Teoria liczb z elementami kryptografii Lista 1

Teoria liczb z elementami kryptografii
Lista 1 -Rozmaitości
Liczby doskonałe, zaprzyjaźnione, trójkątne itp. były przedmiotem zainteresowania
matematyków począwszy od Pitagorasa (VI-V w. p.n.e) przynajmniej do czasów Fermata (XVII w.) i Eulera (XVIII w.). Pytanie, czy istnieje nieparzysta liczba doskonała
jest wciąż otwarte, ale zasadniczo ta tematyka leży dziś na marginesie teorii liczb.
Zadania te nie wymagają żadnej wiedzy wstępnej z teorii liczb.
1. Liczbę naturalną n nazywamy doskonałą, jeżeli jest ona sumą swoich właściwych dzielników, np. 6 = 1 + 2 + 3.
a) Wykaż, że jeżeli 2n − 1 jest liczba pierwszą, to 2n−1 (2n − 1) jest liczbą doskonałą.
b) Podaj wszystkie liczby doskonałe, jakie potrafisz wywnioskować z podanego
wzoru za pomocą ręcznych rachunków.
Jeśli nie będziesz bardzo uparty, to zapewne przegrasz z matematykami późnego
średniowiecza.
2. Liczby naturalne nazywamy zaprzyjaźnionymi, jeżeli każda z nich jest sumą
dzielników właściwych drugiej.
a) Sprawdź, ze 220 i 284 są parą liczb zaprzyjaźnionych.
b) Z jaką liczbą zaprzyjaźniona jest liczba 1184?
3. Liczbą trójkątną nazywamy liczbę postaci Tn = 1 + 2 + . . . + n.
a) Wyjaśnij, skąd bierze się taka nazwa.
b) Znajdź wzór na n-tą liczbę trójkątną.
c) Znajdź największą czterocyfrową liczbę trójkątną.
d) Wykaż, że suma dwu kolejnych liczb trójkątnych jest kwadratem liczby naturalnej.
e) Wykaż, że liczba n jest trójkątna wtedy i tylko wtedy, gdy 8n + 1 jest kwadratem liczby naturalnej.
f) Znajdź wszystkie trójkątne liczby pierwsze.
g) Wykaż, że każda liczba postaci n(n + 1)(n + 2)(n + 3)/8 jest trójkątna.
h) Znajdź wzór na sumę T1 + T2 + . . . + Tn i wykaż jego poprawność.
i) Uzasadnij, że
1
1
1
+
+
+ . . . = 2.
T1 T2 T3
j) Wykaż, że jeżeli Tn jest kwadratem, to także T4n(n+1) jest kwadratem.
k) Wykaż, że istnieje nieskończenie wiele liczb trójkątnych będących kwadratami.
4. Liczby 1, 5, 12, 22, 35, . . . nazywamy pentagonalnymi.
a) Wyjaśnij, skąd bierze się ich nazwa.
b) Znajdź wzór na n-tą liczbę pentagonalną.
c) Jaki związek zachodzi pomiędzy liczbami pentagonalnymi a trójkątnymi?
Lista 2 -Podzielność i algorytm Euklidesa
1. Znajdź największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność liczb:
a) 99 i 51;
b) 123 i 456;
c) 1234 i 567;
d) 121212 i 343434.
2. Korzystając z odwrotnego algorytmu Euklidesa przedstaw największy wspólny dzielnik podanych liczb jako ich całkowitą kombinację:
a) 119 i 272; b) 1769 i 2378.
3. Przedstaw największy wspólny dzielnik liczb 198, 288 i 512 jako ich całkowitą
kombinację liniową.
4. Uzasadnij, że sąsiednie liczby Fibonacciego są względnie pierwsze.
5. Znajdź największy wspólny dzielnik liczb:
a) 111111111 oraz 111111111 ; b) 111111111 oraz 111111111 .
6. Załóżmy, że liczby a, b są względnie pierwsze. Jaką wartość może przyjmować
największy wspólny dzielnik liczb:
a) a + b i a − b;
d) a + b i a2 − ab + b2 ;
b) 2a + b i a + 2b;
e) a + b i ab;
c) a + b i a2 + b2 ;
f) an i bn .
7. Wykaż, że prawie wszystkie liczby naturalne dadzą się przedstawić w postaci
całkowitej nieujemnej kombinacji liczb 6, 10 i 15.
8. Znajdź prosty wzór na największy wspólny dzielnik liczb 2k − 1 oraz 2m − 1.
9. Jakie wartości może przyjmować największy wspólny dzielnik liczb 2n oraz
2n
n
?
10. Wykaż, że dwie liczby znajdujące się w tym samym wierszu trójkąta Pascala są
względnie pierwsze tylko wtedy, gdy któraś z nich jest jedynką.
n
Wsk. Skorzystaj z tożsamości
k
!
!
!
n
k
=
m
m
!
n−m
.
k−m
11. * Załóżmy, że największym wspólnym dzielnikiem liczb a1 , a2 , . . . , ak jest 1.
Wykaż, że prawie wszystkie liczby naturalne dadzą się przedstawić w postaci ich
całkowitej nieujemnej kombinacji.
Lista 3 -Liczby pierwsze (po raz pierwszy)
1. Korzystając z sita Eratostenesa znajdź wszystkie liczby pierwsze pomiędzy 150
a 200.
2. Znajdź:
a) wszystkie liczby pierwsze pomiędzy 1000 a 1010;
b) największą liczbę pierwszą poniżej 1000.
3. Hipoteza Goldbacha głosi, że każda liczba parzysta większa od 4 jest sumą dwu
liczb pierwszych.
a) Sprawdź hipotezę Goldbacha dla liczb parzystych pomiędzy 900 a 1000.
b) Pokaż, że z hipotezy Goldbacha wynika, że każda liczba nieparzysta większa
od 5 jest sumą trzech liczb pierwszych.
4. Analizując dowód Euklidesa wykaż, że n-ta liczba pierwsza spełnia nierówność
n
n
pn < 22 . Wykaż, że poniżej 22 jest przynajmniej n + 1 liczb pierwszych.
5. Pokaż, że dla dowolnego n istnieje ciąg n kolejnych liczb złożonych.
n
6. Liczbami Fermata nazywamy liczby postaci Fn = 22 + 1.
a) Znajdź wzór na F0 F1 ...Fn .
b) Wykaż, że liczby Fermata są parami względnie pierwsze.
c) Wyprowadź stąd kolejny dowód istnienia nieskończenie wielu liczb pierwszych.
7. Dokończ poniższy dowód Stieltjesa (1890) istnienia nieskończenie wielu liczb
pierwszych.
”Załóżmy, że istnieje tylko skończenie wiele liczb pierwszych p1 , p2 , ..., pn . Podzielmy ten zbiór na dwie niepuste części. Niech a będzie iloczynem liczb pierwszych należących do jednej z tych części, b - drugiej. Rozważmy m = a + b....”
8. Niech pn oznacza n-ta liczbę pierwszą. Pokaż, że dla nieskończenie wielu n zachodzi nierówność pn < n2 .
√
9. Wykaż, że 3 jest liczbą niewymierną.
√
10. Wykaż, że n jest liczbą wymierną wtedy i tylko wtedy, gdy każdy czynnik
pierwszy n występuje w parzystej potędze.
11. Rozważmy zbiór liczb naturalnych postaci 4n + 1: 1, 5, 9, 13, . . . . Liczbę z
tego zbioru, większą od 1 nazwiemy „pierwszą”, jeśli nie ma ona w tym zbiorze
nietrywialnych dzielników.
a) Znajdź 10 początkowych liczb „pierwszych”.
b) Pokaż, że w zbiorze tym nie zachodzi twierdzenie o jednoznaczności rozkładu.
c) Spróbuj powtórzyć dowód twierdzenia o jednoznaczności. W którym miejscu
się on załamuje?
12. Ciało nazywamy algebraicznie domkniętym, jeżeli każdy wielomian o współczynnikach z tego ciała różny od stałej ma w nim pierwiastek. Wykaż, że ciało
skończone nie może być algebraicznie domknięte.
Lista 4 -Kongruencje, MTF i twierdzenie Wilsona
1. Nie korzystając z kalkulatora itp. oblicz:
a) 2100 mod 7;
b) 3200 mod 13; c) 7111 mod 15;
d) 111111 mod 35.
2. Oblicz: a) 10−1 mod 111; b) 51−1 mod 169; c) 1000−1 mod 1003.
3. Czy prawdą jest, że dla liczby pierwszej p zachodzi wynikanie
an ≡ bn mod p → a ≡ b mod p?
4. Znajdź ostatnie trzy cyfry liczby 7999 .
Wsk.: 74n ≡ (1 + 400)n ≡ 1 + 400n mod 1000.
5. Znajdź resztę z dzielenia: 99!: a) przez 101; b) przez 111.
6. Podaj piątą kartę w sztuczce z kartami, gdy pierwszymi czterema były kolejno:
a) as pik, król pik, dama pik, walet pik;
b) dama pik, trójka pik, siódemka pik i as pik.
7. Udowodnij MTF dla dodatnich a korzystając z indukcji matematycznej i wzoru
Newtona.
8. Udowodnij, że dla liczb pierwszych p zachodzi (p − 2)! ≡ 1 mod p.
9. Jakie wartości przyjmuje funkcja f (n) = (n − 1)! mod n?
10. Wykaż, że istnieje nieskończenie wiele liczb złożonych postaci n! + 1.
11. Wykaż, że dla nieparzystej liczby pierwszej p zachodzą kongruencje:
a) 12 · 32 · 52 · . . . · (p − 2)2 ≡ (−1)
p+1
2
b) 22 · 42 · 62 · . . . · (p − 1)2 ≡ (−1)
p+1
2
mod p;
mod p.
Lista 5 -Twierdzenie Czebyszewa
1. Twierdzenie Czebyszewa głosi, że pomiędzy n a 2n jest liczba pierwsza. Korzystając z twierdzenia Czebyszewa pokaż, że pn < 2n .
2. Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n istnieje liczba pierwsza mająca zapis
dziesiętny długości n. Analogicznie dla zapisu binarnego.
3. Udowodnij twierdzenie Czebyszewa dla n ¬ 1 000 000.
Uwaga: Możesz korzystać z dostępnych tablic liczb pierwszych, ale sam dowód
musi być dość krótki.
4. Ustawmy liczby 1, 2, ... n2 w tablicę
1
n+1
2n + 1
...
(n − 1)n + 1
2
n+2
2n + 2
...
(n − 1)n + 2
3
... n
n+3
... 2n
2n + 3
... 3n
...
... ...
(n − 1)n + 3 ... n2
Hipoteza Sierpińskiego głosi, że dla n ­ 2 w każdym wierszu takiej tablicy występuje przynajmniej jedna liczba pierwsza. Wykaż, że z hipotezy Sierpińskiego
wynika:
a) twierdzenie Czebyszewa;
b) hipoteza Legendre’a: pomiędzy kolejnymi kwadratami występuje liczba pierwsza.
c) hipoteza głoszącą, że pomiędzy kolejnymi sześcianami są przynajmniej dwie
liczby pierwsze.
5. * Wykaż, że dla n ­ 2 zbiór liczb 1, 2, ..., 2n można zawsze rozbić na n par
takich, że suma każdej pary jest liczbą pierwszą? Np. dla n = 2 mamy 1-4, 2-3,
dla n = 3 mamy 1-6, 2-5, 3-4, a dla n = 4 1-6, 2-5, 3-8, 4-7.
6. * Korzystając z twierdzenia Czebyszewa wykaż, że dla n > 1 suma harmoniczna
1+
nie jest liczbą całkowitą.
1
1 1
+ + ... +
2 3
n
Lista 6 -Rozmieszczenie liczb pierwszych
1. Twierdzenie Dirichleta głosi, że jeżeli liczby naturalne a, r sa względnie pierwsze,
to istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci a + nr. Korzystając z
twierdzenia Dirichleta wykaż, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych:
a) postaci 1805 + 1859n; b) kończących się układem 18551777.
Wyjaśnij, skąd wzięły się liczby w tych przykładach.
2. Wykaż, że jeżeli jakiś ciąg arytmetyczny nieskończony o wyrazach naturalnych
zawiera dwie liczby pierwsze, to zawiera ich nieskończenie wiele.
3. Czebyszew wykazał, że 0, 89n/ ln n < π(n) < 1, 11n/ ln n.
a) Wykaż, że z oszacowania tego wynika twierdzenie Czebyszewa.
b) Czy z oszacowania podanego na wykładzie wynika, że dla prawie wszystkich
n istnieje liczba pierwsza pomiędzy n a 3n?
4. Korzystając z twierdzenia o rozmieszczeniu liczb pierwszych wykaż, że dla prawie
wszystkich n:
a) zachodzi twierdzenie Czebyszewa;
b) istnieje liczba pierwsza pomiędzy 2n a 3n.
5. Czy prawdą jest, że dla odpowiednio dużych n pomiędzy n2 a n jest przynajmniej
n liczb pierwszych?
6. Wykaż, że dla liczby naturalnej n zachodzi nierówność
π(n)
π(n − 1)
<
n−1
n
wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczba pierwszą.
7. Wykaż, że
lim
n→∞
π(2n) − π(n)
= 1.
π(n)
Wygląda na to, że w przedziałach [1, n] oraz [n + 1, 2n] jest z grubsza po tyle
samo liczb pierwszych. Czy nie ma tu sprzeczności, z tym, że wraz ze wzrostem
n liczby pierwsze występują coraz rzadziej?
8. Jak zdefiniować charaktery χ oraz χ0 , aby wykazać metodą Dirichleta, że istnieje
nieskończenie wiele liczb pierwzych postaci 3n + 1, a także 3n + 2?
9. * Wykaż, że
1 1 1 1
1
1
1
+ + + +
+ . . . + > ln ln p − .
2 3 5 7 11
p
2
Spróbuj podać podobne oszacowanie z góry.
10. * Czy każda skończona kombinacja cyfr (nie zaczynająca się zerem) może być
początkiem liczby pierwszej?
Lista 7 -Twierdzenie Eulera i pierwiastki pierwotne
1. Oblicz ϕ(n) dla: a) n = 1001; b) 111111; c) 555555; d) 10011001 .
2. Wyraź ϕ(666) za pomocą samych szóstek.
3. Znajdź kres górny i kres dolny zbioru liczb postaci ϕ(n)/n.
4. Jaki zachodzi związek pomiędzy ϕ(2n) a ϕ(n)?
5. Wykaż, że równanie ϕ(n) = n/3 ma nieskończenie wiele rozwiązań.
6. Wykaż, że jedyną nieparzystą wartością funkcji Eulera jest liczba 1.
7. Udowodnij twierdzenie Eulera: a) małpując dowód MTF z wykładu; b) korzystając z twierdzenia Lagrange’a o rzędzie podgrupy.
8. Czy istnieje pierwiastek pierwotny dla: a) n = 12; b) 18; c) 27?
9. Znajdź jakikolwiek pierwiastek pierwotny Z29 . Korzystając z niego znajdź
wszystkie pozostałe.
10. Ile jest pierwiastków pierwotnych w Z101 ?
11. Wykaż, że jeśli r jest pierwiastkiem pierwotnym dla liczby pierwszej p, to
r
p−1
2
≡ −1 mod p.
12. Uzupełnij dowód twierdzenia Wilsona: „Niech r będzie pierwiastkiem pierwotnym modulo p. Wówczas
(p − 1)! ≡ r1+2+...+(p−1) mod p...′′
13. Korzystając z twierdzenie Eulera wykaż, jeśli n jest liczbą nieparzystą niepodzielną przez 5, to pewna jej krotność ma zapis złożony z samych jedynek.
Uwaga: Podobny wynik można uzyskać za pomocą zasady szufladkowej.
14. Uzasadnij, że dla liczb pierwszych p długość okresu w rozwinięciu dziesiętnym
liczby 1/p jest dzielnikiem liczby p − 1.
15. Niech p będzie nieparzystą liczbą pierwszą. Wykaż, że suma
1n + 2n + ... + (p − 1)n
jest równa 0 bądź −1. Wsk. Jeżeli p − 1 nie dzieli n, a r jest pierwiastkiem
pierwotnym dla p, to żądana suma modulo p jest równa
1 + rn + r2n + . . . + r(p−2)n .
16. * Oblicz wyznacznik
nwd(1, 1)
nwd(2, 1)
...
nwd(n, 1)
nwd(1, 2)
nwd(2, 2)
...
nwd(n, 2)
. . . nwd(1, n) . . . nwd(2, n) .
...
...
. . . nwd(n, n) 17. * Wykaż, że dla dowolnej nieparzystej liczby pierwszej istnieją pierwiastki pierwotne modulo pk oraz 2pk .
Lista 8 -RSA i inne protokoły kryptograficzne
1. Znajdź logarytm dyskretny modulo 73, przy podstawie 5 z liczb:
a) 7; b) 49; c) 51.
2. W celu uzgodnienia klucza Ala i Bartek uzgodnili liczby p = 37 oraz g = 2 Ala
przesłała Bartkowi liczbę 27, Bartek Ali 17. Znajdź uzgodniony klucz.
3. Rozważmy RSA dla n = 143, e = 7.
a) Wyślij do Ali wiadomość m = 100.
b) Znajdź klucz tajny d.
c) Pokaż rachunki, jakie trzeba przeprowadzić dla odszyfrowania wiadomości.
4. Rozłóż n = 35143 na czynniki wiedząc, że jest ona iloczynem dwu liczb pierwszych, a φ(n) = 34720.
5. W kryptosystemie El Gamala Ala wybiera liczbę pierwsza p = 31 i najmniejszy
pierwiastek pierwotny. Jako swój klucz prywatny wybrała liczbę 13. Bartek chcąc
wysłać jej wiadomość wysyła jej:
c1 = 19,
c2 = 8.
a) Znajdź klucz jawny Ali, klucz efemeryczny Bartka i przesyłaną wiadomość.
b) Ustalmy p, pierwiastek pierwotny g, klucz tajny Ali a oraz efemeryczny Bartka
k. Czy dowolna para liczb (c1 , c2 ) mniejszych od wybranej liczby pierwszej p
odpowiada jakiemuś przekazowi?
6. Bartek, aby wysłać wiadomość m do Ali może wysłać eA (m), gdzie eA — klucz
jawny Ali. Jednak zdecydował się na wysłanie dwu wiadomości: eA (m) oraz
dB (m). Czemu to służy?
7. Ala buduje szyfr plecakowy przyjmując za ciąg superrosnący 1, 3, 7, 15, 31, 70,
a ponadto n = 200, a = 31.
a) Podaj ciąg liczb stanowiących publiczny klucz Ali.
b) Wyślij do niej wiadomość 100010 000010.
c) Pokaż rachunki, jakie musi wykonać Ala, aby odczytać przekaz.
8. Pokaż, jak za pomocą drobnej modyfikacji RSA można symulować przez telefon
rozdawanie kart. Dla uproszczenia przyjmijmy, że każdy z dwu graczy ma dostać
po 2 karty spośród 10.
9. Jak stworzyć podpis elektroniczny w kryptosystemie El Gamala?
Lista 9 -Rozpoznawanie pierwszości i faktoryzacja
1. Wykaż, że liczba 41041 jest liczbą Carmichaela, tzn. dla dowolnego a względnie
pierwszego z 41051 zachodzi kongruencja
aφ(41041) ≡ 1 mod 41041.
2. Zastosuj a-test Millera-Rabina do liczby n:
a) n = 101, a = 2; b) n = 143, a = 12; c) n = 209, a = 56.
Czy wynik jest pewny, czy tylko prawdopodobny?
3. Dla jakich a względnie pierwszych z 33 liczba ta jest silnie pseudopierwsza przy
podstawie a?
4. Rozłóż na czynniki za pomocą algorytmu Fermata:
a) 8858; b) 53357; c) 34571.
Uwaga: Można wykorzystywać kalkulator z tablicowaniem funkcji, ale nie możesz
stosować próbnego dzielenia.
5. Czy z danych 412 ≡ 24 · 3, 432 ≡ 23 · 33 , 452 ≡ 23 · 72 mod 1633 można
wywnioskować rozkład 1633 na czynniki?
6. Znajdź nietrywialny dzielnik N za pomocą algorytmu Dixona wykorzystując
podane informacje:
a) N = 61063,
18822 ≡ 2 · 33 · 5 mod 61063,
18982 ≡ 60750 mod 61063.
b) N = 52097,
3992 ≡ 22 · 3 · 5 mod 52907, 7632 ≡ 26 · 3 mod 52907,
7732 ≡ 26 · 35 mod 52907,
9762 ≡ 2 · 53 mod 52907.
7. Rozłóż za pomocą algorytmu ρ-Pollarda: a) 221. b) 3959.
8. Metodą p − 1 Pollarda znajdź nietrywialny dzielnik liczby: a) 77; b) 247; c) 7991.
9. Wyjaśnij, dlaczego w algorytmie ρ-Pollarda można zakładać, że odpowiednia
para ma postać x2i − xi .
10. Wykaż, że potęga liczby pierwszej nie jest liczbą Carmichaela.
11. Wykaż, że żadna liczba parzysta nie jest liczbą Carmichaela.
12. Wykaż, że każda liczba Carmichaela ma przynajmniej trzy dzielniki pierwsze,
Lista 10 -Chińskie twierdzenie o resztach
1. Rozwiąż układ kongruencji:
a) x ≡ 1 mod 3, x ≡ 2 mod 5, x ≡ 3 mod 7;
b) 2x ≡ 1 mod 5, 3x ≡ 9 mod 6, 4x ≡ 1 mod 7, 5x ≡ 9 mod 11.
2. Gdy z koszyka wyjmujemy każdorazowo 2 jajka zostaje w nim jedno. Podobnie,
gdy każdorazowo wyjmujemy 3, 4, 5 albo 6 jajek. Gdy wyjmujemy po 7 jajek,
koszyk w końcu okazuje się pusty. Znajdź minimalna liczbę jajek w koszyku.
3. Banda 17 piratów zdobyła worek jednakowych złotych monet. Przy próbie podziału po równo zostały 3 monety. Rozgorzał spór, w wyniku którego jeden z
piratów stracił życie. Podjęto kolejną próbę podziału, ale tym razem zostało 10
monet. I znów doszło do zaciętej polemiki, po której liczba piratów zmalała do
15. Teraz już równy podział nie stwarzał matematycznych problemów. Znajdź
minimalną liczbę monet.
4. Rozwiąż układ kongruencji
5x + 3y ≡ 1 mod 7, 7x + 3y ≡ mod11.
5. Pokryciem N nazywamy zbiór kongruencji liniowych takich, że każda liczba naturalna jest rozwiązaniem jednej z nich. Sprawdź, czy układ
x ≡ 0 mod 2,
x ≡ 0 mod 3,
x ≡ 1 mod 4,
x ≡ 5 mod 6,
x ≡ 7 mod 12.
6. Pokaż, jak wywnioskować z CTR, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.
7. Niech
Mi = (M/mi )ϕ(mi ) .
Uzasadnij, że Mi ≡ 1 mod mi i wyprowadź stąd nowy dowód CTR.
8. * Znajdź logarytm dyskretny modulo 1009 przy podstawie 11 z liczby 107. Oczywiście nie można korzystać z czystego potęgowania (po 1008 krokach na pewno
się ten logarytm znajdzie).
9. ** Pokrycie N (p. zad. 5) nazywamy dokładnym, gdy każda liczba jest rozwiązaniem tylko jednej kongruencji. Wykaż, że w pokryciu dokładnym dwa największe
moduły są równe.
Lista 11 - Reszty kwadratowe i prawo wzajemności
1. Jaką cyfrą może kończyć się: a) kwadrat liczby naturalnej; b) sześcian liczby
naturalnej; c) liczba trójkątna?
2. Korzystając z lematu Gaussa zbadaj, czy 26 jest resztą kwadratową mdulo 37.
3. Niech p > 5 będzie liczbą pierwszą. Uzasadnij, że przynajmniej jedna z liczb 2,
3 oraz 6 jest resztą kwadratową modulo p.
4. Oblicz wartość symbolu Legendre’a:
a)
51
;
67
b)
333
;
911
c)
1101
.
1999
5. Rozważ którykolwiek z przypadków (pominiętych na wykładzie) wyprowadzenia
wzoru na (3/p).
6. Sprawdź, że symbol Jacobiego (2/585) = 1. Czy 2 jest resztą kwadratową modulo
585?
7. Wykaż, że liczba postaci 111. . . 11 nie jest pełnym kwadratem.
8. Dla jakich liczb naturalnych n ­ 1 suma 1! + 2! + 3! + . . . + n! jest kwadratem?
9. Niech p będzie nieparzystą liczba pierwszą. Wykaż, że
−3
p
!
=
(
1, jeżeli p ≡ 1 mod 6;
−1, jeżeli p ≡ 5 mod 6.
Wywnioskuj stąd, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci 6k + 1.
10. Udowodnij prawo wzajemności dla symbolu Jacobiego.
Lista 12 - Twierdzenie Lagrange’a
1. Przedstaw w postaci sumy czterech kwadratów liczb naturalnych liczby:
a) 19; b) 21; c) 399; d) 399399.
2. Na ile sposobów mozna przedstawić w postaci sumy dwu kwadratów liczbę 2550?
3. Znajdź najmniejszą liczbę naturalną k > 1 taką, że dla pewnego naturalnego n
12 + 22 + . . . + n2 = k 2 .
4. Pokaż, że liczby postaci 8k + 7; nie da się przedstawić w postaci sumy trzech
kwadratów.
5. Przedstaw liczbę 454 w postaci sumy ośmiu sześcianów. Przypuszcza się, że każdą
większą od niej można przedstawić w postaci 7 sześcianów.
6. Zgodnie z twierdzeniem Waringa-Hilberta dla każdej liczby naturalnej k istnieje
liczba g(k) taka, że dowolna liczba naturalna da się przedstawić w postaci g(k)
k-tych potęg. Pokaż, że:
a) g(2) = 4;
b) g(3) ­ 9;
c)* g(k) ­ [(3/2)k ] + 2k − 2.
7. Przedstaw w postaci sumy trzech liczb trójkątnych (wliczając w to zero):
a) 100; b) 1000.
8. Każda liczba naturalna jest sumą trzech liczb trójkątnych (Gauss 1796), jest też
sumą czterech kwadratów (Lagrange 1770). Jak brzmi kolejne z serii pokrewnych
twierdzeń? Podaj sens użytych terminów.
9. * Wywnioskuj twierdzenie Lagrange’e o sumie czterech kwadratów z twierdzenia
Gaussa o sumie liczb trójkątnych.
10. * Wykaż, że dla dowolnego n liczba n lub 2n daje się przedstawić w postaci sumy
trzech kwadratów.
Wsk.: Liczba naturalna daje się przedstawić w postaci sumy trzech kwadratów
wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest postaci 4m (8k + 7). Dowód w jedną stronę jest
trudny.
Lista 12 -Równania diofantyczne
1. Znajdź wszystkie pierwotne trójki pitagorejskie tworzące ciąg arytmetyczny.
2. Wykaż, że jeżeli x, y, z sa trójką pitagorejską, to pośród nich jest liczba podzielna
przez 3, podzielna przez 4 i podzielna przez 5.
3. Istnieje tylko jedna para nietrywialnych potęg złożona z kolejnych liczb naturalnych. Znajdź tę parę.
√
4. Korzystając z WTF wykaż, że√3 2 jest liczbą niewymierną. Czy potrafisz wykazać
w ten sposób niewymierność 3 3? Lub inne nieoczywiste modyfikacje.
5. Fermat wykazał, że x4 + y 4 =√
z 2 nie ma rozwiązań w dodatnich liczbach naturalnych. Wywnioskuj stąd, że 2 jest liczbą niewymierną.
6. Każda z dwu urn zawiera tę samą liczbę kul, część z nich biała, część czarna. Z
każdej z tych urn losujemy n krotnie ze zwracaniem jedna kulę.
a) Pokaż, że przy n = 2 można tak dobrać zawartości urn, aby prawdopdobieństwo, iż wszystkie kule wyciągnięte z I urny są białe było równe prawdopodobieństwu, że wszystkie kule wylosowane z II urny mają ten sam kolor (wszystkie
czarne albo wszystkie białe).
b) Czy można to osiągnąć przy n > 2?
7. Pokaż, ze równanie x2 + y 2 = z 3 ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach
całkowitych.
8. Znajdź minimalne nietrywialne rozwiązanie równań x2 − ny 2 = 1 dla n = 11,
n = 13.
9. Niech rad(n) oznacza iloczyn wszystkich dzielników pierwszych liczby n. Hipoteza abc głosi, ze dla dowolnego ε > 0 istnieje stała Kε taka, że
c < Kε (rad(abc))1+ε
dla dowolnych naturalnych a, b, c względnie pierwszych spełniających równość
a + b = c. Wykaż, że z hipotezy abc wynika prawdziwość WTF dla prawie
wszystkich n.
Wsk. Możesz przyjąć ε = 1.
10. Wykaż, że pole trójkąta pitagorejskiego nie może być pełnym kwadratem.
11. Znajdź trójkąt prostokątny o bokach wymiernych i polu 5.
12. ** Udowodnij, że zbiór dodatnich wartości wielomianu
2y − x4 y − 2x3 y 2 + x2 y 3 + 2xy 4 − y 5
pokrywa się ze zbiorem liczb Fibonacciego.