etn - cwiczenia nr 2

Ćwiczenia nr 2: Obiekty proste odnawialne z zerowym czasem odnowy 1
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
Elementy teorii niezawodności
Ćwiczenia nr 2: Obiekty proste odnawialne z
zerowym czasem odnowy
Jedynymi
istotnymi
zdarzeniami
w
eksploatacji obiektu prostego odnawialnego
z zerowa odnową są chwile uszkodzeń, które
przy zerowej odnowie, są jednocześnie
chwilami odnów.
Przyjmujemy rozkład czasu T do uszkodzenia: wykładniczy z parametrem [1/h].
Strumienie odnów
Proste
Wszystkie zmienne losowe , , … mają identyczne
rozkłady określone:
• dystrybuantą ,
• gęstością ,
• transformatą Laplace’a ,
• wartością oczekiwaną ,
• odchyleniem standardowym .
Ogólne
Wszystkie zmienne losowe oprócz mają identyczne
rozkłady jak w strumieniu prostym, ma inny rozkład
określony:
• dystrybuantą ,
• gęstością ,
• transformatą Laplace’a ,
• wartością oczekiwaną ,
• odchyleniem standardowym .
Miary niezawodnościowe
1. Czas do r-tej odnowy
- zmienna losowa dla której:
Dystrybuanta:
Gęstość :
Dla strumienia prostego
! "
! "
Transformata Laplace’a funkcji $%:
&
∞
' &()( *(
∞
Dla strumienia ogólnego
! "
! "
Dla + , ∞ zmienna losowa dąŜy do rozkładu normalnego -!. · 0, 1 · √."
Michał Kapałka
[email protected]
Ćwiczenia nr 2: Obiekty proste odnawialne z zerowym czasem odnowy 2
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
•
•
Zadanie 1: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe 7-me uszkodzenie wystąpi po chwili +
34 5 + 1 7 84 + 1 ; 4
9
84
:
<
9 ;9
Zadanie 2: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe do chwili +
będzie co najmniej 5 napraw
3= > +
8= +
1 ; =
8= 9 :
<
9 ;9
2. Proces stochastyczny ? - liczba odnowień do chwili t
3-+ > . 3 @ + 1 7 8 +
3-+ > . 3 @ +
3-+ . 8 + 7 8A +
Dla + , ∞ proces -+ dąŜy do
•
3-+ @ . 3A > + 8A +
3-+ . 3-+ @ . 3-+ > . 1
+ !1 · √+"
-B ,
C
0
0
Zadanie 3: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe do chwili + będzie dokładnie 8 uszkodzeń
3-+ 8 8E + 7 8F + 1 ; E 1 ; F
9
9
8E
< ; 8F
<
:
:
9 ;9
9 ;9
3. Funkcja odnowy H - oczekiwana liczba odnowień do chwili t
H I?
Równanie odnowy:
H H · Dla strumienia prostego
1 K 9
J 9 9 1 7 K 9
4. Gęstość odnowy L
Dla strumienia prostego
K 9
J 9 1 7 K 9
Dla strumienia ogólnego
1 K 9
J 9 9 1 7 K 9
M+ NJ+
N+
Dla strumienia ogólnego
K 9
J 9 1 7 K 9
Michał Kapałka
[email protected]
Ćwiczenia nr 2: Obiekty proste odnawialne z zerowym czasem odnowy 3
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
•
Zadanie 4: Wyznaczyć oczekiwaną liczbę napraw do chwili +O
,
PQ
λ
λ
1 f ( s)
1 λ+s
1 λ+s
1 λ+s
1
=
=
=
= 2
*
+
s
−
+
s
−
λ
λ
λ
λ
λ
s 1 − f (s) s 1 −
s
s
s
λ+s
λ+s
λ+s
H (t 4 ) = ?, H * ( s ) =
MoŜna pokazać, Ŝe jeśli J 9 λ
*
to korzystając z formuły na transformatę Laplace’a L (t n e −at ) =
mamy: J+O ;+O ,bo n=1 i a=0
•
n!
(s + a )n+1
Zadanie 5: Wyznaczyć oczekiwaną liczbę uszkodzeń w przedziale czasu += , +R J+R 7 J+= ;+R 7 ;+=
5. Miary graniczne dla , ∞
J+ 1
+
; NYZ N[ż]^M +: J+ W,X +
0
0
lim
`abcH d 7 He ,X
Tw. Blackwella
•
d
Zadanie 6: Wyznaczyć oczekiwaną graniczną liczbę uszkodzeń w przedziale +4 , +E lim (H (t8 ) − H (t7 ) ) =
t 7 →∞
t8 − t 7
= λ (t8 − t7 )
1
λ
Wynik, jak poprzednio, ale tylko dla rozkładu wykładniczego (ahistorycznego)
•
Zadanie 7: Wyznaczyć oczekiwaną graniczną liczbę napraw do chwili +F
lim H (t ) =
t →∞
t
Θ
J+F ;+F
•
Zadanie 8: Wyznaczyć rozkład granicznej liczby uszkodzeń w chwili +f
t
σ t
, σ '=
, pamiętamy, Ŝe dla rozkładu wykładniczego σ=1/λ
3
Θ
2
Θ


 t σ t10  = N λt , λt
zatem N(t10) dąŜy do rozkładu N  10 ,
10
10
3 
Θ

2
Θ 

N (t ) → N ( m, σ ' ), gdzie m =
t→∞
(
•
)
Zadanie 9: Wyznaczyć graniczne prawdopodobieństwo tego, Ŝe do chwili + będzie co najmniej 50
uszkodzeń
P ( S50 < t11 ) = K 50 (t11 ) ≅ Fnormalny (t11 )
(
)
 50 50 

λ , λ 


=f ghi -!50 · 0, 1 · √50" , N (m, σ ) = N 50Θ, σ 50 = N 
W,X
•
Zadanie 10: Wyznaczyć graniczne prawdopodobieństwo tego, Ŝe do chwili +
będzie mniej niŜ 100 napraw
P ( S100 ≥ t12 ) = 1 − K100 (t12 ) ≅ 1 − Fnormalny (t12 )
(
)
ff ghi -!100 · 0, 1 · √100" N (m, σ ) = N 100Θ, σ 100 = N 
W,X
 100 10 
, 
 λ λ
Michał Kapałka
[email protected]
Ćwiczenia nr 2: Obiekty proste odnawialne z zerowym czasem odnowy 4
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
6. Prawdopodobieństwo l, dbraku uszkodzenia w przedziale , d
l, d 7 d 'c 7 d 7 (eL(*(
m
Tw. Smitha
X
`ab ' no 7 pL(*( ' &q*q
,X
m
Prawdopodobieństwo graniczne braku uszkodzenia w przedziale +, + r
X
3r `ab3+, + r ' c1 7 s]e *t
,X
d
•
Zadanie 11: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe w przedziale (t13,t14) nie będzie uszkodzeń
t13
P(t13 , t14 ) = 1 − F (t14 ) + ∫ [1 − F (t14 − τ )]h(τ )dτ
0
h(t) wyznaczamy z formuły h* ( s ) =
t13
[
f * (s)
λ
= , zatem h(t)=λ, więc
*
1 − f ( s) s
]
[ ]
P(t14 , t13 ) = e −λt14 + ∫ e −λ (t14 −τ ) λdτ = e −λt14 + λe −λt14 e λτ )
t13
0
= e −λ (t14 −t13 )
0
•
Zadanie 12: Wyznaczyć graniczne prawdopodobieństwo tego, Ŝe w przedziale czasu (t15,t16) nie będzie
uszkodzeń
ze wzoru
X
ld ' c1 7 s+e *
d
mamy P (t16 − t15 ) =
1
θ
∞
∫e
− λt
dt = e − λ (t16 −t15 )
t16 − t15
7. Pozostały czas zdatności u , jeśli od ostatniej odnowy minął czas t
3vW @ r 3+, + r
u l, d 7 d 'c 7 d 7 (eL(*(
m
Dla duŜych t:
X
u ' c1 7 s]e *t
d
X
wv ' 3rNr f
0 1
2 20
Michał Kapałka
[email protected]