Kaskady wieloskalowe w układach złożonych

Kaskady wieloskalowe w
układach złożonych
Paweł Oświęcimka
Instytut Fizyki Jądrowej PAN
Oddział Fizyki Teoretycznej
Zakład Teorii Systemów Złożonych
Zakład Teorii Układów Złożonych
Jak zdefiniować niezdefiniowane?
Cechy układów złożonych:


Duża liczba elementów oddziałujących ze sobą nieliniowo
(korelacje długozasięgowe)
Samoorganizacja, emergencja …
„More is different”, P.W. Anderson, 1972
Żródło: http://en.wikipedia.org/
Przykłady emergencji: kopiec termitów
Cechy układów złożonych cd.

Struktura hierarchiczna i bezskalowość
PRAWA
POTĘGOWE
(Fraktale)
Source: http://en.wikipedia.org/
Struktura władzy USA jako przykład struktury hierarchicznej.
Prawa potęgowe w przyrodzie
Prawo Pareto
Vilfredo Pareto
Żródło rysunków: http://en.wikipedia.org/
Prawo Zipfa
George Kingsley Zipf
Prawo
Gutenberga-Richtera
Beno Gutenberg
Charles Francis
Richter
Prawa potęgowe cd.
Żródło rysunku: internet
Historia pewnego prawa potęgowego…
Cena bawełny na różnych skalach czasowych
Benoit Mandelbrot
Żródło rysunku: internet
Żródło rysunku: internet
Wymiar fraktalny D
f(α)
Zbiór Cantora
D=0.63...
(więcej niż punkt, mniej niż odcinek)
Trójkąt Sierpińskiego
D=ln3/ln2=1.585
Noc Naukowców 2012
10
W jaki sposób zidentyfikować
kaskadę?
Transformata falkowa jako matematyczny mikroskop
skala
falka
Diabelskie schody
sygnał
Fraktale i Multifraktale
Prawo potęgowe - samopodobieństwo
Agregacja ograniczona dyfuzją
Monofractals
F ~ sh
Multifractal patterns scale with multiple
scaling rules rather than one global scaling rule
Multifractals
F ( q, s ) ~ s h ( q )
h(q)- uogólniony wykładnik Hursta
Żródło: http://en.wikipedia.org/wiki/Multifractal_system
12
Multifraktalna kaskada
Żródło rysunków: internet
Multifraktale inżynieria
Multifraktalna Analiza
Fluktuacji Detrendowanych (MFDFA)
Maksima Modułu
Transformaty Falkowej (WTMM)
1 N
x  [(i  n) / s' ]

i 1 i
s'
skala
T n, s' 
1/ q
 1 2 Ns 2
q/2 
Fq ( s)  
F s, v   ~ s

 2 N s v 1



1 ( q )
q
   ' q,
MIN
Z ( q, s ' ) 
MAX
 (q)


T
(
n
s
'
,
s
'
~
s
'
 l
q
lL ( s ')
f    q  q
Wykładnik Höldera 

gładsza funkcja

większa nieregularność
Dla Ruchów Browna  = H (1/2)
monofraktal
 Spektrum osobliwości f
   ' q,
f()
f    q  q
Monofraktalruch Browna

Multifraktalrzeczywiste dane finansowe
(Multi)fraktalność jako fakt stylizowany
Czasy międzytransakcyjne
Dts(i)=ts(i+1)-ts(i)
cena
czas
Dane oryginalne
Dane
wymieszane
P. Oświęcimka, J. Kwapień, S. Drożdż. Physica A 347, 626 (2005)
Multifraktalne
charakterystyki serca
Serce chore
f(α)
Se
Serce zdrowe
α
P. Ch. Ivanov, L. A. N. Amaral, A. L. Goldberger, S. Havlin, M. G. Rosenblum, Z. Struzik,
and H. E. Stanley, "Multifractality in Human Heartbeat Dynamics," Nature 399, 461465 (1999)
Fraktalna muzyka
„1/f noise in music and speech”
Power spectrum analysis
1/f 0 - white noise (no
correlations)
1/f pink noise
Meteorological data
series,electronic devices, heart
beat rhythms…and music?
1/f 2 Brownian noise
(strong correlations)
R.F. Voss, and J. Clark, Nature 258, 1975, pp 317-318
Fraktalna muzyka cd.
Symulowanie układów złożonych –
modele agentów
Model agentów (agent-based model) - modele obliczeniowe
symulujące oddziaływanie wielu autonomicznych elementów
„agentów”.
 Wielu heterogenicznych „agentów”
(w ramach przyjętej strategii gry)
 Określone zasady oddziaływanie
pomiędzy „agentami”
 Możliwość uczenia i adaptacji „agentów”
K.I.S.S.
„Keep it simple and short”
Żródło rysunku: internet
Model pieniądza (Yasutomi)
Cechy agenta:
i

w(i) – jakiego produktu potrzebuję

Pj(i) – ile posiadam produktów

Vj(i) – chęć posiadania innego produktu

Dj(i) – ile produktów będę wymieniał
Reguły gry:

Dynamika składa się z tur


Każda tura składa się z N transakcji
Parametr modelu T (Tresh) - na ile agenci podlegają efektowi stadnemu
Model pieniądza cd.
Pieniądz w modelu :
 Najbardziej poszukiwany produkt
 Często wymieniany
 Długi „czas życia”
Czas istnienia konkretnego pieniądza
T=1
T=2.5
T=4
Model pieniądza cd.
Multifraktale - Granice chaosu
T=1
(Brak pieniądza)
Odwzorowanie logistyczne:
x → kx(1-x)
0<k<4
T=2.5
T=4
(Pieniądz stabilny)
Podsumowanie
 Wiele układów złożonych posiada wspólny
„mianownik” – fraktalność i może być analizowanych
przy użyciu formalizmu multifraktalnego
 Teoria fraktali potwierdza swoją uniwersalność
interdyscyplinarny charakter
 Odpowiednim modelem układu złożonego jest
model agentów, który za pomocą prostych oddziaływań
odtwarza główne cechy takich układów
The end