Estymacja - E-SGH

Dr Maria Wieczorek
Estymacja
1. Losujemy z populacji n- elementową probę. Z pierwszej połowy wyników została
wyznaczona średnia arytmetyczna. Sprawdzić, czy tak zdefiniowana średnia jest
nieobciążonym estymatorem średniej w populacji generalnej.
2. Zmienna X ma rozkład N(m,). Poniżej przedstawiono kolejno: parametr rozkładu (Θ),
proponowany estymator (Tn) oraz wartość średnią i wariancję tego estymatora:
L.p Θ
1.
σ2
2.
σ
3.
p
4.
m
5.
m
6.
2
Tn
E(T
D2(Tn)
1
~
s 2   (X i  X )2
n
1
d   Xi  m
n
n 1 2

n
2 4 n  1
n
n
2 2

n
X
n
Mediana
p
W 
2


m
m
1
Xi

n
σ2
1
s2 
( X i  X )2

n 1
Xn 
p (1  p )
n
 2
2n
2
n
2 4
n 1
Sprawdzić, który z estymatorów jest: a) nieobciążony ; b) zgodny
3.Zmienna losowa ma rozkład określony funkcją gęstości:
f(x)=αeαx-α-1
Wyznaczyć MNW estymator parametru alfa w tym rozkładzie.
4.Zmienna losowa ma rozkład Weibulla określony funkcją gęstości:
22 xe ( x )
2
dla x0
f(x) =
0
dla x<0
Wyznaczyć MNW estymator parametru lambda w tym rozkładzie.
5. 100 losowo wybranym osobom zadano pytanie na temat czasu oczekiwania na autobus
(min). Na podstawie uzyskanych odpowiedzi obliczono średnią = 10 i odchylenie stand. =2 .
a) Ile wynosi punktowe oszacowanie nieznanej wartości średniego czasu oczekiwania.
b) Oszacować przedziałowo ten parametr przy współczynniku ufności 0,9
c) Co się stanie gdy współczynnik ten zwiększymy do 0,95 – odpowiedzieć nie szacując
nowego przedziału.
6 . W oparciu o informacje z 25 losowo wybranych prywatnych szkół średnich ustalono, że
przeciętne czesne w tych szkołach wyniosło 500 zł, zaś odchylenie standardowe 146 zł.
a) Jaki współczynnik ufności zastosowano przy przedziałowej estymacji średniej wielkości
czesnego w szkołach średnich , jeśli maksymalny błąd szacunku stanowił 10% wartości
estymatora?
b) Jakie założenie należy przyjąć konstruując przedział ufności w takim przypadku?
7. Z szeregu badań wiadomo, że poziom leukocytów we krwi (tys/mm3) ma rozkład
normalny o odchyleniu standardowym 0,3. W pewnym instytucie doświadczalnym
postanowiono sprawdzić możliwość zastosowania w analizie krwi pewnego nowego aparatu
do badania przecietnego poziomu leukocytów.
a) Jak liczna powinna być próba badanych osób, aby przy współczynniku ufności 0,95
maksymalny błąd szacunku wynosił 0,1 tys/ mm3 ?
b) Zbudować przedział ufności dla przeciętnego poziomu leukocytów we krwi (1- = 0,95),
jeśli w próbie o liczebności wyznaczonej w punkcie a) średni poziom leukocytów
wynosił 8.
8. Roczne wydatki na promocję firm z pewnej branży mają rozkład normalny.
a) Ile wynosił współczynnik ufności przy przedziałowej estymacji średniej wysokości tych
wydatków dla wszystkich firm branży, jeśli na podstawie wyników 9-elementowej próby
przedsiębiorstw uzyskano przedział o długości 1500 zł, a odchylenie standardowe (
nieobciążone) wydatków w badanej próbie firm wyniosło 995 zł?
b) Jak liczna powinna być próba, aby z prawdopodobieństwem 0,95 oszacować odsetek firm
tej branzy reklamujących się w TV z maksymalnym błędem (tj. połowa długości przedziału
ufności) 0,02? Badanie pilotażowe wskazuje, iż takich firm powinno być około 20 %.
9. W środowisku studenckim pewnej uczelni pojawiły się głosy na temat konieczności
zwiększenia liczby godzin z języków obcych. Oszacować punktowo i przedziałowo ( 1- =
0,95) odsetek studentów popierających ten pogląd , jeśli w próbie 600 studentów 400
wypowiedziało się „za”. Jakie konsekwencje będzie miało zmniejszenie współczynnika
ufności do 0,9. Ile wynosi maksymalny błąd szacunku. Jak liczebność próby wpływa na
wielkość maksymalnego błędu szacunku
10. W losowo wybranej grupie 20 inwestorów giełdowych stwierdzono, że średni wiek
wynosi 34 lata, zaś odchylenie standardowe wieku 6 lat.
a) Jakie jest punktowe oszacowanie nieznanego średniego wieku ogółu inwestorów w tym
kraju?
b) Oszacować metodą przedziałową przeciętny wiek inwestorów. Przyjąć współczynnik
ufności 0,95.
c) Czy zalożenie o normalności rozkładu w populacji jest tu niezbędne ?
d) Jak można poprawić precyzję szacunku.
11. W badaniach opinii publicznej próba 1068-mio osobowa gwarantuje, że przy
współczynniku ufności 0,95 maksymalny błąd szacunku nie przekroczy 3 %. O ile należałoby
zwiększyć próbę, aby przy tym samym współczynniku ufności błąd wynosił tylko 2% ?
12. Jaki współczynnik ufności przyjęto przy przedziałowej estymacji odsetka miejsc zajętych
na spektaklu Romeo i Julia, jeżeli otrzymano przedział (50,8 % - 69,2%), oraz wiadomo,że na
losowo wybranym przedstawieniu stwierdzono obecność 80 osób w sali liczącej 133 miejsca.
13. Towarzystwo Miłośników Poznania (TMP) chce przeforsować decyzję, aby poznańskie
„koziołki” na miejskim ratuszu pokazywały się częściej, a nie tylko w południe.
a) Jak liczną próbę należałoby wylosować dla oszacowania odsetka mieszkańców miasta
popierających ten pogląd przy założeniu, że współczynnik ufności wynosi 0,95, zaś
maksymalny błąd szacunku 5% (wcześniej takie szacunki nie były prowadzone).
b) Zbuduj właściwy przedział dla 1- = 0,95 jeśli w wylosowanej próbie o liczebności
obliczonej w punkcie a) ¾ mieszkańców miasta zaakceptowało propozycję TMP.
14. Roczne wydatki ( x – tys. zł.) na promocję nowych wyrobów w zakładach produkcyjnych
branży spożywczej mają rozkład normalny. Na podstawie wyników 10 elementowej próby
zakładów zbudowano przedział ufności o długości 18,096 tys. zł. dla średniej wysokości
wydatków na promocję nowych wyrobów ogółu zakładów tej branży.
a) Jaki współczynnik ufności przyjęto przy estymacji wartości średnich wydatków w
populacji, jeśli dodatkowo wiadomo, że w wylosowanej próbie  ( x j  x ) 2  1440.
b) O ile należałoby zwiększyć liczebność próby, aby – przy ustalonym ( w punkcie a)
współczynniku ufności – dwukrotnie zwiększyć precyzję oszacowania?
15. Aby oszacować odsetek pracujących mieszkańców pewnego osiedla korzystających z
metra pobrano losowo 200 osób i stwierdzono, że 72 spośród nich dojeżdża regularnie
metrem do pracy. Z jakim prawdopodobieństwem można oczekiwać, że przedział o końcach
29,3% - 42,7% pokrywać będzie nieznany procent osób dojeżdżających metrem do pracy
wśród wszystkich pracujących mieszkańców tego osiedla?
16. Oszacuj metodą przedziałową (1-α= 0,95) częstość kupowania wybielającej pasty do
zębów. W próbie 200 osób, pastę taką kupiło 30% klientow.
Ile osób należałoby wylosować do próby, aby przy tej samej ufności uzyskać oszacowanie
częstości kupowania takiej pasty z wymaganym absolutnym błędem szacunku 2,5%.
PYTANIA TEORETYCZNE – w każdym pytaniu wskaż prawdziwe odpowiedzi.
17. Estymatory uzyskane MNW są zawsze:
a) zgodne i nieobciążone;
b) zgodne, nieobciążone i najefektywniejsze;
c) zgodne, co najmniej asymptotycznie nieobciążone i co najmniej asymptotycznie
najefektywniejsze.
18. Przedziały ufności dla średniej w populacji normalnej, konstruowane przy tym samym
współczynniku ufności, ale w oparciu o różne, ale jednakowo liczne próby mają:
a) zawsze jednakowe długości przedziałów;
b) jednakowe długości przedziałów, ale tylko wtedy, gdy znane jest  ;
c) przy nieznanym : różne długości zależne od wyników średnich arytmetycznych
otrzymanych z próby ;
d) przy nieznanym  : różne długości zależne od wyników odchyleń standardowych
otrzymanych z próby.
ODPOWIEDZI
n
3.
4.
 ln xi  n
n
5.10; (9,672; 10,328) 6.0,9 7. 35, (7,9; 8,1) 8. a) 0,95 b) 1537
 xi2
9. 0,67; (0,629; 0,705); 0,0376 10. a)34 b) (31,2; 36,8) 11. 1333 12. 0,97 13. a) 385
b) (0,707; 0,793) 14. a) 0,95; b) 30 15. 0,95 16. (0,236; 0,364); 1291 lub 1537