Teorie gier w socjobiologii.pps

Teorie gier w socjobiologii
(BPZ – ćwiczenia)
Magdalena Reuter
Teorie gier
• Dział matematyki zajmujący się badaniem zachowania
graczy w przypadku konfliktu interesów.
• Teoria gier wywodzi się z badania gier hazardowych,
(stąd terminologia).
• Zastosowania: w ekonomii, biologii, socjobiologii,
socjologii, informatyce.
Teorie gier a teorie decyzji
• Teoria gier jak i teoria decyzji analizują sposoby podejmowania
optymalnych decyzji w rozmaitych sytuacjach.
Różnice:
• W teorii gier działania podejmowane przez każdego z
uczestników mają wpływ na pozostałych uczestników gry, i
gdy gracze podejmują decyzję co do wyboru swoich strategii
biorą te interakcje pod uwagę.
• W teorii decyzji, decyzje mogą być podejmowane w warunkach
ryzyka lub niepewności, ale nie zależą one od strategicznych
działań osób innych niż osoba, która decyduje.
Teorie gier
• Gra – każda sytuacja konfliktowa pomiędzy co
najmniej dwoma graczami
• Gracze – dowolni uczestnicy (ludzie, zwierzęta,
przedsiębiorstwa)
• Strategia postępowania – wybierana przez
każdego z graczy z uwzględnieniem posunięć
przeciwnika
• Wypłata – otrzymywana w wyniku starcia z
przeciwnikiem (może być w różnych jednostkach
użyteczności – pieniądze, wzrost szansy na
przekazanie własnych genów, satysfakcja etc.)
Gry:
• gry o sumie stałej (zysk jednego gracza jest
równoważny stracie drugiego) i na gry o sumie
zmiennej
• gry sprawiedliwe (gdy wartość oczekiwana wypłaty
każdego z graczy jest taka sama) oraz gry
niesprawiedliwe
• dwuosobowe i wieloosobowe
Macierz wypłat gracza A w starciu z graczem B
B
B1
B2
A1
a11
a12
A2
a21
a22
A
A, B – gracze
A1, A2 – strategie stosowane przez gracza A
a11;a12, a 21, a 22 – wygrane gracza A
B1, B2 - strategie stosowane przez gracza B
w starciu z przeciwnikiem B
John Maynard Smith
• Brytyjski biolog ewolucyjny oraz genetyk
• Zaaplikował teorie gier na grunt ewolucji –
stworzył tzw. ewolucyjne teorie gier
• Wcześniej George R. Price: Logika
konfliktów między zwierzętami
Strategia „gołębia” i „jastrzębia”
• Wyjaśnia kwestię zachowań rytualnych w
czasie konfliktów zwierząt
• Strategia „gołębia” – ustępuje każdemu, kto
stawi mu opór
• Strategia „jastrzębia” – nigdy nie oddaje
pola
Macierz wypłat w grze „jastrzębia” z „gołębiem”
Jastrząb
Gołąb
Jastrząb
(V-C)/2
V
Gołąb
0
V/2
V – korzyść
C - strata
Przypadek 1. Populacja złożona z tylko z „gołębi”
• Zysk każdego osobnika w populacji – V/2
• Jeśli pojawi się przypadkiem „jastrząb” uzyska
większą korzyć niż każdy z gołębi (V)
• Wygrana osobnika w konflikcie zwiększa jego
dostosowanie (tj. przeżywalność i liczbę
potomstwa); oznacza to przyrost jastrzębi w
kolejnych pokoleniach
Przypadek 2. Populacja złożona z tylko z „jastrzębi”
• Zysk każdego osobnika w populacji: (V – C)/2
• Pierwszy gołąb w populacji „jastrzębi”: 0
• Zysk „gołębia” (0) jest większy od zysku „jastrzębi”, gdy są
one wojownicze – wówczas koszty C są duże a zatem, każdy
„jastrząb” uzyska: (V – C)/ 2 < 0
• W tej sytuacji liczba gołębi w kolejnych pokoleniach będzie
wzrastać
Problem jednej strategii
• Populacja, w której osobnicy używają wyłącznie
jednej strategii, będzie nieodporna na inwazję
osobnika, używającego odmiennej strategii (nawet
jeśli pozornie, strategia ta wydaje się być słabsza)
• Łagodne, ustępujące wszystkim osobniki radzą
sobie dobrze w populacjach złożonych z samych
agresywnych osobników
• Strategia czysta – albo „gołębia” albo „jastrzębia”
Strategie ewolucyjnie stabilne
• Strategia mieszana – raz „gołębia” raz
„jastrzębia”
• Price i Smith: równowagowy skład populacji
- proporcja „gołębi” i „jastrzębi” do której
będzie zmierzać każda populacja
Strategie ewolucyjnie stabilne
• ESS – evolutionary stable strategy
• Są to strategie odporne na inwazje
mutantów z uwagi na to, iż osobnicy danej
populacji stosują strategie mieszane – raz
„gołębia” raz „jastrzębia” z pewnym
rozkładem prawdopodobieństwa zależnym
od specyfiki gatunku i środowiska
• Gry ewolucyjne rozgrywane wielokrotnie,
przez wiele pokoleń; wygrana wpływa na
liczbę zwolenników danej strategii
prowadzących rozgrywki w przyszłości
• Gry ewolucyjne to nie jednorazowa partia w
szachy... Rozgrywane obecnie strategie
mają wpływ na starcia w kolejnych
konfliktach
Strategie mieszane: rodzaje gier
• Gry symetryczne – obaj gracze są w tej
samej sytuacji, ale w trakcie sporu mogą
stosować różne strategie
• Gry niesymetryczne - obaj gracze są w
różnej sytuacji, a w trakcie gry też mogą
stosować różne strategie
Gry niesymetryczne
• Konflikty między osobnikiem dużym i małym, starym i
młodym, samcem i samicą
• Spór między posiadaczem jakiś zasobów oraz
osobnikiem, który tych zasobów nie posiada
(konflikt m-y „gołębiem”, „jastrzębiem”i”legalistą”)
„Legalista” – zachowuje się w zależności od stanu
posiadania: gdy ma co bronić przyjmuje strategię
„jastrzębia” gdy nie ma czego bronić przyjmuje strategię
„gołębia”
Matryca wypłat dla gry m-y „G”, „J” i „L”
„Jastrząb”
„Gołąb”
„Legalista”
„Jastrząb”
(V-C)/2
V
[(V-C)/4]+(V/2)
„Gołąb”
0
V/2
V/4
„Legalista”
(V-C)/4
V/2+V/4
V/2
Starcie „Legalista” – „Legalista”
• 50 % szans na to, że osobnik przybędzie
pierwszy na miejsce konfliktu, posiądzie
zasoby
• Zatem jego wypłata: V/2
Starcie „Legalista” – „Jastrząb”
• 50 % szans, że”L” przejmie zasoby przed „jastrzębiem” i
zachowa się jak „jastrząb” – wtedy będą walczyć o zasoby
zatem wypłata legalisty wynosi (V-C)/4
• 50% szans iż „J” wyprzedzi „L” i zmusi do zachowania się
jak „G”. Wypłata „J” w tym starciu zatem wynosi:
[(V-C)/4] + (V/2)
SKŁADNIKI SUMY:
(V-C)/4 wypłata „J” w konflikcie z legalistą „jastrzębiem”;
V/2 wypłata „J” w konflikcie z legalistą „gołębiem”
Starcie „Legalista” – „Gołąb”
• 50% szans, iż „L” posiądzie wcześniej zasoby i
zachowa się jak „J” (zysk: V/2) oraz 50% szans,
że „G” wyprzedzi „L”, wówczas „L” zachowa się
jak „G” (zysk: V/4). Zatem ZYSK LEGALISTY:
V/2 +V/4
• Zysk „Gołębia” – V/4
(tyle ile uda mu się wyciągnąć od „L” gdy
zachowa się jak „G”)
Matematyka wzajemnej pomocy
Spór o dobór grupowy i indywidualny
• Zwolennicy doboru grupowego – zachowania
altruistyczne dowodzą, iż dobór grupowy sprzyja
ewolucji takich cech, które są dobre dla grupy
• Zwolennicy doboru indywidualnego –
Dobór indywidualny preferuje cechy, które
pomagają realizować interesy osobnicze –
altruizm jest wynikiem doboru indywidualnego
Dobór indywidualny
• Teorie gier wyjaśniają dlaczego zwolennicy
doboru indywidualnego wygrywają w sporze
• Np. Współistnienie w populacji „jastrzębi” i
„gołębi” wyjaśnia, iż „gołąb” realizuje swoje
interesy egoistyczne podobnie jak „jastrząb”
• Nie jest tak, że „gołąb” ustępując, nie szkodzi
innym osobnikom i działa na korzyść populacji
czy gatunku...
Dwa rodzaje altruizmu
• Altruizm odwzajemniony (Trivers)
• Altruizm krewniaczy (Hamilton)
Robert Trivers
• Altruizm odwzajemniony – polega na
dokonywaniu aktów altruizmu w sytuacjach, w
których prawdopodobieństwo odwzajemnienia
pomocy i prawdopodobieństwo potrzeby pomocy
w przyszłości jest jak największe.
• „Jeśli ja pomogę mu teraz, to gdy ja będę
potrzebować pomocy, on odwzajemni się
pomagając mi."
Altruizm odwzajemniony
Sytuacje, w których szanse na altruizm
zmniejszają się:
1. Do altruizmu nie będą skłonne jednostki, które
radzą sobie dobrze same i nie spodziewają się
sytuacji, w której będą potrzebować pomocy.
2. Nie opłaca się pomagać jednostce egoistycznej,
po której nie można spodziewać się
odwzajemnienia.
Przykład altruizmu odwzajemnionego:
nietoperze wampiry
Matryca wypłat dwóch graczy w grze w Dylemat Więźnia
Współpraca
Gracz 2
Zdrada
Gracz 2
3 pkt
Współpraca
Gracz 1
Zdrada
Gracz 1
3 pkt
Gracz 2
5 pkt
Gracz 1
0 pkt
Gracz 2
0 pkt
Gracz 1
5 pkt
Gracz 2
1 pkt
Gracz 1
1 pkt
Teorie gier – dylemat więźnia
Dwaj przestępcy złapani przez policję za przewinienie mogą
współpracować lub się zdradzić
Jeśli:
1.będą współpracować ze sobą (obaj nie będą zeznawać),
odsiedzą niewielką karę za małe przewinienie
2.jeden zerwie współpracę i będzie zeznawał, a drugi nie pierwszy zostanie uwolniony, drugi natomiast pójdzie siedzieć
za poważne przestępstwo,
3.obaj będą zeznawać, obaj pójdą siedzieć, przy czym wyrok
będzie z tego względu nieco złagodzony.
X:
„Jeśli zdradzę Y-ka...
X
„Jeśli będę
współpracował...
a Y mnie nie zdradzi... to
uniknę kary a Y odsiedzi
10 lat
a Y również mnie zdradzi...
to odsiedzimy wspólnie 5
lat
a Y też będzie
współpracował, to
odsiedzimy wspólnie 2
lata
a Y mnie zdradzi to
odsiedzę sam 10 lat a Y
uniknie kary
Dylemat więźnia
• Istnieje ryzyko, że jeśli będę współpracować to drugi
więzień mnie zdradzi, wtedy będę siedzieć za
poważne przestępstwo
• Opłaca się zatem zdradzić współtowarzysza
• Zyski z obustronnej współpracy są wyższe niż kara za
obopólną zdradę – jednostronna zdrada stwarza
jednak pokusę wyższej wygranej
Eksperyment myślowy
• Populacja złożona z graczy o niezmiennym
algorytmie działania (albo współpraca albo
zdrada)
• Każdy z każdym gra w Dylemat Więźnia
• Wypłata gracza – funkcja graczy z którymi
się zmierzył (skład populacji)
Eksperyment myślowy
• Zdrajca – lepszy wynik od współpracującego
• Wypłata to liczba potomstwa
• Strategie są dziedziczone
• Zatem: liczba zdrajców wzrośnie w populacji, aż
ją zdominuje
Strategie w przypadku gry wielokrotnej
• Jaką osobnik powinien obrać strategię w
przypadku gry wielokrotnej?
• Jeśli spotykamy kogoś wielokrotnie, istnieje
szansa, że jego pomoc nam się w przyszłości
przyda. W takiej sytuacji są mniejsze szanse na
zdradę.
• Strategia w sytuacji gry wielokrotnej zależy od
wyniku poprzednich spotkań
Strategie w przypadku gry wielokrotnej
• Żadna strategia nie jest najlepsza we
wszystkich warunkach.
• Gdy kontrpartner zawsze współpracuje
najlepszą strategią jest zdrada.
• Gdy kontrpartner współpracuje tylko wtedy
gdy nie zostanie nigdy zdradzony, to dobrą
strategią jest współpraca.
Nieprzewidywalność gry
• Nieprzewidywalność gry w Dylemat
Więźnia wynika ze zmieniających się
warunków oraz z tego, że nie znamy
przyszłych strategii kontrpartnera
Robert Axelrod
• Seria gier w Dylemat Więźnia z
wielokrotnym powtarzaniem
przeprowadzona na komputerze
• Wygrała strategia „wet za wet”
zaproponowana przez Anatola Rapoporta,
specjalisty od teorii gier
• „wet za wet” - współpraca za pierwszym
zagraniem, następnie powtarzanie ruchów
przeciwnika
Martin A. Nowak, Robert M. May,
Karl Sigmund
• Symulacje komputerowe z rozbudowanymi
strategiami – decyzje podejmowane na
podstawie wyniku z poprzedniej rundy
• 4 możliwości: pokusa, nagroda, kara, strata
• 16 typów graczy
Strategie:
• Zawsze współpracuj
• Zawsze zdradzaj
• Wet za wet – przy pierwszym ruchu współpraca a
potem powtarzanie ruchów przeciwnika
• Strategia Pawłowa („jak dobrze to nie zmieniaj, jak
źle zmień”) – powtarzanie ruchu poprzedniego jeśli
był zyskowny (korzyść ze współpracy bądź też ze
zdrady kogoś współpracującego dotychczas) oraz
zmianę jeśli przyniósł straty (współpraca ze
zdradzającym lub obopólna zdrada)
Martin A. Nowak, Robert M. May,
Karl Sigmund
• Wynikiem eksperymentu była ilustracja koncepcji
naruszonej punktowo równowagi („punctuated
equilibria”) z teorii ewolucji
• Przez większość czasu prawie wszyscy w
populacji albo współpracują albo zdradzają (stan
równowagi)
• Zmiana zachowań następuje rzadko ale jeśli
następuje to w ciągu kilku generacji (stosunkowo
szybko)
• Wyraźne dążenie do współpracy
WNIOSKI
• Modele matematyczne zaczerpnięte z teorii
gier pokazują sposób powstawania i
rozprzestrzeniania się współpracy w
układach biologicznych oraz pomagają
zrozumieć strategie zachowań społecznych
• Współpraca i walka o byt są równie ważne
w ewolucji
Altruizm krewaniaczy
(Hamilton)
William Hamilton
• Dobór krewniaczy (kin selection) – mechanizm
ewolucji biologicznej, prowadzący do adaptacji
organizmów, która polega na zwiększaniu szansy
przeżycia osobników z nimi spokrewnionych.
• Dostosowanie łączne (inclusive fitness) - dostosowanie
danego organizmu jest sumą sukcesu reprodukcyjnego
oraz wpływu tego organizmu na sukces reprodukcyjny
jego krewniaków.
Matematyka doboru krewniaczego
• Współczynnik pokrewieństwa - liczba od 0 do 1, która
mówi jaką część genów dwa osobniki odziedziczyły po
wspólnych przodkach (lub jeden względem drugiego)
•
•
•
•
bliźnięta jednojajowe – 1
rodzic – dziecko 0,5
pełne rodzeństwo 0,5
niepełne rodzeństwo (wspólny 1 rodzic) – 0,25
Matematyka doboru krewniaczego
• Jeśli nosiciel danego allelu pomaga swoim krewnym, to
częstość tego allelu w populacji może wzrosnąć.
• Korzyści odniesione przez krewniaków muszą być
zgodne są z zasadą Hamiltona:
R×B>C
gdzie:
R - współczynnik pokrewieństwa;
B - zysk reprodukcyjny krewniaka;
C - koszt reprodukcyjny osobnika poświęcającego się
Przykład pszczół: system
rozmnażania haplo-diploidalny
Królowe (diploidalne - dwa zespoły chromosomów)
Trutnie – (haploidalne - jeden zespół chromosomów) –
powstają z jaj niezapłodnionych
Robotnice – (diploidalne) powstają w efekcie
zapłodnienia komórki jajowej pochodzącej od
królowej, przez plemnik pochodzący od jednego z
trutni
• Komórki jajowe zawierają jeden zespół chromosomów, który jest losową
kombinacją obu zestawów genów królowej.
• Wszystkie plemniki zawarte w nasieniu jednego trutnia zawierają cały
jego zespół chromosomów i są identyczne
Altruizm krewaniaczy: przykład pszczół
• Współczynnik pokrewieństwa matka-królowa i jej
dzieci wynosi 0,5 (połowa chromosomów matki)
• Współczynnik pokrewieństwa robotnica –
robotnica-siostra od tego samego ojca-trutnia
wynosi 0,75 (cały zespół chromosomów po
haploidalnym ojcu oraz połowa chromosomów po
diploidalnej matce)
• Współczynnik pokrewieństwa robotnica – truteńbrat wynosi 0,25 (połowa chromosomów matki)
Altruizm krewaniaczy: przykład pszczół
• Gen nakazujący robotnicy oddanie życia za dwie inne
robotnice mające tego samego ojca (pokrewieństwo 0,75)
rozprzestrzeni się w populacji pszczół. (Dwie siostry
reprezentują 150% genotypu robotnicy)
• Koszt reprodukcyjny poświęcającej się robotnicy wynosi 1
(zero szans na potomstwo). Zatem:
0,75 x 2 > 1
• Altruizm robotnic jest więc w rzeczywistości egoizmem –
opłaca się pielęgnować siostry, gdyż można się przyczynić do
ekspansji własnego genotypu
• Altruizm krewniaczy – efekt rachunku, z
którego wynika, że do ekspansji własnego
genotypu można się przyczynić lepiej
pomagając odpowiedniej liczbie bliskich
krewnych, niż przez samodzielne
rozmnożenie