Scenariusz lekcji

Wykazywanie tożsamości trygonometrycznych
Scenariusz lekcji
1. Informacje wstępne:
Data: 28 maja 2013r.;
Klasa: I „c” liceum (profil bezpieczeństwo wewnętrzne);
Czas trwania zajęć: 45 minut;
Nauczany przedmiot: matematyka;
2. Program nauczania: Kształcenie w zakresie podstawowym. Program nauczania w liceach i technikach (autor
programu Alina Przychoda, Zygmunt Łaszczyk).
3. Temat lekcji: Wykazywanie tożsamości trygonometrycznych;
4. Integracja: wewnątrzprzedmiotowa – działania na ułamkach, potęgowanie liczb, twierdzenie Pitagorasa, wzory
skróconego mnożenia;
5. Cele lekcji:
Uczeń potrafi:
- zdefiniować pojęcia sinus, cosinus, tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym (A1),
- zapisać podstawowe tożsamości trygonometryczne (A2),
Wykazywanie tożsamości trygonometrycznych
- wyznaczyć wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym (B1),
- obliczać długości boków trójkąta prostokątnego, mając daną wartość jednej funkcji trygonometrycznej kąta
ostrego (C1),
- obliczać wartości funkcji trygonometrycznych, mając daną wartość jednej z nich (C3),
- przekształcać wyrażenia, stosując tożsamości trygonometryczne (D1),
- sprawdzać tożsamości trygonometryczne (D2),
- dobrać metodę rozwiązania zadania (D3);
6. Postawy i zainteresowania:
- doskonalenie umiejętności logicznego myślenia,
- doskonalenie umiejętności współdziałania przy realizacji zadania, wypowiadania się na forum grupy,
- wdrażanie do dobrej organizacji pracy;
7. Strategie nauczania: asocjacyjna, problemowa;
8. Metody nauczania:
- pogadanka (M1),
- ćwiczeniowa (M2);
Wykazywanie tożsamości trygonometrycznych
9. Zasady nauczania:
- świadomego i aktywnego uczestnictwa w zajęciach,
- stopniowania trudności;
10. Formy pracy uczniów:
- zbiorowa (F1),
- w grupach – „stoliki eksperckie” (F2);
11. Środki dydaktyczne:
- tablica;
12. Wykaz piśmiennictwa:
dla ucznia i nauczyciela:
- załącznik nr 1,
- załącznik nr 2,
- załącznik nr 3;
Wykazywanie tożsamości trygonometrycznych
13. Struktura lekcji:
SPOSOBY
ETAPY LEKCJI
REALIZACJI
SPEŁNIENIE
ZAGADNIENIA, ZADANIA,
ZAGADNIEŃ,
ZAŁOŻONYCH
PROBLEMY LEKCJI
ZADAŃ,
CELÓW
PROBLEMÓW
LEKCJI
LEKCJI
1. FAZA WSTĘPNA
Czynności organizacyjne;
Sprawdzenie pracy domowej;
Przypomnienie definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie
prostokątnym;
(F1) (M1)
(A1)
Przypomnienie podstawowych tożsamości trygonometrycznych;
(F1) (M1)
(A2)
Wykazywanie tożsamości trygonometrycznych
2. FAZA
REALIZACYJNA
Podział klasy na trzy zespoły, wybór lidera zespołu (utworzenie „stolików
eksperckich”) na zasadzie:
1. Stolik
2. Stolik
(F2), (M2)
(A1, A2), (D1)
(F2), (M2)
(A1, A2), (D1)
(F2), (M2)
(A1), (B1), (C1,
3. Stolik
C2)
Każda z grup otrzymuje jeden ze sposobów rozwiązania tego samego zadania
(Załącznik nr 1). Zadanie jest rozwiązane trzema sposobami. Celem członków
zespołu jest przeanalizowanie i zrozumienie rozwiązania zadania.
Podział klasy na grupy (uczniowie z poszczególnych zespołów spotykają się
w grupach a, b, c, d). Uczniowie uczą się wzajemnie:
Wykazywanie tożsamości trygonometrycznych
I grupa
(F2), (M2)
(A1, A2), (B1),
(C1, C2), (D1)
II grupa
(F2), (M2)
(A1, A2), (B1),
(C1, C2), (D1)
III grupa
(F2), (M2)
(A1, A2), (B1),
(C1, C2), (D1)
IV grupa
(F2), (M2)
(A1, A2), (B1),
(C1, C2), (D1)
Po wykonaniu ćwiczenia każdy uczeń powinien rozumieć rozwiązanie zadania
każdym z trzech sposobów.
Rozwiązywanie zadań w grupach (Załącznik nr 2):
Nagrodzenie tej grupy, która rozwiązała najwięcej zadań, oceną.
(F2), (M2)
(A1, A2), (B1),
(C1, C2, C3), (D1,
D2, D3)
Wykazywanie tożsamości trygonometrycznych
3. FAZA
Podsumowanie lekcji – pytanie do uczniów:
PODSUMOWUJĄCA
Który sposób rozwiązywania zadań jest, waszym zdaniem, najłatwiejszy?
(F1) (M1)
(D3)
Informacja o zadaniu domowym
Załącznik nr 3.
Opracowała Irena Wosz - Łoba
Wykazywanie tożsamości trygonometrycznych
(Załącznik nr 1)
Przeanalizuj rozwiązanie zadania:
ସ
଻
ଷ
ହ
Kąt ߙ jest ostry i tgߙ = . Wykaż, że sinߙ + cosߙ = .
I sposób (zespół 1.)
Korzystamy z definicji tangens i otrzymujemy
ୱ୧୬ ஑
ୡ୭ୱ஑
ସ
= ଷ,
zatem mnożąc stronami przez cosߙ:
ସ
sinߙ = ଷ cosߙ.
Podstawiamy tę równość do tożsamości:
sinଶ α + cos ଶ α = 1
i otrzymujemy
ସ
( cosߙ)2 + cos ଶ α = 1
ଷ
a stąd
cos ଶ α =
ଷ
ଽ
.
ଶହ
ଷ
Zatem cosߙ = ହ lub cosߙ = - ହ.
Ujemny wynik odrzucamy, ponieważ zgodnie z warunkami zadania kąt ߙ jest kątem ostrym.
ଷ
Obliczamy wartość funkcji sinߙ = ହ, a następnie wartość wyrażenia
sinߙ + cosߙ =
ସ
+
ହ
଻
sinߙ + cosߙ = ହ.
ଷ
ହ
Wykazywanie tożsamości trygonometrycznych
Przeanalizuj rozwiązanie zadania:
ସ
଻
ଷ
ହ
Kąt ߙ jest ostry i tgߙ = . Wykaż, że sinߙ + cosߙ = .
II sposób (zespół 2.)
Korzystamy z definicji tangens i otrzymujemy
ୱ୧୬ ஑
ୡ୭ୱ஑
ସ
= ,
ଷ
stąd
4 cosߙ = 3 sinߙ
ଷ
cosߙ = ସ sinߙ.
Podstawiamy tę równość do tożsamości:
sinଶ α + cos ଶ α = 1
i otrzymujemy
ଷ
sin2ߙ + (ସ sinߙ)2 = 1,
czyli
ଶହ
ଽ
Wynika stąd, że
sin2ߙ = 1.
ସ
ସ
sinߙ = ହ lub sinߙ = - ହ.
Ujemny wynik odrzucamy, ponieważ zgodnie z warunkami zadania kąt ߙ jest kątem ostrym.
ଷ
Obliczamy wartość funkcji cosߙ = ହ, a następnie wartość wyrażenia
sinߙ + cosߙ =
ସ
ହ
ଷ
+ହ
଻
sinߙ + cosߙ = ହ.
Wykazywanie tożsamości trygonometrycznych
Przeanalizuj rozwiązanie zadania:
ସ
଻
ଷ
ହ
Kąt ߙ jest ostry i tgߙ = . Wykaż, że sinߙ + cosߙ = .
III sposób (zespół 3.)
Rysujemy trójkąt prostokątny, w którym oznaczamy długości przyprostokątnych 3x i 4x ,
ସ
gdzie x > 0 oraz zaznaczamy kąt ostry ߙ taki, aby tgߙ = .
ଷ
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i obliczamy długość przeciwprostokątnej:
r2 = (4x)2 + (3x)2
r2 = 25x2
r = 5x lub r = -5x.
Zatem przeciwprostokątna ma długość 5x (odrzucamy ujemne rozwiązanie: -5x).
ସ
ଷ
Obliczamy wartość funkcji sinߙ = ହ i cosߙ = ହ.
Stąd
ସ
ଷ
sinߙ + cosߙ = ହ + ହ
଻
sinߙ + cosߙ = ହ.
Wykazywanie tożsamości trygonometrycznych
(Załącznik nr 2)
Zadania dla grup
Zad. 1. Kąt jest ostry, a tg = 3. Wyznacz wartość wyrażenia sin·cos.
ଶ
Zad. 2. Kąt jest ostry, a sin = . Oblicz wartość wyrażenia:
ଷ
a) 1 – 3cos2 ,
b)
ඥଵା୲୥మ ஑
ୡ୭ୱ஑
.
Zad. 3. Oblicz sinus i cosinus kata ostrego, jeżeli tg2 – 8 = 0.
Zad. 4. Oblicz wartość wyrażenia
Zad. 5. Kąt jest ostry i
Zad. 6.
௦௜௡஑
௖௢௦஑
+
ୱ୧୬మ ஑
୲୥మ ஑
௖௢௦஑
ୱ୧୬஑
+ sin.
= 2. Oblicz wartość wyrażenia sin·cos.
Wykaż, że nie istnieje kąt , taki, że cos =
ଷ
ହ
ଷ
i tg = .
ସ
Wykazywanie tożsamości trygonometrycznych
(Załącznik nr 3)
Zadanie domowe
Zad. 1. Kąt jest ostry, a cos =
଼
. Wykaż, że tg ଶ α + 1 =
ଵ଻
ଵ଻
଼
.
ହ
Zad. 2. Wiedząc, że sin + cos = , oblicz sin·cos.
ସ
(Wsk.: Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.)
ଵ
୲୥஑
ଷ
ୱ୧୬మ ஑
Zad. 3. Wiedząc, że sin·cos = , wykaż, że
Zad. 4. Wykaż, że
ୱ୧୬య ஑ାଷୡ୭ୱయ ஑
ୱ୧୬஑
=
= 3.
ଵଵ
, jeśli jest kątem ostrym, a tg = 2.
ଵ଴
Zad. 5. Dany jest trójkąt prostokątny o kątach i β. Uzasadnij równość
tg · (
ୱ୧୬ஒ
ୱ୧୬஑
+ tgβ) = 2.