wykład XV - if univ rzeszow pl

Mechanika Kwantowa
V. Teoria spinu
WYKŁAD 15
Elementy relatywistycznej
mechaniki kwantowej
Plan wykładu
•
•
•
•
semiklasyczny hamiltonian spinowy,
równanie Kleina-Gordona,
równanie Diraca dla cząstki swobodnej,
oddziaływanie elektromagnetyczne cząstki
Diraca.
Semiklasyczny hamiltonian spinowy
Hamiltonian cząstki o masie m i ładunku q
(dodatnim) w polu magnetycznym o indukcji B ma
postać:
H
P  qA 
2
2m
2
2
P
q A
q
P  A  A  P  


2m 2m
2m
2
Przyjmując, że wektor A ma kierunek:
B
A   yi  xj
2
czyli, że wektor B jest skierowany wzdłuż osi z
możemy napisać hamiltonian oddziaływania (dla
małych wartości B).
Semiklasyczny hamiltonian spinowy
„Kształt” pola wektorowego A. Środek rysunku ma współrzędne (0,0).
Semiklasyczny hamiltonian spinowy
Hamiltonian (oddziaływania) przyjmie postać:
ˆ
H int l   μˆ l  B
gdzie:
q ˆ
μˆ l 
L
2m
Rzut operatora momentu magnetycznego:
q
q
0,  1,  2,  3, ...
lz 
Lz 
2m
2m
e
Magneton Bohra:  B 
2 me
 B  9.27  1024 J T
 5.79  105 eV T
Semiklasyczny hamiltonian spinowy
Przypomnienie wiadomości (Wykład 14)
Zakładamy, że ze spinem jest związany operator
momentu magnetycznego s.
Poprzez analogię do momentu orbitalnego
możemy napisać:
q ˆ
μˆ s  gs
S
2m
gdzie: gs  2.
Semiklasyczny hamiltonian spinowy
Operator S spinu ½ jest równy:
1
S  σ
2
gdzie macierze Pauliego:
 0 1
x  

 1 0
0  i
y 

i 0 
1 0 
z  

 0  1
Semiklasyczny hamiltonian spinowy
Poprzez analogię do przypadku związanego
z momentem orbitalnym możemy napisać:
q
q
H int s   μs  B   gs
S  B   gs
σB
2m
4m
Dla ujemnego ładunku elektronu mamy:
e
e
H int s   μs  B  gs
S  B  gs
σB
2m
4m
slajd 14
Równanie Kleina-Gordona
Rozważamy cząstkę swobodną
Dla równania relatywistycznego mamy:

2 2
2 4 12
i
 c P  m c  
t
Równanie to wykazuje asymetrię zmiennych
przestrzennych i czasu.
Równanie Kleina-Gordona
Jeżeli zastosujemy kwadrat hamiltonianu:
H c P m c
2
2
2
2 4
to po zamianie zmiennych możemy napisać
symetryczne równanie (w bazie położeń), tzw.
równanie Kleina-Gordona:
2
 1 2
mc  

2
 c 2 t 2         0
  

Równanie to jest przydatne do opisu cząstek
o zerowym spinie (ponieważ występująca w nim
funkcja falowa jest funkcją skalarną).
Równanie Diraca
Zakładamy, że wyrażenie relatywistyczne
występujące w hamiltonianie można zapisać jako:
c P  m c  cα  P  mc
2
2
2 4

2 2
Analiza powyższego równania prowadzi do
wyrażeń:
 0 σ
I 0 
α
 


σ
0
0

I




gdzie  oraz I są macierzami 2x2.
Równanie Diraca
Otrzymujemy równanie Diraca:

2
i
 cα  P  mc 
t
Wektor  jest obiektem o czterech składowych.
Jest to tzw. spinor Lorentza.
Oddziaływanie elektromagn. cząstki Diraca
Rozważamy oddziaływanie cząstki obdarzonej
ładunkiem elektrycznym q (dodatnim) z polem
elektromagnetycznym o potencjale A, .
Równanie Diraca przyjmie postać:

i
 cα  P  qA   mc 2  q 
t
Oddziaływanie elektromagn. cząstki Diraca
Zakładając   0 oraz rozwiązując równanie Diraca
2
z dokładnością do v c  otrzymamy (wyprowadzić):
 P  qA 2 q


σ  B   E S 
 2m
2m


gdzie założono:
 
iEt 
  
 t    e
 
 i  są spinorami o dwóch składowych;
ES  E  mc 2 jest energią występującą
w równaniu Schrödingera.
Oddziaływanie elektromagn. cząstki Diraca
Powyższe równanie opisuje cząstki o spinie ½
oraz współczynniku g=2.
Dla porównania (slajd nr 7):
H
H
założono przez analogię
P  qA 
2
2m
P  qA 
2
2m
q
 gs
σ  B (semiklasycznie)
4m
q

σB
2m
(kwantowo)
wynik stosowanego modelu