Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną
zadania z odpowiedziami
Maciej Burnecki
Spis treści
0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
1 Geometria analityczna w R2
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
2 Liczby zespolone
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
4
3 Wielomiany i funkcje wymierne
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
6
4 Macierze i wyznaczniki
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
7
5 Układy równań liniowych
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
9
6 Geometria analityczna w R3 i Rn
9
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
7 Przestrzenie i przekształcenia liniowe
11
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
8 Powtórzenie
13
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1
Warto także korzystać ze zbioru zadań, ułożonego przez pp. dra M. Gewerta i doc. Z. Skoczylasa.
Na stronach Instytutu Matematyki i Informatyki http://im.pwr.edu.pl/OnLineTools.php znajdują się wskazówki do korzystania z pożytecznych narzędzi do obliczeń matematycznych, aby np.
weryfikować wyniki.
0
Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna
Zadania
1. Uprościć wyrażenie
a−b
(a)
a2 −2ab+b2
(b)
b−a
a2 −b2
(c)
a4 +a3 b+a2 b2
a3 −b3
b
a
a
b
−1 ,
+1 ,
b2
a2
−1 .
2. W rozwinięciu dwumianowym wyrażenia f (x) wyznaczyć współczynnik przy xm , jeśli
(a) f (x) = x5 +
(b) f (x) = x4 −
√1
x
1
x2
10
9
, m = 39,
, m = 24.
3. Zapisać w prostszej postaci liczbę
(a)
(b)
n P
n k
3 ,
k=0
n P
k=0
k
n
k
(−2)k .
4. Za pomocą indukcji matematycznej udowodnić, że dla wszystkich liczb naturalnych dodatnich n ∈ N+ :
(a) 12 + 22 + 32 + . . . + n2 = n(n+1)(2n+1)
,
6
(b) 4n−1 ­ n2 ,
(c) liczba 7n − 4n jest podzielna przez 3.
Odpowiedzi, wskazówki
1. (a) 1b ,
(b) − a1 ,
(c) −a − b.
2. (a) a2 =
(b) a2 =
10
2
9
2
= 45,
= 36.
3. (a) 4n ,
(b) (−1)n .
4. Najpierw należy przez podstawienie sprawdzić, że teza zachodzi dla n = 1. Prawdziwe zatem jest twierdzenie T1 . Następnie z prawdziwości twierdzeń T1 , T2 , . . . , Tn (może
wystarczyć użycie tylko Tn ) należy wywnioskować prawdziwość twierdzenia Tn+1 , gdzie
n ∈ N+ .
2
Geometria analityczna w R2
1
Zadania
1. Wyznaczyć w mierze łukowej kąt pomiędzy wektorami u, v, jeśli
√ √ (a) u = 1, 3 , v = −1, 3 ,
√
√ (b) u = − 3, 1 , v = −1, 3 ,
√ √ √ (c) u =
2, 2 , v = −1, − 3 ,
√
√
√ (d) u = − 2, − 2 , v =
3, −1 .
Wskazówka: dla dwóch ostatnich przykładów wyniki można otrzymać jako sumy lub różnice odpowiednich kątów.
√
2. √
Wyznaczyć kąt√przy wierzchołku C w trójkącie o wierzchołkach A = (1, 1), B = ( 3, 2 +
3), C = (1 + 3, 2).
3. Obliczyć długość wysokości opuszczonej z wierzchołka B w trójkącie o wierzchołkach A =
(3, 5), B = (0, 6) oraz C = (2, 2).
4. Wyznaczyć punkt
oraz kąt, pod
( jakim przecinają się proste, określone przez
( przecięcia
√
√
x = s,
x = 2 3 − 3 t,
√
oraz
gdzie t, s ∈ R.
układy równań
y = −5 + t
y = −1 − 3 s,
5. Wyznaczyć równanie okręgu przechodzącego przez punkty (4, 6), (5, 5) i (−2, −2).
6. Nazwać i opisać równaniem zbiór tych punktów z płaszczyzny, których odległość od punktu
A = (1, 2) jest dwa razy większa od odległości od punktu B = (4, 5).
7. Wyznaczyć równanie takiego okręgu o środku w punkcie S, którego jedną ze stycznych
jest prosta przechodząca przez punkty A, B, jeśli
(a) S = (1, −3), A = (−1, 2), B = (2, 4),
(b) S = (−2, −1), A = (1, 2), B = (4, 1).
8. Napisać równania
tych stycznych do okręgu o równaniu x2 +2x+y 2 −3 = 0, które przecinają
√
się z prostą 3 x − y + 1 = 0 pod kątem π3 .
Odpowiedzi, wskazówki
1. (a)
(b)
(c)
(d)
2.
3.
π
,
3
π
,
6
5
π,
12
7
π.
12
π
.
2
√
10.
4. Proste przecinają się pod kątem
π
6
√
w punkcie ( 3, −4).
5. (x − 1)2 + (y − 2)2 = 25.
6. okrąg (zwany okręgiem Apoloniusza), o równaniu (x − 4)2 + (y − 5)2 = 2.
3
7. (a) (x − 1)2 + (y + 3)2 =
192
,
13
122
.
10
(b) (x + 2)2 + (y + 1)2 =
√
√
√
√
√
√
8. y = −2, y = 2, y = − 3 x + 3 + 14, y = − 3 x + 3 − 14.
2
Liczby zespolone
Zadania
1. Zapisać w postaci algebraicznej liczbę zespoloną
(a) z =
(b) z =
1+i
,
2−i
2+3i
.
4+5i
2. Opisać oraz zaznaczyć na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Re(−2iz + 4) ­ 0,
Im(z − i) = Im((2 − i)z + i),
Re (z 2 ) = [Im(iz)]2 − 4,
|iz + 2| = |iz − 2i|,
| − 2z| = |4z − 4|.
3. Zapisać w postaci algebraicznej liczbę zespoloną
√
(1 + 3i)20
,
(a) z =
(1 − i)40
(1 + i)40
(b) z = √
,
( 3 − i)20
√
( 3 − i)24
√
(c) z =
.
(1 − 3i)14 (1 − i)20
4. Opisać oraz zaznaczyć na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek
(a) 0 ¬ arg(1 + iz) ¬ π/2,
(b) Im (z 4 ) < 0.
5. Zapisać w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z liczby
z = −2 + 2i.
6. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równanie z 4 = (−1 + 2z)4 .
7. Wyznaczyć pole figury F = {z ∈ C : Im (z 3 ) ­ 0 ∧ −1 ¬ Im(z) < 0}.
Odpowiedzi, wskazówki
1. (a) z =
(b) z =
2. (a)
(b)
(c)
(d)
1
+ 35 i,
5
23
2
+ 41
i.
41
półpłaszczyzna y ­ −2,
prosta y = 13 x − 32 ,
proste y = 2, y = −2,
prosta y = x,
4
(e) okrąg o środku w punkcie
3. (a) − 21 +
(b) − 21 −
(c)
1
2
−
4
,0
3
i promieniu 23 .
√
3
i,
2
√
3
i,
2
√
3
i.
2
4. (a) Zbiór A składa się z liczb zespolonych z, określonych przez warunki Re(z) ­ 0 ∧
Im(z) ¬ 1∧z 6= i (przesunięta o wektor (0, 1) czwarta ćwiartka układu współrzędnych,
z brzegiem i bez punktu (0, 1)),
(b) arg(z) ∈ π4 , π2 ∪ 3π
, π ∪ 5π
, 3π
, 2π , co na płaszczyźnie przedstawia sumę
∪ 7π
4
4
2
4
wnętrz czterech kątów.
√
√ !
√
√ !
3
1
3
1
3
1
3
1
+ − +
i, w2 = − +
+ − −
i.
5. w0 = 1 + i, w1 = − −
2
2
2
2
2
2
2
2
n
o
6. z ∈ 1, 52 − 15 i, 13 , 25 + 15 i .
√
7.
3
3
.
3
Wielomiany i funkcje wymierne
Zadania
1. Wyznaczyć iloraz i resztę z dzielenia wielomianu P (x) przez Q(x), jeśli
(a) P (x) = x5 − x4 + 3x3 + x + 7, Q(x) = x3 + x + 1,
(b) P (x) = x4 + 2x3 + x2 + x + 1, Q(x) = x2 + x + 3.
2. Rozłożyć na nierozkładalne czynniki rzeczywiste wielomian W (x) = x4 + x3 − 3x2 − 4x − 4.
3. Nie wykonując dzielenia, wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu W (x) = x4 +x3 +x2 +x+1
przez x2 − 1.
4. Rozłożyć na czynniki liniowe wielomian zespolony W (z) = z 3 − 2z 2 + 4z − 8.
5. Rozłożyć na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną właściwą
x2 + 3
,
x3 + 2x2 + 5x + 4
x2
(b) f (x) = 3
,
x + 3x2 + 4x + 4
2x3 + 4x2 + 5x + 5
(c) f (x) = 4
.
x + 3x3 + 3x2 + 3x + 2
(a) f (x) =
6. Rozłożyć na sumę wielomianu i rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną
x4 − 5x3 + 5x2 − 19x − 1
f (x) =
.
x3 − 5x2 + 4x − 20
5
Odpowiedzi, wskazówki
1. (a) I(x) = x2 − x + 2, R(x) = 5,
(b) I(x) = x2 + x − 3, R(x) = x + 10.
2. W (x) = (x + 2)(x − 2) (x2 + x + 1) .
3. R(x) = 2x + 3.
4. W (z) = (z − 2)(z + 2i)(z − 2i).
−1
1
+ x+1
,
x2 +x+4
1
−1
+ x+2
,
x2 +x+2
1
1
+ x+2
+ x21+1 .
x+1
5. (a) f (x) =
(b) f (x) =
(c) f (x) =
1
x−5
6. f (x) = x +
4
+
1
.
x2 +4
Macierze i wyznaczniki
Zadania
1. Wyznaczyć macierz A wymiaru 3 × 3, której wyrazy określone są za pomocą wzoru
aij = i − 2j.
2. Podać przykład dwóch macierzy wymiaru 2 × 2 dowodzący, że mnożenie macierzy nie jest
przemienne.

 



0 0 1
1 1
1 2

 



T
3. Rozwiązać równanie macierzowe  1 0 0  ·  0 1  + 2 · A =  3 3  .
0 1 0
1 0
2 −1

a h

4. Wyznaczyć iloczyn A = x y 1 ·  h b
g f
w notacji macierzowej zapisać równanie okręgu
okrąg na płaszczyżnie.
 

x
g


f 
·
  y  , a następnie z jego pomocą,
1
c
2
2
x + y + 4x + 6y − 12 = 0. Zaznaczyć ten
5. Rozłożyć na iloczyn cykli rozłącznych, a następnie transpozycji permutację
!
(a) σ =
1 2 3 4 5 6
2 4 6 1 5 3
(b) σ =
1 2 3 4 5 6 7
7 5 4 1 2 6 3
,
!
.
Określić parzystość i znak permutacji σ. W rozkładach stosować zapis cykliczny.
6. Za pomocą permutacyjnej definicji wyznacznika wyprowadzić wzory na wyznaczniki macierzy stopnia 2 i 3 (wzór Sarrusa).
7. Dwoma sposobami, za pomocą rozwinięcia Laplace’a oraz przez sprowadzenie do wyznacznika macierzy trójkątnej, a dodatkowo w podpunkcie (a) ze wzoru, w podpunkcie (b) ze
wzoru Sarrusa, obliczyć wyznacznik
(a)
1 2 ,
3 5 6
(b)
(c)
1 1 1 1 2 2 ,
1 2 4 1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
.
8. Dla jakich wartości parametru a ∈ R macierz
a a
2 a
(a) A =
!
,


a 1 1


(b) A =  1 1 a  ,
1 a 1



(c) B = 

a
1
1
1
1
a
1
1
1
1
1
a

1
1
a
1




jest nieosobliwa?
9. Dwoma sposobami, za pomocą dopełnień algebraicznych oraz przez przekształcanie razem
z macierzą jednostkową, wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy
1 1
−1 4
(a) A =
!
,


1
1 −1


(b) B =  1 −1 1  ,
−1 1
1


1 1 1

(c) C =  1 2 1 
.
1 1 2
Odpowiedzi, wskazówki


−1 −3 −5

1. A =  0 −2 −4 
.
1 −1 −3
1 1
0 1
2. np.
!
·
0 1 1
1 1 −1
3. A =
1 1
0 0
!
=
1 1
0 0
!
6=
1 2
0 0
!
=
1 1
0 0
!
·
1 1
0 1
!
.
!
.

 

1 0 2
x

 
2
2
4. A = ax + 2hxy + by + 2gx + 2f y + c , x y 1 ·  0 1 3  ·  y 
= 0 ;
2 3 −12
1
równanie przedstawia okrąg o środku w punkcie (−2, −3) i promieniu 5.
5. (a) Przykładowy zapis: σ = (1 2 4) (3 6) = (1 4) (1 2) (3 6), permutacja nieparzysta,
znak sgn(σ) = −1,
7
(b) przykładowy zapis: σ = (1 7 3 4) (2 5) = (1 4) (1 3) (1 7) (2 5), permutacja parzysta,
znak sgn(σ) = 1.
6. Dla n = 2 są dwie permutacje, zatem dwa składniki w sumie. Permutacji zbioru trzyelementowego jest 6.
7. (a) −1,
(b) 2,
(c) 1.
8. (a) a ∈ R \ {0, 2},
(b) a ∈ R \ {−2, 1},
(c) a ∈ R \ {−3, 1}.
9. (a) A−1 =

(b) B −1 = 

4
5
1
5
1
2
1
2
− 51
1
5
1
2
0
!
,
0

1
2
1
2

,
0 12

3 −1 −1

0 
=  −1 1
.
−1 0
1

(c) C −1
5
Układy równań liniowych
Zadania
1. Trzema sposobam, metodą eliminacji Gaussa, za pomocą wzorów Cramera oraz metodą
macierzy odwrotnej rozwiązać układ równań
(
x + y = 3
x − 3y = −8,



x + y
x − y
x + y
x
+
x
+
x
−
−x +
(a)
(b)
(c)











+ z = 0
+ z = 0
− z = 2,
y + z − t
y − z + t
y + z + t
y + z + t
=
=
=
=
4
−4
2
−2.
2. Rozwiązać układ równań



−x
(a)  x
 x


 x
(b)  2x
 3x
−
−
−
+
+
+
y
y
y
y
y
2y
+
−
−
+
+
+
z + t = 4
z + t = 0
z − t = −8.
z = 1
2z = 1
3z = 3.



x + y + az = 1
3. Dla jakich wartości parametru a ∈ R układ równań x + ay + z = a

 ax + y
+ z = −a − 1
ma nieskończenie wiele rozwiązań?
8



−1 dla x ∈ (−∞, 0)
dla x = 0
4. Niech sgn(a) =  0
 1
dla x ∈ (0, ∞)

x



 x
tości a, dla których układ równań

2x



oznacza znak liczby a ∈ R. Wyznaczyć te war+ 2y + z = 2
+ y + 2z = sgn(a) − 1
+ y + z = 2
2y + 2z = 0
nie ma rozwiązań.
Odpowiedzi, wskazówki
1. (a) x = 1, y = 2,
(b) x = 1, y = 0, z = −1,
(c) x = 1, y = −1, z = 2, t = −2.
2. (a) y = 4, t = 2, z = x + 2, z – dowolne,
(b) układ sprzeczny (brak rozwiązań).
3. a = −2.
4. a ∈ (−∞, 0].
6
Geometria analityczna w R3 i Rn
Zadania
1. Dla jakich wartości parametru a ∈ R równoległościan o trzech kolejnych wierzchołkach
podstawy A = (−5, 2, 1), B = (2, 1, 2), C = (3, a2 , 3) i wierzchołku E = (−a − 5, 4, −18)
nad A, jest prostopadłościanem?
2. Dla jakich wartości parametru a ∈ R kąt pomiędzy wektorami u = (a, −16, 4) oraz
v = (2a, 1, −4) jest prosty?
3. Za pomoca iloczynu wektorowego wyznczyć te wartości parametru a ∈ R, dla których
wektory u = (1, a2 , 1), v = (3, 12, 3) są równoległe.
4. Podać przykład równania ogólnego płaszczyzny
(a) przechodzącej przez punkty A = (−1, 1, 1), B = (0, 1, 2), C = (3, 0, 5),


 x=1+t+s
(b) o równaniu parametrycznym y = 2 + t − s gdzie t, s ∈ R.

 z = 1 + t + s,
5. Podać przykład równania parametrycznego płaszczyzny o równaniu ogólnym
x + y + 2z + 1 = 0.
6. (
Podać przykład równania parametrycznego prostej o równaniu krawędziowym
x+y+z−1=0
x + 2y + 3z − 2 = 0.
7. 
Podać przykład równania krawędziowego prostej o równaniu parametrycznym

 x=1+t
y = 2 − t gdzie t ∈ R.

 z = 4 + t,
9
8. 
Podać przykład
 równania parametrycznego prostej prostopadłej do prostych o równaniach


x
=
t

 x = −s
y=1
y = 2 + s gdzie t, s ∈ R. w punkcie ich przecięcia.

 z = 1 + t, 
 z = 1 − s,
9. Wyznaczyć kąt pomiędzy płaszczyznami π1 , π2 , jeśli π1 jest określona równaniem parame
 x=1+t+s
gdzie t, s ∈ R, a π2 równaniem ogólnym y − z − 1 = 0.
trycznym  y = t − s
 z = t + s,
(
10. Wyznaczyć kąt pomiędzy prostą l :
x+y+z+2=0
i płaszczyzną π : x + y + 5 = 0.
x−y+z+3=0
11. Wyznaczyć pole
(a) równoległoboku o kolejnych wierzchołkach A = (2, 2, 4), B = (0, −2, −2), C = (2, 1, 2),
(b) równoległoboku o środku w punkcie O = (2, 1, 2) i końcach jednego z boków A =
(2, 2, 4), B = (0, −2, −2),
(c) trójkąta o wierzchołkach A = (−2, −2, −4), B = (0, 2, 2), C = (−2, −1, −2).
12. Wyznaczyć objętość
(a) czworościanu o wierzchołkach A = (1, 1, 1), B = (2, 2, 2), C = (1, −2, −2) i D =
(−1, 1, −1),
(b) równoległościanu rozpietego na wektorach u = (1, 1, 1), v = (1, 1, 2) oraz w = (−1, −1, 3)×
(1, 2, 3).
13. Wyznaczyć odległość pomiędzy punktami P, Q ∈ Rn , jeśli
(a) n = 4, P = (1, 2, 3, −2), Q = (2, 1, 4, −3),
(b) n = 8, P = (5, 3, −2, 7, 9, 11, 1, 2), Q = (3, 4, −3, 5, 9, 9, 2, 1).
14. Wyznaczyć kosinus kąta pomiędzy wektorami u, v ∈ Rn , jeśli
(a) n = 5, u = (1, 0, −2, 2, 0), v = (−1, 1, 1, 1, 0),
(b) n = 7, u = (1, −2, 0, 3,√
1, 0, −1),
√
v = 2 · (1, 1, −1, 1, 1, 2 3, −5) − (−1, 1, 0, 0, 0, 3 3, −10).
Odpowiedzi, wskazówki
1. a = −3.
2. a = 4 lub a = −4.
3. a = 2 lub a = −2.
4. (a) x − z + 2 = 0,
(b) x − z = 0.



x = −1 + t + 2s
y = −t
5.

 z = −s.



x=1+t
6.  y = −1 − 2t
 z = 1 + t.
10
(
7.
8.
x+y−4=0
y + z − 6 = 0.



x=1+t
y=1

 z = 2 − t.
9.
π
.
3
10.
π
.
6
11. (a)
(b)
(c)
√
2 6,
√
4 5,
√
6.
12. (a) 1,
(b) 15.
13. (a) 2,
(b) 4.
14. (a) − 61 ,
(b)
7
9
.
20
Przestrzenie i przekształcenia liniowe
Zadania
1. Zbadać liniową niezależność układu złożonego z wektorów
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(1, 2), (3, 4) ∈ R2 ,
(1, 2, 3), (3, 4, 5) ∈ R3 ,
(1, 2, 3), (3, 4, 5), (4, 6, 8) ∈ R3 ,
(1, 0, −2, 2, 0), (−1, 1, 1, 1, 0), (1, 2, 0, 5, 7) ∈ R5 ,
√
√
(1, −2, 0, 3, 1, 0,√−1), (3, 1, −2, 2, 2, 3, 0), (1, 1, −1, 1, 1, 2 3, −5),
(−1, 1, 0, 0, 0, 3 3, −10) ∈ R7 .
2. Zbadać, czy układy niezależne w poprzednim zadaniu tworzą bazy danej przestrzeni, a
jeśli nie, to uzupełnić do bazy.
3. Załóżmy, że przekształcenie liniowe f : Rn → Rm jest określone wzorem
(a) f (x, y, z, t) = (x − y, x + y + z + 2t),
(b) f (x, y, z) = (x − y, x + y + z, x + y, x − z),
gdzie x, y, z, t ∈ R.
Wyznaczyć n, m ∈ N+ , a następnie zapisać w standardowych bazach macierz Af przekształcenia f .
4. Wyznaczyć jądro, obraz i rząd przekształceń f z poprzedniego zadania.
5. Załóżmy, że macierz Af przekształcenia liniowego f : Rn → Rm ma postać
(a) Af =
5 −1 −1 0 0
8 −4
1 1 2
!
,
11



(b) Af = 

1 −1 0
1
3 2 

.
1
4 6 
1
5 7

Wyznaczyć n, m ∈ N+ , a następnie zapisać przekształcenie f za pomocą wzoru.
6. Wyznaczyć, o ile istnieją, macierze złożeń f ◦ g oraz f ◦ g w bazach standardowych,
jeżeli f : R3 → R5 oraz g : R4 → R3 są przekształceniami linowymi, danymi wzorami:
f (x, y, z) = (x, x + y, x + y + z, x + z, y + z), g(s, t, u, v) = (u + v, t + u + v, s + t + u + v).
7. Wyznaczyć wartości własne i odpowiadające im wektory własne przekształcenia liniowego
f : R2 → R2 , jeśli
(a) f (x, y) = (−y, 6x − 5y),
(b) f (x, y) = (−x + y, 2x).
Odpowiedzi, wskazówki
1. (a)
(b)
(c)
(d)
(e)
liniowo
liniowo
liniowo
liniowo
liniowo
niezależny,
niezależny,
zależny,
niezależny,
zależny.
2. Bazą jest tylko układ z pierwszego podpunktu.
1 −1 0 0
1
1 1 2
3. (a) n = 4, m = 2, Af =


(b) n = 3, m = 4, Af = 


1 −1
0
1
1
1
1
1
0
1
0 −1
!
,



.

4. (a) Ker(f ) = {(x, x, 2t − 2x, t) : x, t ∈ R} = {x(1, 1, −2, 0) + t(0, 0, 2, 1) : x, t ∈ R}
(jedna z możliwości zapisu), Im(f ) = R2 , Rz(f ) = 2,
(b) Ker(f ) = {(0, 0, 0)},
Im(f ) = {x(1, 1, 1, 1) + y(−1, 1, 1, 0) + z(0, 1, 0, −1) : x, y, z ∈ R}, Rz(f ) = 3.
5. (a) n = 5, m = 2, f (x, y, z, t, u) = (5x − y − z, 8x − 4y + z + t + u),
(b) n = 3, m = 4, f (x, y, z) = (x − y, x + 3y + 2z, x + 4y + 6z, x + 5y + 7z).
6. Złożenie g ◦ f nie istnieje.
Macierz złożenia f 
◦ g ma postać


1 0 0
0 0


 1 1 0 

0 0 1 1


 0 1




1 1 1 
Mf ◦g = Mf · Mg = 
· 0 1 1 1 = 1 2



 1 1
 1 0 1 
1 1 1 1
0 1 1
1 2
1
2
3
2
2
1
2
3
2
2




.


7. (a) Wartości własnej a1 = −2 odpowiadają wektory własne postaci v1 = α(1, 2), wartości
własnej a2 = −3 odpowiadają wektory własne postaci v2 = α(1, 3), gdzie α ∈ R \ {0},
(b) wartości własnej a1 = 1 odpowiadają wektory własne postaci v1 = α(1, 2), wartości
własnej a2 = −2 odpowiadają wektory własne postaci v2 = α(1, −1) dla α ∈ R \ {0}.
12
8
Powtórzenie
Zadania
1. Obliczyć długość wysokości opuszczonej z wierzchołka A w trójkącie o wierzchołkach A =
(−1, 5), B = (2, 4) oraz C = (1, 1).
2. Wyznaczyć w mierze łukowej
wierzchołku
C w trójkącie o wierzchołkach A =
kąt
√ przy √
(2, 1), B = (3, 2) oraz C = 2 − 3, 1 + 3 .
3. Wyznaczyć punkt przecięcia oraz kąt, pod
na płaszczyźnie,
( się proste
( jakim
√
√ przecinają
x = 3,
x = 3 t,
oraz
gdzie t, s ∈ R
określone równaniami parametrycznymi
y = −t
y = −1 + s,


1 2 1


4. Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy A =  1 3 1  .
1 2 2
5. Zbadać, dla jakich rzeczywistych parametrów a ∈R istniejemacierz odwrotna A−1 do
1 1 1


macierzy A, a następnie wyznaczyć A−1 , jeśli A =  1 2 1  .
1 1 a
6. 
Dla jakich wartości parametru a ∈ R układ równań

 2x + (1 + a)y + (1 + a)z = 1 + a
x + ay + z = a
ma nieskończenie wiele rozwiązań?

 ax + y + z = −a − 1
7. 
W zależności od rzeczywistego parametru a ∈ R, rozwiazać układ równań

 2x + 3y − z = 1
x − ay + 2z = 3

 2x − ay + 3z = 5.
8. 
Wyznaczyć równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym

 x=1+t+s
y = −t + s
gdzie t, s ∈ R.

 z = 1 − t + 2s,





x = −1 + t
 x=3−s
oraz  y = s
9. Wyznaczyć punkt przecięcia prostych  y = 1
 z = 5 − s,
 z =1+t
a następnie napisać równanie ogólne płaszczyzny zawierającej te proste.
10. Wyznaczyć
 odległość punktu P = (1, 2, 1) od płaszczyzny π, zadanej w postaci parame
 x=1+s+t
trycznej  y = 2 + s
 z = −1 + s − t.
11. Opisać oraz zaznaczyć na płaszczyżnie zbiór liczb zespolonych z spełniających warunek
π
(a) 0 ¬ arg(2 − iz) ¬ ,
2
4
(b) Im z > 0.
12. Zapisać w postaci algebraicznej liczbę zespoloną
√
(− 3 + i)12
(a) z =
,
(1 − i)24
13
√
(1 − i 3)700
(b) z =
.
(−1 + i)1400
√
13. Zapisać w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z liczby z = −2 2.
14. Rozłożyć na nierozkładalne czynniki rzeczywiste wielomian W (x) = x4 + 2x3 − x − 2.
15. Rozłożyć na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną
3x2 + 5x + 1
.
f (x) = 3
x + 3x2 + 3x + 2
16. Wyznaczyć jądro, obraz i rząd przekształcenia f : R4 → R2 , określonego wzorem f (x, y, z, t) =
(z − y, x + y + z + 2t), gdzie x, y, z, t ∈ R.
17. Wyznaczyć, o ile istnieją, macierze złożeń f ◦ g oraz g ◦ f w bazach standardowych,
jezeli f : R3 → R2 oraz g : R2 → R5 są przekształceniami linowymi, danymi wzorami:
f (x, y, z) = (x − 2y, x + y + 3z), g(u, v) = (u + v, v, u − 2v, 3u, u).
Odpowiedzi, wskazówki
√
1. 10.
π
2. .
6
√
2
3. P0 =
3, −1 , ϕ = π.
3

4. A−1

4 −2 −1

0 
=  −1 1
.
−1 0
1
5. Macierz odwrotna istnieje dla a ∈ R \ {1} i wtedy A−1 =
 2a−1
 a−1
 −1
−1
a−1
−1
−1 a−1
1
0 
.
1
0
a−1

6. a = −2.
7. Dla a ∈ R \ {1} układ ma dokładnie jedno
rozwiązanie x = 1, y = 0, z = 1, a dla a = 1


x
=
2 − z,

nieskończenie wiele rozwiązań postaci y = −1 + z,

 z ∈ R.
8. x + 3y − 2z + 1 = 0.
9. Punktem wspólnym prostych jest P = (2, 1, 4) (dla t = 3 i s = 1), a płaszczyzna ma
równanie −x + z − 2 = 0.
s
10. Równaniem ogólnym płaszczyzny jest −x + 2y − z − 4 = 0, a odległość d(P, π) =
2
.
3
11. (a) Jest to zbiór {z ∈ C : Rez ¬ 0 ∧ Imz ­ −2 ∧ z 6= −2i},
π
π 3π
5π
3π 7π
(b) arg(z) ∈ 0,
∪
∪ π,
∪
, co na płaszczyźnie jest sumą
,
,
4
2 4
4
4 4
wnętrz czterech kątów.
12. (a) z = 1,
√
1
3
(b) z = − +
i.
2
2
14
√
√
√
√
2
6 √
2
6
+i
, − 2,
−i
.
13.
2
2
2
2
14. W (x) = (x − 1)(x + 2)(x2 + x + 1).
15. f (x) =
x2
2x
1
+
.
+x+1 x+2
16. Ker(f ) = {(z, z, 2t − 2z, t) : z, t ∈ R} = {z(1, 1, −2, 0) + t(0, 0, 2, 1) : z, t ∈ R}
(jedna z możliwości zapisu), Im(f ) = R2 , Rz(f ) = 2.
17. Złożenie f ◦ g nie istnieje. Macierz złożenia g ◦ f 
ma postać



2 −1 3
1 1
 1
!
1
3 


 1 −2 
1 −2 0




·
=  −1 −4 −6  .
Mg◦f = Mg · Mf = 


 3 0 
1 1 3
 3 −6 0 
1 0
1 −2 0
15