Estymacja przedziałowa - przedziały ufnosci dla srednich

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla
średnich
Wrocław, 5 grudnia 2014
Przedział ufności
Niech będzie dana próba X1 , X2 , . . . , Xn z rozkładu Pθ , θ ∈ Θ.
Definicja
Przedziałem ufności dla paramertu θ ∈ Θ na poziomie ufności
1 − α nazywamy przedział (θ1 , θ2 ), gdzie
1. θ1 = θ1 (X1 , X2 , . . . , Xn ) oraz θ2 = θ2 (X1 , X2 , . . . , Xn ) są
funkcjami próby i nie zależą od parametru θ.
2. dla każdego θ ∈ Θ
P(θ1 ¬ θ ¬ θ2 ) = 1 − α.
Przedział ufności
1. Końce przedziału ufności (θ1 , θ2 ) są zmiennymi losowymi.
2. Przedziału ufności pokrywa parametr θ z
prawdopodobieństwem w przybliżeniu równym 1 − α.
3. Długość przedziału ufności:
dθ = θ2 − θ1
4. Najlepszy przedział ufności to ten najkrótszy.
Przedział ufności dla średniej w rozkładzie
normalnym ze znaną wariancją
Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym ze
znanym odchyleniem standardowym
X1 , X2 , . . . , Xn - próba z rozkładu normalnego N (µ, σ 2 ), µ nieznane, σ - znane.
Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym ze
znanym odchyleniem standardowym
X1 , X2 , . . . , Xn - próba z rozkładu normalnego N (µ, σ 2 ), µ nieznane, σ - znane. Znanym faktem jest, że:
n
1X
X̄ =
Xi ∼ N
n i=1
σ2
µ, √
n
!
Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym ze
znanym odchyleniem standardowym
X1 , X2 , . . . , Xn - próba z rozkładu normalnego N (µ, σ 2 ), µ nieznane, σ - znane. Znanym faktem jest, że:
n
1X
X̄ =
Xi ∼ N
n i=1
σ2
µ, √
n
oraz, że:
Z=
X̄ − µ
√ ∼ N (0, 1)
σ/ n
!
Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym ze
znanym odchyleniem standardowym
Dla danego α można wyznaczyć takie stałe u1 , u2 , dla których
P(u1 ¬ Z ¬ u2 ) = Φ(u2 ) − Φ(u1 ) = 1 − α
Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym ze
znanym odchyleniem standardowym
Dla danego α można wyznaczyć takie stałe u1 , u2 , dla których
P(u1 ¬ Z ¬ u2 ) = Φ(u2 ) − Φ(u1 ) = 1 − α
Niech u1 = Φ−1 (α1 ) oraz u2 = Φ−1 (1 − α2 ), wówczas
Φ(u2 ) − Φ(u1 ) = Φ(Φ−1 (1 − α2 )) − Φ(Φ−1 (α1 )) =
= 1 − α2 − α1 = 1 − (α1 + α2 )
Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym ze
znanym odchyleniem standardowym
Niech teraz α = α1 + α2 , α1 , α2 > 0 oraz przyjmijmy, że u1 = uα1
oraz u2 = u1−α2 - kwantyle rzędów α1 oraz 1 − α2 z rozkładu
N (0, 1). Wówczas
P(u1 ¬ Z ¬ u2 ) = P uα1 ¬
X̄ −µ
√
σ/ n
¬ u1−α2
= P X̄ − u1−α2 √σn ¬ µ ¬ X̄ − uα1 √σn .
Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym ze
znanym odchyleniem standardowym
Niech teraz α = α1 + α2 , α1 , α2 > 0 oraz przyjmijmy, że u1 = uα1
oraz u2 = u1−α2 - kwantyle rzędów α1 oraz 1 − α2 z rozkładu
N (0, 1). Wówczas
P(u1 ¬ Z ¬ u2 ) = P uα1 ¬
X̄ −µ
√
σ/ n
¬ u1−α2
= P X̄ − u1−α2 √σn ¬ µ ¬ X̄ − uα1 √σn .
Przedział ufności dla µ na poziomie ufności 1 − α
σ
σ
X̄ − u1−α2 √ ; X̄ − uα1 √ .
n
n
Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym ze
znanym odchyleniem standardowym
• Jeśli α1 = 0, to przedział ufności jest postaci:
σ
X̄ − u1−α2 √ ; ∞
n
• Jeśli α2 = 0, to przedział ufności jest postaci:
σ
−∞; X̄ − uα1 √
n
• Jeśli α1 = α2 = α2 , to przedział ufności jest postaci:
σ
σ
X̄ − u1−α/2 √ ; X̄ − uα/2 √
n
n
Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym ze
znanym odchyleniem standardowym
Zauważmy, że u(1−α/2) = −u(α/2) , a stąd
uα/2 · σ
u1−α/2 · σ
u1−α/2 · σ
u1−α/2 · σ
√
√
√
; X̄ − √
≡ X̄ −
; X̄ +
n
n
n
n
X̄ −
Przedział ten ma długość
σ
dµ = 2u1− α2 √ .
n
Jest to najkrótszy = najlepszy przedział ufności dla średniej w
rozkładzie normalnym.
Przedziały ufności dla średniej
Długość przedziału ufności zeleży od:
1. rozmiaru próby
2. poziomu ufności
Przedziały ufności dla średniej
Długość przedziału ufności zeleży od:
1. rozmiaru próby - większa próba = krótszy przedział
2. poziomu ufności - większy poziom = dłuższy przedział
Przykład
Przykład 9.1
Z populacji, o rozkładzie normalnym o nieznanej średniej i znanej
wariancji równej 0.5, przedstawiającej średnią ocen pewnych
uczniów z klasy pierwszej wylosowano próbę 6 osób, dla których ta
średnia wynosiła 3.71, 4.28, 2.95, 3.38, 4.05, 4.98. Wyznaczyc 99%
przedział ufności dla średniej średniej ocen uczniów.
Przykład
Przykład 9.1
Z populacji, o rozkładzie normalnym o nieznanej średniej i znanej
wariancji równej 0.5, przedstawiającej średnią ocen pewnych
uczniów z klasy pierwszej wylosowano próbę 6 osób, dla których ta
średnia wynosiła 3.71, 4.28, 2.95, 3.38, 4.05, 4.98. Wyznaczyc 99%
przedział ufności dla średniej średniej ocen uczniów.
Dane:
n=6
σ 2 = 0.5, a stąd σ = 0.7
X̄ = 61 (3.71 + 4.28 + 2.95 + 3.38 + 4.05 + 4.98) = 3.9
1 − α = 0.99 - poziom ufności, a zatem α = 0.01
u0.995 = 2.57
Przykład
Przykład 9.1 -cd
Obliczmy końce przedziałów ufności:
X̄ −
u1−α/2 · σ
0.7 · 2.57
√
√
= 3.9 − 0.73 = 3.15
= 3.9 −
n
6
X̄ +
u1−α/2 · σ
0.7 · 2.57
√
√
= 3.9 +
= 3.9 + 0.73 = 4.63,
n
6
stąd
µ ∈ [3.15, 4.63].
A zatem mamy 99% pewności, że średnia średnia ocen wśród
uczniów rozważanej klasy pierwszej mieści się w przedziale
[3.15, 4.63].
Przedział ufności dla średniej w rozkładzie
normalnym z nieznaną wariancją
Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym z
nieznaną wariancją
X1 , X2 , . . . , Xn - próba z rozkładu normalnego N (µ, σ 2 ),
µ - nieznane, σ - nieznane.
Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym z
nieznaną wariancją
X1 , X2 , . . . , Xn - próba z rozkładu normalnego N (µ, σ 2 ),
µ - nieznane, σ - nieznane. Wiemy, że:
Z=
X̄ − µ
√ ∼ N (0, 1)
σ/ n
Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym z
nieznaną wariancją
X1 , X2 , . . . , Xn - próba z rozkładu normalnego N (µ, σ 2 ),
µ - nieznane, σ - nieznane. Wiemy, że:
Z=
oraz
X̄ − µ
√ ∼ N (0, 1)
σ/ n
n
nS02
1 X
=
(Xi − X̄ )2 ∼ χ2 (n − 1)
σ2
σ 2 i=1
Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym z
nieznaną wariancją
Fakt
Jeżeli zmienne losowe Y i Z są niezależne, przy czym Y ∼ N (0, 1)
oraz Z ∼ χ2 (n), to zmienna losowa T = √Y ∼ t(n)
Z /n
Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym z
nieznaną wariancją
Fakt
Jeżeli zmienne losowe Y i Z są niezależne, przy czym Y ∼ N (0, 1)
oraz Z ∼ χ2 (n), to zmienna losowa T = √Y ∼ t(n)
Z /n
Korzystając z powyższego faktu:
T =r
X̄ −µ
√
σ/ n
nS02
σ 2 (n−1)
=
X̄ − µ √
n−1
S0
Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym z
nieznaną wariancją
Fakt
Jeżeli zmienne losowe Y i Z są niezależne, przy czym Y ∼ N (0, 1)
oraz Z ∼ χ2 (n), to zmienna losowa T = √Y ∼ t(n)
Z /n
Korzystając z powyższego faktu:
T =r
X̄ −µ
√
σ/ n
nS02
σ 2 (n−1)
=
X̄ − µ √
n − 1 ∼ t(n − 1)
S0
Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym z
nieznaną wariancją
Niech teraz t1−α2 (n − 1) oraz tα1 (n − 1) oznaczają kwantyle z
rozkładu studenta z n − 1 stopniami swobody rzędu 1 − α2 i α1
odpowiednio.
P(tα1 (n − 1) ¬ T ¬ t1−α2 (n − 1)) = 1 − α2 − α1 = 1 − α
Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym z
nieznaną wariancją
Niech teraz t1−α2 (n − 1) oraz tα1 (n − 1) oznaczają kwantyle z
rozkładu studenta z n − 1 stopniami swobody rzędu 1 − α2 i α1
odpowiednio.
P(tα1 (n − 1) ¬ T ¬ t1−α2 (n − 1)) = 1 − α2 − α1 = 1 − α
X̄ − µ
√
P tα1 (n − 1) ¬
¬ t1−α2 (n − 1)
S0 / n − 1
= P X̄ − tα1 (n − 1) √
!
=
S0
S0
¬ µ ¬ X̄ − t1−α2 (n − 1) √
n−1
n−1
= 1−α
Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym z
nieznaną wariancją
Przedział ufności dla µ przy nieznanym σ jest postaci
X̄ −
tα1 (n − 1) · S0
t1−α2 (n − 1) · S0
√
√
; X̄ −
n−1
n−1
Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym z
nieznaną wariancją
Przedział ufności dla µ przy nieznanym σ jest postaci
X̄ −
tα1 (n − 1) · S0
t1−α2 (n − 1) · S0
√
√
; X̄ −
n−1
n−1
Niech teraz α1 = α2 = α2 , wówczas najkrótszy przedział ufności dla
µ jest postaci
"
#
t1−α/2 (n − 1) · S0
t1−α/2 (n − 1) · S0
√
√
X̄ −
; X̄ +
.
n−1
n−1
Przykład
Przykład
Na podstawie wielokrotnych obserwacji ustalono, że rozkład czasu
dojazdu do pracy osób zatrudnionych w sklepach pewnej sieci jest
rozkładem normalnym. W celu oszacowania nieznanej średniej w
tym rozkładzie wylosowano niezależnie 17–elementową próbę
pracowników. Średni czas dojazdu w tej próbie wynosił 40 minut a
odchylenie standardowe stanowiło połowę czasu średniego.
Wyznacz 95% przedział ufności dla średniego czasu dojazdu do
pracy dla ogółu pracowników.
Przykład
Przykład
Na podstawie wielokrotnych obserwacji ustalono, że rozkład czasu
dojazdu do pracy osób zatrudnionych w sklepach pewnej sieci jest
rozkładem normalnym. W celu oszacowania nieznanej średniej w
tym rozkładzie wylosowano niezależnie 17–elementową próbę
pracowników. Średni czas dojazdu w tej próbie wynosił 40 minut a
odchylenie standardowe stanowiło połowę czasu średniego.
Wyznacz 95% przedział ufności dla średniego czasu dojazdu do
pracy dla ogółu pracowników.
Dane:
X̄ = 40
S = 0.5 · 40 = 20
n = 17
1 − α = 0.95 - poziom ufności, a stąd α = 0.05
t0.975 (16) = 2.12.
Przykład
Przykład
Obliczmy końce przedziałów ufności
X̄ −
X̄ +
t1−α/2 (n − 1) · S
20 · 2.12
√
= 40 − √
= 40 − 10.59 = 29.4
n−1
16
t1−α/2 (n − 1) · S
20 · 2.12
√
= 40 + √
= 40 + 10.59 = 50.59,
n−1
16
Przykład
Przykład
Obliczmy końce przedziałów ufności
X̄ −
X̄ +
t1−α/2 (n − 1) · S
20 · 2.12
√
= 40 − √
= 40 − 10.59 = 29.4
n−1
16
t1−α/2 (n − 1) · S
20 · 2.12
√
= 40 + √
= 40 + 10.59 = 50.59,
n−1
16
stąd
µ ∈ [29.4, 50.59]
A zatem z prawdopodobieństwem 0.95 możemy stwierdzić, że
średni czasu dojazdu do pracy dla ogółu pracowników mieści się w
przedziale [29.4, 50.59].
Przedział ufności dla średniej w dowolnym
rozkładzie
Przedziały ufności dla średniej w dowolnym rozkładzie
X1 , X2 , . . . , Xn - próba z rozkładu o rozmiarze n ­ 100 o nieznanej
średniej EXi = µ i wariancji Var (Xi ) = σ 2 .
Przedziały ufności dla średniej w dowolnym rozkładzie
X1 , X2 , . . . , Xn - próba z rozkładu o rozmiarze n ­ 100 o nieznanej
średniej EXi = µ i wariancji Var (Xi ) = σ 2 .
Z Centralnego Twierdzenia Granicznego:
Z=
X̄ − µ n→∞
√ −→ Y
σ/ n
Przedziały ufności dla średniej w dowolnym rozkładzie
X1 , X2 , . . . , Xn - próba z rozkładu o rozmiarze n ­ 100 o nieznanej
średniej EXi = µ i wariancji Var (Xi ) = σ 2 .
Z Centralnego Twierdzenia Granicznego:
Z=
X̄ − µ n→∞
√ −→ Y ∼ N (0, 1),
σ/ n
Przedziały ufności dla średniej w dowolnym rozkładzie
X1 , X2 , . . . , Xn - próba z rozkładu o rozmiarze n ­ 100 o nieznanej
średniej EXi = µ i wariancji Var (Xi ) = σ 2 .
Z Centralnego Twierdzenia Granicznego:
Z=
X̄ − µ n→∞
√ −→ Y ∼ N (0, 1),
σ/ n
a stąd:
X̄ − µ
√ ¬ u2
lim P u1 ¬
n→∞
σ/ n
gdzie u1 = uα1 , u2 = u1−α2 .
!
= 1 − α,
Przedziały ufności dla średniej w dowolnym rozkładzie
Przedział ufności (asymptotyczny) dla średniej µ na poziomie
ufności 1 − α jest postaci:
1. gdy σ znane:
u1−α/2 · σ
u1−α/2 · σ
√
√
X̄ −
; X̄ +
n
n
2. gdy σ nie jest znane:
u1−α/2 · S
u1−α/2 · S
√
√
X̄ −
; X̄ +
n
n
Przykład
Przykład
Załóżmy, że p · 100%, 0 ¬ p ¬ 1 wyborców jest zdecydowana
poprzeć pewnego kandydata w najbliższych wyborach. W celu
oszacowania wartości p przeprowadzono ankietę (przewidującą
dwie odpowiedzi: TAK lub NIE) wśród 1076 osób, z czego 324
odpowiedziały TAK. Wyznaczymy 90% przedział ufności dla p.
Przykład
Przykład
Załóżmy, że p · 100%, 0 ¬ p ¬ 1 wyborców jest zdecydowana
poprzeć pewnego kandydata w najbliższych wyborach. W celu
oszacowania wartości p przeprowadzono ankietę (przewidującą
dwie odpowiedzi: TAK lub NIE) wśród 1076 osób, z czego 324
odpowiedziały TAK. Wyznaczymy 90% przedział ufności dla p.
Zauważmy, że mamy do czynienia z rozkładem dwumianowym,
gdzie p jest wartością oczekiwaną zmiennej losowej Xi
zdefiniowanej następująco:
(
Xi =
1 pytana osoba odpowie TAK
0 pytana osoba odpowie NIE
Przykład
Przykład
Dane:
n = 1076
324
=
0.301 X̄ = 1076
324
324
S 2 = 1076
1 − 1076
= 0.21
1 − α = 0.90 - poziom ufności, a zatem α = 0.1
t0.95 (1075) = 1.64.
Przedział ufności dla p jest postaci:
(0.278; 0.324)
Zatem na danego kandydata zdecydowanych jest głosować
324
1076 · 100% = 30.1% wyborców, z dopuszczalnym błędem
statystycznym równym dn = 2.3%.