Rachunek prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa
Ćwiczenia 2
Definicja 1. Permutacją bez powtórzeń zbioru złożonego z n różnych elementów nazywamy każdy
n wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich wyrazów zbioru. Wszystkich możliwych permutacji zbioru
n-elementowego jest:
Pn = n!.
Definicja 2. Niech A oznacza zbiór złożony z k różnych elementów A = {a1 , a2 , ..., ak }. Permutacją n
elementową z powtórzeniami, w której elementy a1 , a2 , ..., ak powtarzają się odpowiednio n1 , n2 , . . . , nk
razy, n1 + n2 + . . . + nk = n, jest każdy n-wyrazowy ciąg, w którym elementy a1 , a2 , . . . , ak powtarzają
się podaną liczbę razy.
Liczba takich permutacji z powtórzeniami wynosi
Pnn1 +n2 +...+nk =
n!
.
n1 ! · n2 ! · . . . · nk !
Definicja 3. Kombinacją k–elementową utworzoną ze zbioru n–elementowego (k ¬ n) nazywamy dowolny k-elementowy podzbiór tego zbioru. W podzbiorach kolejność elementów nie jest
ważna.
Liczba k–elementowych kombinacji zbioru n–elementowego wyraża się wzorem:
Cnk
=
n
k
!
=
n!
.
k!(n − k)!
Definicja 4. Kombinacją k-elementową z powtórzeniami utworzoną z n-elementowego multizbioru
(k ¬ n, n > 0) nazywamy każdy k-elementowy multizbiór. W podzbiorach kolejność elementów
nie jest ważna.
Liczba k-elementowych kombinacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego wyraża się wzorem:
C̄nk
=
k+n−1
k
!
=
(k + n − 1)!
.
k!(n − 1)!
Definicja 5. Wariacją bez powtórzeń k-wyrazową zbioru n-elementowego A (1 ¬ k ¬ n) nazywa się
każdy k-wyrazowy ciąg k różnych elementów tego zbioru. Kolejność elementów ma znaczenie.
Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego wyraża się wzorem:
Vnk =
n!
= n · (n − 1) · ... · (n − k + 1).
(n − k)!
Definicja 6. Wariacją z powtórzeniami k-wyrazową zbioru n-elementowego A nazywa się k-wyrazowy
ciąg elementów tego zbioru (dowolny element może wystąpić wielokrotnie w ciągu). Kolejność elementów ma znaczenie.
Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji z możliwymi powtórzeniami zbioru n-elementowego jest
równa
k
V n = nk .
1
2
ω
P (ω)
1
2
3
4
1
5
1
3
1
15
6
15
Tabela 0.1: Rozkład prawdopodobieństwa dla rzutu czworościenną kostką.
Zadanie 1. Rzucamy trzema identycznymi monetami. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na wyrzuceniu co najmniej dwóch orłów.
Zadanie 2. Z tali 52 kart losujemy 3 karty. Ile możliwych ciągów kart możemy uzyskać? Jakie jest
prawdopodobieństwo, że wylosujemy w tym samym rozdaniu jako pierwszą kartę damę pik, a jako
drugą jakiekolwiek króla?
Zadanie 3. Z czterech kart: król pik, król karo, dama pik, dama karo losujemy dwie karty. Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na wylosowaniu jako pierwszej karty jakiegokolwiek
króla i jako drugiej karty jakiegokolwiek pika.
Zadanie 4. W pierwszym rzędzie w teatrze znajduje się 10 ponumerowanych miejsc. Na ile sposobów,
możemy posadzić w nim 10 ludzi?
Zadanie 5. Z czterech identycznych tali kart liczących po 24 karty losujemy po jednej karcie. Oblicz
prawdopodobieństwo otrzymania czterech dziesiątek.
Zadanie 6. W puli znajdują się bile: 4 czarne, 2 niebieskie i jedna biała. Losujemy dwie bile (bez
zwracania). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na wyciągnięciu jednej bili białej i
jednej czarnej.
Zadanie 7. Rozkład prawdopodobieństwa dla rzutu czworościenną kostką przedstawia Tabela 0.1:
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia losowego, polegającego na wylosowaniu nieparzystej liczby
oczek.
Zadanie 8. Niech P (A) = x, P (B) = 2x, a ponadto wiadomo, że jedno ze zdarzeń musi zajść.
Wyznaczyć x gdy A i B wykluczają się.
Zadanie 9. Wiedząc, że zdarzenia A i B nie mają części wspólnej oraz:
2
P (A) = ,
5
1
P (B) = .
5
Oblicz:
a) P (A ∩ B)
b) P (A ∪ B)
c) P (A \ B)
Zadanie 10. Wiedząc, że zdarzenia A i B nie mają części wspólnej oraz:
2
P (A) = ,
3
Oblicz:
a) P (A ∩ B)
b) P (A ∪ B)
c) P (A \ B)
1
P (B) = ,
5
P (A ∩ B) =
1
.
12
3
Zadanie 11. Mamy do dyspozycji 9 drewnianych klocków, na których są pomalowane cyfry od 1
do 9. Ile możemy ułożyć liczb czterocyfrowych, wybierając kolejno bez zwracania 4 klocki?
Zadanie 12. Na ile sposobów możemy uzyskać różne wyniki, przy rzucie dwiema różnymi kostkami?
Zadanie 13. Ile wyrazów można utworzyć z liter (wykożystujemy wszystkie litery)
{M, A, T, E, M, A, T, Y, K, A}?
Zadanie 14. Przy okrągłym stole przydzielono miejsca w sposób losowy 10-ciu osobom, wśród tych
osób jest rodzina (rodzice (dwoje) i trójka dzieci). Ile jest sposobów przydziału miejsc przy okrągłym
stole w taki sposób, aby dzieci siedziały bezpośrednio między rodzicami?
Zadanie 15. Ze zbioru
{1, 2, 3, ..., 39, 30}
losujemy 10 różnych liczb. Znaleźć prawdopodobieństwa następujących zdarzeń:
a) zdarzenie A = wszystkie wylosowane liczby są nieparzyste,
b) zdarzenie B = dokładnie 3 liczby podzielne są przez 5,
c) zdarzenie C = wylosowano 5 liczb parzystych, 5 liczb nieparzystych, w tym dokładnie jedna liczba
podzielna przez 10?