Skumulowana funkcja ryzyka uszkodzeń

Funkcje charakteryzujące proces
eksploatacji
Dr inż. Robert Jakubowski
Niezawodność
Niezawodność R prawdopodobieństwo, że w przedziale
czasu od 0 do t cechy funkcjonalne statku
powietrznego U będą się mieścić w zbiorze
dopuszczalnych wartości W
R ( t ) = P U (τ ) = {W } , 0 ≤ τ ≤ t 
Niezawodność jest to prawdopodobieństwo zdarzenia,
że zmienna T będzie nie mniejsza do pewnego
ustalonego czasu t.
R ( t ) = P (T ≥ t )
Zawodność
Zawodność jest prawdopodobieństwem
wystąpienia uszkodzenia w przedziale czasu t,
czyli jest to prawdopodobieństwo wystąpienia
zdarzenia przeciwnego do niezawodności tj.
Q ( t ) = P (T < t )
Stąd:
R (t ) + Q (t ) = 1
Przykład
Eksploatowane jest 10 samolotów. W okresie
pierwszego roku eksploatacji żaden z samolotów nie
uległ uszkodzeniu. W okresie drugiego roku 2
samoloty uległy uszkodzeniu. W kolejnych latach ilość
uszkodzeń przedstawiono w tab.:
Lata
Liczba uszkodzeń
3
3
4
5
5
5
6
5
7
8
8
10
Określić prawdopodobieństwo
zawodności i niezawodności
samolotów w poszczególnych latach
eksploatacj
Gęstość prawdopodobieństwa
uszkodzeń f(t)
f (t ) = lim −
∆t → 0
gdy
∆t → 0
R ( t + ∆t ) − R ( t )
∆t
f (t ) = −
= lim
Q ( t + ∆t ) − Q ( t )
∆t → 0
dR ( t )
dt
=
∆t
dQ ( t )
dt
Oszacować gęstość prawdopodobieństwa
uszkodzeń samolotów w poszczególnych latach
eksploatacji
f (t ) = −
R ( t2 ) − R ( t1 )
t2 − t1
Intensywność uszkodzeń, funkcja
ryzyka
dR ( t )
−
1 dR ( t )
1 dQ ( t )
1 dQ ( t )
dt
=−
=
=
λ (t ) =
R(t )
R ( t ) dt
1 − Q ( t ) dt
R ( t ) dt
Oszacować intensywność uszkodzeń (funkcję ryzyka
uszkodzeń) samolotów w poszczególnych latach
eksploatacji
dR ( t )
−
1 R ( t2 ) − R ( t1 )
dt
≈−
λ (t ) =
R(t )
R ( t1 )
t2 − t1
Skumulowana funkcja ryzyka uszkodzeń
Λ(t)
t
Λ ( t ) = ∫ λ (t )dt
0
Oszacować skumulowaną funkcję ryzyka uszkodzeń
samolotów w poszczególnych latach eksploatacji
t
Λ ( t ) = ∫ λ (t )dt ≈ Λ ( t1 ) + ( λ (t2 ) − λ (t1 ) ) ⋅ ( t2 − t1 )
0
Oczekiwany średni czas pracy do
wystąpienia uszkodzenia
∞
to = ∫ R (t )dt
0
Można to oszacować analizując skumulowaną
funkcję ryzyka wystąpienia uszkodzenia.
Szacowany czas średni do wystąpienia
uszkodzenia ocenia się poprzez ocenę czasu w
którym Λ osiągnie wartość 1.
tsr = T (Λ ( t ) = 1)
Przykład wyznaczania parametrów
eksploatacyjnych dla wybranych
modeli rozkładu intensywności
uszkodzeń (rozwiązania szczególne)
Intensywność uszkodzeń ma stałą
wartość
λ (t ) = const
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa uszkodzeń:
 T

f (t ) = λ ( t ) exp  − ∫ λ ( t ) dt  = λ ⋅ e − λ *T
 0

Funkcja niezawodności:
 T

R(t ) = exp  − ∫ λ ( t ) dt  = e − λ *T
 0

Skumulowana funkcja ryzyka:
T
Λ (t ) = ∫ λ ( t ) dt = λ ⋅ T
0
Oczekiwany średni czas pracy do wystąpienia uszkodzenia:
∞
∞
0
0
to = ∫ R(t )dt = ∫ e
−λt
dt =
1
λ
Przykład obliczeń dla stałej intensywności
rozkładu uszkodzeń np. λ=4%
λ (t ) = 0, 04
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa uszkodzeń:
 T

f (t ) = λ ( t ) exp  − ∫ λ ( t ) dt  = 0, 04 ⋅ e −0,04*T
 0

Skumulowana funkcja ryzyka:
Funkcja niezawodności:
 T

R(t ) = exp  − ∫ λ ( t ) dt  = e −0,04*T
 0

Ilość
miesięcy
Gęstość prawdopodobieństwa
uszkodzeń
T
Λ (t ) = ∫ λ ( t ) dt = 0, 04 ⋅ T
0
Niezawodność
Skumulowana
funkcja ryzyka
1
0,0384
0,961
0,04
10
0,0268
0,67
0,4
48
0,0059
0,15
1,92
Średni czas zdatnej pracy
∞
∞
0
0
tsr = ∫ tf ( t ) dt = ∫ R ( t ) dt
∞
tsr = ∫ e
0
−0,04 t
−1 −0,04⋅∞
1 −0,04⋅0
dt =
e
+
e
= 25
0, 04
0, 04
Skumulowana funkcja ryzyka:
Λ (t = 25) = 0, 04 ⋅ 25 = 1
R(t = 25) = e −0,04*T = 0,3679
Przyczyny wykorzystania modelu
• Prezentowany model dobrze opisuje normalny
okres pracy obiektu nieodnawialnego, gdzie
uszkodzenia są wynikiem oddziaływań głownie z
przyczyn bodźców zewnętrznych, powtarzających
się przypadkowo, ale ze stałą częstotliwością.
• Istnieje poważna grupa obiektów, których czas
zdatności ma rozkład wykładniczy, lub nieistotnie
różniący się od wykładniczego
• Pozwala o wiele łatwiej rozwiązywać zadania, a
niżeli w przypadku innych rozkładów, gdzie
nierzadko nie można znaleźć rozwiązania
Wykres parametrów eksploatacyjnych
dla stałej intensywności uszkodzeń
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa
uszkodzeń ma rozkład normalny (Gaussa)
f (t ) =
1
e
σ 2π
−
( t −T0 )2
2σ 2
T0 – wartość średnia (oczekiwana)
pojawienia się niesprawności
σ – odchylenie standardowe
Niesprawności pojawiają się w czasie To
± 3σ. W zakresie poza przedziałem To ±
3σ prawdopodobieństwo wystąpienia
uszkodzenia jest znikome (Q(To3σ)=0,0014
Funkcja intensywności uszkodzeń
monotonicznie rośnie praktycznie od 0 w
punkcie To-3σ i zbliża się asymptotycznie
do funkcji y
1
y (t ) =
σ
2
( t − T0 )
Praktyczne rozwiązywanie zagadnień
niezawodnościowych dla funkcji gęstości
uszkodzeń w postaci rozkładu normalnego
U (t ) =
Wprowadza się zmienną U:
T
Zawodność :
Q(t ) = ∫ f (U ) dU
( t − T0 )
σ
0
Gdzie :
f (U ) =
1
2π
e
U2
−
2
f (t ) =
Praktycznie do obliczeń wykorzystuje się dane w TAB T2 str. 542:
f (U )
σ
Wyznaczyć dla stałego rozkładu
gęstości uszkodzeń podstawowe
charakterystyki niezawodnościowe
• Dokonać porównania wyników R, Q, f(t), Λ(t) i
λ(t) dla λ=4%, λ=8% i λ=20% (porównanie na
wykresie)
• Określić oczekiwane czasy pracy urządzenia