parametr, statystyka z próby, estymator i

Zadania
Arkusz 10
Estymacja punktowa - Estymacja przedziałowa
1. Wyjaśnij pojęcia: parametr, statystyka z próby, estymator i ocena (szacunek). Jakie
związki zachodzą między nimi?
O d p o w i e d ź. Parametrem (populacji) nazywa się liczbową charakterystykę populacji
(np. średnia populacji µ lub wariancja populacji σ 2 ). Statystyką z próby nazywa się liczbową
charakterystykę próby (np. średnią z próby x, wariancję z próby s2 ). Estymatorem parametru populacji jest statystyka z próby używana do oszacowania tego parametru. Oceną lub
szacunkiem parametru jest konkretna wartość liczbowa estymatora z danej próby.
2. Rewident wybiera losową próbę 12 zaległych należności spośród wszystkich zaległych
należności pewnej firmy. Kwoty należności są następujące (w dolarach):
87,50; 123,10; 45,30; 52,22; 213,00; 155,00; 39,00; 76,05; 49,80; 99,99; 132,00; 102,11.
Oszacuj średnią kwotę zaległych należności firmy, a także wariancję tej kwoty.
O d p o w i e d ź. Średnia: x = (87, 50 + . . . + 102, 11)/12 = 97, 9225; wariancja:
s = (87, 5 − x)2 + . . . + (102, 11 − x)2 /(12 − 1) = 2686, 380093; odchylenie standardowe:
√
s = s2 = 51, 83030092.
2
3. Podanie niżej liczby pochodzą z losowej próby dochodów osobistych robotników przemysłowych w stanie Nowy York (w tysiącach $ rocznie)
14,5; 13,2; 15,4; 12,8; 19,3; 13,4; 16,5; 17,2; 17,8; 11,5; 13,6; 18,8.
Podaj punktową ocenę średniej i odchylenia standardowego dochodów w populacji robotników przemysłowych w tym stanie.
O d p o w i e d ź. Średnia: x = 15, 33333333; wariancja: s2 = 6, 526060606; odchylenie
standardowe: s = 2, 55461555.
4. Podane niżej liczby są losową próbą wynagrodzeń otrzymywanych przez osoby należące
do kategorii "najwyżej płatnych dyrektorów firm w kraju" (w milionach $):
0,79; 1,59; 0,99; 1,12; 3,42; 5,21; 7,86; 13,23.
Podaj punktową ocenę średniego wynagrodzenia dyrektora należącego do tej kategorii.
O d p o w i e d ź. Średnia: x = 4, 27625; wariancja: s2 = 19, 24988393; odchylenie
standardowe: s = 4, 387468966.
5. Wykorzystaj poniższą tablicę liczb losowych do ustalenia numerów identyfikacyjnych
elementów próby losowej o liczebności n = 25, pobranej z populacji o liczebności 950 elementów.
10480
15011
01536 02011
81647
91646
69179
14194
22368
46573
25595 85393
30995
89198
27982
53402
24130
48360
22527 97265
76393
64809
15179
24830
42167
93093
06243 61680
07856
16376
93440
53537
37570
39975
81837 16656
06121
91782
60468
81305
77921
06907
11008 42751
27756
53498
18602
70659
1
Zadania
Arkusz 10
O d p o w i e d ź. Wybieramy pierwszą lepszą liczbę z tablicy i zaczynamy poruszać
się wzdłuż wybranego wiersza lub kolumny w dowolnym kierunku. Skoro wybrać mamy z
zakresu od 1 do 950, to decydujemy arbirtalnie, że wybierać będziemy pierwsze trzy cyfry
liczby z tej tablicy, która wpada do zakresu od 1 do 950, pomijając te które nie należą do
tego zakresu. Ja wybrałem pierwszą liczbę z tablicy i poruszam się w prawo po kolejnych
wierszach: 104, 150, 15, 20, 816, 916, 691, 141, 223, 465, 255, 853, 309, 891, 279, 534, 241,
483, 225, (972 odrzucam – nie należy do podanego zakresu), 763, 648, 151, 248, 421, 930.
6. Znajdź 5 liczb losowych między 0 a 5600.
O d p o w i e d ź. Podobnie jak w poprzednim zadaniu, wybierając liczby czterocyfrowe:
1048, 1501, 153, 201, 1419.
7. Co to są rozkłady z próby i do jakich celów ich używamy?
O d p o w i e d ź. Rozkład z próby jest rozkładem wszystkich możliwych wartości, jakie
ta statystyka może przyjąć, jeżeli obliczamy je na podstawie badania losowych prób o tych
samych rozmiarach, pobranych z określonej populacji. Rozkład z próby służy do szacowania
(oceny) parametrów populacji.
8. Pobrano próbę o liczebności n = 5. Pod jakimi warunkami rozkład średniej z próby, X,
jest normalny?
O d p o w i e d ź. Rozkład X jest normalny pod warunkiem, że rozkład w populacji
jest normalny. Jeżeli pobieramy próbę losową z populacji, w której rozkład jest normalny
ma rozkład normalny ze
o średniej µ i odchyleniu standardowym σ, to średnia z próby, X, √
średnią (wartością oczekiwaną) µ i odchyleniem standardowym σ/ n.
9. W zadaniu 8 przyjmijmy, że w populacji średnią jest µ = 125, a odchyleniem standardowym σ = 20. Jaka jest wartość standardowego błędu statystyki X, czyli SD(X)?
√
√
O d p o w i e d ź. E(X) = µ = 125, SD(X) = σ/ n = 20/ 5 ≈ 8, 94427191.
10. Jeżeli średnia w populacji jest równa 1247, wariancja 10000, a próba liczy 100 elementów, to jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia z próby, X, przyjmie wartość mniejszą
od 1230?
O d p o w i e d ź. Znamy parametry populacji µ = 1247, σ 2 = 10000 (więc σ = 100).
Rozpatrywana tu zmienna losowa to średnia z próby, X, która ma rozkład normalny (lub
przynajmniej w przybliżeniu normalny, ze względu na dużą liczebność próby n = 100 >√30) o
średniej
√ µ = 1247. Odchyleniem standardowym zmiennej losowej X jest SD(X) = σ/ n =
100/ 100 = 10. Wykonujemy następujące obliczenia:
1230 − µ
√
P (X < 1230) = P Z <
σ/ n
!
1230 − 1247
√
=P Z<
100/ 100
!
= P (Z < −1, 7),
√
gdzie Z = (X − µ)/(σ/ n) jest zmienną losową o standardowym rozkładzie normalnym
(standaryzacją zmiennej X). P (Z < −1, 7) = P (Z > 1, 7) = 1 − P (Z 6 1, 7) = 1 −
F (1, 7), gdzie F jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego, więc z tablic (lub
komputera) F (1, 7) = 0, 95543. Zatem P (X < 1230) = 1 − 0, 95543 = 0, 04457.
11. Jeżeli pobieramy próbę z populacji o standardowym odchyleniu σ = 55, a liczebność
próby n = 150, to jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia z próby, X, odchyli się od
średniej w populacji, µ, o co najmniej 8 jednostek?
2
Zadania
Arkusz 10
O d p o w i e d ź. Podobnie jak we wcześniejszym zadaniu, przyjmujemy, że rozkład
zmiennej X jest normalny ze wzgledu na dużą liczebność√próby 150√> 30. Wartość oczekiwana E(X) = µ, odchylenie standarowe SD(X) = σ/ n = 55/ 150 = 4, 490731195.
Zatem
!
!
8
8
,
P (|X − µ| > 8) = P (X − µ > 8) + P (X − µ 6 −8) = P Z > √ + P Z 6 − √
σ/ n
σ/ n
√
gdzie standaryzacją X jest zmienna Z = (X − µ)/(σ/ n). A ponieważ Z ma symetryczną
funkcję gęstości (jako standardowa zmienna normalna), to
8
P (|X − µ| > 8) = 2P Z > √
σ/ n
!
= 2P (Z > 1, 78).
Ale P (Z > 1, 78) = 1 − P (Z < 1, 78) = 1 − P (Z 6 1, 78) = 1 − F (1, 78) = 1 − 0, 96246 =
0, 03754. Zatem
P (|X − µ| > 8) = 2 · 0, 03754 = 0, 07508.
12. Przeciętny stan konta czekowego klienta pewnego banku wynosi 657 $, a odchylenie
standardowe 232 $. Zamierza się pobrać próbę losową 144 kont. Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia w próbie nie przekroczy 600 $?
O d p o w i e d ź. Poszukiwane prawdopodobieństwo jest równe:
P X 6 600 = P
X − 657
600 − 657
√
√
6
232/ 144
232/ 144
!
= P (Z 6 −2, 95) = F (−2, 95).
Zatem P (X 6 600) = 1 − F (2, 95) = 1 − 0, 998 = 0, 001.
13. Przypuśćmy, że dysponujemy dwiema statystykami A i B, jako estymatorami tego
samego parametru w populacji. Estymator A jest nieobciażony, ale ma dużą wariancję.
Estymator B ma niewielkie obciążenie ale wariancję równą jednej dziesiątej wariancji estymatora A. Który estymator uznałbyś za lepszy? Odpowiedź uzasadnij.
O d p o w i e d ź. Estymator o mniejszej wariancji, mimo niewielkiego obciążenia,
jest lepszy, gdyż kolejne oceny szacowanego parametru populacji poczynione za pomocą
estymatora B będą efektywniejsze, mniej rozproszone, mimo małego obciążenia.
14. Przypuśćmy, że dysponujemy estymatorem o stosunkowo dużym obciążeniu, który jest
jednak zgodny i efektywny. Czy gdybyś dysponował dużym funduszem na przeprowadzenie
badań reprezentacyjnych, skorzystałbyś z tego estymatora? Odpowiedź uzasadnij.
O d p o w i e d ź. Duży fundusz oznacza tu, że możemy pozyskać próbę o dużej liczebności.
Zgodny estymator będzie w tym przypadku dobry, bo prawdopodobieństwo zbliżania się
wartości estymatora do szacowanego parametru wzrasta wraz z liczebnością próby.
15. Przypuśćmy, że w badaniach reprezentacyjnych mających na celu oszacowanie wariancji w populacji posłużono się obciążonym estymatorem (biorąc w mianowniku równania
n
P
s2 =
(xi − x)2
i=1
n−1
n zamiast n−1). Liczebność próby wynosiła 100. Otrzymano ocenę 1,287. Czy można ustalić
nieobciążoną ocenę wariancji w populacji?
3
Zadania
Arkusz 10
O d p o w i e d ź. Oznaczmy estymator obciążony Y i jego wartość w podanej próbie
przez y = 1, 287. Wtedy
n
P
(xi − x)2
i=1
.
y=
n
Zatem
n
n
P
P
(xi − x)2
(xi − x)2
n
n
yn
i=1
i=1
2
s =
=
·
=y·
=
.
n−1
n
n−1
n−1
n−1
Ponieważ liczebność próby wynosiła n = 100 i y = 1, 287, to z powyższego ocena nieobciążonej wariancji
100
s2 = 1, 287 ·
= 1, 3.
99
16. Pobrano 3 losowe próby o liczebnościach 30, 48 i 32. Dla każdej z nich obliczono średnie
z próby. Jaka jest łączna liczba stopni swobody dla odchyleń (standardowych) od średniej
w tych próbach?
O d p o w i e d ź. Liczba stopni swobody w pojedynczej próbie o liczebności n wynosi
df = n − 1 (df od degree of freedom). Zatem łączna liczba stopni swobody to 29 + 47 + 31 =
107.
17. Bank przysłał klientowi informację o średniej wartości sum wypisanych na czekach w
ciągu ostatniego miesiąca. Klient ma zanotowane sumy wypisane na 17 czekach wśród 19
wystawionych przez siebie czeków. Czy korzystając z tej informacji możesz odtworzyć sumy
wypisane na dwóch brakujących czekach? Odpowiedź uzasadnij.
O d p o w i e d ź. Nie. Można odtworzyć tylko sumę kwot wypisanych na pozostałych
dwóch czekach. Niech x oznacza średnią sum przesłanych klientowi przez bank. Jest ona
równa:
x1 + . . . + x17 + x18 + x19
x=
.
19
Bez zmniejszenia ogólności możemy założyć, że klient nie wie ile wynoszą kwoty x18 i x19 .
Zatem
x18 + x19 = 19 · x − (x1 + . . . + x17 ).
18. W zadaniu 17 zmieniły się warunki o tyle, że klient przypomniał sobie jeszcze jedną,
osiemnastą sumę wypisaną na czeku. Czy tym razem możesz odtworzyć sumę wypisaną na
brakującym czeku? Odpowiedź uzasadnij.
O d p o w i e d ź. Załóżmy, że klient zanotował już sobie sumę x18 + x19 . Oznaczmy ją
k. Wtedy x19 = k − x18 i znamy wszystkie sumy z 19 czeków.
19. Co to jest przedział ufności i do czego jest przydatny? Co to jest poziom ufności?
O d p o w i e d ź. Przedziałem ufności nazywamy przedział liczbowy, o którym przypuszczamy, że mieści się w nim nieznany parametr populacji. Z przedziałem tym związana
jest miara ufności (pewności), że ten przedział naprawdę zawiera interesujacy nas parametr,
zwana poziomem ufności. Przedział ufności przydatny jest do oceny (szacunku) parametrów
populacji.
20. Wyjaśnij dlaczego klasyczna statystyka nie pozwala określać przedziału ufności jako
przedziału do którego szacowany parametr należy z określonym prawdopodobieństwem?
4
Zadania
Arkusz 10
O d p o w i e d ź. Klasyczna statystyka x nie pozwala określać przedziału ufności, bowiem
skoro pobranie losowej próby już nastąpiło i została obliczona pewna konkretna wartość x
nie jest już ona zmienną losową i nie możemy mówić o prawdopodobieństwie pojawienia się
tej liczby.
Przedziały ufności dla µ, gdy znane jest σ.
21. Pośrednik w handlu nieruchomościami chce oszacować średnią wartość domu mieszkalnego o określonej powierzchni w pewnej dzielnicy. Pośrednik jest przekonany, że standardowe
odchylenie wartości domu σ = 5500 $ i że rozkład wartości domów jest w przybliżeniu
normalny. W losowej próbie 16 domów średnia wyniosła x = 89673, 12 $. Wyznacz 95%
przedział ufności dla średniej wartości domu w tej dzielnicy.
O d p o w i e d ź. 95% przedział ufności dla średniej w populacji, µ, gdy znane jest σ,
a próba (o liczności n) pochodzi z populacji normalnej (lub jest "dużą" próbą), wyznacza
wzór:
#
"
σ
σ
x − 1, 96 · √ ; x + 1, 96 · √ .
n
n
√
krócej, końce tego przedziału opisane sa wzorem x ± 1, 96σ/ n. W naszym zadaniu
5500
σ
1, 96 · √ = 1, 96 · √ = 2695.
n
16
Zatem 95% przedział ufności wynosi
[89673, 12 − 2695; 89673, 12 + 2695] = [86978, 12; 92368, 12]
22. W zadaniu 21 przyjmij. że poszukiwany jest 99% przedział ufności. Wyznacz nowy
przedział ufności i porównaj go z przedziałem odpowiadającym 95% poziomowi ufności.
O d p o w i e d ź. Na początek wyznaczamy współczynnik ufności według wzoru (1 −
α)100% = 99%, skąd 1 − α = 0, 99, czyli α = 0, 01. (1 − α)100% przedział ufności dla µ,
gdy znamy σ dany jest wzorem
"
#
σ
σ
x − zα/2 · √ ; x + zα/2 · √ ,
n
n
√
tzn. jest to przedział o końcach x ± zα/2 σ/ n, gdzie zα/2 jest wartością standaryzowanej
zmiennej losowej normalnej Z, która odcina pod prawym "ogonem" krzywej gęstości normalnej pole o mierze α/2. Stąd zα/2 jest dodatnim rozwiązaniem równania 1 − F (x) = α/2,
gdzie F jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego. Zatem zα/2 jest dodatnim
rozwiązaniem równania F (x) = 1 − α/2. W naszym przypadku
F (zα/2 ) = 0, 995.
Z tablicy rozkładu normalnego (lub komputera) odczytujemy wartość zα/2 = 2, 58. Stąd:
σ
5500
zα/2 · √ = 2, 58 · √ = 3547, 5.
n
16
Zatem 99% przedział ufności wynosi
[89673, 12 − 3547, 5; 89673, 12 + 3547, 5] = [86125, 62; 93220, 62].
5
Zadania
Arkusz 10
23. Producent samochodów chce oszacować średnie zużycie paliwa przez nowy model samochodu, mierzone ilością mil przejechanych na autostradzie na jednym galonie benzyny.
Z doświadczeń z podobnymi modelami producent wie, że odchylenie standardowe zużycia
paliwa wynosi 4,6 (mil/galon). Pobrano 100-elementową próbę przebiegów nowego modelu
na tej samej autostradzie i stwierdzono, że średnio samochód przejeżdżał na jednym galonie
benzyny 32 mile. Ustal 95% przedział ufności dla średniej liczby kilometrów, jaką nowy
model samochodu może przejechać na danej autostradzie na jednym galonie benzyny.
O d p o w i e d ź. Dane mamy: σ = 4, 6, n = 100, x = 32. Zatem 95% przedział ufności
dla µ w naszym zadaniu jest równy
"
#
σ
σ
x − 1, 96 · √ ; x + 1, 96 · √ = [31, 0984; 32, 9016].
n
n
24. Czy w zadaniu 23 musimy zakładać, że zmienna "liczba kilometrów przejechanych na
jednym galonie benzyny" ma rozkład normalny? Odpowiedź uzasadnij.
O d p o w i e d ź. Nie musimy tego zakładać, gdyż pobrana próba jest duża, 100-elementowa
(100 > 30).
25. Importer win musi ustalić średni procent alkoholu w butelkach nowego francuskiego
wina. Z poprzednich doświadczeń wie on, że odchylenie standardowe tej zmiennej wynosi
1, 2%. Importer wybiera losowo 60 butelek i stwierdza, że średnia z próby x = 9, 3%. Ustal
90% przedział ufności dla średniego procentu alkoholu w butelkach nowego importowanego
wina.
O d p o w i e d ź. Dane mamy: σ = 1, 2, n = 60, x = 9, 3. Aby wyznaczyć 90% przedział
ufności dla µ wyznaczamy , że 1−α = 0, 9, czyli α = 0, 1. Zatem zα/2 jest wartością dla której
F (zα/2 ) = 1 − α/2 = 1 − 0, 05 = 0, 95. Z tablic rozkładu normalnego mamy: zα/2 = 1, 64
Zatem 90% przedziałem ufności dla µ w naszym zadaniu jest
"
#
σ
σ
x − zα/2 · √ ; x + zα/2 · √ = [9, 0459; 9, 5541].
n
n
26. Firma rozważa zainstalowanie faksu w jednym ze swoich biur. Przed podjęciem decyzji
szef firmy chce oszacować przeciętną liczbę dokumentów, która będzie wysyłana za pomocą
zainstalowanego urządzenia. Na podstawie obserwacji innych biur firmy szef uważa, że standardowe odchylenie liczby dokumentów wysyłanych dziennie za pomocą faksu wynosi 32.
Jest też przekonany, że liczba dokumentów wysyłanych dziennie w ten sposób jest zmienną
losową o rozkładzie normalnym. Zbadano 15 losowo wybranych dni. Średnia liczba wysyłanych dziennie dokumentów okazała się równa 267 sztuk. Ustal 99% przedział ufności dla
przeciętnej liczby dokumentów wysyłanych dziennie z tego biura, o ile faks zostałby w nim
zainstalowany.
O d p o w i e d ź. Dane mamy: σ = 32, n = 15, x = 267, skąd α = 0, 01, zα/2 = 2, 58.
Zatem 99% przedziałem ufności dla µ w naszym zadaniu jest
"
#
σ
σ
x − zα/2 · √ ; x + zα/2 · √ = [245, 6831; 288, 3169].
n
n
6
Zadania
Arkusz 10
27. Przy danych do zadania 26 rozpatrz sytuację, w której szef firmy byłby zainteresowany
zainstalowaniem faksu, gdyby mógł mieć zaufanie do tego, że przeciętna liczba dokumentów
wysyłanych dziennie przekroczy 245 sztuk. Czy wynik uzyskany w zadaniu 26 usprawiedliwiałby zainstalowanie faksu? Odpowiedź uzasadnij.
O d p o w i e d ź. Wszystkie wartości w 99% przedziale ufności z poprzedniego zadania
są większe od 245. Dlatego szef firmy może mieć 99% zaufanie do tego, że przeciętna liczba
przesyłanych dziennie dokumentów przekroczy 245 sztuk.
Przedziały ufności dla µ, gdy σ nie jest znane.
28. Firma telefoniczna chce oszacować przeciętną długość rozmów międzymiastowych w
czasie weekendu. Z losowej próby 50 rozmów otrzymano średnią x = 14, 5 minuty przy
odchyleniu standardowym z próby s = 5, 6 minuty. Wyznacz 95% przedział ufności dla
średniej długości rozmów międzymiastowych w czasie weekendu.
O d p o w i e d ź. Końce (1 − α)100% przedziału ufności w przypadku, gdy nie jest znane
odchylenie standardowe w populacji dane są wzorem
s
x ± tα/2 · √ ,
n
gdzie tα/2 jest wartością rozkładu t Studenta o n − 1 stopniach swobody, która odcina pod
"ogonem" krzywej gęstości rozkładu pole o mierze α/2 po prawej stronie.
Ponieważ liczebność próby n = 50, musimy posłużyć się rozkładem t o n − 1 = 59
stopniach swobody. W tablicy rozkładu Studenta, w wierszu odpowiadającym 59 stopniom
swobody, w kolumnie odpowiadającej mierze pola pod prawym "ogonem" krzywej gęstości
równej 0, 025 (czyli α/2) znajdujemy tα/2 = 2, 00958. Znając tę wartość obliczamy:
5, 6
s
tα/2 · √ = 2, 00958 · √ = 1, 59.
n
50
Zatem 95% przedział ufności dla µ w naszym zadaniu jest postaci
[14, 5 − 1, 59; 14, 5 + 1, 59] = [12, 91; 16, 09].
29. Firma ubezpieczeniowa zajmuje się przypadkami nadużyć w lecznictwie i jest zainteresowana oszacowaniem przeciętnej wartości odszkodowania żądanego od lekarzy pewnej
specjalności. Zbadano 165 losowo wybranych przypadków, wśród których średnia wartość
żądanego odszkodowania x wyniosła 16530 $. przy odchyleniu standardowym s = 5542$.
Wyznacz przedziały ufności dla przeciętnej wartości odszkodowania przy poziomach ufności
95% i 99%.
O d p o w i e d ź. Wyznaczamy najpierw α/2 w obu przypadkach. Mamy
1) 1 − α = 0, 95, gdy α = 0, 05, skąd α/2 = 0, 025,
2) 1 − α = 0, 99, gdy α = 0, 01, skąd α/2 = 0, 005.
W przypadku 1) szukamy t0,025 , a w przypadku 2) szukamy t0,005 w tablicy rozkładu studenta
o n − 1 = 164 stopniach swobody. Mamy t0,025 = 1, 975 i t0,005 = 2, 606. Zatem przedziałami
ufności są odpowiednio:
1) [16530 − 1, 975 ·
5542
√
; 16530
165
+ 1, 975 ·
5542
√
]
165
7
= [15677, 89; 17382, 10],
Zadania
Arkusz 10
2) [16530 − 2, 606 ·
5542
√
; 16530
165
+ 2, 606 ·
5542
√
]
165
= [15405, 66; 17654, 34].
30. Producent opon chce oszacować przeciętny przebieg (w milach) opony okreslonego typu
przed całkowitym zużyciem. Pobrano próbę 32 opon i jeżdżono na nich aż do całkowitego
zużycia, notując liczbę mil przebiegu każdej opony. Otrzymano następujące wyniki (w tys.
mil):
32, 33, 28, 37, 29, 30, 25, 27, 39, 40, 26, 26, 27, 30, 25, 30, 31, 29, 24, 36, 25, 37, 37, 20, 22,
35, 23, 28, 30, 36, 40, 41.
Wyznacz 95% przedział ufności dla przeciętnej liczby mil, jaką można przejechać na oponie
tego typu.
O d p o w i e d ź. Najpierw należy obliczyć średnią z próby:
x=
1
· (32 + . . . + 41) = 30, 5625,
32
a następnie wariancję i odchylenie standardowe z próby:
s2 =
1 · (32 − x)2 + . . . + (41 − x)2 = 33, 35080645,
31
√
więc s = s2 = 5, 77501571. Parametr α jest równy 0, 05, więc α/2 = 0, 025. Z tablic
rozkładu studenta o n − 1 = 31 stopniach swobody odczytujemy tα/2 = 2, 03951. Zatem
s
tα/2 · √ = 2, 0821.
32
Stąd 95% przedziałem ufności dla µ jest
[30, 5625 − 2, 0821; 30, 5625 + 2, 0821] = [28, 4804; 32, 6446].
31. Firma Pier 1 Imports zajmuje się detaliczną sprzedażą mebli i innych sprzętów domowych w całym kraju. Od czasu do czasu firma przeprowadza badania ankietowe wśród
swoich klientów wybierając ich losowo na zasadzie losowania kodów pocztowych. W jednym
z badań klienci byli proszeni o ocenę stołu importowanego z Tajlandii, w skali od 0 do 100.
Oceny 25 klientów wypadły następująco:
78, 85, 80, 89, 77, 50, 75, 90, 88, 100, 70, 99, 98, 55, 80, 45, 80, 76, 96, 100, 95, 90, 60, 85,
90.
Wyznacz 99% przedział ufności dla podawanej przeciętnie przez klientów firmy oceny stołu.
O d p o w i e d ź. W tym zadaniu n = 25, x =, s = 15, 4469, α/2 = 0, 005, tα/2 = 2, 79694.
Zatem 99% procentowym przedziałem ufności dla µ jest:
s
s
[x − tα/2 · √ ; x + tα/2 · √ ] = [81, 24 − 8, 6408; 81, 24 + 8, 6408] = [72, 60; 89, 88].
n
n
32. Szkła kontaktowe mogą wywoływać podrażnienie gałki ocznej z powodu gromadzenia
się substancji białkowej na powierzchni soczewek. Nowa technologia zapowiada uporanie się
z tym problemem. Na soczewkę nakłada się warstwę polimeru, która nie pozwala proteinom
znajdującym się we łzach gromadzić się na soczewce. Warstwa polimeru musi mieć średnią długość 10 atomów. Zbadano próbę 15 miejsc wybranych losowo na soczewce pokrytej
polimerem i stwierdzono następujące grubości warstwy polimeru (mierzone w atomach):
8
Zadania
Arkusz 10
9, 9, 8, 11, 12, 10, 9, 8, 13, 12, 10, 11, 10, 9, 7.
Wyznacz 90% przedział ufności dla przeciętnej grubości warstwy polimeru na soczewce. Czy
żądana grubość warstwy (10 atomów) leży wewnątrz przedziału ufności? Wyjaśnij znaczenie
odpowiedzi.
O d p o w i e d ź. W tym zadaniu n = 15, x = 9, 8667, s = 1, 6847, α/2 = 0, 05,
tα/2 = 1, 76131. Zatem 99% procentowym przedziałem ufności dla µ jest:
s
s
[x − tα/2 · √ ; x + tα/2 · √ ] = [9, 8667 − 0, 7661; 9, 8667 + 0, 7661] = [9, 1006; 10, 6328].
n
n
Mamy 90% pewność, że 10 należy do powyższego przedziału, tzn. mamy 90% zaufanie, że
warstwa polimeru składa się średnio z 10 atomów.
Przedziały ufności dla wariancji w populacji, σ 2 .
33. Czas obsługi w okienku bankowym nie powinien mieć dużej wariancji, gdyż w przeciwnym przypadku kolejki maja tendencję do rozrastania się. Bank regularnie sprawdza
czas obsługi w okienkach, by oceniać jego wariancję. Obserwacja 22 czasów obsługi losowo
wybranych klientów dała s2 = 8 minut2 . Wyznacz 95% przedział ufności dla wariancji czasu
obsługi w okienku bankowym.
O d p o w i e d ź. (1 − α)100% przedział ufności dla wariancji w populacji, σ 2 , gdy
rozkład w populacji jest normalny, wyznacza wzór:


(n − 1)s2 (n − 1)s2 

; 2
χ2α/2
χ1−α/2
gdzie χ2α/2 jest wartością zmiennej o rozkładzie chi-kwadrat o n−1 stopniach swobody, która
odcina pole o mierze α/2 z prawej strony; χ21−α/2 jest wartością tej zmiennej, która odcina
pole o mierze α/2 z lewej strony (a tym samym pole o mierze 1 − α/2 z prawej strony).
W powyższym zadaniu n = 22, s2 = 8, α/2 = 0, 025, 1 − α/2 = 0, 975, χ2α/2 = 35, 4789,
χ21−α/2 = 10, 2829. Zatem 95% przedział ufności dla σ 2 jest postaci:


2
2

(n − 1)s (n − 1)s 
; 2
= [4, 74; 16, 34].
χ2α/2
χ1−α/2
34. W losowej próbie 60 kont bankowych stwierdzono wariancję stanu kont równą 1228.
Wyznacz 99% przedział ufności dla wariancji stanów kont.
O d p o w i e d ź. W powyższym zadaniu n = 60, s2 = 1228, α/2 = 0, 005, 1 − α/2 =
0, 995, χ2α/2 = 90, 7153, χ21−α/2 = 34, 7704. Zatem 99% przedział ufności dla σ 2 jest postaci:


(n − 1)s2 (n − 1)s2 

; 2
= [798, 68; 2083, 73].
χ2α/2
χ1−α/2
35. Przy założeniach zadania 30 wyznacz 99% przedział ufności dla wariancji liczby mil,
które można przejechać na oponie.
9
Zadania
Arkusz 10
O d p o w i e d ź. W powyższym zadaniu n = 32, s2 = 33, 3508, α/2 = 0, 005, 1 − α/2 =
0, 995, więc χ2α/2 = 55, 0027, χ21−α/2 = 14, 4578. Zatem 99% przedział ufności dla σ 2 jest
postaci:


2
2
(n
−
1)s
(n
−
1)s
 = [18, 7968; 71, 5098].

; 2
χ2α/2
χ1−α/2
Wyznaczanie liczebności próby.
36. Firma zajmująca się analizą rynku chce przeprowadzić badania ankietowe w celu oszacowania wydatków na rozrywki przez przeciętnego kuracjusza odwiedzającego popularne
uzdrowisko. Osoba, która zleca badania, chciałaby znać te wydatki z przybliżeniem nie
większym niż 120 $, przy poziomie ufności 95 %. Na podstawie dotychczasowych obserwacji
działalności uzdrowiska odchylenie standardowe w populacji, σ, szacuje się na 400 $. Jaka
jest minimalna wymagana liczebność próby?
O d p o w i e d ź. Minimalna wymagana liczebność próby do oszacowania średniej w
populacji, µ, jest równa:
2
zα/2
σ2
,
n=
B2
gdzie B jest najmniejszą liczbą przybliżenia jakiej nie chcemy przekroczyć.
W naszym zadaniu α/2 = 0, 025, więc zα/2=1,96 . Ponadto σ 2 = 4002 = 160000 i B = 120.
Zatem:
(1, 96)2 · 160000
= 42, 684.
n=
1202
Minimalna wymagana liczebność próby to 43 osoby. (Ponieważ elementami próby są ludzie,
trzeba wynik zaokrąglić do najbliższej liczby całkowitej.)
37. Ile prób trzeba wykonać do oszacowania średniego przebiegu samochodu na autostradzie przy zużyciu 1 galona benzyny z dokładnością do 2 mil, jeżeli ma być osiagnięty 95%
poziom ufności, a wstępna ocena wariancji w populacji przebiegów (zużywających 1 galon)
wynosi około 100 mil?
O d p o w i e d ź. W tym zadaniu α/2 = 0, 025, więc zα/2=1,96 . Ponadto σ 2 = 100 i
B = 2. Zatem:
(1, 96)2 · 100
= 96, 04.
n=
22
Minimalna wymagana liczba prób to 96.
38. Znajdź minimalną wymaganą liczebność próby do oszacowania przeciętnej stopy przychodu z pewnej lokaty kapitału (w procentach rocznie) z dokładnością do 0, 5%, przy 95%
poziomie ufności. Standardowe odchylenie tej stopy przychodu szacowane jest na 2% rocznie.
O d p o w i e d ź. W powuższym zadaniu α/2 = 0, 025, więc zα/2=1,96 . Ponadto σ 2 =
22 = 4 i B = 0, 5. Zatem:
(1, 96)2 · 4
n=
= 61, 47.
0, 25
Minimalna wymagana liczba prób to 61.
10