 5 3 3
3
5
Odpowiedź.
cos  
4
3
1
, tg  , ctg  1
5
4
3
PODSTAWOWE WARTOŚCI
FUNKCJI
TRYGONOMETRYCZNYCH
MIARA KĄTA NA PODSTAWIE
WARTOŚCI FUNKCJI
TRYGONOMETRYCZNYCH liczenie za pomocą kalkulatora
WINDOWS XP
PRZYKŁAD:
Do jakiego kąta α sinα=0,32 ?
Uruchamiamy kalkulator
Start> Wszystkie programy> Akcesoria> Kalkulator
w menu: Widok> Naukowy
Wpisujemy 0,32 zaznaczamy „Inv” i naciskamy „sin”
α≈18,66○
ŹRÓDŁA
• matematyka.pisz.pl
• pl.wikipedia.org
PODZIĘKOWANIA
Serdeczne podziękowania dla Pani
mgr Urszuli Tęczy za temat i pomoc przy
realizacji prezentacji