Funkcja uwikłana dwóch zmiennych

11. Różniczkowanie funkcji złożonej
Mówimy o funkcji złożonej, jeżeli argumenty tej funkcji zależą od innej zmiennej (zmiennych)
czyli nie są zmiennymi niezależnymi, lecz funkcjami innej zmiennej niezależnej (zmiennych niezależnych)
Rozpatrzmy najpierw przypadki szczególne:
1. Funkcja dwóch zmiennych z=f(x,y), obie zmienne x i y zależą od jednej zmiennej t
2. Funkcja n zmiennych z=f(x1,..., xn), wszystkie zmienne x1,..., xn zależą od jednej zmiennej t
3. Funkcja dwóch zmiennych z=f(x,y), obie zmienne x i y zależą od dwóch zmiennych u i v
a potem przypadek ogólny funkcji n zmiennych z=f(x1,..., xn), której wszystkie zmienne x1,..., xn
zależą od m innych zmiennych u1,..., um
Ad 1. Funkcja dwóch zmiennych z=f(x,y), obie zmienne x i y zależą od jednej zmiennej t
czyli funkcja z w rzeczywistości zależy tylko od jednej zmiennej t z=z(t)
Niech
z  f ( x, y )
x  x(t )
y  y (t )
Pochodna zupełna
dz f ( x, y ) dx f ( x, y ) dy

 

dt
x
dt
y
dt
Ad 2. Funkcja n zmiennych z=f(x1,..., xn), wszystkie zmienne x1,..., xn zależą od jednej
zmiennej t czyli funkcja z w rzeczywistości zależy tylko od jednej zmiennej t z=z(t)
Niech
z  f ( x1 , x 2 ,..., x n )
x k  x k (t ),
Pochodna zupełna
k  1,..., n.
n
dz
f dx k


dt k 1 x k dt
Ad 3. Funkcja dwóch zmiennych z=f(x,y), obie zmienne x i y zależą od dwóch zmiennych u i v
Niech
z  f ( x, y )
x  x(u , v)
y  y (u , v)
Pochodne cząstkowe f ( x, y )  f ( x, y )  x  f ( x, y )  y
u
x
u
y
u
f ( x, y ) f ( x, y ) x f ( x, y ) y

 

v
x
v
y
v
Przypadek ogólny: funkcja n zmiennych z=f(x1,..., xn), której wszystkie zmienne x1,..., xn
zależą od m innych zmiennych u1,..., um
Niech
z  f ( x1 , x 2 ,..., x n )
x k  x k (u1 , u 2 ,..., u n ),
n
f
f x1 f x 2
f x n
f x k
Pochodne cząstkowe




 ... 



,
u i x1 u i x 2 u i
x n u i k 1 x k u i
k  1,..., n.
i  1,..., m
12. Różniczkowanie funkcji uwikłanej
Def. 69 (funkcji uwikłanej)
Niech będzie dana funkcja dwóch zmiennych F(x, y) określona w pewnym obszarze.
Jeżeli istnieje funkcja y=f(x) taka, że w pewnym zbiorze F[x, f(x)]=0, to nazywamy ją
funkcją uwikłaną określoną w tym zbiorze równaniem F(x, y)=0.
Przykład:
2
Funkcja y  1  x jest funkcją uwikłaną, określoną w przedziale <-1; 1> równaniem,
x2  y2 1  0
bo dla każdego –1<x<1 spełniony jest warunek x 2  ( 1  x 2 ) 2  1  0
Uwaga:
y  1 x2
nie jest jedyną funkcją uwikłaną, określoną równaniem x 2  y 2  1  0 . Funkcji
takich jest nieskończenie wiele, np. y   1  x 2
Może się też zdarzyć, że równanie F(x, y)=0 nie określa żadnej funkcji, np. x 2  y 2  1  0
Inna definicja funkcji uwikłanej:
Funkcję y=f(x) nazywamy uwikłaną, jeżeli zależność między wartościami zmiennych x i y
wyrażona jest równaniem F(x, y)=0.
Nie zawsze da się rozwiązać to równanie względem y i wyrazić tę zależność wzorem y=f(x)
czyli w postaci jawnej.
Tw. 57 – o pochodnej funkcji uwikłanej
Jeżeli funkcja uwikłana istnieje i jest jednoznaczna, to istnieje pochodna
F ( x, y )
df ( x)
y' 
  x
F ( x, y )
dx
y
Można zatem liczyć pochodną funkcji uwikłanej bez konieczności jej rozwikłania!!!
Dowód:
Tw. 57
z  F ( x, f ( x))  0
F ( x, y )
dz F dx F dy F F ' d 0

 



y 
 0  y '   x
F ( x, y )
dx x dx y dx x y
dx
y
F ( x, y ) F ( x, y ) '

y 0
można zatem zapisać także jako
x
y
Ponieważ y=f(x), to licząc pochodną zupełną (jak w dowodzie) otrzymamy:
 2 F ( x, y )
 2 F ( x , y ) '  2 F ( x , y ) ' 2  F ( x , y ) ''
2
y 
y 
y 0
yx
y
x 2
y 2
skąd można wyliczyć drugą pochodną y’’
Podobnie liczymy pochodne wyższych rzędów
Funkcja uwikłana dwóch zmiennych
Def. 69a (funkcji uwikłanej dwóch zmiennych)
Niech będzie dana funkcja trzech zmiennych F(x, y, z) określona w pewnym obszarze.
Jeżeli istnieje funkcja z=f(x, y) taka, że w pewnym zbiorze F[x, y, f(x, y)]=0, to nazywamy ją
funkcją uwikłaną określoną w tym zbiorze równaniem F(x, y, z)=0.
Inna definicja funkcji uwikłanej dwóch zmiennych:
Funkcję z=f(x, y) nazywamy uwikłaną, jeżeli zależność między wartościami zmiennych
z, x i y wyrażona jest równaniem F(x, y, z)=0.
Tw. 57a – o pochodnej funkcji uwikłanej dwóch zmiennych
Jeżeli funkcja uwikłana istnieje i jest jednoznaczna, to pochodne cząstkowe
wzorów
F ( x, y, z ) F ( x, y, z ) z


0
x
z
x
F ( x, y, z ) F ( x, y, z ) z


0
y
z
y
z
x
i
z
y
można obliczyć ze
Układ dwóch funkcji uwikłanych jednej zmiennej
Def. 69a (układu dwóch funkcji uwikłanych jednej zmiennej)
Niech będą dane dwie funkcje trzech zmiennych F1(x, y, z) i F2(x, y, z).
Jeżeli istnieją funkcje y=f1(x) i z=f2(x) takie, że
F1[x, f1(x), f2(x)]=0 i
F2[x, f1(x), f2(x)]=0 , to nazywamy je
funkcjami uwikłanymi określonymi równaniami F1(x, y, z)=0 i F2(x, y, z)=0 .
Pochodne y’=dy/dx i z’=dz/dx można obliczyć w sposób analogiczny jak poprzednio z układu
F1 ( x, y, z ) F1 ( x, y, z ) dy F1 ( x, y, z ) dz

 

0
x
y
dx
z
dx
F2 ( x, y, z ) F2 ( x, y, z ) dy F2 ( x, y, z ) dz

 

0
x
y
dx
z
dx
Podobnie różniczkując n razy można policzyć pochodne y(n) i z(n)
13. Ekstrema warunkowe
Gdy zmienne w funkcji wielu zmiennych są zmiennymi niezależnymi,
mówimy o ekstremach bezwarunkowych. Jeżeli zmienne te są ze sobą powiązane,
mówimy o ekstremach warunkowych.
Najprostsza sytuacja: dana funkcja dwóch zmiennych
z=f(x, y)
powiązanych równaniem
g(x, y)=0
zwanym równaniem więzów.
Jak znaleźć ekstremum funkcji z=f(x, y) przy warunku g(x, y)=0?
Gdyby można było rozwikłać równanie g(x, y)=0 i wyznaczyć z niego y=h(x),
to po wstawieniu do z=f(x, y)=f(x, h(x)) otrzymuje się funkcję jednej zmiennej.
Ale rozwikłanie równania g(x, y)=0 bywa bardzo trudne, a czasem niemożliwe.
Dlatego do znalezienia ekstremum warunkowego stosuje się
metodę mnożników nieoznaczonych Lagrange’a i rozpatruje tzw. funkcję Lagrange’a
(lagrangian)
L(x, y, λ )=f(x, y) + λ g(x, y)
Tw. 58 – o istnieniu ekstremum warunkowego funkcji dwóch zmiennych
Warunkiem koniecznym na to, by w punkcie (x0, y0) istniało ekstremum funkcji z=f(x, y) przy założeniu, że
g(x0, y0)=0 jest, aby istniała taka liczba λ0 ,że punkt (x0, y0, λ0) stanowi rozwiązanie układu równań
L( x, y,  )
 0,
x
Jeżeli ponadto wyróżnik
 g 
W  
 x 
L( x, y,  )
 0,
y
2
L( x, y,  )
0

 2 f
2g 
g g   2 f
 2 g   g 
 2   2   2  
   


x

y

x

y

x

y

y

y



  y 
2
 2 f
2g 
 2   2 
x 
 x
jest dodatni, to mamy maksimum, a gdy ujemny – minimum.
Uwaga: ponieważ
war. konieczny można zapisać jako
L( x, y,  )
 g ( x, y )

L( x, y,  )
L( x, y,  )
 0,
 0,
x
y
g(x,y)  0
Przykład:
Znaleźć najmniejszą odległość punktu (a, b) na płaszczyźnie od prostej Ax+By+C=0
Kwadrat odległości danego punktu (a, b) od dowolnego punktu (x, y) to d2=(x-a)2+(y-b)2
Najmniejsza odległość to minimum funkcji f(x, y) =(x-a)2+(y-b)2 z dodatkowym warunkiem,
że punkt (x, y) leży na danej płaszczyźnie czyli przy warunku g(x, y)= Ax+By+C=0
L(x, y, λ )=f(x, y) + λ g(x, y) =(x-a)2+(y-b)2 + λ(Ax+By+C)
L( x, y,  )
L( x, y,  )
L( x, y,  )
 2( x  a)  A  0,
 2( y  a)  B  0,
 g ( x, y )  Ax  By  C  0
x
y

2(Aa  Bb  C)
A(Aa  Bb  C)
B(Aa  Bb  C)
0 
;
x

a

;
y

b

0
0
A2  B 2
A2  B 2
A2  B 2
Aa  Bb  C
d min  ( x0  a) 2  ( y 0  a) 2 
A2  B 2
Przypadek ogólny
poszukiwanie ekstremów funkcji n zmiennych powiązanych m równaniami więzów
Znaleźć ekstrema funkcji n zmiennych
z=f(x1,..., xn)
powiązanych m równaniami
gk(x1,..., xn)=0,
k=1, 2, ... , m.
Lagrangian
L(x1,..., xn, λ1,..., λm )= f(x1,..., xn)+λ1g1 (x1,..., xn)+λ2g2 (x1,..., xn)+ ... + λmgm (x1,..., xn)
Tw. 59 – o istnieniu ekstremum warunkowego funkcji n zmiennych
Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum warunkowego jest zerowanie się wszystkich pochodnych
cząstkowych lagrangianu
L
xi
 0,
L
 0,
k
Albo inaczej:
i  1,...,n
k  1,...,m
L
 0,
xi
i  1,...,n
g k ( x1 , x 2 ,..., x n )  0,
k  1,...,m
14. Zastosowania w ekonomii
14.1. Elastyczność cząstkowa
dla funkcji dwóch zmiennych
Elastyczność cząstkowa względem zmiennej x
Elastyczność cząstkowa względem zmiennej y
f ( x, y )
x

x
f ( x, y )
f ( x, y )
y
E y f ( x, y ) 

y
f ( x, y )
E x f ( x, y ) 
Elastyczność Exf(x0, y0) mówi, o ile procent w przybliżeniu wzrośnie lub zmaleje wartość
funkcji f(x, y), jeżeli zmienna x wzrośnie o 1% licząc od x0
Przykład:
Popyt q na pewne dobro zależy od ceny tego dobra p1 i ceny innego dobra (substytucyjnego) p2
q=f(p1, p2 )
Elastyczność cząstkowa Ep1(q) popytu q względem ceny tego dobra oznacza w przybliżeniu procentowy
wzrost (lub spadek) popytu na to dobro, gdy jego cena wzrasta a 1%, a cena p2 pozostaje bez zmiany.
Np. niech
q=25-2p1 + p2
f ( p1 , p 2 )
p1
p1
E p f ( p1 , p 2 ) 

 2 
p1
f ( p1 , p 2 )
25  2 p1  p 2
f ( p1 , p 2 )
p2
p2
E p f ( p1 , p 2 ) 

 1
p 2
f ( p1 , p 2 )
25  2 p1  p 2
1
2
Np. dla p1=3 i p2 =1 mamy Ep1(q)=-0,3 i Ep2(q)=0,05
czyli gdy cena naszego dobra wzrasta o 1% przy niezmienionej cenie dobra substytucyjnego,
to popyt na nasze dobro maleje o 0,3%,
a gdy cena dobra substytucyjnego wzrasta o 1% przy niezmienionej cenie naszego dobra,
to popyt na nasze dobro rośnie o 0,05%
dla funkcji n zmiennych
E xi f ( x1 , x2 ,..., xn ) 
f ( x1 , x2 ,..., xn )
xi

,
xi
f ( x1 , x2 ,..., xn )
i  1,...,n
14.2. Rachunek marginalny (analiza krańcowa) funkcji wielu zmiennych
Przypomnienie: Krańcowy wynik zxk procesu gospodarczego z= f(x1,..., xn) (koszt, przychód,
zysk itp.) to przybliżony dodatkowy wynik przy zwiększeniu pewnego czynnika xk
(produkcja, cena) o jedną jednostkę od ustalonego poziomu.
Krańcowy wynik xk-czynnikowy
z xk 
f ( x1 , x2 ,..., xn )
,
xk
k  1,...,n
Przykład: firma produkuje cztery towary w ilości x, y, u i v sztuk. Koszt produkcji tych towarów wynosi
C(x, y, u, v)
C ( x, y, u , v) koszt wykonania jednej dodatkowej jednostki towaru pierwszego przy poziomie produkcji x
x
C ( x, y, u , v) koszt wykonania jednej dodatkowej jednostki towaru drugiego przy poziomie produkcji y
itp. y
Niech C(x, y, u, v)= 2,5x2+2y2+4u2+3v i niech aktualna produkcja wynosi odpowiednio 100, 50, 75 i 40 sztuk
C (100,50,75,40)
 500
x
C (100,50,75,40)
 200
y
C (100,50,75,40)
 600
u
C (100,50,75,40)
 120
u
Oznacza to, że przy podanym poziomie produkcji koszt produkcji dodatkowej (sto pierwszej) jednostki
towaru pierwszego wyniesie 500, dodatkowej (pięćdziesiątej pierwszej) jednostki towaru drugiego – 200,
dodatkowej (siedemdziesiątej szóstej) jednostki towaru trzeciego – 600, a dodatkowej
(czterdziestej pierwszej) jednostki towaru czwartego – 120.