jej rozwoju było odkrycie związków z topologią rozmaitości

K. Sieklucki
174
jej rozwoju było odkrycie związków z topologią rozmaitości nieskończenie wymiaro­
wych. W tych dniach ukazała się monografia prof. Borsuka Theory o f shape.
Prof. Borsuk jest również autorem szeregu cennych prac, które nie wchodzą
w zakres żadnej z trzech wyliczonych teorii. Należy tu w pierwszej kolejności wy­
mienić wyniki z pogranicza geometrii i topologii, takie jak znane twierdzenie
o antypodach, słynną, do dziś nie potwierdzoną hipotezę Borsuka o rozkładzie
zbioru ograniczonego położonego w przestrzeni Euklidesowej «-wymi arowej na
sumę h+1 zbiorów o mniejszych średnicach oraz prace o metryzacjach lokalnie
wypukłych. Dodajmy do tego cykl prac dotyczących jednoznaczności dzielenia
kartezjaóskiego, prace z teorii quasi-homeomorfizmów, z teorii iloczynów syme­
trycznych, z teorii wymiarów modularnych i z teorii punktów stałych. W szczegól­
ności prof. Borsuk podał w 1934 r. pierwszy przykład continuum acyklicznego bez
własności punktu stałego. Trzeba wreszcie wspomnieć o podręczniku Geometrii
analitycznej wielowymiarowej, na którym wykształciło się już kilka pokoleń geo­
metrów i topologów i nawet znane są przypadki nawróceń na matematykę z innych
dyscyplin po przeczytaniu tej niezwykłej książki. Prof. Borsuk jest również autorem
prac z geometrii różniczkowej i z podstaw geometrii, a także, wspólnie z prof. W.
Szmielew, podręcznika Podstawy geometrii.
Problematyka badawcza prof. Borsuka należy, mówiąc ogólnie, do zakresu tzw.
topologii geometrycznej. Jest to dział topologii, w którym ma miejsce wzajemne
przenikanie się idei geometrycznych i topologicznych. Przy tym problemy i metody
czerpane są raczej z geometrii, a przez to nakładają rozsądne ograniczenia na ogól­
ność środków topologicznych. Topologia geometryczna bada więc raczej niepatologiczne podzbiory przestrzeni metrycznych i ośrodkowych (czyli w zasadzie pod­
zbiory kostki Hilberta), przy czym zajmuje się tymi problemami, które mają jasny
sens geometryczny. Znane jest jednak prostsze, chyba równoważne, określenie topo­
logii geometrycznej: jest to mianowicie ten dział topologii, w którym pracuje prof.
Borsuk.
Kończąc chciałbym w imieniu tych wszystkich, którzy uważają prof. Borsuka
za swojego nauczyciela, w szczególności w moim własnym, wyrazić wielką radość
z okazji wręczenia Mu dyplomu członka honorowego Polskiego Towarzystwa Ma­
tematycznego. Chciałbym też prosić Pana Profesora o przyjęcie serdecznych życzeń
z tej okazji.
R.
E n g e l k in g
(Warszawa)
P aw eł Siergiejew icz Aleksandrów
Paweł Siergiejewicz Aleksandrów urodził się 7 maja 1896 r. w rodzinie lekarza.
Studia uniwersyteckie rozpoczął w Moskwie w 1913 r. Spośród profesorów naj­
większy wpływ wywarli na niego Jegorow i Luzin; dzięki temu ostatniemu zainte­
resował się teorią zbiorów borelowskich.
P. S. Aleksandrów
175
W 1916 r. Aleksandrów ogłosił swoją pierwszą pracę, w której wykazał, że nie­
przeliczalne zbiory borelowskie zawierają topologicznie zbiór Cantora. To samo
twierdzenie uzyskał równocześnie Hausdorff — najznakomitszy wówczas autorytet
w dziedzinie teorii mnogości. Metodę użytą przez Aleksandrowa wykorzystał w rok
później Suslin, wprowadzając sławną operację (A). Pierwsza praca młodego stu­
denta uznana została przez otoczenie za wielki sukces. Luzin oceniając bardzo
wysoko możliwości swojego ucznia podsunął mu jako następny problem — dowód
hipotezy continuum. Dziś wiemy, że praca młodego Aleksandrowa musiała być
bezowocna, bo hipoteza ta jest niezależna od aksjomatów teorii mnogości; on tego
nie wiedział i zniechęcony jałowością swych długotrwałych wysiłków postanowił
porzucić matematykę. Obdarzony licznymi talentami i zainteresowaniami bez trudu
znalazł inne pasjonujące go zajęcia — teatr i publiczne odczyty o literaturze, z któ­
rymi objeżdżał prowincję, odnosząc niemałe sukcesy.
Jednak matematyka ciągnęła go stale bardzo mocno. W 1920 r. powrócił do
Moskwy, aby dokończyć studia. Doszło wtedy do spotkania z Urysohnem, feno­
menalnie zdolnym, młodym studentem Uniwersytetu Moskiewskiego.
Lata 1921-1924 to okres intensywnej wspólnej pracy Aleksandrowa i Urysohna
nad powstającą wtedy nową dziedziną matematyki — topologią ogólną. Najważ­
niejszym osiągnięciem dwóch młodych uczonych było stworzenie teorii przestrzeni
zwartych oraz zapoczątkowanie teorii metryzowalności przestrzeni topologi­
cznych.
Wprowadzone przez nich pojęcie przestrzeni zwartej jest, jak wiadomo, najważ­
niejszym chyba z pojęć topologii ogólnej, pojęciem, które najczęściej pojawia się
w zastosowaniach topologii i przenika właściwie całą matematykę. Twierdzenia
Aleksandrowa i Urysohna o przestrzeniach zwartych można dziś znaleźć w każdym
podręczniku topologii i analizy.
Uzyskane przez Aleksandrowa i Urysohna w 1923 r. twierdzenie o metryzacji
miało dość ciekawą historię. Jak wiadomo, twierdzenia o metryzacji polegają na
podaniu czysto topologicznych warunków koniecznych i dostatecznych na to, by
topologię przestrzeni można było wyznaczyć przez metrykę. Aleksandrów i Urysohn
podali takie warunki, ale były one dość skomplikowane. Nie uznali więc swojego
rozwiązania za zadowalające, a opinię tę powtarzali za nimi przez 30 lat inni mate­
matycy. Dopiero później okazało się, że jedno z wprowadzonych przez nich pojęć
jest bardzo bliskie parazwartości i że używając pojęcia przestrzeni parazwartej
można twierdzeniu Aleksandrowa-Urysohna nadać naturalną i prostą postać, ale
to już zrobił kto inny.
Po tragicznej śmierci Urysohna w 1924 r. Aleksandrów prowadził sam rozpo­
częte wspólnie badania, zajmując się lokalną zwartością i przekształceniami ciągły­
mi przestrzeni zwartych. Opisał wtedy pewne uzwarcenie przestrzeni lokalnie zwar­
tych, powszechnie teraz znane jako jednopunktowe uzwarcenie Aleksandrowa, oraz
udowodnił ważne twierdzenie głoszące, że każdy półciągły z góry rozkład przestrze­
ni zwartej jest wyznaczony przez przekształcenie ciągłe. Kontynuował również ba­
dania dotyczące metryzacji i wykazał, że każdy zbiór typu Gdw ośrodkowej przestrzeni
metrycznej zupełnej jest sam metryzowalny w sposób zupełny. W pracy na ten
176
R. E n g e lk in g
temat, która ukazała się w 1924 r., wprowadził pojęcie lokalnej skończoności ro­
dziny zbiorów — jedno z podstawowych pojęć współczesnej topologii ogólnej.
W tym okresie, pod wpływem podróży zagranicznych, zainteresował się topo­
logią kombinatoryczną. Zainteresowanie to okazało się nadzwyczaj płodne — oto
Aleksandrów doprowadził do zespolenia i syntezy dwóch gałęzi topologii, które
dotąd rozwijały się jakby wzajemnie o sobie nie wiedząc, udało mu się mianowicie
połączyć topologię ogólną z topologią kombinatoryczną.
Punktem wyjścia dla tego procesu było udowodnione przez Aleksandrowa
w 1926 r. twierdzenie o e-przesunięciach w wielościany, dokładniej w nerwy pokryć.
Twierdzenie to głosi, że każdą przestrzeń metryzowalną zwartą można — mówiąc
nieściśle — dowolnie dokładnie aproksymować wielościanami, które w dość prosty
sposób związane są z pokryciami otwartymi rozpatrywanej przestrzeni; przy tym
im drobniejsze pokrycie, tym lepsza aproksymacja.
Twierdzenie o e-przesunięciach miało bardzo doniosłe konsekwencje. Pozwoliło
ono na określenie niezmienników homologicznych dla przestrzeni metrycznych
zwartych; niezmienniki takie były wcześniej znane jedynie dla wielościanów. Do­
dajmy, że zaproponowane przez Aleksandrowa uogólnienie zachowywało wszystkie
ważne własności tych niezmienników. Wśród wielu innych twierdzeń zawartych
w ogłoszonej w 1929 r. znakomitej pracy Untersuchungen uber Gestalt m d Lagę
abgeschlossenen Mengen beliebiger Dimension, Aleksandrów udowodnił dla dowol­
nych podzbiorów zwartych przestrzeni euklidesowych tzw. twierdzenie o dwoistości.
Twierdzenie to, udowodnione przez Alexandera dla wielościanów, dotyczy związ­
ków między niezmiennikami homologicznymi zbioru i jego dopełnienia. Twierdze­
nie o e-przesunięciach odgrywa również wielką rolę w teorii wymiaru, na przykład
w dowodzie faktu, że każda przestrzeń metryczna zwarta wymiaru < n jest zanurzalna w (2«+l)-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.
W 1932 r. w sławnej pracy Dimensionstheorie Aleksandrów stworzył homolo­
giczną teorię wymiaru, której główne twierdzenie charakteryzuje wymiar zwartych
podzbiorów przestrzeni euklidesowych przez własności homologiczne dopełnienia.
Dodajmy, że odznaczająca się swoistym pięknem teoria Aleksandrowa dopełnia
niejako stworzoną przez Urysohna i Mengera mnogościową teorię wymiaru, gdyż —
obliczając wymiar przestrzeni X — nierówności dim X < n dowodzi się zwykle
na drodze mnogościowej, a nierówności dim X > n korzystając w mniej lub bardziej
jawny sposób z metod homologicznej teorii wymiaru.
W następnych latach — nie zaniedbując pracy nad syntezą wspomnianych
dwóch gałęzi topologii, głównie nad przeniesieniem uzyskanych wyników na szer­
sze klasy przestrzeni — Aleksandrów powrócił do topologii ogólnej. Z 1936 r.
pochodzi piękna praca o iloczynach kartezjańskich i przestrzeniach diadycznych,
z 1939 r. praca o uzwarceniach, w której Aleksandrów opisał uzwarcenie Ćecha-Stone’a w języku filtrów podzbiorów otwartych, a z 1960 r. praca zawierająca kry­
terium metryzowalności sformułowane w terminach bazy punktowo regularnej.
Każda z tych trzech prac otworzyła nową obszerną dziedzinę badań topologi­
cznych.
P. S. Aleksandrów
177
Oprócz około 150 prac badawczych P. S. Aleksandrów napisał kilka pasjo­
nujących artykułów przeglądowych ogłoszonych w „Uspiechach Matematiczeskich
Nauk”.
Artykuły o pojęciu przestrzeni topologicznej, o stanie teorii wymiaru i o naj­
nowszych wynikach topologii ogólnej, oprócz błyskotliwej syntezy, zawierały wiele
zagadnień, których sformułowanie nadało właściwy kierunek badaniom topolo­
gicznym i przyczyniło się do rozwoju tych badań na całym świecie.
Powszechnie znane są doskonałe książki P. S. Aleksandrowa. Najważniejsze
z nich, to ogłoszona w 1935 r. i napisana wspólnie z Hopfem Topologie oraz napi­
sana wspólnie z Pasynkowem i ogłoszona w 1963 r. Teoria wymiaru. Chciałbym
również wspomnieć o wydanej w roku bieżącym Homologicznej teorii wymiaru,
w której Aleksandrów z młodzieńczym zapałem i przenikliwą ironią broni geome­
trycznego punktu widzenia w topologii, przeciwstawiając sobie dwie topologie:
„modern” i „old-fashioned”.
P. S. Aleksandrów jest obdarzony niezwykłym wprost talentem pedagogicz­
nym — jest urodzonym nauczycielem i wychowawcą młodzieży. Podobnie jak łączy
ascetyczną postawę z legendarnymi wyczynami sportowymi, łączy powagę i suro­
wość z ogromną serdecznością, tak ważną w pracy nauczyciela.
Stworzona przez Aleksandrowa moskiewska szkoła topologiczna składa się
z kilku pokoleń wybitnych uczonych; wszyscy są jego uczniami i czerpią
natchnienie z jego prac. Mogę wymienić tutaj tylko kilka nazwisk. Do pierw­
szej generacji uczniów Aleksandrowa należą: Tichonow — autor twierdzenia
o zwartości iloczynu kartezjańskiego przestrzeni zwartych, oraz Pontriagin — autor
sławnych twierdzeń o dwoistości. W następnej grupie znajdują się Sitnikow, który
przeniósł twierdzenia o dwoistości na dowolne podzbiory przestrzeni euklidesowych i Smirnow — autor znakomitego twierdzenia o metryzacji i wielu prac z teorii
przestrzeni zwartych. Spośród najmłodszych uczniów Pawła Siergiejewicza wymie­
nię jedynie Archangielskiego, który rozwiązał niedawno historyczne zagadnienie
Aleksandrowa o mocy przestrzeni zwartych spełniających pierwszy aksjomat przeliczalności, Pasynkowa, mającego doniosłe wyniki w teorii wymiaru, i Ponomariowa,
który jest autorem ważnych twierdzeń z teorii przekształceń.
Szkoła moskiewska promieniuje zresztą szeroko i profesor Aleksandrów ma
uczniów na całym świecie. Każdy topolog zagraniczny, nawet najkrócej bawiący
w Moskwie, wynosi z osobistych kontaktów z P. S. Aleksandrowem ogromną
korzyść i niezatarte wspomnienie. Jego stosunek do matematyków polskich jest
szczególnie ciepły. Ale nie trzeba nawet jeździć do Moskwy. Znakomity topolog
japoński profesor Nagata zapytany, czyim jest uczniem, odpowiedział: miałem
dwóch nauczycieli — Aleksandrowa i Kuratowskiego, bo na ich książkach nauczy­
łem się topologii.
Jak wszyscy wielcy matematycy, P. S. Aleksandrów był honorowany wieloma
zaszczytami i piastował liczne funkcje. Przy dzisiejszej okazji powiem tylko, że
P. S. Aleksandrów jest członkiem zagranicznym Polskiej Akademii Nauk i przez
33 lata był prezesem Moskiewskiego Towarzystwa Matematycznego.