Wykład 09

advertisement
Fizyka dla Informatyki
Stosowanej
Jacek Golak
Semestr zimowy 2016/2017
Wykład nr 9
Na poprzednim wykładzie zaczęliśmy zajmować się elektrostatyką. Do tej pory
mówiliśmy w zasadzie o ładunkach w próżni !
Najważniejsze elementy ostatniego wykładu to
• Własności ładunku elektrycznego
• Prawo Coulomba
• Zasada superpozycji
• Definicja natężenia pola elektrycznego
• Wzory na natężenie pola elektrycznego pochodzącego od układu ładunków
punktowych i ciągłych rozkładów ładunku
• Prawo Gaussa
Prawo Gaussa:
Strumień natężenia pola elektrycznego przez dowolną
powierzchnię zamkniętą, obejmujący dowolny rozkład ładunku
jest niezależny od kształtu tej powierzchni i zależy jedynie od
wielkości ładunku położonego wewnątrz powierzchni.
Uwaga:
Prawo Gaussa jest zawsze spełnione, ale nie zawsze użyteczne !
Aby z prawa Gaussa uzyskać informacje o wektorze natężenia pola
elektrycznego, rozkład ładunku musi być odpowiednio symetryczny.
Prawa Gaussa można wykorzystać do znalezienia natężenia pola
elektrycznego pochodzącego od:
• jednorodnie naładowanej powierzchniowo nieskończonej płaszczyzny,
• jednorodnie naładowanego objętościowo nieskończenie długiego walca
o promieniu R (na zewnątrz i wewnątrz walca),
• jednorodnie naładowanej powierzchniowo powierzchni bocznej
nieskończonego walca o promieniu R (na zewnątrz i wewnątrz
powierzchni walca),
• jednorodnie naładowanej liniowo nieskończenie długiej prostoliniowej
nici,
• jednorodnie naładowanej objętościowo kuli o promieniu R (na zewnątrz
i wewnątrz kuli),
• jednorodnie naładowanej powierzchniowo sfery o promieniu R (na
zewnątrz i wewnątrz sfery),
• ładunku punktowego (gdyby prawo Gaussa było znane przed prawem
Coulomba )
Prawa Gaussa nie można wykorzystać na przykład do policzenia
natężenia pola elektrycznego pochodzącego od jednorodnie
naładowanego sześcianu, bo
 nie istnieje powierzchnia Gaussa, na której
spełniony byłby warunek E  dS  const
?
Wracamy do jednorodnie naładowanej objętościowo kuli o promieniu R
i całkowitym ładunku Q.
(a) Natężenie pola elektrycznego na zewnątrz kuli. Otaczamy kulę z
ładunkiem fikcyjną sferą o promieniu r > R i środku w środku
naładowanej kuli.
Z symetrii wynika, że w każdym punkcie
sfery o promieniu r natężenie pola
elektrycznego ma tę samą wartość i
jest skierowane wzdłuż promienia.
z
Ponieważ cały ładunek jest objęty sferą
o promieniu r, z prawa Gaussa
R
dostajemy:
P
ρ>0
O
x
r
V

E
y
 

2
Φ   E  dS  4 r E  4 kQ
S
 kQ
 E 2
r
(b) Natężenie pola elektrycznego wewnątrz kuli. Fikcyjna sfera ma teraz
promieniu r < R i środek w środku naładowanej kuli.
Z symetrii wynika, że w każdym punkcie
sfery o promieniu r natężenie pola
elektrycznego ma tę samą wartość i
jest skierowane wzdłuż promienia.
Sfera o promieniu r obejmuje tylko
część ładunku kuli:
O
R
r
ρ

E
 

4 3
2
Φ   E  dS  4 r E  4 k  r 
3
S
 4
kQ
 E   k r  3 r,
3
R
Q

4 3
R
3
Z symetrii zagadnienia i prawa Gaussa wynika, że natężenie pola
elektrycznego wewnątrz jednorodnie powierzchniowo naładowanej sfery
wynosi zero !
 


2
Φ   E  dS  4 r E  0  E  0
S
O
r
Q wew  0
R
 0
W dalszej części wykładu przydatny będzie wzór na natężenie pola
elektrycznego pochodzącego od jednorodnie naładowanej
powierzchniowo nieskończonej płaszczyzny.
To, że płaszczyzna rozciąga się we wszystkich kierunkach i można nią
obracać wokół dowolnej osi prostopadłej do tej płaszczyzny,
prowadzi do wniosku, że natężenie pola elektrycznego musi być
prostopadłe do powierzchni. Dla dodatniej gęstości powierzchniowej
(σ > 0) wektor natężenia pola elektrycznego jest skierowany od
płaszczyzny, a dla ujemnej gęstości powierzchniowej (σ < 0) wektor
natężenia pola elektrycznego jest skierowany do płaszczyzny.
Jak wybrać zamkniętą powierzchnię Gaussa dla tego problemu ?
Bierzemy dowolny graniastosłup o podstawach równoległych do
płaszczyzny w taki sposób, by płaszczyzna przecinała go dokładnie w
połowie wysokości !
Powierzchnia Gaussa składa się z trzech części: dwóch podstaw graniastosłupa
i jego powierzchni bocznej. Dlatego całkowity strumień przez powierzchnię
zamkniętą jest sumą trzech składników:

E1

S1
S

Q S

E3

d S3

E3
S

E2
  1   2   3

S2
 
 
1  E1  S1  E1 S1  E S
 
 
 2  E2  S1  E2 S2  E S
 
d 3  E3  dS3  0   3  0
Ładunek jest rozłożony tylko na płaszczyźnie, więc powierzchnia Gaussa
zawiera w swoim wnętrzu ładunek Q= σ S.
Korzystając z prawa Gaussa dostajemy:
 
Φ   E  dS  2 S E  4 k  S
S


 E  E  2 k   ( SI ) 
2 0
Wynik jest zupełnie niezależny od wysokości graniastosłupa, więc
natężenie pola elektrycznego byłoby po obu stronach płaszczyzny stałym
wektorem prostopadłym do płaszczyzny ! O takim polu wektorowym
mówimy, że jest jednorodne.
Ten wynik (dla nieskończonej płaszczyzny) jest użyteczny także w
przypadku, gdy jesteśmy blisko jednorodnie naładowanej płaskiej
powierzchni o skończonych rozmiarach z dala od jej brzegów.
→ kondensator płaski
Twierdzenie Gaussa
(jedna z wersji ogólnego twierdzenia Stokesa)
Oprócz prawa Gaussa istnieje (matematyczne) twierdzenie, które pozwala
przy pewnych założeniach zastąpić liczenie strumienia pola wektorowego
przez powierzchnię zamkniętą całką objętościową z dywergencji tego pola
wektorowego po obszarze objętym powierzchnią:
 

 W  dS   divW dV
S

Co to jest dywergencja pola wektorowego ?
Nie podaję definicji, a tylko zapis we współrzędnych kartezjańskich

W  Wx ( x, y , z ),Wy ( x, y , z ),Wz ( x, y , z ) 
 Wx Wy Wz
div W 


x
y
z
    
   , ,

 x y z 
Dywergencja z pola
wektorowego czyni funkcję
skalarną, która zależy od
zmiennych x, y i z.
wektorowy operator
różniczkowy nabla
 

div W    W
pole wektorowe:
funkcja, która
jest wektorem i
zależy od
zmiennych x, y i z
zapis dywergencji w postaci
iloczynu skalarnego operatora
nabla i pola wektorowego

Przykład 1: W   x, y , z 
 x y z
div W 


 111  3
x y z
Dywergencja jest taka
sama w każdym
punkcie przestrzeni
Linie pola wektorowego W
w płaszczyźnie xy uzyskane
w programie Mathematica®
przy pomocy instrukcji
StreamPlot
Przykład 2:

W   1  x 2  y , 1  x  y 2 , 2 z 2

  ( 1  x 2  y )  (1  x  y 2 )
div W 

x
y
(2 z 3 )

 2 x  2 y  6 z 3
z
Linie pola
wektorowego
Ww
płaszczyźnie xy
uzyskane w
programie
Mathematica®
przy pomocy
instrukcji
StreamPlot
Teraz dla wektora natężenia pola elektrycznego łączymy prawo Gaussa
i twierdzenie Gaussa:
 
 E  dS  4 k   ( x, y, z ) dV

S

 
 E  dS   div E dV
S
prawo Gaussa w postaci
całkowej, jeśli obszar Ω objęty
przez zamkniętą powierzchnię S
zawiera objętościowy rozkład
ładunku
twierdzenie Gaussa


 ( x, y , z )
div E  4 k  ( x, y , z )  ( SI ) 
0
prawo Gaussa w
postaci różniczkowej
Mamy równość całek, ale ponieważ obszar Ω możemy uczynić dowolnie
małym, więc równość musi zachodzić dla funkcji podcałkowych !
Ciekawostka:
Czy prawo Gaussa w postaci różniczkowej ma sens dla punktowych ładunków ?
Rozważmy przypadek jednego ładunku Q, który znajduje się w punkcie r’ :
 
 
Q
E (r )  k   3 (r  r ' )
r r'
trójwymiarowa
funkcja uogólniona
(dystrybucja) delta
Diraca
  
 
 (r  r ' )
div E ( r )  k Q div    3
 r r'



3 
  (r )  Q  (r  r ' )




3 
  k Q 4  ( r  r ' )  4 k  ( r )


Ten wynik ma sens: gęstość ładunku
jest różna od zera tylko w punkcie r’, a
całkowity ładunek wynosi Q :


3 
  (r )dV  Q   (r  r ' )dV  Q
R3
R3
Jakie inne własności posiada wektor natężenie pola elektrycznego ?
(przydadzą się wiadomości z mechaniki)
Gdybyśmy mieli jeden ładunek punktowy, to zachodziłoby:
 
 E  d r  0,
Q
dowolny
kontur
zamkniety

dr

E
gdyż własności matematyczne siły wynikającej z prawa powszechnego ciążenia
i siły kulombowskiej są takie same ! Ponieważ kontur jest dowolny, nie jest
ważne, czy ładunek znajduje się w początku układu. Ważna jest tylko swoboda
wyboru położenia konturu względem ładunku.
Co się dzieje, gdy pole pochodzi od układu ładunków ?
Q5

dr
Q1
Q4
Q2

E
Q3

 
 E dr 
dowolny
kontur
zamkniety

dowolny
kontur
zamkniety


 E1  d r 
dowolny
kontur
zamkniety

 

E1  E2  ...  d r


 E2  d r  ...  0 ,
dowolny
kontur
zamkniety
ponieważ każda całka po zamkniętym konturze wynosi zero.
W takim razie znowu możemy skorzystać z twierdzenia Stokesa,
bo znikanie całki po konturze zachodzi dla dowolnie małego konturu i
odpowiadającej mu powierzchni.
0 
 

 rot E  dS  rot E  0
 
 E  dr 
kontur
zamkniety
powierzchnia
rozpieta na
konturze
rotacja
Rotacja natężenia pola elektrycznego od statycznego rozkładu
ładunków wynosi zero ! Przypominam, jak liczyć rotację:
xˆ
  

rot F    F 
x
Fx
yˆ

y
Fy
zˆ

z
Fz
zapis rotacji we
współrzędnych
kartezjańskich
Po rozpisaniu na składowe
xˆ



rot F    F 
x
Fx
yˆ

y
Fy
zˆ


z
Fz
 Fz Fy 
 Fy Fx 
Fx Fz 





 xˆ  
 zˆ
 yˆ  
z 
x 
y 
 z
 y
 x
Jakie są konsekwencje znikania rotacji, czyli bezwirowości natężenia
pola wektorowego ? Istnienie potencjału !



E   grad V ( r )  V ( r )
Dla ładunku rozłożonego w obszarze Ω z gęstością objętościową ρ(x,y,z) mieliśmy:
P
z
Ω
r
O
x
dV

trójwymiarowy
obszar z ładunkiem
y

 
 ( ) dV  
E ( r )  k    3 ( r   )

r 
Dla funkcji występującej pod całką występuje następująca zależność:
 
(r   )
1
  grad   .
 3
r 
r 
Łatwo to sprawdzić, wiedząc, że:
1
1
  
2
2
2
(
x


)

(
y


)

(
z


)
r 
1
2
3
oraz, na przykład

1
1 2( x  1 )
 

x r  
2 r   3
W takim razie wzór na natężenie pola elektrycznego możemy zapisać poprzez
gradient:


 
 ( ) dV

E ( r )   grad  k   
 
r 

Funkcję skalarną:


 ( ) dV
V ( r )  k   
r 

nazywamy potencjałem elektrycznym.





.
Analogiczne wyrażenia na potencjał uzyskamy dla ciągłych
powierzchniowych i liniowych rozkładów ładunku elektrycznego oraz dla
układu ładunków punktowych.
W szczególności dla pojedynczego ładunku znajdującego się w początku
układu współrzędnych:


r
E  kQ 3
r
oraz
kQ
V (r) 
C,
r
,
gdzie zwykle przyjmujemy C=0, by w nieskończoności potencjał był równy
zero.
Dla N ładunków q1 , q2 , …, qN rozmieszczonych w przestrzeni, natężenie pola
elektrycznego dane jest wzorem:
N
 
 
qi
E ( r )  k    3 ( r  ri )
i 1 r  ri
Temu natężeniu pola elektrycznego odpowiada potencjał dany wzorem:
N

qi
V (r )  k   
i 1 r  ri
Równanie Poissona i Laplace’a
Połączymy różniczkowe prawo Gaussa:

div E  4 k 
i możliwość zapisania natężenia pola elektrycznego przy pomocy
potencjału:


E   grad V (r ) ,
by dostać równanie na potencjał,

 div grad V ( r )  4 k ,
zwane równaniem Poissona.
Zapis przy pomocy operatora nabla:
 
 
  
2
div grad V ( r )    (V )    V  (  )V   V
We współrzędnych kartezjańskich
 
 V  V  V
  V 



x x y y z z
V V V
 2  2
2
x
y
z
2
2
2
Operator
 
    2
nosi nazwę laplasjanu lub operatora Laplace’a.



  2  2  2
x
y
z
2
bardzo
często
stosowany
zapis
2
2
2

 V  4 k  ( SI )  
0
2
równanie
Poissona
W obszarze bez gęstości ładunku równanie Poissona przechodzi w równanie
Laplace’a:
2V  0
Wiemy, że natężenie pola elektrycznego można zapisać przy pomocy
potencjału elektrycznego:


E   grad V (r )
Związek między potencjałem elektrycznym i natężeniem pola elektrycznego
można zapisać także w innej, równoważnej postaci jako całkę po dowolnej
drodze od OS (wybranego punktu odniesienia, zwykle nieskończoności) do
punktu P:

P(r )

V (r )  
 
 E  dl
OS
Ten wzór jest wygodny, gdy będziemy liczyć minimalną (bez nadawania
energii kinetycznej) pracę sił zewnętrznych potrzebną do przeniesienia
ładunku q w statycznym polu elektrycznym wytworzonym przez inne
nieruchome ładunki.
B
Q5

dr
q

E
Q1
Q4 Q2
Q3
A
B
 zew  B
 
 
  F  d l    qE  d l  (  q)  E  d l

B
WAzew
B
A
A

A
A


 

 (  q)  E  d l   E  d l   q V ( B )  V ( A) 
OS
 OS

B
WAzew
B
WAzew
 q V ( B )  V ( A)   V ( B )  V ( A)   B
q
Mamy więc ważny związek między pracą sił zewnętrznych, a różnicą potencjałów:
Różnica potencjałów między punktami A i B jest równa pracy przypadającej na
jednostkę ładunku, koniecznej do przesunięcia ładunku z punktu A do punktu B.
Jeśli punkt odniesienia (OS) wybierzemy w nieskończoności, to praca potrzebna,
by ładunek przesunąć z nieskończoności do jakiegoś punktu P, jest równa:
zew

 P ( r )
W



 q V ( r )  V ( )   qV ( r )  E pot ( r ),
co potraktujemy jako przepis na energię potencjalną, Epot !
Energia układu ładunków punktowych
q2
r12
q1
 
rij  ri  rj
odległość
między dwoma
ładunkami
Chcemy zbudować układ
ładunków punktowych, z
zadanymi odległościami między
ładunkami. Policzymy pracę
potrzebną na utworzenie takiego
układu, który powstaje przez
kolejne dokładanie ładunków. Na
początek do pierwszego ładunku
przesuwamy z nieskończoności
drugi ładunek.
 k q1 

W12  q2 
 r12 
Teraz do istniejącego układu
dwóch ładunków dodajemy z
nieskończoności trzeci ładunek,
wykonując pracę:
 k q1 k q2 

W123  q3 

 r13 r23 
q2
r23
r12
q1
r13
q3
Gdybyśmy do tak zbudowanego
układu chcieli dosunąć czwarty
ładunek, to musielibyśmy
wykonać pracę:
 k q1 k q2 k q3 

W1234  q4 


 r14 r24 r34 
I tak dalej …
Zatrzymajmy się przy trzech ładunkach.
Energia takiego układu to suma prac W1+2 oraz W12+3
 k q1 k q2 
 k q1 

  q3 
E123  q2 

 r12 
 r13 r23 
Powyższe wyrażenie możemy przekształcić do równoważnej postaci:
 k q1 k q3 
 k q1 k q2 
k   k q2 k q3 
  q2 
  q3 
 ,
E123  q1 



2   r12
r13 
r23 
r23 
 r12
 r13
gdzie każdy nawias okrągły podaje wyrażenie na potencjał wytwarzany
przez dwa ładunki w miejscu, gdzie znajduje się trzeci z ładunków.
1
E123  q1V1  q2V2  q3V3 
2
Ten wynik można łatwo uogólnić dla układu N ładunków. Otrzymamy
wtedy:
E12... N
1 N
  qnVn
2 n 1
Dlatego dla układu N ładunków, z których każdy oddziałuje z (N-1) ładunkami,
ale nie oddziałuje ze swym własnym polem elektrycznym, otrzymujemy
następujące wyrażenie na energię:
E12... N
qi q j
1 N N
  k  
2 i 1 j i ri  rj
Z definicji potencjału:
E12... N
N
qi q j
qj
1 N N
1 N
  k     qi  k  
2 i 1 j i ri  rj
2 i 1 j i ri  rj
N
N
qj

1 N
1 N
  qi  k     qi V j ( ri )
2 i 1 j i ri  rj
2 i 1 j i

1 N
  qi Vodczuwany ( ri )
2 i 1
przez qi
Dla dowolnego ciągłego rozkładu ładunku

 (r )


1
E    ( r ) V ( r ) dV
2
całka po obszarze,
w którym
znajduje się
rozkład ładunku
Jeśli do poprzedniego wzoru wprowadzimy wyrażenie na potencjał,
to otrzymamy całkę sześciokrotną:


1
 (r ' ) (r )
E   k  
dV dV '
2  '
r r'
Możemy także w równaniu


1
E   V ( r )  ( r ) dV
2
wyrazić gęstość ładunku z równania Poissona:


1 1
E
V ( r ) V ( r ) dV

2 4 k 
Korzystając z twierdzeń analizy wektorowej dostajemy jeszcze inny wzór:
1 1
E
2 4 k
2
 E dV
R3
całka po obszarze, w którym nie
znika natężenie pola
elektrycznego: najbezpieczniej
całkować po całej przestrzeni
Gęstość przestrzenna energii (ilość energii w jednostce objętości) pola
elektrycznego dana jest więc wzorem:
1 1 2
1 2
w
E  ( SI )   0 E
2 4 k
2
Uwaga:
Ta ostatnia postać wzoru na energię,
1 1
E
2 4 k
2
2
1
3 E dV  ( SI )  2  0 3 E dV ,
R
R
jest wygodna na przykład, gdy rozważamy falę elektromagnetyczną. W
tym przypadku istnieje pole elektryczne bez ładunków elektrycznych. Nie
jest to oczywiście problem elektrostatyczny !
Dla jednego przypadku pokażemy
równoważność różnych sposobów
liczenia energii elektrostatycznej.
Będzie to jednorodnie naładowana
objętościowo kula o promieniu R i
całkowitym ładunku Q.

r'
Q
O
R
dq '

r
dq
II sposób: Liczę energię, korzystając z wzoru na natężenie pola
elektrycznego. Całka jest liczona osobno w dwóch obszarach !

E2
O r
Q
R

E1
III sposób: Buduję kulę z cienkich warstewek sferycznych o promieniu r i
grubości dr. Energia własna takiej warstewki jest zaniedbywalna !
r
q
dq
Jak można zobrazować pole wektorowe ?
Jednym ze sposobów graficznego przedstawienia pola elektrycznego jest
wyrysowanie linii pola. Są to linie o tej własności, że wektor natężenia
pola elektrycznego jest styczny do linii pola w każdym jej punkcie. Im
większa gęstość linii, tym większa wartość natężenia pola elektrycznego.
Linie pola
dla ładunków
pojedynczych.
Linie pola dla dwóch
ładunków o przeciwnych
znakach i tej samej wartości
bezwzględnej. (Układ taki
nazywamy dipolem
elektrycznym.)
Linie pola dla dwóch takich
samych ładunków
dodatnich. Dla dwóch
równych ujemnych
ładunków zwrot wszystkich
linii byłby przeciwny.
Linie pola dla dwóch ładunków
przeciwnego znaku o
nierównej wartości
bezwzględnej. Lewy ładunek
jest dodatni, bo linie pola z
niego wychodzą !
Oprócz linii pola elektrycznego wygodnie jest używać także linii lub
powierzchni stałych wartości potencjału elektrycznego, czyli linii lub
powierzchni ekwipotencjalnych, gdzie spełnione jest równanie:
Ponieważ zachodzi
V(x,y,z)  const

E   grad V
więc linie pola elektrycznego są prostopadłe do linii lub powierzchni .
ekwipotencjalnych. (Podobna dyskusja była na wykładzie przy okazji
sił zachowawczych.) Najprostszy przykład to linie pola i linie stałego
potencjału dla pojedynczego ładunku punktowego:
Polecam notebook ze strony Wolfram Demonstrations Project:
http://users.uj.edu.pl/~golak/F16-17/
ElectricFieldLinesDueToACollectionOfPointCharges-author.nb
Teraz do próżni wprowadzimy przewodniki.
Idealny przewodnik to substancja, która ma nieskończony zapas swobodnych
ładunków. (Wiele metali ma własności „prawie idealnych” przewodników.)
Taka prosta definicja prowadzido wielu ciekawych wniosków:
1. Wewnątrz przewodnika E  0 . Interesuje nas sytuacja, która zapanuje,
gdy skończy się przepływ swobodnych ładunków pod wpływem pola
zewnętrznego. Ładunki swobodne ustawiają się w taki sposób, by w
przewodniku pole zewnętrzne i pole przesuniętych ładunków swobodnych
dawało znikające pole wypadkowe.

E0
-
-
-
-
++

Ei


E0  Ei  0
+
+
+
+
+
+
+
2.
Gęstość ładunku wewnątrz przewodnika jest równa zero.
3.
Nieskompensowany ładunek może znajdować się tylko na powierzchni
przewodnika.
Potencjał w przewodniku jest stały
4.


E  0  div E  4 k  0    0
 
V ( B )  V ( A)    E  d l  0
B
A
5.
W pobliżu powierzchni przewodnika natężenie pola elektrycznego jest
prostopadłe do powierzchni

E 0
6. Ładunek umieszczony na zewnątrz nienaładowanego przewodnika jest
przyciągany przez przewodnik.
- -
-
 q
--
++

E 0
-
++
+
+
+
+
+
7. Co się dzieje, jeśli w „ciele” przewodnika znajduje się wnęka?

E0
- -
-
--
-

E 0

E 0
++
++
+
+
+
+
+
We wnęce bez ładunków nie ma pola, a na ściankach wnęki nie występuje
ładunek powierzchniowy. (Ekranowanie !)
8. Jeśli we wnęce w „ciele” przewodnika znajduje się ładunek elektryczny, to
pole w dalszym ciągu nie występuje w samym przewodniku, ale będzie
niezerowe we wnęce, a także na zewnątrz przewodnika.

E 0
+
+
+
+
- 
--
- E  0
- E 0q 
--- -
+
+
+
+
++
-
E 0
+ +
+
+
+
+
+
+

E 0
+
+
+
Ciekawostka: Jeśli wewnątrz nienaładowanego przewodnika w kształcie kuli
będzie dowolna, nieregularna wnęka, a w tej wnęce ładunek, to pole na
zewnątrz kuli będzie takie, jakby pochodziło od ładunku punktowego
znajdującego się w środku kuli, niezależnie od kształtu wnęki i położenia ładunku
we wnęce !
9. Zastosujemy teraz prawo Gaussa do małego fragmentu powierzchni
przewodnika z ładunkiem elektrycznym. Tuż przy powierzchni przewodnika na
zewnątrz przewodnika natężenie pola elektrycznego jest
 prostopadłe do
powierzchni przewodnika, a wewnątrz przewodnika E  0. Zamkniętą
powierzchnię Gaussa stanowi teraz „lokalny” graniastosłup o podstawach
prostopadłych do powierzchni przewodnika. Teraz σ może być różne w różnych
punktach powierzchni.
 


Φ   E  dS  S E1  4 k   S  E1  E1  4 k   ( SI ) 
0
S
E1
E2=0
Q= ΔS
ΔS1
ΔS1
Pole
elektryczne w
pobliżu
naładowanego
przewodnika
ma największe
natężenie w
miejscach o
dużej gęstości
ładunku !
10. Nie jest łatwo wyznaczyć gęstość ładunku na powierzchni przewodnika.
Wynik dla elipsoidy
x2 y2 z2
 2  2  1,
2
a
b
c
podano w książce: W. R. Smythe, Static and dynamic electricity, Hemisphere,
New York, 1989 [Griffiths]:
Q

4 a bc
x
y
z 
 4  4  4 
b
c 
a
2
2
2
1 / 2
,
gdzie Q jest całkowitym ładunkiem elipsoidy. W oparciu o ten wzór można
pokazać, że najwięcej ładunku gromadzi się na „ostrzach” i w ich pobliżu
natężenie pola elektrycznego jest największe.
a : b : c  1 : 3 : 5   ( P1 ) :  ( P2 ) :  ( P3 )  1 : 3 : 5
P1 (a,0,0)
P2 (0, b,0)
P3 (0,0, c)
W pobliżu tego punktu pole
musi być najsilniejsze
obrazki elipsoidy z Wikipedii
Kondensator
Układ dwóch przewodników o przeciwnych ładunkach, +Q i –Q.
Q
Q
V
V
Ponieważ potencjał elektryczny jest stały dla każdego z przewodników,
można jednoznacznie określić różnicę potencjałów między nimi:
()
 
U  V  V  V    E  dl
()
Czynnik proporcjonalności:
Q
C ,
U
nazywamy pojemnością układu. Jednostką pojemności jest farad:
C
F ,
V
czyli kulomb przez wolt. Pojemność zależy od geometrii układu. Mówimy o
kondensatorach płaskich, sferycznych, cylindrycznych, …
Naładowany kondensator jest magazynem energii elektrostatycznej
Jaką pracę należy wykonać, by naładować kondensator ?
Jest to praca związana z przenoszeniem ładunku, powiedzmy ujemnego z
okładki dodatniej na okładkę ujemną. Trzeba pokonywać odpychanie ze
strony już częściowo naładowanej okładki ujemnej !
dq  0
q
q
Q
2
q
q
Q
dW  U ( q) dq  dq  W   dq 
C
C
2C
0
różnica potencjałów przy
częściowym naładowaniu
kondensatora do ładunku q
Kondensator płaski to układ dwóch płaskich i równoległych do siebie
przewodników (tzw. okładek) o tej samej powierzchni S, odległych o d. Na
przewodnikach znajduje się ładunek całkowity ±Q, rozłożony równomiernie.
Zaniedbując efekty brzegowe, liczymy pole między okładkami tak, jakby
pochodziło od nieskończonych płaszczyzn, wykorzystując prawo Gaussa.
Musimy teraz pamiętać, że natężenie pola elektrycznego jest sumą natężenia
od okładki dodatniej i okładki ujemnej ! W obszarze poza okładkami te pola
się znoszą, zaś w obszarze między okładkami natężenie pola elektrycznego jest
w każdym punkcie takim samym wektorem o długości
E  4 k   ( SI ) 
Gęstość
powierzchniowa
ładunku wynosi:

Q

0
S 0
S
+Q
Q
 
S
-Q
Ê
d
Różnica potencjałów między okładkami wynosi:
()
 
Qd Q
U  V  V  V    E  dl  E d 

S 0 C
()
0 S
 C
d
Teraz rozważymy układ dwóch współśrodkowych przewodzących sfer
naładowanych odpowiednio ładunkami +Q i –Q, czyli kondensator kulisty
E
+Q
r1
r2
Pole elektryczne w obszarze
-Q
r
r1  r  r2
jest takie, jakby pochodziło od
punktowego ładunku znajdującego się
we wspólnym środku obu sfer.
Q
Q
E  k 2  ( SI ) 
2
r
4 0 r
Różnicę potencjałów między okładkami policzymy, wybierając trajektorię
.
wzdłuż promienia.
()
 
U  V  V  V    E  dl
()
Q dr
Q dr
Q  1 1
  



2
2


4 0 r2 r
4 0 r1 r
4 0  r2 r1 
r1
r2
Q 1 1
Q r2  r1 Q
   


4 0  r1 r2  4 0 r1 r2 C
4 0 r1 r2
C
r2  r1
Niekiedy rozważana jest pojemność pojedynczego przewodnika.
Oznacza to wtedy, że drugi przewodnik, z ujemnym ładunkiem, jest
wyimaginowana sfera o nieskończonym promieniu, otaczająca dany
przewodnik. Taka sfera nie daje wkładu do pola elektrycznego.
W przypadku przewodnika o kształcie kuli mielibyśmy
Ckula
4 0 r1 r2
 lim
 4 0 r1
r2  r1
r2 
Traktując Ziemię jak przewodzącą kulę o promieniu r1 = 6400 km,
dostalibyśmy
CZiemi  712  10 F  712  F
6
To powinno nam uzmysłowić, jak olbrzymią pojemnością jest jeden farad !
Przewodząca kula o pojemności jednego farada miałaby promień
r  9  109 m
Łączenie kondensatorów
Połączenie równoległe
V1
+Q1
+Q2
C1
V2
+Q3
C2
-Q1
+Q4
C3
-Q2
-Q3
C4
-Q4
Jakim pojedynczym kondensatorem można zastąpić układ pokazany na
rysunku ? Pojemność takiego zastępczego kondensatora nazywamy
pojemnością zastępczą.
V1
+Q
C
V2
-Q
Różnica potencjału U = V1 – V2 jest taka sama na każdym kondensatorze.
Zastępczy kondensator też musi być podłączony do tej samej różnicy
potencjałów. Całkowity ładunek na jego okładce musi być sumą
ładunków na poszczególnych kondensatorach:
N
N
i 1
i 1
Q  U C  U Ci  U  Ci
N
 C   Ci
i 1
Oznacza to, że przy równoległym łączeniu kondensatorów pojemność
zastępcza jest sumą pojemności poszczególnych kondensatorów !
Połączenie szeregowe
C1
+Q
U
C2
-Q
U1
+Q
C3
-Q +Q
U2
C4
-Q
U3
+Q
-Q
U4
+Q
U
C
-Q
Ładunki na okładkach kondensatorów połączonych szeregowo są jednakowe.
Ładunek Q musi być też ładunkiem na okładce zastępczego kondensatora.
Całkowita różnica potencjałów jest równa sumie różnic potencjałów między
okładkami poszczególnych kondensatorów.
N
N
Q N
Q
1
U   U i    Q 
C i 1
i 1 Ci
i 1 Ci
1 N 1
 
C i 1 Ci
Odwrotność pojemności
zastępczej jest równa
sumie odwrotności
poszczególnych
pojemności.
Wracamy do równań Poissona i Laplace’a
bardzo
często
stosowany
zapis
operatora
Laplace’a



  2  2  2
x
y
z
2
2
2
2

 V  4 k  ( SI )  
0
2
równanie
Poissona
W obszarze bez gęstości ładunku równanie Poissona przechodzi w równanie
Laplace’a:
2V  0
Po co nam te równania, skoro natężenie pola elektrycznego lub
potencjał elektryczny możemy liczyć z zasady superpozycji, znając
rozkład ładunku ?
Odpowiedź: Bo musimy sobie radzić z przewodnikami. W zagadnieniach
związanych z przewodnikami rozkład gęstości ładunku często nie jest
znany z góry ! Przewodniki są obszarami stałego potencjału, więc
wygodniej jest używać równań cząstkowych z określonymi warunkami
brzegowymi.
Z braku czasu podam tylko jeden prosty przypadek tzw. twierdzenia o
jednoznaczności i analityczne rozwiązanie równania Laplace’a w dwóch
wymiarach.
Równania Poissona i Laplace’a są rozwiązywane przy użyciu bardzo
wyrafinowanych narzędzi matematycznych (np. z użyciem własności
funkcji zmiennej zespolonej , szeregów Fouriera, funkcji specjalnych) i
różnorodnych metod numerycznych (poczynając od prostych iteracji,
poprzez skomplikowane metody relaksacyjne itd.)
Twierdzenie:
W obszarze Ω szukamy
funkcji V(x,y,z)
spełniającej
równanie Laplace’a
Funkcjia V(x,y,z) została
zadana na powierzchni S
Rozwiązanie równania Laplace’a
w pewnym obszarze Ω jest
określone jednoznacznie, jeśli
podana jest wartość funkcji V na
powierzchni S będącej brzegiem
obszaru Ω.
Zaczniemy od przykładu (podstawowego) dla metody obrazów
Ładunek w pobliżu nieskończonego płaskiego przewodzącego obszaru o
potencjale V=0.
Q
V ?
V 0
Aby znaleźć natężenie pola elektrycznego ponad płaszczyzną, zauważamy, że
warunek zerowania się potencjału na płaskiej powierzchni uziemionego
przewodnika można uzyskać przez wprowadzenie ładunku –Q, położonego
symetrycznie względem powierzchni przewodnika, czyli jakby obrazu
zwierciadlanego dla ładunku +Q.
Teraz sytuacja wygląda dużo prościej, bo można liczyć natężenie pola
elektrycznego dodając natężenia pochodzące od dwóch ładunków.
Oczywiście można też sumować potencjały pochodzące od dwóch
ładunków.
Q
V 0
Q
Przykład analityczny podamy dla obszaru Ω w postaci prostokąta.
Warunki brzegowe są następujące: na pionowych bokach potencjał
wynosi zero. Na dolnym boku opisany jest funkcją ψ1(x), a na górnym
funkcją ψ2(x) .
y
b
V 0
V   2 ( x)
V ?
V 0
V 0
2
O
a
V   1( x)
x
Szereg
Fouriera !
w praktyce
suma do nmax
 n y 
 n (b  y ) 
V ( x, y )   [ An sinh 
] ,
  Bn sinh 
a
 a 


n 1

2
 n x 
 1 ( x ) sin 
An 
 dx ,

a 
 n b  0

a sinh 

 a 
a
2
 n x 
 2 ( x ) sin 
Bn 
 dx

a 
 n b  0

a sinh 

 a 
a
Wartości liczbowe
a2
b 1
 1 ( x )  x (a  x )
 2 ( x )   x 3 (a  x )
Sprawdzenie zbieżności :
Wartość bezwzględna różnicy wyników dla nmax=16 i nmax=17
Polecam notebooki:
http://users.uj.edu.pl/~golak/F16-17/laplace_prostokat_wersja_ostateczna.nb
http://users.uj.edu.pl/~golak/F1617/laplace_Laplace_obszar_metoda_Jacobiego.nb
Najprostszy schemat numeryczny
Zaczynamy od aproksymacji pochodnych funkcji jednej zmiennej na siatce
o stałym kroku
xi  i x
f ( xi  x )  f ( xi ) f ( xi 1 )  f ( xi )
f ' ( x) 

x
x
f ( xi )  f ( xi  x ) f ( xi )  f ( xi 1 )
f ' ( x) 

x
x
Ten ostatni wzór
x 
x 


jest poza siatką,
f  xi 
  f  xi 

ale może służyć
2 
2 


f ' ( x) 
jako punkt
wyjścia dla
x
drugiej
pochodnej
Teraz przechodzimy do funkcji dwóch zmiennych i operatora Laplace’a
(w dwóch wymiarach, na płaszczyźnie)
V  V ( x, y )
2
2


2
  2  2
x
y

V ( xi , y j ) 
V xi 1 , y j   2V xi , y j   V xi 1 , y j 

x 2
V xi , y j 1   2V xi , y j   V xi , y j 1 
y 
2
y  x, V  0
1
 V xi , y j    V xi 1 , y j   V xi 1 , y j 
4
 V xi , y j 1   V xi , y j 1  
Wartość V w danym punkcie jest średnią arytmetyczną wartości w
sąsiednich punktach siatki !
W ten sposób dostajemy prosty schemat iteracyjny.
Schemat iteracyjny w metodzie Jacobiego:
1
Vnowy xi , y j   Vstary xi 1 , y j   Vstary xi 1 , y j 
4
 Vstary xi , y j 1   Vstary xi , y j 1 
Iterujemy, dopóki funkcja V przestaje się zmieniać w sposób
znaczący w zadanych punktach siatki. Uwaga: w kolejnych
iteracjach wartości V w punktach na brzegu obszaru Ω, są zawsze
zgodne z warunkami brzegowymi. Zmianie ulegają tylko wartości
wewnątrz obszaru Ω, gdzie szukamy V.
Przykład:
Wyspy niezerowego potencjału w płaskim obszarze prostokątnym.
Na brzegach prostokąta potencjał wynosi zero.
Download
Random flashcards
bvbzbx

2 Cards oauth2_google_e1804830-50f6-410f-8885-745c7a100970

Prace Magisterskie

2 Cards Pisanie PRAC

słowka

2 Cards kksenia.kot1997

2-2=0

2 Cards jogaf85537

Create flashcards