pasmowa struktura elektronowa kryształów

PASMOWA STRUKTURA ELEKTRONOWA KRYSZTAŁÓW
Wstęp: swobodny elektron
Równanie Schrödingera w 3D
 2  d 2
d2
d2  


−
(
)
(
)
r
E
r
+
+
Ψ
=
Ψ
 2m  dx 2 dy 2 dz 2  



w jednym wymiarze (1D)
2 d 2
−
Ψ ( x) = EΨ ( x)
2
2m dx
rozwiązanie
Ψ ( x) =
1 ikx
e
Ω
(11)
- tzw. fala płaska
gzie Ω - długość odcinka (ogólnie objętość) na którym normujemy Ψ
k = (2mE ) /  2
k:
w 3D
1 ikr

e
Ψ (r ) =
Ω


p = k
związek k z pędem:
równanie (11) jest niezmiennicze wzgl. translacji o dowolny wektor

( Ψ (r )
  
ik r ik a
=e e

ik r
a
= e A - dalej jest f. własną H do tej samej energii)
zatem k - to nic innego jak wektor falowy
Najprostszym (najprymitywniejszym) modelem kryształu jest
kryształ „bez atomów” – tzn. bez potencjału, Vper = 0,
Jest to też najprostszy model metalu:
nieoddziałujące elektrony (niezależne) umieszczone i
uwięzione w objętości Ω
wówczas energia elektronu jest kwadratową funkcją
k (parabola)
2 2
k

Ek0 =
2m
widmo energii jest zatem jednym „półnieskończonym” pasmem
zaczynającym się energią „0”
w 2D mamy
wróćmy do 1D
model „postej sieci” ale ze strukturą symetrii translacyjnej
(są węzły, ale bez potencjału jonów)
definiuje się strefy Brillouina i można mapować k > IBZ do IBZ
wektory k z kolejnych stref Brillouina, zmapowane do IBZ
„zaginają” gałęzie paraboli E(k) i definiują pasma,
które w takim modelu łączą się ze sobą w jedno continuum
Model prawie swobodnych elektronów (NFE)
Do obrazu elektronów swobodnych wprowadzamy
słabe zaburzenie w postaci
periodycznego potencjału V(r) - słabego
Model NFE dobrze opisuje układy zawierające
słabo związane elektrony (metale)
Z dokładnością do II rzędu rachunku zaburzeń
E (k ) = E + k V k + ∑
0
k
k'
k V k'
2
Ek0 − Ek'0
funkcja falowa jest dalej kombinacją liniową fal płaskich
(przypomnijmy, że dla stanu o najniższej energii, poprawka
w II-gim rzędzie jest ujemna)
potencjał, jako funkcję periodyczną r można rozwinąć
Fourierowsko w bazie fal płaskich opartych o wektory sieci
odwrotnej
g
V (r ) = ∑ Vg e igr
g
(X)
(problem: trzeba znać
zatem
Vg
lub umieć je przybliżyć)
k V k ' = ∑ Vg ∫ dre i (k + g −k')r
g
≠0
tylko dla ( k – k’ ) = g
więc
E (k ) = E + V0 + ∑
0
k
Vg
2
0
0
E
E
−
g ≠0
k
k −g
ale dla k, dla których mamy degenerację trzeba stosować
pierwszy rząd RZ dla stanów zdegenerowanych – mianownik
energetyczny znika....
sytuacja taka ma miejsce dla k na granicach stref, np.
k = ½ G i k = - ½ G, G = π / a ;
G to pierwszy ≠ 0 wektor sieci odwrotnej
(dla k i -k, innych niż granice strefy nie ma degeneracji w II-gim
rzędzie bo k i -k nie różnią się o G)
wówczas dla
k
blisko granicy strefy przybliżamy
ϕ k = ak e ikr + ak −G e i (k −G )r
działanie H φ = E φ , mnożenie z lewej przez exp(...) i
scałkowanie
da układ równań algebr. na współczynniki ak , ak-G (5)
...ćwiczenia...
 Ek0 − E (k )
  ak 
VG
=0



0
Ek −G − E (k ) ak −G 
 V−G
( położyłem V0 = 0 )
nietrywialne rozwiązanie - gdy wyznacznik znika - daje
E ± (k ) = 12 ( Ek0 + Ek0−G ) ±
1
2
( Ek0 − Ek0−G ) + 4 | VG | 2
dla k bardzo bliskich ½ G
E ± (k ) = E 10G ± | VG |
2
• „ciągłe” pasmo (continuum) dla swobodnych elektronów
ulega „rozczłonkowaniu” na szereg pasm rozdzielonych
przerwami
• ze względu na tw. Blocha jednej wartości k odpowiada
nieskończenie wiele rozwiązań: numerujemy je „n”
(pasma) - zmienia się tylko uk (r) -> unk (r)
Modele potencjałów periodycznych
Gdy w (X) ograniczymy się tylko do 3 najmniejszych wektorów sieci
odwrotnej: 0, g, -g, to dostaniemy
V ( x) =
∑V e
0, g , − g
g
i gx
= V0 + e igx + e − igx = V0 + 2 cos( gx)
V0 - tylko stała przesuwająca skale energii
Model Kroniga-Penneya
Jednowymiarowy potencjał periodyczny zbudowany
z prostokątnych studni / barier
równanie Schrödingera :
 2 d 2

 −
+
Ψ ( x) = EΨ ( x)
V
per 
2

 2m dx

możemy rozwiązać zszywając rozwiązania i ich pochodne w obszarach
studni i barier (żądanie ciągłości funkcji falowej i jej pochodnej na granicy
studni / barier)
w przedziale studni ( 0 – a )
gdzie
k = (2mE ) /  2
w przedziale bariery (-b – 0 )
gdzie
Ψ = Ae ikx + Be − ikx
Ψ = Ceκx + De−κx
κ = 2m(U 0 − E ) /  2
dodatkowo żądamy Blochowskiej postaci funkcji falowej
tzn. po przesunięciu argumentu funkcji o (a+b)
funkcja nabiera fazy
e ik ( a +b )
żądając ciągłości funkcji i pochodnej w punkcie „0” mamy
A+ B = C + D
ik ( A − B) = κ (C − D)
zatem ciągłość w a
(
) = κ (Ce
)
Aeika + Be− ika = Ce −κb − Deκb eik ( a + b )
(
ik Aeika − Be− ika
−κb
)
− Deκb eik ( a + b )
te cztery równania mają rozwiązanie  znika wyznacznik, co daje
równanie na możliwe energie E
(12)
[(κ
)
]
− k 2 / 2κk sinh κb sinh Ka + cosh κb cosh ka = cos k (a + b)
(pamiętamy, że k
i κ
zależą od E )
bez znacznej straty ogólności, żeby ułatwić sobie rozwiązanie, można
przyjąć potencjał Vper w postaci sekwencji delt-Diraca
wówczas kładąc b=0 i U0 -> ∞ i biorąc granicę skończonego
Q2ba/2 = P
dostajemy
(P / κa )sin ka + cos ka = coka
można to łatwo rozwiązać graficznie
(C.Kittel, WFCS)
2k 2
dozwolone wartości energii (obliczone z E =
)
2m
odpowiadają tyk k dla których funkcja z wykresu jest | | <1
pozostałe obszary to przerwy energetyczne
(C.Kittel, WFCS)