BS PLAKAT A0 2.indd

Analiza form rozciągłości1
Podział polega na oddzielaniu
„A chociaż na podstawie dowolnego atrybutu poznaje się substancje, wszelako każdej substancji
przysługuje jakaś główna własność, która konstytuuje jej naturę i istotę, i do której sprowadzają się wszystkie inne własności. W ten sposób rozciągłość wzdłuż, wszerz i w głąb konstytuuje
naturę substancji cielesnej; a myślenie konstytuuje naturę substancji myślącej. Bo wszystko inne
co można ciału przypisać, zakłada z góry rozciągłość i jest tylko jakąś modyfikacją rzeczy rozciągłej; tak jak wszystko, co odkrywamy w umyśle, to są tylko różne modyfikacje myślenia.”2
Na rozciągłość przedmiotu składa się również możliwość nieskończonego podziału tego przedmiotu. Zagadnienie podziału również można modelować na wiele sposobów. Jednym z nich jest
nakładanie na przestrzeń coraz silniejszych aksjomatów oddzielania. Modelując podział przy
pomocy aksjomatów oddzielania5, zagadnienie podziału stawiamy w świetle nie cięcia czy kawałkowania, tylko raczej w świetle przeprowadzania możliwych różnic w zastanej strukturze,
jakby podług jej „szwów”. Jeśli dwa dowolne obiekty otwarte w przestrzeni można oddzielić domkniętymi w sensie aksjomatu T4, tzn. że każde dwie strukturalne i niepokrywające się
części przestrzeni można odróżnić od siebie przy pomocy dwóch innych (w inny sposób będących częściami) elementów przestrzeni. Obiektami różnicującymi – czy po prostu różnicami –
są w tym przypadku zbiory domknięte.
Rozciągłość jako różnica
Res extensa jest rozciągła, a res cogitans nie. Rozciągłość jako taka staje się w Principia
philosophiae tym, co różni myśli od rzeczy. Nie jest zatem bez znaczenia, czy dany obiekt
jest rozciągły, czy się jakoś i pomiędzy czymś rozciąga, czy może nie jest rozciągły i nie sposób przypisać jego bytowości formalnego charakteru ,,bycia pomiędzy”. Odpowiedź na pytanie,
czym jest sama rozciągłość? – nie jest oczywista. W niniejszym artykule podejmujemy tę kwestię oraz zaproponujemy pewien kierunek badań nad zagadnieniem rozciągłości jako takiej.
Ontologiczna analiza rozciągłości
Rozciągłe jest to, co zajmuje przestrzeń, rozciąga się bowiem pomiędzy częściami jakiejś przestrzeni. W tym sensie rozciągłe są bryły w przestrzeni trójwymiarowej, interwały czasowe
w przestrzeni czasu oraz plamy barwne, rozpościerające się na kartce papieru. Rozciągłość
w każdym z tych sensów różni się pewnym aspektem; dla brył ograniczeniem rozciągających się
obiektów są powierzchnie dwuwymiarowe, dla plam barwnych krzywe, a dla odcinków czasowych
punktowe chwile. Chodzi tu o różnice związane z wymiarem rozciągających się przedmiotów. Podejrzewamy zatem, że posiadanie dodatniego wymiaru rozważanego przedmiotu jest warunkiem
koniecznym do tego, aby przedmiot ten mógł się rozciągać. Z drugiej strony tradycja filozoficzna
raczej nie wyróżnia obiektów więcej wymiarowych niż trójwymiarowe3. Jest to pewnym zawężeniem,
w szczególności że we współczesnej praktyce naukowo-poznawczej
rozważa się z sukcesem więcej wymiarowe obiekty.
Z rozciągłością wiąże się pewna
złożoność, polegająca na możliwości
podziału4. To, co rozciąga się pomiędzy swymi krańcami, można np. przepołowić bądź podzielić na n części.
To, czym dokładnie jest podział, zależy od struktury obiektu dzielonego. Możliwość podziału bywa często wzmacniana do nieskończonej
możliwości podziału, tzn. do twierdzenia, że obiekt rozciągły możemy
dzielić w nieskończoność. Przyjmijmy zatem, że obiekt rozciągły jest
nieskończenie podzielny, nie precyzując na razie, czym jest podział.
Nieprzeniknioność
Nastepną formalno-ontologiczną charakterystyką rozciągłości jest wzajemna nieprzeniknioność
obiektów rozciągłych bądź ich nieprzepuszczalność. Topologiczna charakterystyka tego momentu
formalnego jest trudna. Na nieprzepuszczalność składają się następujące momenty: (a) niemożliwość zajmowania w jednym czasie tego samego miejsca (w określonej przestrzeni) przez dwa
przedmioty rozciągające się w ten sam sposób, (b) posiadanie granicy lub brzegu czy ograniczenia, (c) posiadanie odrębnych zestawów własności, indywidualna różność rozciągłych przedmiotów. Warunki (a) i (b) są warunkami łatwo spełnialnymi, zaś warunek (c) wymyka się czysto
formalnym narzędziom. W przypadku (a) wystarczy powiedzieć, że w ogólności nie dopuszczamy
w przestrzeniach topologicznych do nakładania się punktów na siebie, choć często – szczególnie
w topologii algebraicznej – stosuje się sklejanie (utożsamienie) punktów. W przypadku punktu
(b) – zawężając uwagę tylko do właściwości bycia ograniczonym – wystarczy dodać np. warunek
ograniczoności na przedmiot rozciągły, tzn. warunek zawierania się w jakiejś kuli w danej metryce; przy czym musimy założyć, że przestrzeń jest metryzowalna. Warunek (c) nie daje się wyrazić w pełnej ogólności przy pomocy
dobranych narzędzi, choć po odpowiednich przygotowaniach niektóre jego fragmenty można próbować
wyrazić6.
Filozofia matematyczna
modelowanie struktur filozoficznych
Metryzowalność
i niezerowość średnicy
Gdy Kartezjusz rozważał substancję rozciągłą, mówił o rozciągłości
wzdłuż, wszerz i w głąb. Charakterystyki te wiążą się z posiadaniem
dodatniego wymiaru. Aby jednak
mówić o tych wymiarach (bądź
Bartłomiej Skowron* w tych wymiarach), używa się układu współrzędnych – zresztą kartezjańskiego – który jest po prostu
narzędziem do opisu przestrzeni
euklidesowych. Podobną rolę do
układu współrzędnych w przestrzeniach euklidesowych pełnią
w topologii metryki. O metrykach
możemy myśleć jak o funkcjach odległości. Przestrzeń topologiczną,
której pewna metryka wyznacza
topologię identyczną z wyjściową,
nazywamy przestrzenią metryzowalną. Przestrzenie metryzowalne, mówiąc metaforycznie, to przestrzenie, których funkcja odległości
zgadza się z wyjściową strukturą topologiczną. W przestrzeniach metryzowalnych możemy badać ,,odległości” (te zgodne ze
strukturą) pomiędzy obiektami, ale jesteśmy w stanie również mierzyć same obiekty. Jedną
z takich miar jest średnica rozważanego obiektu, tzn. kres górny wzajemnych odległości punktów
tego obiektu. Obiekt rozciągły w tym kontekście to obiekt, który z pewnością posiada niezerową
średnicę, choć nie każdy obiekt posiadający niezerową średnicę jest rozciągły. Posiadanie niezerowej średnicy jest zatem jednym z warunków koniecznych rozciągania się. Aby jednak mówić
o średnicy obiektów, powinniśmy posiadać metrykę, a najlepiej przestrzeń metryzowalną – wtedy
możliwe jest ujęcie średnicy obiektu ,,w zgodzie” ze strukturą. Klasa przestrzeni metryzowalnych
jest prawdopodobnie klasą o niemałej wadze dla naszego głównego zagadnienia.
przy pomocy struktur matematycznych
Kolejną spotykaną charakterystyką tego co rozciągłe jest nieprzeniknioność czy nieprzepuszczalność, polegająca na tym, że jeden
obiekt rozciągły nie może przeniknąć drugiego. Obiekty rozciągłe co
najwyżej mogą być podobne do siebie pod pewnym względem; jeden
może być częścią drugiego; mogą
się w jakiś sposób stykać, sąsiadować ze sobą; mogą być oddzielone taką a taką przestrzenią, ale nie mogą przenikać siebie
nawzajem. Przenikać się mogą natomiast myśli, które ponoć rozciągłe nie są.
Rozciągłość z etymologicznego punktu widzenia jest tym, co rozpościera się, rozciąga
pomiędzy jednym a drugim. Rozciągłe jest to, co jest ,,pomiędzy” tym a tym, co z istoty
swej musi być między jakimiś krańcami. Co więcej „bycie pomiędzy” jest byciem wszędzie
(bądź prawie wszędzie) pomiędzy. W innym przypadku nie mamy do czynienia z rozciągłością
w sensie ścisłym.
Wszystkie wymienione momenty rozciągłości, tzn. przestrzenność (zanurzenie w przestrzeni),
podzielność, nieprzeniknioność, bycie wszędzie ,,pomiędzy” w określonych zestawach ustalają
różne rodzaje rozciągłości, ale nie składają się jednak na jej definicyjne ujęcie.
Próba topologicznego dookreślenia rozciągłości
Proponujemy, aby rozciągłość badać w przestrzeniach topologicznych. Jako pierwszy warunek
rozciągłości obiektu podaliśmy warunek zajmowania przestrzeni, bycia częścią jakiejś przestrzeni. Rozwiązanie najłatwiejsze byłoby takie, że obiekt zajmujący jakąś część przestrzeni topologicznej jest rozciągły właśnie dlatego, że zajmuje tę część owej przestrzeni. Takie rozwiązanie
nie daje się utrzymać, chociażby dlatego, że trójelementowy zbiór z topologią największą jest
przestrzenią topologiczną, a jej dowolnie wybrany punkt jest w jakimś sensie jej częścią. Punkt
ten jednak nie jest rozciągły. Zatem na wyjściową przestrzeń należy nałożyć warunki wykluczające pewne niedorzeczności – przynajmniej te jawne. Przestrzeń więc powinna być złożona
z nieskończonej ilości punktów, a najlepiej nieprzeliczalnej – wtedy można sensownie badać
rozciągłość występujących w niej obiektów. Warunek nieskończonej ilości punktów musi zostać
uzupełniony pewnymi warunkami co do własności samej przestrzeni. Zbiór Cantora – aby podać
kolejny niedobry przykład – jest zbiorem mocy nieprzeliczalnej. Trudno jednak w jego obrębie
mówić o rozciągłości, choćby dlatego, że jest on nigdziegęstym podzbiorem odcinka. Aby badać rozciągłość, powinniśmy założyć jakąś postać spójności przestrzeni, choćby taką, że dana
przestrzeń zawiera dowolne podprzestrzenie spójne, niejednopunktowe. Spójność jednak może
w topologii przybrać niepożądane postaci. Powinniśmy zatem wzmocnić warunek spójności, na
przykład do zawierania podprzestrzeni drogowo spójnych bądź po prostu do jednospójności.
Gęstość
Bycie pomiędzy, jak pisaliśmy, jest byciem wszędzie pomiędzy. Uszczegółowienie tej charakterystyki formalnej rozciągłości może przybrać różne postaci. Jedną z nich jest taka możliwość,
że obiekt rozciągający się w danej przestrzeni jest podzbiorem gęstym pewnej, odpowiednio dobranej podprzestrzeni tej przestrzeni. Bycie gęstym jest formalno-ontologiczną charakterystyką
sposobu położenia, a także sposobu rozciągania się pomiędzy.
Podsumowanie
Rozciągłość jako taka jest ważną właściwością ontologiczną. Dokładne jednak jej określenie nie
jest sprawą oczywistą. Zaproponowaliśmy, aby formalne badania nad rozciągłością prowadzić
w kontekście rozważań topologicznych7. I tak zaproponowaliśmy, aby obiekty rozciągłe modelować przy pomocy przestrzeni topologicznych. Na różne typy formalne rozciągłości obiektów
mogą składać się m.in. następujące ich własności: nieprzeliczalnie nieskończona ilość elementów, gęstość, spójność, zwartość, metryzowalność, posiadanie dodatniej średnicy oraz zadośćuczynienie odpowiednim aksjomatom oddzielania.
Na tej podstawie można dalej analizować różnice, co do rodzajów rozciągłości rzeczy
i rozciągłości myśli.
*
Bartłomiej Skowron, Akademia Młodych Uczonych i Artystów, Uniwersytet Papieski Jana Pawła II w Krakowie, math.uni.wroc.pl/~s160571/nowa.html
1
Prezentowany tekst jest wyciągiem z B. Skowron, The forms of extension, [w:] Substantiality and Causality, red. M. Szatkowski, M. Rosiak, Walter
de Gruyter Verlag, Philosophical Analysis (Book 60), Berlin/Boston 2014, ss. 191-203. Ilustracje pochodzą z książki G. Fancis, A Topological Picturebook,
Springer-Verlag, 1988 oraz ze strony http://www.clker.com/cliparts/h/G/f/U/l/0/thinking-empty-thought-hi.png.
2
R. Descartes, Zasady Filozofii, przeł. I. Dąmbska, Warszawa 1960, s. 32–33.
3
W innej pracy wykazaliśmy, że świat możliwy w ontologii kombinacyjnej jest obiektem o nieskończonym wymiarze. Również inne pojęcia tej ontologii,
takie jak element, kompleks, sytuacja są związane z charakterystyką wymiarowości. Zob. B. Skowron, O kombinacyjnej topo-ontologii, w druku [w:]
Studia Philosophica Wratislaviensia, 4 (2014).
4
Nie wszystkie wymienione przez nas momenty formalne rozciągłości zawsze były jej przypisywane. Ingarden przypisywał pewną rozciągłość przedmiotowi
pierwotnie indywidualnemu, mimo iż przedmiot ten był nieprzenikliwy, tzn. w pewien sposób niepodzielny.
5
Podział przestrzeni topologicznej może przebiegać w inny sposób, np. podział na składowe spójności przestrzeni, podział na podprzestrzenie, podobiekty
w sensie teoriokategoryjnym, itd.
6
Zob. T. Mormann, Similarity and Countinous Quality Distributions, [w:] Topology for Philosophers, The Monist, 79 (1), 1996, red. Smith B., Żełaniec W.,
s. 76–88.
7
Należy dodać, że niemała część współczesnych badań ontologicznych i formalno-ontologicznych korzysta z narzędzi topologicznych. Co więcej,
powstała nowa poddziedzina badań ontologicznych (bywa też nazywana logiką przestrzenną) mereotopologia, łącząca w sobie filozoficzne
i formalne teorie całości i części z narzędziami topologicznymi. Więcej w tej sprawie zob. I. Pratt–Hartman, First–order mereotopology, [w:]
M. Aiello, I. Pratt–Hartmann, J. Benthem, (eds.) Handbook of spatial logic, Springer 2007, s. 13–97. Zob. również B. Smith, Mereotopology:
A theory of parts and boundaries, Data and Knowledge Engineering, 20 (1996), s. 287–303 oraz K. Fine, Part–whole, [w:] B. Smith, D.W. Smith (eds),
The Cambridge Companion to Husserl, New York 1995, s. 436-485.