Tytuł: Pitagoras: liczby i magia
advertisement
Pitagorejska magia liczb 1. Tytuł Pitagorejska magia liczb 2. Autor Tekst ten, z pewnymi dokonanymi przeze mnie nieznacznymi zmianami, pochodzi z przetłumaczonej przeze mnie z języka hiszpańskiego Encyklopedii Szkolnej – Matematyka. Te informacje w różnej formie można też znaleźć w innych źródłach. 3. Obszar edukacyjny matematyka 4. Poziom edukacyjny gimnazja, szkoły ponadgimnazjalne 5. Dziedzina liczby naturalne, twierdzenie Pitagorasa, potęgowanie 6. Słowa kluczowe liczby naturalne, twierdzenie Pitagorasa, potęgowanie, trójkąt prostokątny, przeciwprostokątna, przyprostokątna 7. Adresaci wszyscy: uczniowie, rodzice, nauczyciele Wprawdzie Pitagoras, grecki filozof i matematyk, kojarzy się dziś głownie z twierdzeniem, iż w trójkącie prostokątnym, suma kwadratów długości boków przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości boku przeciwprostokątnego, jednak jego intelektualny dorobek jest znacznie szerszy i obejmuje matematykę, muzykę, astronomię, religię, filozofię, a nawet magię. Pitagoras założył szkołę filozoficzno – religijną, w ramach której rozpatrywano zagadnienia matematyczne w powiązaniu z problematyką filozoficzną i estetyczną. Po pewnym czasie szkoła ta rozpadła się na dwa odłamy. Jeden pozostał wierny tradycji mistyczno – filozoficznej, drugi zaś skierował swą uwagę na zagadnienia matematyczne, traktując je, jak byśmy dziś powiedzieli, bardziej racjonalnie. Szczególną rolę pełniły u Pitagorasa liczby naturalne. Przypisywał im cechy magiczne i były one dla niego podstawą całego wszechświata. Twierdził, że istnienie we wszechświecie harmonii i piękna jest rezultatem specjalnych własności tych liczb oraz specyficznych relacji, które między nimi zachodzą. Szczególną harmonię i piękno dostrzegał też w ruchu i cechach ciał niebieskich, widząc w nich przyczynę harmonii liczbowej . W szkole założonej przez Pitagorasa zajmowano się między inny takimi zagadnieniami liczbowymi jak: kwadraty i sześciany liczb, liczby pierwsze, liczby doskonałe, liczby zaprzyjaźnione, liczby trójkątne, piramidalne, pentagonalne i heksagonalne. Wyniki tych prac były przez uczonych, tworzących tę szkołę, pilnie strzeżone. Jednym z głównych sekretów Szkoły Pitagorejskiej, który całkowicie nie pasował – według jej członków – do wyznawanej przez nich estetyki i harmonijnej wizji wszechświata, było odkrycie przez nich liczb niewymiernych, a konkretnie liczby √2 , która to liczba wyraża długość przekątnej w kwadracie o boku równym 1, czy też długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym równoramiennym o boku równym 1, jak również odkrycie niewymierności stosunku obwodu koła do jego średnicy , czyli liczby Π. Fakt ten spowodował, iż z jednej strony zaczęto wątpić w istnienie owej idealnej harmonii i piękna charakteryzujących wszechświat, tak jak rozumieli te pojęcia uczestnicy szkoły pitagorejskiej, z drugiej zaś strony powstawały wątpliwości, czy aby wszystko można opisać za pomocą liczb i czy generalnie nie należy zmienić fundamentalnych założeń teorii, jaką do tej pory budowano i wiary, jaką wyznawano. Efektem tych niepokojów i zawirowań był rozpad Szkoły Pitagorejskiej, a powstałe w wyniku jej prac i przemyśleń główne problemy próbowano rozwiązywać w na bardzo różne sposoby w ramach działań różnych zespołów uczonych. Jak pisze De L. Hogben w „La matematica en la vida del hombre“: „Warto wspomnieć, ze w okresie świetności szkoły pitagorejskiej doktryna idealistyczna Pitagorasa, manifestująca się przekonaniem o moralnych cechach liczb i figur natrafiała na liczne grono wiernych słuchaczy i wyznawców. I tak: liczba 1, bardziej niż liczba sama w sobie, traktowana była jako podstawa i punkt wyjścia dla wszystkich innych liczb i reprezentowała rozum. Liczba 2 reprezentowała opinię, liczba 4 sprawiedliwość, zaś liczba 5 małżeństwo i zbudowana była na zasadzie sumy: z liczby 3, która zawierała w sobie pierwiastek męski oraz liczby 2, charakteryzującej się pierwiastkiem żeńskim. Ponadto, liczba 5 miała zawierać w sobie sekret kolorów, liczba 6 sekret zimna, liczba 7 sekret zdrowia, liczba 8 miłości, przy czym ta ostatnia była zbudowana z liczby 3 – potencji oraz liczby 5 – małżeństwa.” A oto, jak prezentują się wspomniane wyżej klasy liczb naturalnych: Liczby doskonałe, takie jak na przykład liczba 6, są to liczby, w których suma ich dzielników (z wyłączeniem samej tej liczby, która też jest przecież swoim własnym dzielnikiem) jest równa tejże liczbie. Dla liczby 6 mamy 1 + 2 + 3 = 6 [ bo 1 ,2 ,3 są wszystkimi dzielnikami (poza liczbą 6) liczby 6]. Innymi takimi liczbami są: na przykład 28, 496, 8 128 czy 33 550 336 . Liczby zaprzyjaźnione. Są to takie dwie liczby, że suma dzielników pierwszej z tych liczb z wyjątkiem niej samej, (bo ona sama jest przecież też swoim własnym dzielnikiem) jest równa drugiej z liczb i na odwrót.: Suma dzielników drugiej z liczb - poza nią samą – jest równa pierwszej z liczb. Liczbami zaprzyjaźnionymi są na przykład liczby 220 i 284. Są to najmniejsze liczby zaprzyjaźnione. 220 = 1 + 2 = 4 + 71 + 142 oraz 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona sama z sobą. Liczby trójkątne. Są to liczby, które są sumami ciągów kolejnych liczb naturalnych. Zatem są to sumy ciągów arytmetycznych n liczb naturalnych, gdzie pierwszy wyraz takiego ciągu arytmetycznego wynosi 1 zaś różnica wynosi także 1 Na przykład : 1= 1 1+2=3 1+ 2 + 3 = 6 1 + 2 + 3 + 4 = 10 itd. Liczby piramidalne. Są to liczby naturalne, które są sumami kwadratów kolejnych liczb naturalnych. Na przykład : 1=1 1+4=5 1 + 4 + 9 = 14 1 + 4 + 9 + 16 = 30 itd. Liczby pitagorejskie. Są to liczby postaci a2 + b2 = c2, gdzie a , b, c są liczbami naturalnymi. Są to po prostu takie trójki liczb naturalnych, ze można z nich skonstruować trójkąt prostokątny. Na przykład : 3, 4, 5, 5, 12, 13 9, 12, 15 Suma kwadratów przyprostokątnych musi być równa kwadratowi przeciwprostokątnej. Liczby pentagonalne. Są to liczby, które są sumami liczby trójkątnej i kwadratu kolejnej liczby naturalnej o 1 większej od największej liczby naturalnej, która jest składnikiem liczby trójkątnej w danej liczbie pentagonalnej. Na przykład: 1 5 = 1 + 22 12 = 1 + 2 + 32 22 = 1 + 2 + 3 + 42 35 = 1 + 2 + 3 + 4 + 52 itd.
