O podzielności liczb

O podzielności liczb
Aleksandra Zalejko
O podzielności liczb
Spis treści:
I. Rys historyczny.................................................................................... 2
II. Podzielność liczb całkowitych ............................................................. 4
1. Podzielność .................................................................................... 4
2. Dzielenie liczb całkowitych ............................................................. 5
3. Największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność
dwóch liczb całkowitych.................................................................. 6
4. Algorytm Euklidesa – obliczanie największego wspólnego
dzielnika dwóch liczb naturalnych................................................... 7
5. Liczby względnie pierwsze ............................................................. 8
6. Liczby pierwsze ............................................................................ 10
7. Sito Eratostenesa i inne sposoby odszukiwania liczb
pierwszych.................................................................................... 15
8. Kongruencje liczbowe................................................................... 17
9. Kryterium podzielności liczb naturalnych ...................................... 21
10. Cechy podzielności przez 10,2,5,100,4,25,1000,125 .................. 23
11. Cechy podzielności przez 9,3,7,11,13 ......................................... 25
III. Propozycje tematów zajęć pozalekcyjnych związanych
z podzielnością i przykłady zadań ......................................................... 28
Wykaz literatury .................................................................................... 32
1
O podzielności liczb
Aleksandra Zalejko
I.
Rys historyczny
Zainteresowanie ludzi liczbami naturalnymi jest tak stare jak
cywilizacja. Niezwykłe własności liczb intrygowały starożytnych Greków,
Hindusów i Chińczyków.
Grecy znali metodę wyznaczania największego wspólnego dzielnika
(algorytm
Euklidesa),
Chińczycy
(w
związku
z
obliczeniami
kalendarzowymi) metodę szukania liczby naturalnej dającej przy
dzieleniu przez zadane liczby zadane reszty. Euklides znał prawo
jednoznaczności
„Elementach”
rozkładu
znajdujemy
liczb
na
definicję
czynniki
liczby
pierwsze.
pierwszej
i
W
jego
przykład
rozumowania matematycznego – dowód nie wprost, że istnieje
nieskończenie wiele liczb pierwszych. Matematyka starożytna ma
jeszcze jedno sławne osiągnięcie w dziedzinie liczb pierwszych. Jest nim
sito Eratostenesa, które podaje sposób wyszukiwania liczb pierwszych
aż do danej liczby n.
Intensywny
rozwój
teorii
liczb
w
czasach
nowożytnych
zapoczątkował matematyk francuski Pierre de Fermat (1601 – 1665).
Małe twierdzenie Fermata mówi, że liczba p dzieli ap–a dla każdego
całkowitego a, inne, że liczby pierwsze postaci 4k+1 są przedstawialne
jako suma dwóch kwadratów liczb naturalnych. Obie własności
udowodnił później Euler (1707 – 1783). Fermat badał liczby postaci
F n= 2
2n
+1, n = 0, 1, 2, ...
i wyraził przypuszczenie, że wszystkie są
pierwsze. Euler wykazał, że już piąta liczba Fermata jest złożona – jest
podzielna przez 641.
Liczby pierwsze Fermata mają interesujący związek z klasycznym
problemem konstrukcji n – kątów foremnych za pomocą cyrkla i linijki.
2
O podzielności liczb
Aleksandra Zalejko
W roku 1796 18 – letni C. F. Gauss udowodnił, że taka konstrukcja jest
możliwa wtedy i tylko wtedy, gdy nieparzyste dzielniki pierwsze n są
liczbami Fermata.
Współczesny Fermatowi Marin Mersenne rozpatrywał liczby postaci
Mn = 2n -1, n=0, 1, 2, ... Jeśli liczba Mersenne’a Mn jest pierwsza, to
n jest również liczbą pierwszą, lecz nie na odwrót. Na przykład dla p=2,
3, 5, 7, 13, 17, 19 liczby Mp są pierwsze, a dla p=11, 23, 29 są złożone.
Liczby pierwsze Mersenne’a wiążą się z klasycznym problemem liczb
doskonałych. Liczba naturalna n nazywa się doskonałą, jeśli jest równa
sumie wszystkich dzielników różnych od siebie. Euler wykazał, że
wszystkie liczby doskonałe parzyste są postaci n = 2p–1 (2p -1), gdzie
Mp = 2p–1 jest liczbą pierwszą Mersenne’a. Do dziś nie wiadomo, czy
liczb
pierwszych
Fermata
i
liczb
pierwszych
Mersenn’a
jest
nieskończenie wiele.
Twórczość naukowa niemieckiego matematyka Carla Friedricha
Gaussa (1777 – 1855) wyznaczyła nowe kierunki badań w teorii liczb. W
wieku 19 lat Gauss opracował teorię kongruencji.
Znakomici matematycy XIX i XX w. Rozwijali różne działy teorii liczb,
również powstaje wiele prac z zakresu liczb pierwszych (Dirichlet,
Czebyszew, Riemann).
3
O podzielności liczb
Aleksandra Zalejko
II. Podzielność liczb całkowitych.
1. Podzielność
Mówimy, że liczba całkowita jest a podzielna przez liczbę całkowitą
b, przy czym b≠0, jeżeli istnieje liczba całkowita c taka, że
a=b·c
Piszemy wówczas b|a i czytamy: b dzieli a.
Liczbę
b
nazywamy
dzielnikiem
liczby
a,
natomiast
liczbę
a wielokrotnością liczby b.
Wprost z określenia wynikają następujące własności podzielności:
Tw. 1.1
a) Jeżeli m|a i m|b, to m|a+b i m|a–b.
b) Jeżeli m|a i a|n, to m|n.
c) Jeżeli m|a i b ∈ C, to m|ab.
d) Jeżeli a|b oraz b ≠ 0, to |a| ≤ |b|.
e) Jeżeli a|b oraz b|a, to b=a lub b=-a.
Dowód:
a) Z założenia mamy a=a1·m.
b=b1· m, gdzie a1, b1 ∈ C
więc a+b=(a1+b)· m. Stąd m|a+b.
b) Z założenia mamy a = a1·m
n = n1·a, gdzie a1, n1 ∈ C
wówczas n=n1·(a1·m)=m·(n1·a1). Stąd m|n.
c) Z założenia mamy m|a, ponadto a|ab,
więc na mocy b) otrzymujemy m|ab.
d) Zauważmy, że z a|b wynika całkowitość liczby
b
,
a
4
O podzielności liczb
Aleksandra Zalejko
b
a
a zatem wobec b ≠ O, otrzymujemy | | ≥ 1, więc |b| ≥ |a|.
e) Z założenia i tw.d) mamy |a| ≤ |b| i |b| ≤ |a|, więc |a|=|b|.
Stąd a=b lub a=-b.
Tw. 1.2
Jeżeli jeden składnik sumy a+b jest podzielny przez m,
To suma a+b jest podzielna przez m wtedy i tylko wtedy, gdy
Drugi składnik tej sumy jest podzielny przez m.
Dowód.
Niech m|a. Jeżeli m|b, to na mocy tw. 1.1 a) m|a+b.
Odwrotnie: jeżeli m|a+b i m|a, to na podstawie tw. 1.1 a)
m|(a+b)-a, czyli m|b.
2. Dzielenie liczb całkowitych.
Tw. 2.1
Jeżeli a∈ C i b∈ N, to istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q i r,
taka, że
a =bq+r,
0 ≤ r<b.
Dowód.
a
Przyjmijmy q=   oraz r=a-bq.
b
a
a
a
Wówczas wobec   ≤ <   + 1
b  b b 
q≤
a
< q +1
b
bq ≤ a < bq + b
0 ≤ a − bq < b,
a zatem 0 ≤ r<b.
Jeśli mamy a=bq1+r1=bq2+r2, 0 ≤ r1,r2<b,
5
O podzielności liczb
Aleksandra Zalejko
to r2-r1=b(q1-q2), zatem b|r2-r1.
Gdybyśmy mieli r1 ≠ r2, to na mocy tw.1.1 d)
zachodziłoby |b| ≤ |r2-r1|<b co jest niemożliwe.
Zatem r1=r2, a więc q1=q2.
Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia a przez b, a liczbę q ilorazem.
Tw. 2.2 (o dzieleniu z resztą)
Jeżeli a,b∈ C i b ≠ 0, to istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r
spełniająca warunki
a=bq+r, 0 ≤ r<|b|.
3. Największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność
dwóch liczb całkowitych.
Niech a i b będą liczbami całkowitymi, z których co najmniej jedna
jest różna od zera. Największym wspólnym dzielnikiem liczb a i b
nazywamy największą liczbę naturalną, która jest dzielnikiem liczb
a i b. Największy wspólny dzielnik liczb a i b oznaczać będziemy
symbolem NWD(a,b).
Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb całkowitych a i b
różnych od zera nazywamy najmniejszą liczbę naturalną podzielną
przez a i przez b. Najmniejszą wspólną wielokrotność liczb a i b
oznaczamy symbolem NWW(a,b).
Tw. 3.1
Każdy wspólny dzielnik dwóch liczb całkowitych, z których co najmniej
jedna jest różna od zera, dzieli ich największy wspólny dzielnik.
Tw. 3.2
Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb całkowitych różnych
od zera dzieli każdą ich wspólną wielokrotność.
6
O podzielności liczb
Aleksandra Zalejko
Tw. 3.3
Dla dowolnych dwóch liczb naturalnych a i b jest:
a·b=NWD(a,b) · NWW(a,b).
Dowód.
Oznaczmy NWD(a,b)=dn i NWW(a,b)=wn.
a⋅b
d
Najpierw wykażemy, że
jest wspólną wielokrotnością liczb
n
naturalnych a i b.
Można to odczytać z równości
a⋅b = ⋅ b = ⋅ a
a
b
d
d
d
n
zarówno
Zatem
b
d
jak i
n
a
d
a⋅b = ⋅
c w
d
n
n
, ponieważ
n
są liczbami naturalnymi.
n
, gdzie c jest liczbą naturalną.
n
Z równości
a=
w ⋅( ⋅
c d
b
n
n
),
b
=
w
n
a
⋅ (c ⋅ d n) można odczytać,
że c·dn jest wspólnym dzielnikiem liczb a i b ponieważ
w
b
n
i
w
a
n
są liczbami naturalnymi.
Z nierówności c·dn ≤ dn otrzymujemy c=1 (c i dn
naturalnymi). Stąd
są liczbami
a⋅b = , czyli a·b=d ·w .
n
n
w
d
n
n
4. Algorytm Euklidesa – obliczanie największego wspólnego dzielnika
dwóch liczb naturalnych.
Weźmy pod uwagę dwie dowolne liczby naturalne a i b. Jeżeli a=b, to
NWD(a,b)=a=b.
7
O podzielności liczb
Aleksandra Zalejko
Niech będzie a>b. Może się okazać, że b|a, tzn. istnieje liczba naturalna
q>1, taka, że a=q·b. Wówczas NWD(a,b)=b.
Jeśli jednak b nie jest dzielnikiem a, to istnieją takie dwie liczby naturalne
q1 i r1, że a=q1b+r1.
Na mocy tw. 1.2 każdy wspólny dzielnik liczb a i b jest dzielnikiem liczby
r1 i każdy wspólny dzielnik liczb b i r1 jest dzielnikiem liczby a, czyli
NWD(a,b)=NWD(b,r1).
Ale b<a i zgodnie z tw. 2.1 r1<b, więc obliczenie największego
wspólnego dzielnika liczb a i b sprowadza się do obliczenia
największego wspólnego dzielnika pary liczb naturalnych b i r1,
odpowiednio mniejszych niż poprzednio.
Może się okazać, że r1|b. Wtedy NWD(a,b)=NWD(b,r1)=r1.
Jeśli jednak r1 nie jest dzielnikiem b, to b=q2r1+r2,
q2,r2 są liczbami naturalnymi, przy czym r2<r1.
Jak poprzednio wszystkie wspólne dzielniki liczb b i r1 są równocześnie
wspólnymi dzielnikami liczb r1 i r2 i odwrotnie,
Więc NWD(b,r1)=NWD(r1,r2).
Jeśli r2|r1, to NWD(b,r1)=NWD(r1, r2).
Jeśli r2 nie jest dzielnikiem r1 postępujemy dalej poprzednio.
Ponieważ b>r1>r2>...
i
b, r1, r2,...
są liczbami naturalnymi, więc
postępowanie nasze może mieć najwyżej b-1 takich działań jak
poprzednio. W końcu otrzymamy rk|rk-1, gdzie k ≤ b-1
i NWD(a,b)=NWD(b,r1)=...=NWD(rk-1,rk)=rk, gdzie rk jest ostatnią resztą
różną od zera. Takie postępowanie nazywa się algorytmem Euklidesa.
Np. Weźmy a=385 i b=105, a>b
385=3·105+70, r1=70
105=1·70+35,
r2=35
70=2·35+0,
r3=0
Ponieważ r3=0, więc NWD(385,105)=35.
8
O podzielności liczb
Aleksandra Zalejko
5. Liczby względnie pierwsze.
Jeżeli dwie liczby całkowite a, b spełniają warunek NWD(a,b)=1, a
więc nie mają żadnego naturalnego wspólnego dzielnika oprócz 1,
to takie liczby nazywamy liczbami względnie pierwszymi.
Tw. 5.1
Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb naturalnych a i b
względnie pierwszych jest równa iloczynowi tych liczb.
Dowód.
Na mocy tw. 3.3 mamy a·b=NWD(a,b)·NWW(a,b).
Z założenia mamy NWD(a,b)=1.
Stąd a·b=NWW(a,b).
Tw. 5.2
Jeżeli a i b są liczbami względnie pierwszymi i liczba naturalna c spełnia
warunek a|bc, to a|c.
Dowód.
Z założenia mamy NWD(a,b)=1, więc NWW(a,b)=a·b i a|bc.
Ale b|bc, więc okazuje się, że b·c jest wspólną wielokrotnością liczb a i b
i na mocy tw. 3.2 najmniejsza wspólna wielokrotność liczb a i b tzn. a·b
dzieli wspólną wielokrotność b·c.
Otrzymaliśmy więc, że ab|bc, czyli istnieje taka liczba naturalna q,
że bc=abq, a stąd c=aq,czyli a|c.
Nasze tw. można sformułować następująco:
Jeżeli liczba jest dzielnikiem iloczynu dwóch liczb i jest pierwsza
względem jednego z czynników, to jest dzielnikiem drugiego czynnika.
Tw. 5.3
Jeżeli a, b, c są liczbami naturalnymi takimi,
że NWD(a,c)=1 i NWD(b,c)=1, to NWD(ab,c)=1.
9
O podzielności liczb
Aleksandra Zalejko
Dowód.
Niech NWD(ab,c)=d, to d|ab i d|c.
Ale skoro d|c i z założenia NWD(a,c)=1, to NWD(a,d)=1.
Gdyby bowiem a i d nie były liczbami względnie pierwszymi, to istniałaby
Liczba naturalna d'>1 taka, że NWD(a,d)=d'.
Wtedy mielibyśmy d'|a i d'|d, ale ponieważ d|c, więc d'|c,
co przeczy warunkowi NWD(a,c)=1, czyli musi być d'=1.
Z warunków NWD(a,d)=1 i d|ab wynika, że d|b.
Z warunków d|b i d|c wypływa, że d jest wspólnym dzielnikiem liczb b i c.
Ale z założenia b i c są liczbami względnie pierwszymi, więc d=1.
Tw. 5.3 daje się uogólnić na dowolną skończoną liczbę czynników.
Jeżeli NWD(a1,c)=NWD(a2,c)=...=NWD(an,c)=1,
to NWD(a1a2...an,c)=1.
Tw. 5.4
Jeżeli b1|a, b2|a, ...,bn|a i każde dwie spośród liczb b1,b2,...,bn
są liczbami względnie pierwszymi i a jest liczbą naturalną, to b1b2...bn|a.
Dowód.
Z warunków b1|a, b2|a,... bn|a wynika, że a=q1b1=q2b2=...q2bn,
Gdzie q1,q2,...,qn są liczbami naturalnymi.
Z a=q1b1 i b2|a otrzymujemy b2|q1b1.
Ponieważ b1 i b2 są liczbami względnie pierwszymi, więc na mocy tw. 5.2
jest b2|q1 czyli q1=q'b2, a stąd otrzymujemy a=q'b1b2.
Podobnie
a=q''b1b2b3
a=q'''b1b2b3b4
i po wyczerpaniu b1, b2, ... , bn jest
a=qn-1b1b2...bn.
Stąd b1b2...bn|a.
10
O podzielności liczb
Aleksandra Zalejko
Np. Każda z liczb 2, 5, 7, 9 jest dzielnikiem liczby 1260 i każde dwie
spośród nich są liczbami względnie pierwszymi, więc iloczyn tych liczb tj.
630 jest dzielnikiem liczby 1260.
6. Liczby pierwsze.
Liczbę naturalną p>1 nazywamy liczbą pierwszą, jeśli ma tylko dwa
dzielniki naturalne, mianowicie 1 i p.
Liczbę naturalną większą od 1, która nie jest liczbą pierwszą nazywamy
liczbą złożoną.
Tw. 6.1
Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.
Dowód (Euklides).
Przypuśćmy, że tak nie jest, tzn. że skończony ciąg p1, p2, ...,pn
zawiera już wszystkie liczby pierwsze.
Ale liczba p=p1p2...pn+1 jest większa od każdej z wyżej napisanych
i niepodzielna przez żadną z nich – bo z dzielenia przez każdą z nich
daje resztę 1. Liczba p nie jest też podzielna przez żadną liczbę złożoną,
gdyż każda taka liczba jest iloczynem pewnych liczb spośród
p1, p2,...,pn, a wtedy liczba p musiałaby dzielić się przez którąś z nich.
Zatem i liczba p jest pierwsza. Z naszego założenia wynika zatem jego
zaprzeczenia – to znaczy, że założenie było fałszywe. Liczb pierwszych
jest nieskończenie wiele.
Tw. 6.2
Każda liczba naturalna a>1 ma przynajmniej jeden dzielnik, który jest
liczbą pierwszą.
Dowód.
Jeżeli a jest liczbą pierwszą, to jedynym dzielnikiem pierwszym jest a,
tj. a|a.
11
O podzielności liczb
Aleksandra Zalejko
Jeżeli a nie jest liczbą pierwsza, więc jest liczbą złożoną i ma
przynajmniej jeden dzielnik d taki, że 1<d<a. Najmniejszy dzielnik p
spośród dzielników liczby a jest liczbą pierwszą. Gdyby bowiem dzielnik
ów nie był liczbą pierwszą, to istniałaby liczba naturalna d1 taka, że
1<d1<p i d1|p oraz d1|a, ale to zajść nie może, gdyż p jest najmniejszym
dzielnikiem liczby.
Tw. 6.3
Każdą liczbę złożoną można przedstawić w postaci iloczynu liczb
pierwszych tylko w jeden sposób, jeśli pominiemy porządek czynników.
Dowód.
Jeśli a jest liczbą złożoną, to w myśl tw. 6.2 najmniejszym dzielnikiem
liczby a jest liczba pierwsza p1. Jest więc a=q1p1, gdzie q1 jest liczbą
naturalną. Może się okazać, że p1|q1 tj. q1=q1'p1, wówczas a=q1'p12.
Niech
p
α1
będzie najwyższą potęgą naturalną taką, że
podobnie niech
p 2α
2
| a,...,
p 2α
n
|a,
gdzie
p1α | a ,
1
α1,α2,...,αn są liczbami
naturalnymi i p1,p2,...,pn są liczbami pierwszymi, przy czym są to
wszystkie liczby pierwsze, będące dzielnikami liczby a, gdzie
najwyższą potęgą liczby pi, taką, że
Ponieważ
p1α , p 2α
1
2
,...,
p nα
p iα
i
jest
p iα | a .
i
są liczbami względnie pierwszymi i każda
n
z nich jest dzielnikiem liczby a, więc w myśl tw. 5.4 jest
α
α
α
a = b ⋅ p1 p 2 ... p n
1
2
n
,
gdzie b jest liczbą naturalną różną od p1,p2,...,pn.
Jeśli b jest liczbą pierwszą i b|a, to b jest jedną z liczb p1,p2,...pn, np.
b=pk, gdzie 1 ≤ k ≤ n. Lecz wtedy
p kα | a wbrew założeniu, że
k +1
p kα
k
jest najwyższą potęgą liczby pk będącą dzielnikiem liczby a.
12
O podzielności liczb
Aleksandra Zalejko
Zatem b nie może być liczbą nie może być liczbą pierwszą.
Jeżeli b jest liczbą złożoną, to najmniejszym dzielnikiem liczby b
większym od 1 jest liczba pierwsza. Owa liczba byłaby dzielnikiem liczby
a, a więc równałaby się jednej z liczb p1,p2,...,pn, co jak wyżej
wykazaliśmy nie może zachodzić.
Skoro b jest liczbą naturalną, ale nie jest ani liczbą pierwszą, ani
złożoną, to musi być b=1.
W ten sposób wykazaliśmy, że liczba a>1 daje się przedstawić iloczynu
liczb pierwszych
*
a
=
p1α p 2α ... p nα
1
2
n
, przy czym p1<p2<...<pn, αi∈ N,
wzór * nazywa się rozwinięciem lub rozkładem liczby naturalnej różnej
od 1 na czynniki pierwsze.
Wykażemy teraz, że rozkład * liczby a na czynniki pierwsze jest jedynym
rozkładem.
Przypuśćmy, że a rozkłada się również następująco:
β
a = q1 q 2
1
β
2
... q
β
k
k
, przy czym q1<q2<...<qk, β j ∈ N.
Przypuśćmy, że q1 jest liczbą pierwszą różną od każdej liczby pi,
1 ≤ i ≤ n.
Ponieważ każde dwie różne liczby pierwsze są względnie pierwsze,
więc NWD(q1,pi)=1, zaś w myśl tw. 5.3 jest NWD(a,q1)=1, lecz to jest
sprzeczne z tym, że q1|a. Stąd wnioskujemy, że istnieje i0, takie, że
q = pi , przy czym 1 ≤ i0 ≤ n.
1
0
Analogicznie każda z liczb q2, q3, ...,qk jest równa jednej z liczb pi
i odwrotnie każda z liczb p1, p2, ...,pn jest równa jednej z liczb qj.
Z tego wynika, że n=k i pi=qi dla 1 ≤ i ≤ n czyli
α
α
α
a = p1 p 2 ... p n
1
2
n
=
β
p1 p 2
1
β
2
... p
β
n
n
.
Trzeba jeszcze wykazać, że α1=β1, α2=β2,...,αn=βn.
13
O podzielności liczb
Aleksandra Zalejko
Gdyby jedna z liczb p występowała w jednym rozwinięciu liczby a w
potędze αi, w drugim w potędze βi oraz αi<βi,
to byłoby
p iα | a
i
i
β
p i | a , a stąd
i
α
a = k pi = l pi
i
β
i
,
gdzie ani liczba k, ani liczba l nie ma dzielnika pi.
Ponieważ αi<βi, więc dzieląc obie strony przez
k
=l
pi
β −α
−i
p iα
i
mamy
i
a stąd pi|k, więc otrzymaliśmy sprzeczność.
Tak samo wykazalibyśmy, że nie może być αi>βi.
Wnioskujemy stąd, że αi=βi dla 1 ≤ i ≤ n.
Dowiedliśmy więc, że liczba a rozwija się tylko w jeden sposób na
iloczyn potęg liczb pierwszych.
Przy pomocy rozkładu liczb na czynniki pierwsze można znaleźć
NWD i NWW dwóch lub kilku liczb.
Niech dwie różne liczby naturalne mają następujące rozkłady:
a
=
p1α p 2α ... p kα
1
β
b = q1 q 2
1
2
β
2
... q
β
k
l
l
Rozwinięcie na czynniki pierwsze NWD(a,b) zawiera jedynie te czynniki
p, które są wspólne w rozwinięciu liczby a i rozwinięciu liczby b, przy
czym każdy czynnik p jest w potędze, której wykładnik jest jedną
z mniejszych liczb α lub β.
Rozwinięcie na czynniki pierwsze NWW(a,b) zawiera wszystkie czynniki,
które należą tylko do rozwinięcia b. Wykładnik potęgi czynnika
wspólnego p jest równy większej liczbie spośród dwóch liczb α i β.
14
O podzielności liczb
Aleksandra Zalejko
Tw. 6.4
Jeżeli liczba naturalna n>1 nie dzieli się przez żadną liczbę pierwszą nie
większą od n , to n jest liczbą pierwszą.
Dowód.
Jeżeli liczba n jest liczbą złożoną, to istnieje liczba p, która jest
najmniejszym dzielnikiem n, czyli n=qp, gdzie p<n i q ≥ p.
Stąd n=qp ≥ p2, czyli p ≤ n .
Przez kontrapozycję otrzymujemy nasze twierdzenie.
Tw. 6.5
Istnieją dowolnie długie przedziały pozbawione liczb pierwszych.
Dowód.
Niech m będzie dowolnie ustaloną liczbą naturalną.
Wykażemy, że istnieją dwie kolejne liczby pierwsze p i q takie, że q-p>m.
Niech p będzie największą liczbą pierwszą mniejszą od (m+1)!+2,
tj. *p<(m+1)!+2.
Żadna z liczb (m+1)!+k, dla k=2,3,...,m+1 nie jest pierwsza, gdyż jest
podzielna przez k>1.
Wobec tego
** q ≥ (m+1)!+m+2
Z nierówności * i ** wynika, że
q-p>((m+1)!+m+2)-((m+1)!+2)=m,
a to mieliśmy wykazać.
7. Sito Erastotenesa i inne sposoby odszukiwania liczb pierwszych.
Istnieje metoda wyznaczania wszystkich liczb pierwszych nie
większych od danej liczby n zwana sitem Eratostanesa. Wypisujemy po
kolei wszystkie liczby naturalne od 2 do wybranej liczby np.100.
Pierwszą liczbę, a więc 2 podkreślamy, a wszystkie jej wielokrotności
15
O podzielności liczb
Aleksandra Zalejko
tzn. liczby parzyste wykreślamy. Pierwszą nie wykreśloną liczbę, którą
jest liczba 3 podkreślamy i wykreślamy jej wielokrotności. Zauważmy
przy tym, że pierwszą liczbą, którą należy wykreślić będzie 6, która już
została wykreślona, bo jest liczbą parzystą, a następną będzie 9 i tak
dalej. W następnym etapie podkreślamy 5, a wykreślamy wszystkie jej
wielokrotności. Proces ten kontynuujemy aż do wyczerpania całego
wypisanego na początku ciągu. Liczby nie wykreślone (czyli te
podkreślone) są liczbami pierwszymi.
Nazwa „sito” pochodzi od sposobu w jaki Eratostenes zrealizował
swój pomysł: na arkuszu papirusu umocowanym do odpowiedniej ramy,
wypisał kolejne liczby, a następnie przekłuwał papirus w miejscach liczb
złożonych. W rezultacie powstało coś w rodzaju sita, przez które
„wyciekły” wszystkie liczby złożone.
Najwięksi matematycy wszystkich czasów poświęcali wiele pracy,
aby znaleźć ogólny wzór do odszukiwania liczb pierwszych.
Legendre odkrył, że wyrażenie n2+n+17 daje liczby pierwsze dla n od 0
do 16, natomiast wyrażenie 2n2+29 daje liczby pierwsze dla n
od 0 do 28.
Euler odkrył, że wzór n2+n+41 daje liczby pierwsze dla n od 0 do 39.
Amerykanin Escott zastąpił we wzorze Eulera n przez n-40 i otrzymał
wyrażenie n2-79n+1601, które daje liczby pierwsze dla n od 0 do 79,
wiele wartości się jednak powtarza.
m
Na zakończenie jeszcze jeden wzór: Nm= 2
+1
3
.
Jeżeli w miejsce m będziemy podstawiali kolejno liczby pierwsze,
oprócz 2, to wzór da nam na razie liczby pierwsze:
N3=3, N5=11, N7+43, N11=683,N13=2731, N17=43691,
N19=174763, N23=2796203, N29=178956771, N31=715827883,
16
O podzielności liczb
Aleksandra Zalejko
Ale już przy m=37 wzór zawodzi, gdyż daje liczbę złożoną.
Od dłuższego czasu kolejne liczby pierwsze znajdujemy wśród tak
zwanych liczb Mersenn'a. Są to liczby postaci Mp=2p-1, gdzie p jest
liczbą pierwszą. Ich pierwszy badacz, Marin Mersenne (1644r.) zdołał
obliczyć, że Mp jest pierwsza dla p=2,3,5,7,13,17,19.
Fermat, a później Euler wykazali, że dzielniki liczb Mersenn'a są
jednocześnie postaci 2kp+1 i 8n ± 1, k,n-liczby naturalne, p-pierwsza.
To odkrycie znacznie redukuje liczbę ewentualnych dzielników liczb
Mersenne'a i Euler był w stanie obliczyć, że M31=2147483647 jest liczbą
pierwszą.
8. Kongruencje liczbowe.
Def. 1. Liczba całkowita a przystaje do liczby całkowitej b według
modułu m jeżeli przy dzieleniu przez moduł daje tę samą samą resztę,
co zapisujemy
a ≡ b(mod m), gdzie m jest liczbą naturalną.
Np. 7 ≡ 13(mod 2) bo 7 : 2=3 r 1
13 : 2=6 r 1
Równoważna definicja:
Def. 2.Liczba całkowita a przystaje do liczby całkowitej b według
modułu m jeżeli różnica a-b dzieli się przez m,
Co zapisujemy
* a ≡ b(mod m), gdzie m jest liczbą naturalną.
Wzór * nazywamy kongruencją. Dla wyrażenia, że liczba a przystaje do
liczby b według modułu m znakowanie * wprowadził C.F.Gauss,
co czytamy: a przystaje do b modulo m.
Np. 27 ≡ 13(mod 2), bo 2|27-13.
W zbiorze liczb całkowitych C określiliśmy relację zwaną kongruencją.
17
O podzielności liczb
Aleksandra Zalejko
Liczbę m nazywamy modułem kongruencji.
Tw. 8.1
Relacja przystawania (kongruencja) jest relacją równoważności:
a) zwrotność
Dla każdej liczby całkowitej a i dla każdego naturalnego m
a ≡ a(mod m)
b) symetria
Jeżeli a ≡ b(mod m), to b ≡ a(mod m)
c) przechodniość
Jeżeli a ≡ b(mod m) i b ≡ c(mod m), to a ≡ c(mod m).
Dowód.
a) a ≡ a(mod m) ponieważ dowolna liczba naturalna m jest dzielnikiem
a-a=0
b) Wystarczy zauważyć, że dwie liczby a-b oraz b-a są zawsze
jednocześnie podzielne lub jednocześnie niepodzielne przez m.
c) Mamy tożsamość: a-c=(a-b)+(b-c).
Jeżeli m|a-b i m|b-c, to m|a-c.
Tw. 8.2
Jeżeli a ≡ b(mod m) i c jest liczbą całkowitą, to
a+c ≡ b+c(mod m)
a-c ≡ b-c(mod m)
a·c ≡ b·c(mod m)
Dowód.
Korzystając z tożsamości: (a+c)-(b+c)=a-b
(a-c)-(b-c)=a-b
a·c - b·c=(a - b)·c
i założenia, żę m|a-b mamy m|[(a=c)-(b+c)]
m|[(a-c)-(b-c)]
m|(a·c - b·c), co kończy dowód.
18
O podzielności liczb
Aleksandra Zalejko
Tw. 8.3
Jeżeli a ≡ b(mod m) i d jest naturalnym dzielnikiem a, b i m, to
a b
m
≡ (mod ).
b d
d
Dowód.
Jeżeli a ≡ b(mod m) i d jest naturalnym dzielnikiem a, b i m, to istnieje
taka liczba p, że a − b = p ⋅ m oraz
a b
m
a b
m
− = p ⋅ . Skąd mamy ≡ (mod ).
d d
d
b d
d
Tw. 8.4
Jeżeli a ≡ b(mod m) i d|m, gdzie d jest liczbą naturalną, to a ≡ b(mod d).
Dowód.
Jeżeli m|a-b i d|m, to ponieważ dzielnik dzielnika danej liczby jest
dzielnikiem tejże liczby wynika, że d|a-b, czyli a ≡ b(mod d).
Tw. 8.5
Jeżeli a ≡ b(mod m) i c ≡ d(mod m), to
a+c ≡ b+d(mod m)
a-c ≡ b-d(mod m)
a⋅c ≡ b⋅d(mod m).
Dowód.
Korzystając z tożsamości:
(a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d)
(a-c)-(b-d)=(a-b)-(c-d)
a⋅c-b⋅d=(a-b)⋅c+(c-d)⋅b.
i z założenia, że m|a-b, m|c-d mamy
m|[(a+c)-(b+d)]
m|[(a-c)-(b-d)]
m|(a⋅c-b⋅d), co kończy dowód.
Tw. 8.6
Jeżeli a ≡ b(mod m), to an ≡ bn(mod m), gdzie n jest liczbą naturalną.
19
O podzielności liczb
Aleksandra Zalejko
Dowód.
Twierdzenie to jest uogólnieniem tw. 8.5 na skończoną liczbę
kongruencji.
Tw. 8.7
Jeżeli a ≡ b(mod m) i f(x)=cnxn+cn-1xn-1+...+c1x+c0
Jest wielomianem zmiennej x o współczynnikach całkowitych,
to f(a) ≡ f(b)(mod m).
Dowód.
Z kongruencji a ≡ b(mod m) na podst. tw. 8.6 jest
an ≡ bn(mod m)
i na podst. tw. 8.2 otrzymujemy
cnan ≡ cnbn(mod m).
Analogicznie:
cn-1an-1 ≡ cn-1bn-1(mod m)
c1a ≡ c1b(mod m)
c0 ≡ c0(mod m).
Po dodaniu stronami tych kongruencji otrzymamy na podst. tw. 8.2
cnan+cn-1an-1+...+c1a+c0 ≡ cnbn+cn-1bn-1+...+c1b+c0(mod m).
Ale lewa strona tej kongruencji jest wartością wielomianu f(x),
gdy zamiast x podstawimy a, natomiast prawa strona, gdy za x
podstawimy b. Otrzymujemy f(a) ≡ f(b)(mod m).
Weźmy pod uwagę kongruencję f(x) ≡ 0 (modm), gdzie m jest daną
liczbą naturalną, zaś f ( x) = cn x n + cn −1 x n −1 + c1 x + c0 wielomianem stopnia n o
współczynnikach całkowitych cn,cn-1,...,c0.
Pierwiastkiem kongruencji
f(x) ≡ 0 (mod m)
nazywamy każdą liczbę całkowitą x, dla której jest ona prawdziwa. Z tw.
8.7 wynika, że jeżeli a jest pierwiastkiem kongruencji f(x) ≡ 0 (mod m), to
każde liczba przystająca do a według modułu m jest również
20
O podzielności liczb
Aleksandra Zalejko
pierwiastkiem tej kongruencji. Całą tę klasę liczb do siebie przystających
według modułu m i spełniających daną kongruencję będziemy uważali za
jeden pierwiastek.
Każda liczba całkowita przystaje według modułu m do jednej i tylko
jednej liczby ciągu: 0,1,2,...,m-1, ponieważ przystaje do swej reszty z
dzielenia przez m.
Przy pomocy kongruencji możemy wyrazić małe tw. Fermata.
Tw. 8.8
Dla każdej liczby pierwszej p oraz każdej liczby całkowitej a zachodzi
kongruencja
ap ≡ a (mod p)
Wniosek 8.9
Jeżeli p jest liczbą pierwszą, zaś a liczbą całkowitą niepodzielną przez p,
to
ap-1 ≡ 1 (mod p)
Z małego tw. Fermata wynika, że jeżeli p jest liczbą pierwszą, to
kongruencja
xp-1 ≡ 1 (mod p)
ma p-1 pierwiastków, którymi są liczby 1,2,...,p-1 oraz wszystkie liczby
całkowite przystające do którejkolwiek z nich według modułu p, tzn.
wszystkie liczby całkowite niepodzielne przez p.
Przez ϕ(n) oznaczamy ilość liczb naturalnych nie większych od n.
Tw. 8.10 (Eulera)
Jeżeli a i n są liczbami naturalnymi i NWD(a,n)=1, to
aϕ(n)-1 ≡ 0 (mod n)
9. Kryterium podzielności liczb naturalnych.
Każdą liczbę naturalną N w układzie pozycyjnym dziesiątkowym
zapisujemy następująco:
21
O podzielności liczb
Aleksandra Zalejko
N=cn10n+cn-110n-1+...+c110+c0100,
gdzie każda z liczb cn,cn-1,...,c1,c0 jest jedną z liczb 0,1,2,..., 9.
Np. 103576=1⋅105+0⋅104+3⋅103+5⋅102+7⋅10+6⋅100.
Tę samą liczbę możemy również napisać tak:
103576=10⋅1002+35⋅100+76⋅1000=103⋅1000+575⋅10000.
Wprowadzimy następujące oznaczenie: liczbę 348 napisaną w układzie
pozycyjnym dziesiątkowym napiszemy tak: (348)10 i ogólnie:
N=cn⋅10n+cn-1⋅10n-1+...+c1⋅10+c0=(cncn-1...c1c0)10,
gdzie cncn-1...c1c0 nie jest oczywiście iloczynem.
Np. 56084=(05)10⋅1002+(60)10⋅100+(84)10
178690=(178)10⋅1000+(690)10
Ogólniej:
N=cn⋅10n+cn-1⋅10n-1+...+c1⋅10+c0
N=(cncn-1)10⋅ 100
n −1
2
+(cn-2cn-3)10⋅ 100
n−3
2
+...+(c3c2)10⋅100+(c1c0)10
w przypadku, gdy 2 nie jest dzielnikiem n.
n
2
N=(0cn)10⋅ 100 +(cn-1cn-2)10⋅ 100
n−2
2
+...+(c3c2)10⋅100+(c1c0)10
w przypadku, gdy 2|n.
Podobnie:
N=(cncn-1cn-2)10⋅ 1000
n−2
3
+...+(c5c4c3)10⋅1000+(c2c1c0)10
w przypadku, gdy 3|n-2,
N=(0cncn-1)10⋅ 1000
n −1
3
+...+(c5c4c3)10⋅1000+(c2c1c0)10
w przypadku, gdy 3|n-1,
n
N=(00cn)10⋅ 1000 3 +...+(c5c4c3)10⋅1000+(c2c1c0)10
w przypadku, gdy 3|n.
Szczególny przypadek tw. 8.7 otrzymamy, gdy do f(x) podstawimy x=10
lub x=100 lub x=1000 itd.
22
O podzielności liczb
Aleksandra Zalejko
Wtedy jest
f(10)=cn⋅10n+cn-1⋅10n-1+...+c1⋅10+c0=N
f(100)=...+(c5c4)10⋅1002+(c3c2)10⋅100+(c1c0)10=N
f(1000)=...+(c8c7c6)10⋅10002+(c5c4c3)10⋅1000+(c2c1c0)10=N
...
Jeżeli więc 10 ≡ b(mod m), to f(10) ≡ f(b) (mod m),
czyli (*) m|N-f(b).
Ponieważ zachodzi (*), więc aby m było podzielnikiem liczby N, potrzeba
i wystarcza, by m było podzielnikiem liczby f(b) (na mocy tw. 1.2).
Analogicznie w przypadku x=100, x=1000 itd.
Mamy więc następujące kryterium podzielności liczby naturalnej N przez
liczbę naturalną m:
Aby liczba naturalna m była podzielnikiem liczby naturalnej N, potrzeba i
wystarcza, by m było podzielnikiem liczby f(b), przy czym f(b) spełnia
warunek f(10n) ≡ f(b) (mod m), gdzie m jest liczbą naturalną.
10.
Cechy podzielności przez 10,2,5,100,4,25,1000,125.
Cechy podzielności przez wymienione liczby można podzielić na trzy
grupy według sposobu wyprowadzania.
I grupa cech podzielności – przez 10,2,5.
Z kongruencji 10 ≡ 0 (mod 10)
wynika
10|N-f(0), czyli 10|N-c0
Ponieważ różnica N-c0 jest podzielna przez 10, więc na mocy tw. 1.2 na
to by 10 było dzielnikiem liczby N, potrzeba i wystarcza, aby 10|c0, co
może nastąpić jedynie wtedy, gdy c0=0.
<<Aby dana liczba naturalna była podzielna przez 10, potrzeba i
wystarcza, by liczba wyrażona cyfrą jedności danej liczby była zerem.>>
Z kongruencji
23
O podzielności liczb
Aleksandra Zalejko
10 ≡ 0 (mod 2)
wynika 2|N-f(0), czyli 2|N-c0, a stąd wynika cecha podzielności przez2.
Z kongruencji
10 ≡ 0 (mod 5)
wynika
5|N-f(0), czyli 5|N-c0, a stąd wynika cecha podzielności przez 5.
Mamy więc
<<Aby dana liczba była podzielna przez 2 lub przez 5, potrzeba i
wystarcza, by liczba wyrażona cyfrą jedności danej liczby była podzielna
przez 2 lub przez 5.>>
II grupa cech podzielności – przez 100,4,25.
Liczbę naturalną N przedstawimy następująco:
N=f(100)=...+(c5c4)10⋅1002+(c3c2)10⋅100+(c1c0)10,
A wtedy f(0)=(c1c0)10=c1⋅10+c0
Z kongruencji
100 ≡ 0 (mod 100)
wynika 100|N-f(0), czyli 100|N-(c1⋅10+c0).
Stąd wynika cecha podzielności przez 100.
<<Aby dana liczba naturalna była podzielna przez 100, potrzeba i
wystarcza, by liczba wyrażona cyframi dziesiątek i jedności danej liczby
była zerem.>>
Z kongruencji
100 ≡ 0 (mod 4)
wynika 4|N-f(0), czyli 4|N-(c1⋅10+c0),
a stąd cecha podzielności przez 4.
Z kongruencji
100 ≡ 0 (mod 25)
wynika 25|N-f(0), czyli 25|N-(c1⋅10+c0),
a stąd cecha podzielności przez 25.
24
O podzielności liczb
Aleksandra Zalejko
<<Aby dana liczba naturalna była podzielna przez 4 lub przez 25,
potrzeba i wystarcza, by liczba wyrażona cyframi dziesiątek i jedności
danej liczby była podzielna przez 4 lub przez25.>>
III grupa cech podzielności – przez 1000,125.
Liczbę naturalną N przedstawimy w postaci:
N= f(1000)=...+(c8c7c6)10⋅10002+(c5c4c3)10⋅1000+(c2c1c0)10
Z kongruencji
1000 ≡ 0 (mod 1000)
wynika 1000|N-f(0), czyli 1000|N-(c2⋅100+c1 ⋅10+c0),
a stąd cecha podzielności przez 1000.
<<Aby dana liczba naturalna była podzielna przez 1000, potrzeba i
wystarcza, by liczba wyrażona cyframi setek, dziesiątek i jedności była
zerem.>>
Z kongruencji
1000 ≡ 0 (mod 125)
wynika 125|N-f(0), czyli 125|N-(c2⋅100+c1 ⋅10+c0),
a stąd cecha podzielności przez 125.
<<Aby dana liczba naturalna była podzielna przez 125, potrzeba i
wystarcza, by liczba wyrażona cyframi setek, dziesiątek i jedności była
podzielna przez 125.>>
11.
Cechy podzielności przez 9,3,7,11,13.
Cechy podzielności przez wymienione liczby podzielimy na dwie grupy
ze względu na sposób wyprowadzania.
I grupa cech podzielności – przez 9,3.
Z kongruencji
25
O podzielności liczb
Aleksandra Zalejko
10 ≡ 1 (mod 9)
wynika 9|N-f(1), czyli 9|N-(cn+cn-1+...+c1+c0),
a stąd cecha podzielności przez 9.
Z kongruencji
10 ≡ 1 (mod 3)
wynika 3|N-f(1), czyli 3|N-(cn+cn-1+...+c1+c0),
a stąd cecha podzielności przez 3.
<<Aby dana liczba naturalna była podzielna przez 9 lub przez 3,
potrzeba i wystarcza, by suma jej cyfr była podzielna przez 9 lub przez
3.>>
II grupa cech podzielności – przez 7,11,13.
Z kongruencji
1000 ≡ -1 (mod 7)
1000 ≡ -1 (mod 11)
1000 ≡ -1 (mod 13)
wynika odpowiednio
7|N-f(-1),
11|N-f(-1),
13|N-f(-1),
wnioskujemy, że
Jeżeli 7|(-1), to 7|N.
Jeżeli 11|(-1), to 11|N.
Jeżeli 13|(-1), to 13|N.
Ale N= f(1000)=...+(c8c7c6)10⋅10002+(c5c4c3)10⋅1000+(c2c1c0)10,
więc f(-1)=...+(c8c7c6)10-(c5c4c3)10+(c2c1c0)10.
Mamy więc cechę podzielności przez 7 lub przez 11, lub przez 13.
<<Aby dana liczba naturalna była podzielna przez 7 lub przez 13,
potrzeba i wystarcza, by suma algebraiczna a-b+c-d+... była podzielna
26
O podzielności liczb
Aleksandra Zalejko
przez 7, 11, 13, przy czym
a=c2⋅100+c1⋅10+c0,
b=c5⋅100+c4⋅10+c3,
c=c8⋅100+c7⋅10+c6 itd., gdzie c0,c1,c2,... to cyfry danej liczby naturalnej.>>
Np. Zbadajmy, czy 5804211 jest podzielne przez 7 lub przez 11, lub
przez 13.
Suma algebraiczna a-b+c=211-8045-=-588 dzieli się przez 7, a nie dzieli
się przez 11 i przez 13. Stąd 7|5804211, 11 nie jest dzielnikiem 5804211,
13 nie jest dzielnikiem 5804211.
Podzielność przez 7 można zbadać w inny sposób.
Rozpatrzmy kongruencje poszczególnych potęg liczby 10 według
modułu 7:
100 ≡ 1 (mod 7)
101 ≡ 3 (mod 7)
102 ≡ 2 (mod 7)
103 ≡ 6 (mod 7)
104 ≡ 4 (mod 7)
105 ≡ 5 (mod 7)
Badając dalsze potęgi liczby 10 stwierdzamy, że ciąg liczb 1,3,2,6,4,5
będzie się powtarzał, np.
106 ≡ 1 (mod 7), 107 ≡ 3 (mod 7), ... . Ten ciąg nazywamy ciągiem
charakterystycznym dla dzielnika 7. Zbadamy, czy liczba 1620941 jest
podzielna przez 7. Obliczamy sumę iloczynów poszczególnych cyfr
badanej liczby przez cyfry ciągu charakterystycznego:
1⋅1+4⋅3+9⋅2+0⋅6+2⋅4+6⋅5+0⋅1=1+12+18+0+8+30+1=70
Liczba 70 dzieli się przez 7, zatem i liczba 1620941 dzieli się przez 7. W
razie niepodzielności danej liczby przez 7 przy tym sposobie badania
wiemy jaka jest reszta.
27
O podzielności liczb
Aleksandra Zalejko
III. Propozycje tematów zajęć pozalekcyjnych związanych
z podzielnością i przykłady zadań
Na drodze szkolnej edukacji matematycznej elementarne wiadomości
o podzielności liczb poznaje uczeń klasy IV. W dziale poświęconym
podzielności liczb naturalnych realizowane są następujące tematy:
1) Wielokrotność liczby naturalnej.
2) Dzielniki liczby naturalnej.
3) Cechy podzielności:
- przez 2,5,10
- przez 4,25,100
- przez 3 i 9
4) Liczby pierwsze i złożone.
5) Rozkład liczby na czynniki pierwsze.
Uczeń klasy V powtarza, systematyzuje i pogłębia wiadomości
z zakresu podzielności liczb. W dziale poświęconym ułamkom zwykłym
realizowane są tematy:
1) Obliczanie NWD liczb naturalnych.
2) Obliczanie NWW liczb naturalnych.
Uczniowie uzdolnieni matematycznie mogą począwszy od klasy
V
rozwiązywać
ciekawsze
i
trudniejsze
problemy
związane
z podzielnością liczb. Może się to odbywać w trakcie lekcji, ale przede
wszystkim na zajęciach pozalekcyjnych (koła matematyczne) lub
poprzez indywidualną pracę ucznia pod kierunkiem nauczyciela.
Propozycje tematów zajęć pozalekcyjnych:
1)
Liczby pierwsze i liczby złożone.
2)
Sito Eratostenesa i inne sposoby odszukiwania liczb
pierwszych.
3)
NWD i NWW dwóch liczb naturalnych.
28
O podzielności liczb
Aleksandra Zalejko
4)
Algorytm Euklidesa.
5)
Równania diofantyczne.
6)
Cechy podzielności liczb.
7)
Liczby doskonałe.
8)
Liczby bliźniacze.
9)
Liczby zaprzyjaźnione.
10) Podzielność w zbiorze liczb naturalnych. Kongruencje.
11) Małe twierdzenie Fermata.
Propozycje ćwiczeń dotyczących podzielności liczb:
1) Liczba czterocyfrowa *87* dzieli się przez 3 i 5. Podaj wszystkie
takie liczby.
2) Do liczby 15 dopisz po jednej cyfrze na końcu i na początku tak,
aby otrzymana liczba była podzielna przez 15. Na ile sposobów
można to uczynić.
3) Wyznacz cyfry x, y tak, aby:
a) liczba 286y124x była podzielna przez 12,
b) liczba 5231y22y była podzielna przez 24,
c) liczba 320x235x717y była podzielna przez 72.
4) Czy wśród liczb podzielnych przez 3 istnieje sześć kolejnych,
których suma wynosi 990?
5) a) Napisz najmniejszą liczbę naturalną, która po podzieleniu
przez każdą z liczb: 2,3,...,10 daje resztę 1.
b) Napisz najmniejszą liczbę naturalną, która po podzieleniu
przez każdą z liczb: 2,3,...,10 daje odpowiednio resztę: 1,2,3,...,9.
6) Liczby 4373 i 826 podzielono przez tę samą liczbę naturalną
i otrzymano odpowiednio reszty 8 i 7. Znajdź tę liczbę.
7) Ile dzielników mają liczby:
a) 360
b) 63
29
O podzielności liczb
Aleksandra Zalejko
c) 96
d) 410?
8) Ojciec i syn postanowili zmierzyć odległość między dwoma
drzewami za pomocą swoich kroków. Długość kroku ojca wynosi
70cm, a długość kroku syna 56cm. Jaka jest odległość między
drzewami, jeśli ślady stóp ojca i syna pokryły się 11 razy?
9) Udowodnij, że suma liczby dwucyfrowej i liczby utworzonej
z tych samych cyfr zapisanych w odwrotnej kolejności jest
podzielna przez 11.
10)
Napisano trzy razy z rzędu tę samą liczbę dwucyfrową
i otrzymano liczbę sześciocyfrową. Udowodnij jej podzielność
przez 3,7,13,37.
11)
Ile jest liczb naturalnych mniejszych niż 1000, które nie są
podzielne przez 5 ani przez 7?
12)
Wykaż, że liczba 2+22+23+...+2100 jest podzielna przez 3.
13)
Smok ma 2000 głów. Rycerz może ściąć jednym cięciem 33
głowy lub 21 głów, lub 17 głów, lub 1 głowę. Smokowi odrasta
odpowiednio: 48,0,14 i 349 głów jednocześnie. Zostanie on
zabity, jeśli wszystkie głowy zostaną ścięte. Czy rycerz może
zabić smoka?
Propozycje tematów zajęć pozalekcyjnych związanych z podzielnością
liczb:
1) Liczby pierwsze i liczby złożone.
2) Sito Eratostenesa i inne sposoby odszukiwania liczb pierwszych.
3) NWD i NWW dwóch liczb naturalnych.
4) Algorytm Euklidesa.
5) Równania diofantyczne.
6) Cechy podzielności liczb.
7) Liczby doskonałe.
30
O podzielności liczb
Aleksandra Zalejko
8) Liczby bliźniacze.
9) Liczby zaprzyjaźnione.
10)
Podzielność w zbiorze liczb naturalnych. Kongruencje.
11)
Małe twierdzenie Fermata.
Wykaz literatury:
31
O podzielności liczb
Aleksandra Zalejko
1. W. Bednarek „Arytmetyka dla dociekliwych” Wydawnictwo Nowik,
Opole 1997
2. A. Białas „O podzielności liczb”, PZWS Warszawa 1960
3. Sz. Jeleński „Śladami Pitagorasa”, WSiP Warszawa 1974
4. Komitet Redakcyjny „Encyklopedia szkolna. Matematyka”, WSiP
Warszawa 1990
5. Komitet Redakcyjny „Leksykon matematyczny”, Wydawnictwo Wiedza
Powszechna, Warszawa 1993
6. S. Kowal „Przez rozrywkę do wiedzy” Wydawnictwa Naukowo –
Techniczne, Warszawa 1976
7. W. Narkiewicz „Teoria liczb”, PWN Warszawa 1977
8. M. Szurek „Opowieści matematyczne”, WSiP Warszawa 1987
9. M. Trąd „Kongruencje”, Centrum Doskonalenia Nauczycieli,
Zielona Góra 1990
10. Zespół Redakcyjny „Miniatury matematyczne”, tomik 3,
Aksjomat 1998
32