Oblicz: Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry

Zbiór zadań maturalnych
Profil rozszerzony
Autor: Andrzej Staszewski
Zbór zadań obejmuje zadania otwarte z matur z lat 2005 – 2014 oraz egzaminów
próbnych organizowanych przez OPERON
Spis treści:
Lp.
Dział
Numery zadań
Strona
1
2
3
4
5
Działania na liczbach rzeczywistych
Działania na potęgach i pierwiastkach
Działania na logarytmach
Działania na wyrażeniach algebraicznych
Działania na wielomianach
Rozwiązywania równań, nierówności oraz
układów równań i nierówności I stopnia
z jedną lub dwiema niewiadomymi
Rozwiązywanie równań i nierówności II stopnia z
jedną niewiadomą
Rozwiązywania równań i nierówności
wielomianowych
Rozwiązywanie równań i nierówności wymiernych
Wybrane zadania dotyczące ogólnych własności
funkcji, rachunek różniczkowy
Funkcja liniowa
Funkcja kwadratowa
Funkcja wielomianowa, wymierna i
homograficzna
Funkcja wykładnicza i logarytmiczna
Ogólne własności ciągów liczbowych
Ciąg arytmetyczny
Ciąg geometryczny
Ciąg arytmetyczny i geometryczny – zadania
łączne
Funkcje trygonometryczne
oraz rozwiązywanie równań i nierówności
trygonometrycznych
Planimetria – podstawowe definicje, trójkąty,
wzajemne położenie okręgu i trójkąta
Planimetria – czworokąty, wzajemne położenie
okręgu i czworokąta
Planimetria - położenie okręgów na płaszczyźnie i
kątów w okręgu
Geometria analityczna
Stereometria
Kombinatoryka
Rachunek prawdopodobieństwa
1-9
10
11 - 15
16 - 22
23 - 28
1
2
3
4
5
29 - 30
6
31 - 44
7
45 - 53
9
54 - 55
10
56 - 62
11
63
64 - 71
13
14
72 - 77
16
78 - 88
89 - 94
95 - 98
99 - 108
17
19
20
21
109 - 115
22
116 - 137
24
138 - 156
27
157 - 166
29
167 - 169
32
170 - 195
196 - 221
222 - 228
229 - 247
33
35
40
41
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
1.1
Wybrane zadania otwarte dotyczące działań na liczbach rzeczywistych
Zadanie 1
Znajdź ujemny pierwiastek równania 2 x  1  2  4
Zadanie 2
Liczby naturalne parzyste od 2 do 100 zapisujemy kolejno jedna za drugą, tworząc liczbę
naturalną a. Czy liczba a jest kwadratem pewnej liczby naturalnej?. Wskazówka: zbadaj
podzielność sumy cyfr.
Zadanie 3
Korzystając z własności wartości bezwzględnej, uzasadnij, że wyrażenie:
2
przedstawia liczbę naturalną. Podaj konieczne założenia.
x2 4  x2 4  2
x  4 x  12
Zadanie 4
Wykaż, że wśród rozwiązań równania: x  2  x  4  6 istnieje takie, które jest liczbą
niewymierną.
Zadanie 5
Rozwiązać nierówność: 3x  6  x  2  x .
Zadanie 6
Rozwiąż nierówność: 2 x  4  x  1  6.
Zadanie 7
Rozwiąż nierówność x  2  x  1  3x  1 .
Zadanie 8
Rozwiąż nierówność 2 x  5  x  4  2  2 x.
Zadanie 9
Liczba n jest najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą równanie: 2  x  57  x  39 . Zakoduj
cyfry: setek, dziesiątek i jedności liczby n .
2.1
Wybrane zadania otwarte dotyczące działań na potęgach i pierwiastkach
Zadanie 10
Wykaż, że jeżeli: A  34
2 2
 B  32
2 3
, to B  9 A.
3.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące działań na logarytmach
Zadanie 11
Wykaż, że dla dowolnej liczby a > 0 zachodzi nierówność:
2
log 2   a   log 2   a  
 log  
log  a 10
Zadanie 12
Wykaż, że dla a > 0 i x > 1 zachodzi nierówność: log a x  log x a  log 100.
Zadanie 13
Nie używając kalkulatora, porównaj liczby: a  3
log3
3
12
4
; b  10
1
2  log 81
2
Zadanie 14
Oblicz: log 3 4 27  log 3  log 3 3 3 3 . Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po


przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku:
Zadanie 15
Niech m  log 21 7. Wykaż, że log 7 27 
31  m 
.
m
4.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące działań na wyrażeniach
algebraicznych
Zadanie 16
Uzasadnij, że jeżeli a + b = 1 i a2 + b2 = 7, to a4 + b4 = 31.
Zadanie 17
Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej k liczba k 6 − 2k 4 + k 2 jest podzielna przez 36.
Zadanie 18
Uzasadnij, że jeżeli a ≠ b , a ≠ c , b ≠ c i a + b = 2c , to
a
b

 2.
ac bc
Zadanie 19
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c i d prawdziwa jest nierówność
ac  bd  a 2  b 2  c 2  d 2 .
Zadanie 20
Liczby a, b, k są całkowite i k jest różna od zera. Wykaż, że jeśli liczby: a + b oraz a∙b są
podzielne przez k, to liczba a3 – b3 też jest podzielna przez k.
Zadanie 21
Udowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych dodatnich x, y prawdziwa jest
x
y
nierówność: x  1   y  1  2.
y
x
Zadanie 22
1
Udowodnij, że jeśli a > 0 i b > 0 oraz a + b = 1, to ab  .
4
5.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące działań na wielomianach
Zadanie 23
Dany jest wielomian W ( x)  2 x 3  nx 2  mx  8. Wyznacz liczby m i n, jeśli wiadomo, że
reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian (x+2) jest równa 4 i jednym z pierwiastków
jest liczba (-1). Wykaż, że ten wielomian ma dwa różne pierwiastki.
Zadanie 24
Reszty z dzielenia wielomianu W(x) przez (x – 1), (x + 1), (x + 2) są odpowiednio równe: 1; 1; 3. Znajdź resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P(x) = (x -1 )(x+1)(x+2).
Zadanie 25
Przedstaw wielomian W ( x)  x 4  2 x 3  3x 2  4 x  1 w postaci iloczynu dwóch
wielomianów stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych i takich, że współczynniki
przy drugich potęgach są równe jeden.
Zadanie 26
Przy dzieleniu wielomianu W(x) przez dwumian (x −1) otrzymujemy iloraz Q(x) = 8x2 + 4x
−14 oraz resztę R(x) = −5. Oblicz pierwiastki wielomianu W(x).
Zadanie 27
Wyznacz wartości a i b współczynników wielomianu W ( x)  x 3  ax 2  bx  1 wiedząc, że
W(2) = 7 oraz, że reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez (x – 3) jest równa 10.
Zadanie 28
Wielomian W ( x)  x 4  ax 3  bx 2  24 x  9 jest kwadratem wielomianu P( x)  x 2  cx  d .
Oblicz a oraz b.
6.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące rozwiązywania równań, nierówności
oraz układów równań i nierówności I stopnia z jedną lub dwiema
niewiadomymi
Zadanie 29

3  x  y
Rozwiąż układ równań: 
.
3

2
x

y


Zadanie 30
Oblicz najmniejszą liczbę naturalną n spełniającą nierówność
2n  10 2
1
  .
3n  1 3 30
7.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące rozwiązywania równań i nierówności
II stopnia z jedną niewiadomą
Zadanie 31
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie:
m  1x 2  2m  1x  m  4  0 ma jedno rozwiązanie.
Zadanie 32
Określ, dla jakich wartości parametru k równanie: x 2  k  1x  0,5k  5  0 ma dwa różne
pierwiastki dodatnie.
Zadanie 33
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których rozwiązania: x1 ; x2 równania
x 2  13x  24  10  mx  15 spełniają warunek: x12  x22  3x1 x2  0 .
Zadanie 34
Dla jakich wartości parametru m suma kwadratów dwóch różnych pierwiastków równania
x 2  m  5x  m  7  0 jest najmniejsza?
Zadanie 35
Liczby: x1  5  23  x 2  5  23 są rozwiązaniami równania:
x 2   p 2  q 2 x   p  q   0 z niewiadomą x. Oblicz p i q.
Zadanie 36
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x2+ mx + 2 = 0 ma dwa
różne pierwiastki rzeczywiste takie, że suma ich kwadratów jest większa od 2m2−13 .
Zadanie 37
Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie
x 2  4mx  m 3  6m 2  m  2  0 ma dwa różne pierwiastki: x1 , x2 takie, że
( x1  x2 ) 2  8(m  1).
Zadanie 38
Wyznacz cztery kolejne liczby całkowite takie, że największa z nich jest równa sumie
kwadratów trzech pozostałych liczb.;
Zadanie 39
Oblicz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x 2  (m  2) x  m  4  0 ma
dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1 , x2 takie, że x1  x 2  4m 3  6m 2  32m  12.
4
4
Zadanie 40
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie 2 x 2  3  2mx  m  1  0
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1 , x2 takie, że x1  x2  3.
Zadanie 41

y  x  2  0
Rozwiąż układ równań:  2
.
2

 x  4 x  y  2
Zadanie 42
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie:
x 2  2(1  m) x  m 2  m  0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x1 , x2 spełniające
warunek: x1  x 2  6m  x1  x 2 .
2
2
Zadanie 43
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby rzeczywistej m prawdziwa jest
nierówność: 20 x 2  24mx  18m 2  4 x  12m  5.
Zadanie 44
Równanie x 2  48 x  1  0 ma dwa rozwiązania x1 ; x2 . Liczba 12  12 jest liczbą całkowitą
x1
x2
dodatnią. Znajdź tę liczbę. Zakoduj cyfry setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku.
8.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące rozwiązywania równań i nierówności
wielomianowych
Zadanie 45
Wykaż, że suma odwrotności pierwiastków wielomianu: W ( x)  x 4  x 3  4 x 2  2 x  4 jest
liczbą wymierną.
Zadanie 46
Rozwiąż nierówność: x 4  x 2  2 x
Zadanie 47
Wykaż, że liczby a  sin 60 0  cos 60 0   b  tg 450  cos 30 0 są pierwiastkami wielomianu:
W ( x)  4 x 3  8x 2  x.
2
Zadanie 48
Reszta z dzielenia wielomianu W ( x)  4 x 3  5x 2  23x  m przez dwumian x + 1 jest równa
20. Oblicz wartość współczynnika m oraz pierwiastki tego wielomianu.
Zadanie 49
O wielomianie W ( x)  2 x 3  ax 2  bx  c wiadomo, że liczba 1 jest jego pierwiastkiem
dwukrotnym oraz że W(x) jest podzielny przez dwumian x + 2. Oblicz współczynniki a, b, c.
Dla obliczonych wartości a, b, c rozwiąż nierówność: W(x + 1)<0.
Zadanie 50
Wyznacz wszystkie całkowite wartości parametru m, dla których równanie: (𝑥 3 + 2𝑥 2 +
2𝑥 + 1)[𝑥 2 − (2𝑚 − 1)𝑥 + 𝑚2 + 𝑚] = 0 ma trzy, parami różne, pierwiastki rzeczywiste,
takie że jeden z nich jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych.
Zadanie 51
Wielomian W ( x)  x 4  2 x 3  5x 2  6 px  9 jest podzielny przez dwumian x – 1 . Oblicz p.
Zakoduj pierwsze trzy cyfry po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego
otrzymanego wyniku.
Zadanie 52
Reszta z dzielenia wielomianu W( x) przez dwumian (x + 2) jest równa 4, reszta z dzielenia
tego samego wielomianu przez dwumian ( x − 2) to (−8), a reszta z dzielenia wielomianu
przez (x − 1) wynosi 6. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez (x + 2)(x −2)(x−1).
Zadanie 53
Rozwiąż nierówność: x 3  4 x 2  5 x  0 .
9.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące rozwiązywania równań i nierówności
wymiernych
Zadanie 54
Wyznacz wartość parametru a, dla którego równanie: ax  49  a 2  7 x ma nieskończenie
wiele rozwiązań.
Zadanie 55
Wyznacz wszystkie liczby całkowite x, dla których wartość wyrażenia
liczbą całkowitą.
9 x

 4 x  1
jest
3x  2 x 2  3x  2
3
2
10.1. Wybrane zadania otwarte dotyczące ogólnych własności funkcji,
rachunek różniczkowy
Zadanie 56
Dana jest funkcja f ( x)  x  1  x  2 dla x  R .
a)
b)
c)
d)
Wyznacz zbiór wartości funkcji f dla x  (−∞,−2).
Naszkicuj wykres tej funkcji.
Podaj jej miejsca zerowe.
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie f (x) = m nie ma
rozwiązania.
Zadanie 57
 2 x 1  2  x  0
. Określ liczbę rozwiązań równania:
Narysuj wykres funkcji: f ( x)  
 x  4  4  x  0
f ( x)  m w zależności od parametru m.
Zadanie 58
W trakcie badania przebiegu zmienności funkcji ustalono, że f ma następujące własności:
- jej dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych,
- f jest funkcją nieparzystą,
- f jest funkcją ciągłą
oraz:
f ' ( x)  0  x   8;3   1;0,
f ' ( x)  0  x   3;1,
f ' (3)  f ' (1)  0,
f (8)  0,
f (3)  2,
f (2)  0,
f (1)  1.
W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie naszkicuj wykres funkcji f w
przedziale  8;8 , wykorzystując podane powyżej informacje o jej własnościach.
Zadanie 59
Dana jest funkcja f określona wzorem 𝑓(𝑥) =
Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.
|𝑥+3|+|𝑥−3|
𝑥
dla każdej liczby rzeczywistej x ≠ 0.
Zadanie 60
Dana jest funkcja f określona wzorem: f ( x) 
x 8
dla każdej liczby rzeczywistej x. Oblicz
x2  6
1
wartość pochodnej tej funkcji w punkcie x  . Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku
2
rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Zadanie 61
2 x 4  15
dla wszystkich liczb rzeczywistych x,
6  x2
takich że x   6. Oblicz wartość pochodnej tej funkcji w punkcie x = 1. Zakoduj cyfrę
jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego obliczonego wyniku.
Dana jest funkcja f określona wzorem f ( x) 
Zadanie 62
Funkcja f jest określona wzorem f ( x) 
pochodną funkcji f w punkcie x = 12.
x2
dla każdej liczby rzeczywistej x  4. Oblicz
x4
11.1 Wybrane zadania otwarte dotycząc funkcji liniowej
Zadanie 63
Funkcja liniowa f określona jest wzorem f (x) = ax + b dla x  R.
a) Dla a = 2008 i b = 2009 zbadaj, czy do wykresu tej funkcji należy punkt P = (2009,
20092);
b) Narysuj w układzie współrzędnych zbiór:
1


A   x; y  : x   1;3  y   x  b  b   2;1 .
2


12.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące funkcji kwadratowej
Zadanie 64
Dana jest funkcja kwadratowa f ( x)  m  2x 2  3m  2x  1. Wyznacz w zależności od
1
1
parametru m wzór funkcji g ( x) 
 , gdzie x1 , x2 są różnymi miejscami zerowymi
x1 x 2
funkcji f. podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji g.
Zadanie 65
Funkcja kwadratowa f ( x)  2 x 2  bx  c jest malejąca w przedziale  ;4 i rosnąca w
przedziale 4; , a iloczyn jej miejsc zerowych wynosi 12. Wyznacz współczynniki b i c
oraz nie wyznaczając miejsc zerowych funkcji oblicz wartość wyrażenia: x12  x22 .
Zadanie 66
Uzasadnij, że każdy punkt paraboli o równaniu: y 
1 2
x  1 jest równoodległy od osi O X i
4
od punktu F = (0, 2) .
Zadanie 67
Wierzchołki trójkąta równobocznego ABC leżą na paraboli, będącej wykresem funkcji
f ( x)  x 2  6 x. Punkt C leży w wierzchołku paraboli. Znajdź współrzędne jednego z
pozostałych wierzchołków trójkąta.
Zadanie 68
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja kwadratowa:
f ( x)  x 2  (2m  2) x  2m  5 ma dwa różne pierwiastki x1 ; x2
takie, że suma kwadratów odległości punktów A  ( x1 ;0) i B  ( x2 ;0) od prostej o równaniu:
x + y + 1 = 0 jest równa 6.
Zadanie 69
Dana jest parabola o równaniu y  x 2  1 i leżący na niej punkt A o współrzędnej x równej 3.
Wyznacz równanie stycznej do paraboli w punkcie A.
Zadanie 70
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja f określona wzorem
f ( x)  m 2  1x 2  21  mx  2 przyjmuje wartości dodatnie dla każdej liczby rzeczywistej.
Zadanie 71
Dany jest trójmian kwadratowy: f ( x)  m  1x 2  m  1x  2m  3. Wyznacz wzór
funkcji g(m), która każdej wartości parametru m przyporządkowuje liczbę miejsc zerowych
funkcji f. Narysuj wykres funkcji g.
13.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące funkcji wielomianowej, wymiernej
i homograficznej
Zadanie 72
x3  2x 2  x  2
x2  x  2
a) przedstaw wzór funkcji w najprostszej postaci
b) naszkicuj wykres funkcji
c) narysuj wykres funkcji g ( x)  f ( x)  f ( x) i podaj jej zbiór wartości.
Dana jest funkcja f ( x) 
Zadanie 73
Wielomian f, którego fragment wykresu przedstawiono na poniższym rysunku spełnia
warunek f (0) = 90 . Wielomian g dany jest wzorem g ( x)  x 3  14 x 2  63x  90. Wykaż, że:
g (x) = − f (− x) dla x  R .
Zadanie 74
1
. Przeprowadzono prostą
x2
równoległą do osi OX , która przecięła wykres tej funkcji w punktach A i B. Niech C = (3,−1)
. Wykaż, że pole trójkąta ABC jest większe lub równe 2.
Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji: f ( x) 
Zadanie 75
Dana jest funkcja 𝑓(𝑥) = (𝑚 − 5)𝑥 4 + 4𝑥 2 + 𝑚 + 7, 𝑔𝑑𝑧𝑖𝑒 𝑥 ∈ 𝑅. Wyznacz wszystkie
wartości parametru 𝑚 ∈ 𝑅, dla których funkcja ma 4 różne miejsca zerowe.
Zadanie 76
Dana jest funkcja f określona wzorem f ( x)  4 x 3  2 x  1 dla wszystkich liczb
rzeczywistych. Uzasadnij, że prosta l o równaniu
10x – y + 9 = 0 jest styczna do wykresu funkcji f.
Zadanie 77
Funkcja f jest określona wzorem f ( x)  x 4 dla każdej liczby rzeczywistej x. Wyznacz
równanie prostej stycznej do wykresu funkcji f , która jest równoległa do prostej y = 4x + 7.
14.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące funkcji wykładniczej i
logarytmicznej
Zadanie 78
Dana jest funkcja f ( x)  log 2 x . Naszkicuj wykres funkcji, a następnie napisz wzór funkcji
y  g (m), która każdej wartości parametru m przyporządkowuje liczbę rozwiązań równania
f(x) = m. Naszkicuj wykres funkcji g.
Zadanie 79
x
3
Funkcja f określona jest wzorem: f ( x)    . Funkcja g powstaje w wyniku przesunięcia
2
wykresu funkcji f o wektor:  1;2.
a) zapisz wzór funkcji g, uzyskanej w wyniku tego przesunięcia;
b) sporządź wykres funkcji g;
c) wskaż największą liczbę m ( m  R ) taką, dla której równanie g(x) = m nie ma
rozwiązania.
Zadanie 80
Wyznacz dziedzinę funkcji f ( x)  log x2 3 x 3  4 x 2  x  4 i zapisz ją w postaci sumy
przedziałów liczbowych.


Zadanie 81
2 x 2 3 x  2
1
Dane są funkcje: f ( x)  3
i g ( x)   
. Oblicz, dla których argumentów x
9
wartości funkcji f są większe od wartości funkcji g.
x 2 5 x
Zadanie 82
Rozwiąż nierówność: log 1 x 2  1  log 1 5  x   log 1 3x  1.

3

3
3
Zadanie 83
Wyznacz dziedzinę i najmniejszą wartość funkcji: f ( x)  log
8x  x .
2
2
2
Zadanie 84
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji wykładniczej f ( x)  a x  x  R.
a) Oblicz a.
b) Narysuj wykres funkcji g(x) = f ( x)  2 i podaj wszystkie wartości parametru m ∈ R,
dla których równanie g(x) = m ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Zadanie 85
Wyznacz dziedzinę funkcji f ( x)  log 2 cos x 9  x 2  i zapisz ją w postaci sumy przedziałów
liczbowych.
Zadanie 86
Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji logarytmicznej f określonej
wzorem f(x) = log2(x – p).
Podaj wartość p, narysuj wykres funkcji określonej wzorem
y  f (x) . podaj wszystkie wartości parametru m, dla których równanie f ( x)  m ma dwa
rozwiązania o przeciwnych znakach.
Zadanie 87


Określ dziedzinę funkcji: f ( x)  log 2  log 1  x  1 .
3


Zadanie 88
Narysuj wykres funkcji f ( x)  2 x2 x . Następnie w osobnym układzie współrzędnych
narysuj wykres funkcji g ( x)  f ( x)  3 i na jego podstawie podaj liczbę rozwiązań równania
g( x)= m w zależności od parametru m.
15.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące ogólnych własności ciągów
liczbowych
Zadanie 89
5n  6
dla każdej liczby naturalnej n  1.
10n  1
a) Zbadaj monotoniczność ciągu a n  .
Dany jest ciąg a n  , gdzie a n 
b) Oblicz
lim an .
n 
c) Podaj największą liczbę a i najmniejszą liczbę b takie, że dla każdego n spełniony jest
warunek: a  a n  b.
Zadanie 90
3n 2  5n  2
Oblicz granicę ciągu: lim
.
n 8n  7 n  4
Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego obliczonej granicy.
Zadanie 91
 2n3  3n
lim
. Zakoduj pierwsze trzy cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego
Oblicz
n   1  4n 3
otrzymanego wyniku.
Zadanie 92
a1  32

Dany jest ciąg określony wzorem rekurencyjnym 
. Wyznacz czwarty wyraz
1
a n 1  a n  2

7

tego ciągu. Zakoduj trzy początkowe cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego
otrzymanego wyniku.
Zadanie 93
Oblicz granicę ciągu określonego wzorem ogólnym a n 
n  43n 2  1
.
11n 3  5n  2
Podaj przybliżenie wyniku z dokładnością do trzech miejsc po przecinku. Zakoduj trzy
początkowe cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego przybliżenia.
Zadanie 94
2
 n2

n  2 

.

Oblicz granicę lim 

n  n  2
n

444


16.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące ciągu arytmetycznego
Zadanie 95
Ciąg a n  jest arytmetyczny. Wiedząc, że
a1 a3
 , wyznacz różnicę tego ciągu.
a 2 a5
Zadanie 96
W skarbcu królewskim było k monet. Pierwszego dnia rano skarbnik dorzucił 25 monet,
a każdego następnego ranka dorzucał o 2 monety więcej niż dnia poprzedniego. Jednocześnie
ze skarbca król zabierał w południe każdego dnia 50 monet. Oblicz najmniejszą liczbę k, dla
której w każdym dniu w skarbcu była co najmniej jedna moneta, a następnie dla tej wartości k
oblicz, w którym dniu w skarbcu była najmniejsza liczba monet.
Zadanie 97
W ciągu arytmetycznym a n  , dla n  1, dane są: a1  2 oraz różnica r = 3. Oblicz
największe n takie, że a1  a 2  a3  ...  a n  2012.
Zadanie 98
Wykaż, że jeśli długości kolejnych boków czworokąta opisanego na okręgu tworzą ciąg
arytmetyczny, to ten czworokąt jest rombem.
17.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące ciągu geometrycznego
Zadanie 99
Wyznacz x, tak aby liczby: x  3; x 2  3x;11x  2 były w podanej kolejności wyrazami
rosnącego ciągu geometrycznego o wyrazach całkowitych.
Zadanie 100
Ciąg (x − 3, x + 3, 6x + 2,...)jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o wyrazach
S
1
dodatnich. Oblicz iloraz tego ciągu i uzasadnij, że 19  , gdzie Sn oznacza sumę n
S 20 4
początkowych wyrazów tego ciągu.
Zadanie 101
O ciągu a n  dla n  1 wiadomo, że:
a) ciąg a n  określony jest wzorem: a n  3 xn dla n  1 jest geometryczny o ilorazie q =
27.
b) x1  x2  ...  x10  145.
Oblicz x1 .
Zadanie 102
Spiralę tworzymy następująco: kreślimy półokrąg
o średnicy AB  2r i środku O, do tego półokręgu
dorysowujemy półokrąg o średnicy OB. i środku C.
Następnie kreślimy półokrąg o średnicy OC
i środku D. itd. Oblicz długość spirali złożonej
z dziesięciu otrzymanych półokręgów.
A
O
D
C
B
Zadanie 103
Pole kwadratu K jest równe 8. Środki boków tego kwadratu połączono, tworząc czworokąt
C1. Następnie połączono środki boków czworokąta C1, tworząc czworokąt C2. W podobny
sposób utworzono czworokąty C3, C4,...
K
C1
C2
Suma pól czworokątów: K + C1 +C2 + ... + Cn jest równa 15,75. Znajdź liczbę n.
Zadanie 104
Wyznacz liczbę x, tak aby liczby dodatnie:
tworzyły ciąg geometryczny.
1
log 2 (2 x  5);3 log 8 (2 x  5); log
3
3
3  log 32 9
Zadanie 105
Ciąg geometryczny a n  ma 100 wyrazów i są one liczbami dodatnimi. Suma wszystkich
wyrazów o numerach nieparzystych jest sto razy większa od sumy wszystkich wyrazów o
numerach parzystych oraz log a1  log a 2  log a3  ...  log a100  100. Oblicz a1 .
Zadanie 106
3
1
Dany jest ciąg geometryczny a n  o wyrazach dodatnich taki, że a1  , a 3  . Oblicz sumę
4
3
wszystkich wyrazów tego ciągu.
Zadanie 107
Suma nieskończonego ciągu geometrycznego jest równa 8. Suma nieskończonego ciągu
512
utworzonego z sześcianów wyrazów danego ciągu jest równa
. Wyznacz pierwszy wyraz
7
i iloraz tego ciągu.
Zadanie 108
Niech Pn oznacza pole koła o promieniu
1
; n  1. Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu
2n
(Pn).
18.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące ciągu arytmetycznego i
geometrycznego
Zadanie 109
Suma trzech różnych liczb, tworzących ciąg geometryczny, jest równa 156. Liczby te są
jednocześnie pierwszym, siódmym i dwudziestym wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego.
Wyznacz te liczby.
Zadanie 110
Dany jest rosnący ciąg geometryczny a n  , w którym a1  6; a3  24. Wyznacz wzór na n- ty
a
wyraz ciągu a n  oraz oblicz x, jeśli wiadomo, że liczby a2  1; 5 ;3x  2 tworzą ciąg
4
arytmetyczny.
Zadanie 111
Udowodnij, że jeżeli ciąg (a, b, c) jest jednocześnie arytmetyczny i geometryczny, to
a=b=c.
Zadanie 112
O liczbach a, b, c wiemy, że ciąg (a, b, c) jest arytmetyczny i a + c =10 , zaś ciąg (a +1, b + 4,
c +19) jest geometryczny. Wyznacz te liczby.
Zadanie 113
Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli do drugiej liczby dodamy 8, to ciąg ten zmieni
się w arytmetyczny. Jeżeli zaś do ostatniej liczby nowego ciągu arytmetycznego dodamy
64,to tak otrzymany ciąg będzie znów geometryczny. Znajdź te liczby. Uwzględnij wszystkie
możliwości.
Zadanie 114
Ciąg liczbowy (a, b, c) jest arytmetyczny i a + b + c =33, natomiast ciąg (a-1, b+5, c + 19)
jest geometryczny. Oblicz a, b, c.
Zadanie 115
Wiedząc, że ciąg a n  jest ciągiem arytmetycznym oraz wyraz ogólny ciągu bn  określony
jest wzorem bn  5 an , Wykaż, że ciąg bn  jest ciągiem geometrycznym. Wyznacz, w
zależności od n, iloczyn b1  b2  b3  ...  bn , przyjmując, że pierwszy wyraz ciągu a n  jest
równy 1, a jego różnica jest równa 3.
19.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące funkcji trygonometrycznych
oraz rozwiązywaniu równań i nierówności trygonometrycznych
Zadanie 116
Rozwiąż równanie: sin( x 

3
) sin( x 

3
)
1
w przedziale 0;2 .
2
Zadanie 117
Dla jakich x liczby:
1
; cos x; sin x w podanej kolejności są kolejnymi wyrazami ciągu
2tgx
geometrycznego?
Zadanie 118
Rozwiąż równanie: tgx(2 sin x cos x  cos x)  0  x   ;2 .
Zadanie 119
Określ, jaką liczbą – dodatnią czy ujemną, jest sin x  cos x, wiedząc, że
 
 1
 1
x   ;    1  sin x 
 tgx    0 .
2 
 cos x
 3
Zadanie 120

Wyznacz rozwiązanie równania: 2 cos 2 x  3 sin x  x   0; .
 2
Zadanie 121
Wykaż, że cos     cos     1.
Zadanie 122
Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji y = f (x), otrzymanego z wykresu funkcji
g(x) = sin x w wyniku odpowiednich przekształceń. Znajdź wzór funkcji f i rozwiąż
równanie: f ( x)   3.
Zadanie 123
a) Naszkicuj wykres funkcji: f ( x)  sin 2 x w przedziale  2 ;2 .
b) Naszkicuj wykres funkcji f ( x) 
sin 2 x
sin 2 x
w przedziale  2 ;2 i zapisz, dla których
liczb z tego przedziału spełniona jest nierówność
sin 2 x
sin 2 x
 0.
Zadanie 124
Dana jest funkcja f określona wzorem f ( x) 
sin 2 x  sin x
sin x
dla x  0;     ;2  .
a) Naszkicuj wykres funkcji f .
b) Wyznacz miejsca zerowe funkcji f.
Zadanie 125
Rozwiąż równanie: 4cos2 x = 4sin x +1 w przedziale <0, 2π>.
Zadanie 126
Wyznacz wszystkie rozwiązania równania 2 cos 2 x  5 sin x  4  0 należące do przedziału:
0;2 .
Zadanie 127
Rozwiąż równanie: 2 sin 2 x  2 sin 2 x cos x  1  cos x w przedziale <0, 2π>.
Zadanie 128
Rozwiąż równanie: cos 2x  2  3 cos x .
Zadanie 129
4
Kąt α jest taki, że sin   cos   . Oblicz wartość wyrażenia: cos   sin  .
3
Zadanie 130
Rozwiąż równanie: cos 2x  cos x  1  0 dla x  0,2 .
Zadanie 131
Rozwiąż równanie: sin x cos x  0,25  x  0;2 .
Zadanie 132
Rozwiąż równanie:
3  cos x  1  sin x  x  0;2 .
Zadanie 133
Rozwiąż równanie sin 5x  cos 2x  sin x  0
Zadanie 134
Wykaż, że dla każdego kąta  prawdziwa jest równość: 4sin 6   cos 6    1  3 cos 2 2 .
Zadanie 135
Rozwiąż nierówność: cos 5 x 
1
dla x    ;  .
2
Zadanie 136
Rozwiąż równanie: sin 3x  sin 9 x  0  x  0; .
Zadanie 137
Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x, spełniające równanie: sin 5x  sin x  0
20.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące planimetrii – podstawowe definicje,
trójkąty, wzajemne położenie okręgu i trójkąta
Zadanie 138
W trójkącie o polu
1
ab dwa boki mają długość a i b. Znajdź długość trzeciego boku.
4
Zadanie 139
W trójkącie ABC są dane: AC  10; BC  10 2. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie
ma długość: R = 10. Oblicz miarę kąta ACB.
Zadanie 140
Boki trójkąta ABC są równe a, b, c. Oblicz długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka
A do boku a.
Zadanie 141
3
Dany jest trójkąt o bokach długości 1; ;2. Oblicz cosinus i sinus kąta leżącego naprzeciw
2
najkrótszego boku tego trójkąta.
Zadanie 142
W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długości: BC = 9 , CA = 12 .
Na boku AB wybrano punkt D tak, że odcinki BC i CD mają równe długości. Oblicz długość
odcinka AD .
Zadanie 143
Obiekty A i B leżą po dwóch stronach jeziora. W terenie dokonano pomiarów odpowiednich
kątów i ich wyniki przedstawiono na rysunku. Odległość między obiektami B i C jest równa
400 m. Oblicz odległość w linii prostej między obiektami A i B i podaj wynik, zaokrąglając
go do jednego metra
Zadanie 144
Podstawa AB trójkąta równoramiennego ABC ma długość 8 oraz <BAC = 30° . Oblicz długość
środkowej AD tego trójkąta.
Zadanie 145
Dany jest prostokąt ABCD, w którym AB  a, BC  b  a  b. Odcinek AE jest wysokością
trójkąta DAB opuszczoną na jego bok BD. Wyraź pole trójkąta AED za pomocą a i b.
Zadanie 146
Bok kwadratu ABCD ma długość 1. Na bokach BC i CD wybrano odpowiednio punkty E i F
umieszczone tak, by |CE |= 2 DF . Oblicz wartość x = | DF | , dla której pole trójkąta AEF jest
najmniejsze.
Zadanie 147
W czworokącie ABCD dane są długości boków: AB = 24 , CD =15 , AD = 7 . Ponadto kąty
DAB oraz BCD są proste. Oblicz pole tego czworokąta oraz długości jego przekątnych.
Zadanie 148
Dwa okręgi o środkach A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześnie styczny
do ramion tego samego kąta prostego (patrz rysunek). Udowodnij, że stosunek promienia
większego z tych okręgów do promienia mniejszego jest równy 3  2 2.
Zadanie 149
Na bokach BC i CD równoległoboku ABCD zbudowano kwadraty CDEF i BCGH (zobacz
rysunek). Udowodnij, że AC = FG .
E
F
D
C
G
A
B
H
Zadanie 150
Dany jest czworokąt wypukły ABCD niebędący równoległobokiem. Punkty M, N są
odpowiednio środkami boków AB i CD. Punkty P, Q są odpowiednio środkami przekątnych
AC i BD. Uzasadnij, że MQ PN .
Zadanie 151
Trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD jest opisany na okręgu o promieniu r.
Wykaż, że 4r 2  AB  CD .
Zadanie 152
W trójkącie ABC kąt przy wierzchołku B jest ostry, długość promienia okręgu opisanego na
tym trójkącie jest równa 5 oraz AC  6, AB  10. Na boku BC wybrano taki punkt K, że
BK  2. Oblicz długość odcinka AK.
Zadanie 153
Kąty w trójkącie mają miary: α; 2α; 4α. Wykaż, że długości boków a, b, c tego trójkąta
1
1
1
spełniają równość: 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 = 0
Zadanie 154
Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg o środku S. Kąty wewnętrzne CAB, ABC i BCA tego
trójkąta są równe, odpowiednio, α; 2α; 4α Wykaż, że trójkąt ABC jest rozwartokątny, i
udowodnij, że miary wypukłych kątów środkowych ASB, ASC i BSC tworzą w podanej
kolejności ciąg arytmetyczny.
Zadanie 155
Punkty M i L leżą odpowiednio na bokach AB i AC trójkąta ABC, przy czym zachodzą
równości: MB  2  AM oraz LC  3  AL . Punkt S jest punktem przecięcia odcinków BL
i CM. Punkt K jest punktem przecięcia prostej AS z odcinkiem BC (zobacz rysunek).
Pole trójkąta ABC jest równe 600. Oblicz pola trójkątów: AMS, ALS, BMS i CLS.
Zadanie 156
Dany jest trójkąt ABC i prosta k styczna w punkcie A do okręgu opisanego na tym trójkącie.
Prosta BC przecina prostą k w punkcie P. Długości odcinków AC, BC, PB zostały podane na
rysunku.
Oblicz długość odcinka AB. Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku
rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
21.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące czworokątów, wzajemne położenie
okręgu i czworokąta
Zadanie 157
Na okręgu o promieniu r opisano trapez równoramienny o podstawach x i 4x. Wykaż, że r = x
Zadanie 158
Prostokąt o bokach długości a, b jest podobny do prostokąta o bokach długości a + 5, b + 5.
Wykaż, że te prostokąty są kwadratami.
Zadanie 159
Dany jest trapez o podstawach: a; b i a > b. Wyznacz długość odcinka łączącego środki
przekątnych tego trapezu.
Zadanie 160
Trapez o ramionach długości 6 i 10 jest opisany na okręgu. Odcinek łączący środki ramion
trapezu dzieli trapez na dwie części, których pola pozostają w stosunku 3 : 5. Oblicz długości
podstaw trapezu.
Zadanie 161
Trapez ABCD podzielono na trzy figury o równych polach. Sposób podziału ilustruje rysunek.
Wiedząc, że bok kwadratu CDEF jest równy 6, oblicz:
a) obwód trapezu ABCD,
b) cosinus kąta CBF.
D
C
E
F
A
B
Zadanie 162
Na trapezie opisano okrąg, którego średnica jest jedną z podstaw trapezu. Przekątna trapezu
ma długość 12, a długość okręgu wynosi 13 . Oblicz pole trapezu.
Zadanie 163
Na okręgu o promieniu r opisano trapez równoramienny ABCD o dłuższej podstawie AB i
CS 2
krótszej CD. Punkt styczności S dzieli ramię BC tak, że
 . Wyznacz długość ramienia
SB 5
tego trapezu oraz oblicz cosinus  CBD .
Zadanie 164
Na kole opisany jest romb. Stosunek pola koła do pola powierzchni rombu wynosi
Wyznacz miarę kąta ostrego rombu.
 3
8
.
Zadanie 165
Dany jest trójkąt ABC, w którym AC  17 i BC  10. Na boku AB leży punkt D taki, że
AD : DB  3 : 4 oraz DC  10. Oblicz pole trójkąta ABC.
Zadanie 166
Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których krótsza podstawa ma długość 5 i
każde z ramion też ma długość 5. Oblicz długość dłuższej podstawy tego z rozpatrywanych
trapezów, który ma największe pole. Oblicz to pole.
21.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące położenia okręgów na płaszczyźnie i
kątów w okręgu
Zadanie 167
Okrąg o środku A i promieniu długości r jest styczny zewnętrznie do okręgu o środku B i
promieniu R (R > r). Prosta k jest styczna do obu okręgów i tworzy z prostą AB kąt ostry α.
Wyznacz sin α w zależności od r i R.
Zadanie 168
Dane są trzy okręgi o środkach: A, B, C i promieniach równych odpowiednio: r, 2r, 3r.
Każde dwa z tych okręgów są zewnętrznie styczne: pierwszy z drugim w punkcie K, drugi z
trzecim w punkcie L i trzeci z pierwszym w punkcie M. Oblicz stosunek pola trójkąta KLM do
pola trójkąta ABC.
Zadanie 169
Punkty: P1 , P2 , P3 ,..., P23 , P24 dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt A jest
punktem przecięcia cięciw: P11P22 i P1 P16 .
Udowodnij, że  P16 AP11  60 0.
23.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące geometrii analitycznej
Zadanie 170
Dany jest okrąg o środku S = (3; -4) i promieniu r = 5. Okrąg ten przekształcono przez
jednokładność o środku O = (2; -1) i skali k = -3. Wyznacz równanie okręgu po tym
przekształceniu.
Zadanie 171
Oblicz, dla jakich wartości parametru k punkt przecięcia prostych o równaniach: y = -x;
2
2
y = x + k należy do koła o nierówności x  1   y  1  10.
Zadanie 172
Napisz równanie okręgu o środku S = (10; -3) stycznego do prostej o równaniu:
3
y   x  3.
4
Zadanie 173
Obrazem odcinka AB, gdzie A = (1; 0), B = (2; 1) w jednokładności o skali k > 1 i środku P
jest odcinek CD, gdzie C = (4; 0); D = (6; 2). Zapisz równanie okręgu o środku w punkcie P
i promieniu AB .
Zadanie 174
Punkty równoległe od prostej o równaniu: y  
1
1
i punktu P  (0; ) należą do wykresu
2
2
funkcji f. Znajdź wzór tej funkcji.
Zadanie 175
Dany jest okrąg o środku w punkcie (2; 1) i promieniu 17 . Punkty A, B są punktami
przecięcia tego okręgu z osią OX. Punkt C leży na prostej 3x – y +3 = 0, a pole trójkąta ABC
jest równe 24. Oblicz współrzędne punktu C.
Zadanie 176
Wierzchołki trójkąta równobocznego ABC są punktami paraboli y   x 2  6 x Punkt C jest
jej wierzchołkiem, a bok AB jest równoległy do osi OX . Sporządź rysunek w układzie
współrzędnych i wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta.
Zadanie 177
Wyznacz współrzędne środka jednokładności, w której obrazem okręgu o równaniu:
x  162  y 2  4 jest okrąg o równaniu: x  62   y  42  16 , a skala tej jednokładności
jest liczbą ujemną.
Zadanie 178
2
2
W układzie współrzędnych narysuj okrąg o równaniu x  2   y  3  4 oraz zaznacz
punkt A = (0,−1). Prosta o równaniu x = 0 jest jedną ze stycznych do tego okręgu
przechodzących przez punkt A. Wyznacz równanie drugiej stycznej do tego okręgu,
przechodzącej przez punkt A.
Zadanie 179
Punkt A = (−2,5) jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego ABC, w którym
| AC |=| BC | . Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok BC jest zawarty w prostej o równaniu
y = x +1. Oblicz współrzędne wierzchołka C.
Zadanie 180
Oblicz miarę kąta między stycznymi do okręgu: x 2  y 2  2 x  2 y  3  0 poprowadzonymi
przez punkt A = (2; 0).
Zadanie 181
5 
1
W układzie współrzędnych rozważmy wszystkie punkty P postaci: P   m  ; m , gdzie
2 
2
2
 55 
m   1;7 . Oblicz najmniejszą i największą wartość PQ , gdzie Q   ;0 .
 2 
Zadanie 182
Okrąg jest styczny do osi układu współrzędnych w punktach A =(0; 2) i B = (2; 0) oraz jest
styczny do prostej l w punkcie C = (1; a) , gdzie a > 1. Wyznacz równanie prostej l.
Zadanie 183
Na płaszczyźnie dane są punkty A = (3; -2) i B = (11; 4) . Na prostej o równaniu
y = 8x + 10 znajdź punkt P, dla którego suma AP  BP , jest najmniejsza.
2
2
Zadanie 184
Dane są zbiory punktów, określone nierównościami: A : x 2  6 x  y 2  12 y  4
i B : 3x  y  0. Narysuj figurę F  A  B i wyznacz jej pole.
Zadanie 185
Prosta o równaniu 3x – 4y -36 = 0 przecina okrąg o środku S = (3; 12) w punktach A i B.
Długość odcinka AB jest równa 40. Wyznacz równanie tego okręgu.
Zadanie 186
W trójkącie ABC punkty: K = (2; 2); L = (-2; 1), M = (-1; -1) są odpowiednio środkami
boków AB, BC, AC. Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkąta A’ B’ C’, który jest
obrazem trójkąta ABC w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.
Zadanie 187
Z punktu A = (6; 3) poprowadzone styczne do okręgu 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑦 = 0. Podaj równania
stycznych. Oblicz odległość punktów styczności oraz pole figury zaznaczonej na rysunku.
Zadanie 188
Punkty A, B, C, D, E, F są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego, przy czym 𝐴 =
(0; 2√3); 𝐵 = (2; 0), a C leży na osi OX. Wyznacz równanie stycznej do okręgu opisanego
na tym sześciokącie przechodzącej przez wierzchołek E.
Zadanie 189
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których prosta o równaniu: y = mx + (2m + 3)
ma dokładnie dwa punkty wspólne z okręgiem o środku w punkcie S = (0; 0) i promieniu:
r = 3.
Zadanie 190
Rozważamy wszystkie prostokąty, których dwa wierzchołki leżą na odcinku AB, gdzie
A = (-1; 4) i B = (1; 4), a pozostałe dwa na paraboli o równaniu y  2 x 2  2 (zobacz
rysunek). Wyznacz wymiary tego z prostokątów, który ma największe pole. Oblicz to pole.
Zadanie 191
Okrąg jest styczny do osi OX w punkcie A = (2; 0). Punkt B = (-1; 9) leży na tym okręgu.
Wyznacz równanie tego okręgu.
Zadanie 192
2
2
Okrąg o środku S = (3; 2) leży wewnątrz okręgu o równaniu x  6   y  8  100 i jest do
niego styczny. Wyznacz równanie prostej stycznej do obu tych okręgów.
Zadanie 193
Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A=(3,−1), B=(−1, 1), jeśli wiadomo, że
jego środek należy do prostej o równaniu: y = 4 − x.
Zadanie 194
Oblicz odległość punktu A = (5,−6) od prostej l: y = 2x + 1. Podaj przybliżenie dziesiętne
otrzymanego wyniku z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. Zakoduj cyfrę jedności
i dwie początkowe cyfry po przecinku otrzymanego przybliżenia.
Zadanie 195
2
2
Dany jest okrąg Oo o równaniu  x  3   y  1  1. W pierwszej „ćwiartce” układu
współrzędnych istnieją dwa okręgi O1; O2 styczne zewnętrznie do okręgu Oo jednocześnie
styczne do obu osi układu współrzędnych. Oblicz odległość środków okręgów O1 oraz O2 .
24.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące stereometrii
Zadanie 196
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości H = 8 i krawędzi podstawy a = 12.
Przez krawędź podstawy i środki rozłącznych z nią krawędzi bocznych poprowadzono
płaszczyznę. Wykonaj odpowiedni rysunek i oblicz pole otrzymanego przekroju.
Zadanie 197
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi podstawy jest równa 2a.
Miara kąta miedzy przekątną podstawy a przekątną ściany bocznej wychodzącą z tego
samego wierzchołka jest równa  . Oblicz objętość graniastosłupa.
Zadanie 198
Krawędź podstawy i wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka ostrosłupa
prawidłowego czworokątnego mają długości 2a. Oblicz cosinus kata dwuściennego między
sąsiednimi ścianami bocznymi. Sporządź rysunek pomocniczy i zaznacz na nim wymieniony
w zadaniu kąt dwuścienny.
Zadanie 199
Dany jest ostrosłup trójkątny, którego podstawą jest trójkąt równoramienny o bokach długości
5; 5; 6 cm. Wysokość ostrosłupa jest równa 2 cm. Spodek wysokości jest środkiem okręgu
wpisanego w podstawę. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
Zadanie 200
Suma długości wszystkich krawędzi graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 60.
Wysokość jest o 2 większa od długości boku podstawy. Przez przekątną ściany bocznej i
środek krawędzi bocznej, niezawierającej się w tej ścianie, poprowadzono płaszczyznę.
Oblicz pole otrzymanego w ten sposób przekroju.
Zadanie 201
Kapsuła lądownika ma kształt stożka zakończonego w podstawie półkulą o tym samym
promieniu co promień podstawy stożka. Wysokość stożka jest o 1 m większa niż promień
półkuli. Objętość stożka stanowi 2/3 objętości całej kapsuły. Oblicz objętość kapsuły
lądownika.
Zadanie 202
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym dane są: H – wysokość ostrosłupa oraz α – miara
kąta utworzonego przez krawędź boczną i krawędź podstawy ( 450<α <900 ).
4
H3

.
a) Wykaż, że objętość V tego ostrosłupa jest równa:
3 tg 2  1
2
b) Oblicz miarę kąta α, dla której objętość V danego ostrosłupa jest równa: H 3 . Wynik
9
podaj w zaokrągleniu do całkowitej liczby stopni.
Zadanie 203
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym krawędź podstawy ma długość ai
krawędź boczna jest od niej dwa razy dłuższa. Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną i
krawędzią podstawy ostrosłupa. Narysuj przekrój ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez
krawędź podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej i oblicz pole tego przekroju.
Zadanie 204
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość a. Ściany boczne są
trójkątami ostrokątnymi. Miara kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi jest równa 2α
.Wyznacz objętość tego ostrosłupa.
Zadanie 205
Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, w których suma długości
wszystkich krawędzi jest równa 24, jest taki, który ma największe pole powierzchni bocznej.
Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.
Zadanie 206
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD. W trójkącie
równoramiennym ASC stosunek długości podstawy do długości ramienia jest równy
AC : AS = 6 : 5 . Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.
Zadanie 207
Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoramienny ABC. Krawędź AS jest wysokością
ostrosłupa oraz AS  8 210 ; BS  118; CS  131 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Zadanie 208
Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoramienny ABC, w którym AB = 30 ,
BC = AC = 39 i spodek wysokości ostrosłupa należy do jego podstawy. Każda wysokość
ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka S ma długość 26. Oblicz objętość tego
ostrosłupa.
Zadanie 209
W ostrosłupie ABCS podstawa ABC jest trójkątem równobocznym o boku długości a.
Krawędź AS jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Odległość wierzchołka A od ściany
BCS jest równa d. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.
Zadanie 210
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość a. Ostrosłup ten
przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy i
wierzchołek ostrosłupa. Płaszczyzna tego przekroju tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o
mierze α. Oblicz objętość ostrosłupa.
Zadanie 211
Oblicz objętość ostrosłupa trójkątnego ABCS, którego siatkę przedstawiono na rysunku.
Zadanie 212
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość a. Kąt między
krawędzią boczną a krawędzią podstawy ma miarę   45 0 (zobacz rysunek). Wyznacz
objętość tego ostrosłupa.
Zadanie 213
Dany jest prostokątny arkusz kartonu o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach
tego arkusza wycięto kwadratowe naroża (zobacz rysunek)
Następnie zagięto karton wzdłuż linii przerywanych, tworząc w ten sposób
prostopadłościenne pudełko (bez przykrywki). Oblicz długość boku wyciętych kwadratowych
naroży, dla której otrzymanego pudełka jest największa. Oblicz tę objętość.
Zadanie 214
Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma promienia okręgu
opisanego na podstawie ostrosłupa i wysokości tego ostrosłupa jest równa 24. Wyznacz
promień okręgu opisanego na podstawie tego z ostrosłupów, który ma największą objętość.
Oblicz tę objętość.
Zadanie 215
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Kąt  jest kątem między dwiema sąsiednimi
ścianami bocznymi. Kąt  jest kątem przy podstawie ściany bocznej (tzn. kątem między
krawędzią podstawy i krawędzią boczną ostrosłupa)  zobacz rysunek. Wykaż, że
cos   tg 2  1.
Zadanie 216
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość a. Płaszczyzna
przechodząca przez krawędź podstawy i środek wysokości tego ostrosłupa jest nachylona do
płaszczyzny podstawy pod kątem . Wyznacz objętość i pole powierzchni bocznej tego
ostrosłupa.
Zadanie 217
Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi równej 1. Punkt S jest środkiem krawędzi DH.
Odcinek DW jest wysokością ostrosłupa ACSD opuszczoną z wierzchołka D na ścianę ACS.
Oblicz długości odcinków AW, CW i SW.
Zadanie 218
Kwadrat ABCD o boku długości 1 jest podstawą ostrosłupa ABCDS. Odcinek HS jest
wysokością ostrosłupa, przy czym punkt H dzieli przekątną AC podstawy w stosunku 2 : 1
(z0bacz rysunek). Krawędzie boczne BS i DS mają długość równą 1. Oblicz objętość tego
ostrosłupa oraz długości krawędzi AS i CS.
Zadanie 219
Wyznacz cosinus kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego
sześciokątnego, jeśli wiadomo, że krawędź boczna jest trzy razy dłuższa od krawędzi
podstawy.
Zadanie 220
Sześcian o krawędzi a = 6 przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i
nachyloną do niej pod kątem 30°. Oblicz wysokość otrzymanego przekroju. Podaj
przybliżenie otrzymanego wyniku z dokładnością do trzech miejsc po przecinku i zakoduj
trzy początkowe cyfry po przecinku otrzymanego przybliżenia.
Zadanie 221
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny, w którym suma wszystkich krawędzi jest
równa 18. Oblicz możliwie największą objętość takiego graniastosłupa.
25.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące kombinatoryki
Zadanie 222
Rozwiąż równanie P x2   Vx2  10  P x1 , widząc, że:
Pn - oznacza liczbę wszystkich różnych permutacji bez powtórzeń zbioru nelementowego.
V nk - oznacza liczbę wszystkich różnych k- elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru
n- elementowego.
Zadanie 223
Oblicz, ile jest liczb ośmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, natomiast
występują dwie dwójki i występują trzy trójki.
Zadanie 224
Oblicz, ile jest liczb naturalnych ośmiocyfrowych takich, że iloczyn cyfr w ich zapisie
dziesiętnym jest równy 12.
Zadanie 225
Oblicz, ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 6 lub podzielnych przez
15.
Zadanie 226
Oblicz, ile jest liczb naturalnych sześciocyfrowych, w zapisie których występuje dokładnie
trzy razy cyfra 0 i dokładnie raz występuje cyfra 5.
Zadanie 227
Oblicz ile jest stucyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr równej 4.
Zadanie 228
Oblicz, ile jest liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie
dwie dwójki i jedna jedynka.
25.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące rachunku prawdopodobieństwa
Zadanie 229
Z urny zawierającej 4 kule białe i 6 kul czarnych losujemy jedną. Po obejrzeniu koloru
zwracamy ją do urny. Następnie wyciągamy 2 kule. Oblicz prawdopodobieństwo, że w ten
sposób wylosujemy 3 kule jednego koloru.
Zadanie 230
W konkursie „Jaka to melodia” uczestnik zna 12 spośród 20 piosenek. Prowadzący
przedstawia mu 4 piosenki, a uczestnik musi odgadnąć co najmniej tytuł jednej piosenki, by
przejść do dalszego etapu konkursu. Oblicz prawdopodobieństwo, że uczestnik przejdzie do
dalszego etapu konkursu podając wynik z dokładnością do 0,01.
Zadanie 231
Ze zbioru Z  1;2;3;...;2n  1  n  N  wylosowano równocześnie dwie liczby. Wyznacz n,
tak aby prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest liczbą nieparzystą było
7
.
większe od
13
Zadanie 232
W szufladzie znajdują się skarpetki zielone i niebieskie. Zielone skarpetki są co najmniej
dwie, a niebieskich było dwa razy więcej niż zielonych. Z szuflady w sposób losowy
wyciągnięto jedną skarpetkę, odłożono ją i wyciągnięto kolejną. Prawdopodobieństwo, że
13
wylosowane w ten sposób dwie skarpetki były koloru zielonego, jest o
mniejsze od
33
prawdopodobieństwa, że wyciągnięto dwie skarpetki różnych kolorów. Oblicz, ile skarpetek
było w szufladzie.
Zadanie 233
Uczniowie dojeżdżający do szkoły zaobserwowali, że spóźnienie autobusu zależy od tego,
który z trzech kierowców prowadzi autobus. Przeprowadzili badania statystyczne i obliczyli,
że w przypadku, gdy autobus prowadzi kierowca A, spóźnienie zdarza się w 5% jego kursów,
gdy prowadzi kierowca B w 20% jego kursów, a gdy prowadzi kierowca C w 50% jego
kursów. W ciągu 5-dniowego tygodnia nauki dwa razy prowadzi autobus kierowca A, dwa
razy kierowca B i jeden raz kierowca C. Oblicz prawdopodobieństwo spóźnienia się
szkolnego autobusu w losowo wybrany dzień nauki.
Zadanie 234
Niech A, B będą zdarzeniami o prawdopodobieństwach P(A)i P(B). Wykaż, że jeżeli P(A)=
0,85 i P(B)= 0,75, to prawdopodobieństwo warunkowe spełnia nierówność P(A/ B) ≥ 0,8.
Zadanie 235
Z pewnej grupy osób, w której jest dwa razy więcej mężczyzn niż kobiet, wybrano losowo
dwuosobową delegację. Prawdopodobieństwo tego, że w delegacji znajdą się tylko kobiety
jest równe 0,1. Oblicz, ile kobiet i ilu mężczyzn jest w tej grupie.
Zadanie 236
W urnie znajdują się jedynie kule białe i czarne. Kul białych jest trzy razy więcej niż
czarnych. Oblicz, ile jest kul w urnie, jeśli przy jednoczesnym losowaniu dwóch kul
9
prawdopodobieństwo otrzymania kul o różnych kolorach jest większe od
.
22
Zadanie 237
Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w trzech rzutach symetryczną sześcienną kostką do gry
suma kwadratów liczb uzyskanych oczek będzie podzielna przez 3.
Zadanie 238
A, B są zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω. Wykaż, że jeżeli P( A) = 0,9 i P(B) = 0,7 ,to
P( A ∩ B') ≤ 0,3 ( B' oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia B).
Zadanie 239
Zdarzenia losowe A, B są zawarte w  oraz P A  B'  0,7 ( A’ oznacza zdarzenie
przeciwne do zdarzenia A , B’ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia B).Wykaż, że
P A'B  0,3.
Zadanie 240
Zdarzenia losowe A, B są zawarte w  oraz P A  B'  0,1 i P A'B  0,2. Wykaż, że
P A  B  0,7 ( A’ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A, B’ oznacza zdarzenie
przeciwne do zdarzenia B).
Zadanie 241
Rzucamy cztery razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo
zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn otrzymanych we wszystkich czterech rzutach
będzie równy 60.
Zadanie 242
W zielonym pudełku jest 10 monet pięciozłotowych i 5 monet dwuzłotowych, a w białym
pudełku są 2 monety pięciozłotowe i 3 monety dwuzłotowe. Z zielonego pudełka losujemy
jedną monetę i wrzucamy ją do białego pudełka. Następnie z białego pudełka losujemy
jednocześnie 2 monety. Oblicz prawdopodobieństwo, że z białego pudełka wylosujemy w
sumie 7 złotych.
Zadanie 243
Na ile sposobów można ze standardowej talii 52 kart wybrać 13 kart tak, aby mieć co
najwyżej jednego czerwonego (kier lub karo) asa? Jakie jest prawdopodobieństwo takiego
zdarzenia?
Zadanie 244
Z urny zawierającej 10 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 10 losujemy
jednocześnie trzy kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, ze
numer jednej z wylosowanych kul jest równy sumie dwóch pozostałych kul.
Zadanie 245
Janek przeprowadza doświadczenie losowe, w którym jako wynik może otrzymać jedną z
liczb: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Prawdopodobieństwo pk otrzymania liczby k jest wzorem:
1 6
pk 
  . Rozważamy dwa zdarzenia:
64  k 
 zdarzenie A polegające na otrzymaniu liczby ze zbioru {1; 3; 5},
 zdarzenie B polegające na otrzymaniu liczby ze zbioru {2; 3; 4; 5; 6}.
Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe P A / B.
Zadanie 246
Ze zbioru cyfr {1,2,3,...,9} wylosowano dwa razy po jednej bez zwracania i ułożono w
kolejności losowania w liczbę dwucyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo, że w ten sposób
ułożono liczbę większą od 55.
Zadanie 247
Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną
kostką do gry otrzymamy co najmniej jedną „jedynkę”, pod warunkiem, że otrzymamy co
najmniej jedną „szóstkę”.