Tytuł: Pitagoras: liczby i magia

advertisement
Pitagorejska magia liczb
1. Tytuł
Pitagorejska magia liczb
2. Autor
Tekst ten, z pewnymi dokonanymi przeze mnie nieznacznymi zmianami, pochodzi z
przetłumaczonej przeze mnie z języka hiszpańskiego Encyklopedii Szkolnej – Matematyka.
Te informacje w różnej formie można też znaleźć w innych źródłach.
3. Obszar edukacyjny
matematyka
4. Poziom edukacyjny
gimnazja, szkoły ponadgimnazjalne
5. Dziedzina
liczby naturalne, twierdzenie Pitagorasa, potęgowanie
6. Słowa kluczowe
liczby naturalne, twierdzenie Pitagorasa, potęgowanie, trójkąt prostokątny,
przeciwprostokątna, przyprostokątna
7. Adresaci
wszyscy: uczniowie, rodzice, nauczyciele
Wprawdzie Pitagoras, grecki filozof i matematyk, kojarzy się dziś głownie z twierdzeniem,
iż w trójkącie prostokątnym, suma kwadratów długości boków przyprostokątnych jest równa
kwadratowi długości boku przeciwprostokątnego, jednak jego intelektualny dorobek jest
znacznie szerszy i obejmuje matematykę, muzykę, astronomię, religię, filozofię, a nawet
magię.
Pitagoras założył szkołę filozoficzno – religijną, w ramach której rozpatrywano zagadnienia
matematyczne w powiązaniu z problematyką filozoficzną i estetyczną. Po pewnym czasie
szkoła ta rozpadła się na dwa odłamy. Jeden pozostał wierny tradycji mistyczno –
filozoficznej, drugi zaś skierował swą uwagę na zagadnienia matematyczne, traktując je, jak
byśmy dziś powiedzieli, bardziej racjonalnie.
Szczególną rolę pełniły u Pitagorasa liczby naturalne. Przypisywał im cechy magiczne i były
one dla niego podstawą całego wszechświata. Twierdził, że istnienie we wszechświecie
harmonii i piękna jest rezultatem specjalnych własności tych liczb oraz specyficznych relacji,
które między nimi zachodzą. Szczególną harmonię i piękno dostrzegał też w ruchu i cechach
ciał niebieskich, widząc w nich przyczynę harmonii liczbowej .
W szkole założonej przez Pitagorasa zajmowano się między inny takimi zagadnieniami
liczbowymi jak: kwadraty i sześciany liczb, liczby pierwsze, liczby doskonałe, liczby
zaprzyjaźnione, liczby trójkątne, piramidalne, pentagonalne i heksagonalne. Wyniki tych prac
były przez uczonych, tworzących tę szkołę, pilnie strzeżone.
Jednym z głównych sekretów Szkoły Pitagorejskiej, który całkowicie nie pasował – według
jej członków – do wyznawanej przez nich estetyki i harmonijnej wizji wszechświata, było
odkrycie przez nich liczb niewymiernych, a konkretnie liczby √2 , która to liczba wyraża
długość przekątnej w kwadracie o boku równym 1, czy też długość przeciwprostokątnej w
trójkącie prostokątnym równoramiennym o boku równym 1, jak również odkrycie
niewymierności stosunku obwodu koła do jego średnicy , czyli liczby Π. Fakt ten
spowodował, iż z jednej strony zaczęto wątpić w istnienie owej idealnej harmonii i piękna
charakteryzujących wszechświat, tak jak rozumieli te pojęcia uczestnicy szkoły pitagorejskiej,
z drugiej zaś strony powstawały wątpliwości, czy aby wszystko można opisać za pomocą
liczb i czy generalnie nie należy zmienić fundamentalnych założeń teorii, jaką do tej pory
budowano i wiary, jaką wyznawano. Efektem tych niepokojów i zawirowań był rozpad
Szkoły Pitagorejskiej, a powstałe w wyniku jej prac i przemyśleń główne problemy
próbowano rozwiązywać w na bardzo różne sposoby w ramach działań różnych zespołów
uczonych.
Jak pisze De L. Hogben w „La matematica en la vida del hombre“:
„Warto wspomnieć, ze w okresie świetności szkoły pitagorejskiej doktryna idealistyczna
Pitagorasa, manifestująca się przekonaniem o moralnych cechach liczb i figur natrafiała na
liczne grono wiernych słuchaczy i wyznawców. I tak: liczba 1, bardziej niż liczba sama w
sobie, traktowana była jako podstawa i punkt wyjścia dla wszystkich innych liczb i
reprezentowała rozum. Liczba 2 reprezentowała opinię, liczba 4 sprawiedliwość, zaś liczba 5
małżeństwo i zbudowana była na zasadzie sumy: z liczby 3, która zawierała w sobie
pierwiastek męski oraz liczby 2, charakteryzującej się pierwiastkiem żeńskim. Ponadto,
liczba 5 miała zawierać w sobie sekret kolorów, liczba 6 sekret zimna, liczba 7 sekret
zdrowia, liczba 8 miłości, przy czym ta ostatnia była zbudowana z liczby 3 – potencji oraz
liczby 5 – małżeństwa.”
A oto, jak prezentują się wspomniane wyżej klasy liczb naturalnych:
Liczby doskonałe, takie jak na przykład liczba 6, są to liczby, w których suma ich dzielników
(z wyłączeniem samej tej liczby, która też jest przecież swoim własnym dzielnikiem) jest
równa tejże liczbie. Dla liczby 6 mamy 1 + 2 + 3 = 6 [ bo 1 ,2 ,3 są wszystkimi dzielnikami
(poza liczbą 6) liczby 6]. Innymi takimi liczbami są: na przykład 28, 496, 8 128 czy 33 550
336 .
Liczby zaprzyjaźnione. Są to takie dwie liczby, że suma dzielników pierwszej z tych liczb z
wyjątkiem niej samej, (bo ona sama jest przecież też swoim własnym dzielnikiem) jest
równa drugiej z liczb i na odwrót.: Suma dzielników drugiej z liczb - poza nią samą – jest
równa pierwszej z liczb.
Liczbami zaprzyjaźnionymi są na przykład liczby 220 i 284. Są to najmniejsze liczby
zaprzyjaźnione.
220 = 1 + 2 = 4 + 71 + 142
oraz
284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110
Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona sama z sobą.
Liczby trójkątne. Są to liczby, które są sumami ciągów kolejnych liczb naturalnych. Zatem
są to sumy ciągów arytmetycznych n liczb naturalnych, gdzie pierwszy wyraz takiego ciągu
arytmetycznego wynosi 1 zaś różnica wynosi także 1
Na przykład :
1= 1
1+2=3
1+ 2 + 3 = 6
1 + 2 + 3 + 4 = 10 itd.
Liczby piramidalne. Są to liczby naturalne, które są sumami kwadratów kolejnych liczb
naturalnych.
Na przykład :
1=1
1+4=5
1 + 4 + 9 = 14
1 + 4 + 9 + 16 = 30 itd.
Liczby pitagorejskie. Są to liczby postaci a2 + b2 = c2, gdzie a , b, c są liczbami
naturalnymi. Są to po prostu takie trójki liczb naturalnych, ze można z nich skonstruować
trójkąt prostokątny.
Na przykład :
3, 4, 5,
5, 12, 13
9, 12, 15
Suma kwadratów przyprostokątnych musi być równa kwadratowi przeciwprostokątnej.
Liczby pentagonalne. Są to liczby, które są sumami liczby trójkątnej i kwadratu kolejnej
liczby naturalnej o 1 większej od największej liczby naturalnej, która jest składnikiem liczby
trójkątnej w danej liczbie pentagonalnej.
Na przykład:
1
5 = 1 + 22
12 = 1 + 2 + 32
22 = 1 + 2 + 3 + 42
35 = 1 + 2 + 3 + 4 + 52 itd.
Download
Random flashcards
Motywacja w zzl

3 Cards ypy

Prace Magisterskie

2 Cards Pisanie PRAC

2-2=0

2 Cards jogaf85537

Create flashcards