Relacją preferencji konsumenta nazywamy zbiór P wszystkich par

1. Podać, jak mierzy się odległość między koszykami dóbr.
2. Podać określenie przestrzeni metrycznej.
3. Podać określenie przestrzeni towarów.
4. Podać, jak określa się podstawowe działania na koszykach dóbr.
5. Określić pojęcie liniowej kombinacji wypukłej dwóch koszyków.
6. Określić, kiedy pewien zbiór koszyków dóbr jest wypukły.
7. Określić pojęcie relacji indyferencji konsumenta.
8. Określić pojęcie relacji silnej preferencji konsumenta.
9. Określić pojęcie relacji preferencji konsumenta.
10. Co to jest obszar obojętności względem danego koszyka.
11. Określić, kiedy pewien koszyk dóbr jest optymalnym koszykiem w zbiorze koszyków.
12. Jakie warunki muszą być spełnione, aby pewna funkcja określona na przestrzeni towarów X  Rn mogła
pełnić rolę funkcji użyteczności konsumenta.
13. Określić, kiedy funkcja użyteczności określona na Rn jest wklęsła na tym wzorze.
14. Określić, kiedy funkcja użyteczności określona na Rn jest rosnąca na tym zbiorze.
15. Kiedy w polu preferencji konsumenta występuje zjawisko niedosytu.
16. Przyjmując, że u : Rn  R1 to funkcja użyteczności konsumenta zdefiniować pojęcie krańcowej
użyteczności i-tego towaru w koszyku x oraz podać interpretację ekonomiczną.
17. Uzasadnić, że funkcja w postaci u ( x )  x jest przykładem funkcji użyteczności, dla której spełnione jest
tzw. Prawo Gossena.
18. Podać interpretację ekonomiczną krańcowej substytucji towaru i-tego przez towar j-ty w danym
koszyku dóbr.
19. Podać interpretację ekonomiczną elastyczności substytucji towaru i-tego przez towar j-ty w danym
koszyku dóbr.
20. Podać przykład funkcji, której złożenie z daną funkcją użyteczności jest także funkcją użyteczności.
21. Podać, jaka jest odległość między następującymi koszykami dóbr: x = (2 kg mąki, „e” litrów mleka,
„” kg ziemniaków); y = (7/3 kg mąki, 5/2 litra mleka, 3 kg ziemniaków).
22. Udowodnić, że metryka określona wzorem d(x, y) = maxxi - yi dla i = 1, 2, ..., n spełnia
odpowiednie aksjomaty.
23. Dla dwóch koszyków dóbr postaci: x = (3, 4) oraz y = (2, 5) znaleźć dwie liniowe kombinacje wypukłe
koszyków.
24. Jakie własności posiada relacja indyferencji konsumenta.
25. Jakie własności posiada relacja preferencji konsumenta.
26. Jakie własności posiada relacja preferencji konsumenta, która jest silnie wypukła.
27. Podaj (tj. postać analityczną) przykład zbioru M  R2 , który jest domknięty i ograniczony.
28. Podaj (tj. postać analityczną) przykład zbioru M  R2 , który jest domknięty i nieograniczony.
29. Podaj (tj. postać analityczną) przykład zbioru M  R2 , który jest otwarty i nieograniczony.
30. Podaj (tj. postać analityczną) przykład zbioru M  R2 , który jest wypukły i nieograniczony.
31. Sprawdź, czy koszyk z = (11, 36, 38) należy do odcinka łączącego koszyki x = (5, 20, 60),
y
= (20, 50, 10).
32. Sprawdź, czy relacja preferencji; P = {(a, a), (a, b), (a, d), (b, b), (b, c), (c, a), (c, c), (d, d), (d, c),
(d, d)} jest zupełna i przechodnia.
33. Funkcja użyteczności ma postać: u( x )  4 x . Znaleźć złożenie tej funkcji z funkcją postaci: g ( x )  4 x  3.
34. Mając koszyk towarów x = (2, 3, 4) oraz funkcję użyteczności postaci: u( x )  x12  x 23  x 3 znaleźć krańcowe
użyteczności pierwszego i drugiego towaru oraz podać interpretację ekonomiczną.
35. O czym informuje pochodna cząstkowa drugiego rzędu funkcji użyteczności.
36. Obliczyć pochodną cząstkową drugiego rzędu funkcji użyteczności postaci: u( x )  x12  x23 dla koszyka
postaci: x = (3, 5) oraz podać interpretację ekonomiczną wyniku.
37. Wyjaśnić, co to jest płaszczyzna budżetowa na przykładzie trzech koszyków dóbr.
38. O czym mówi krańcowa użyteczność dochodu.
39. Podać interpretację ekonomiczną popytu krańcowego na i-ty towar względem j-tego towaru.
40. Podać interpretację ekonomiczną elastyczności popytu na i-ty towar względem j-tego towaru.
41. Kiedy towar nazywamy normalnym, a kiedy towarem Giffena.
42. Kiedy dwa towary są substytucyjne względem siebie.
43. Kiedy dwa towary są komplementarne względem siebie.
44. O czym informuje popyt krańcowy na i-ty towar względem dochodu konsumenta.
45. O czym informuje elastyczność popytu na i-ty towar względem dochodu konsumenta.
46. Kiedy mamy do czynienia z towarem wyższego rzędu, a kiedy z towarem niższego rzędu.
47. Podać określenie skalarnej funkcji produkcji.
48. Podać standardowe założenia o skalarnej funkcji produkcji.
49. O czym informuje krańcowa produktywność i-tego czynnika produkcji.
50. O czym mówi elastyczność produkcji względem i-tego czynnika produkcji.
51. Co pokazuje elastyczność produkcji względem skali nakładów.
52. Wyjaśnić pojęcie izokwanty produkcji.
53. O czym informuje krańcowa stopa substytucji i-tego czynnika produkcji przez j-ty czynnik w wektorze
produkcji.
54. O czym mówi elastyczność substytucji i-tego czynnika przez j-ty w wektorze nakładów.
55. Co to jest techniczne uzbrojenie pracy.
56. O czym informuje elastyczność krańcowej stopy substytucji (pracy przez kapitał) względem
technicznego uzbrojenia pracy.
57. Co oznacza, że krańcowa stopa substytucji pracy przez kapitał dla liniowej funkcji produkcji postaci
u( x )  a  k  b  z
jest stała, równa
b
.
a
58. Jak zależy przeciętna wydajność pracy od technicznego uzbrojenia pracy w przypadku liniowej funkcji
produkcji.
59. Obliczyć krańcową wydajność pracy oraz krańcową efektywnosść kapitału dla liniowej funkcji
produkcji.
60. Jak zależy przeciętna efektywność kapitału od technicznego uzbrojenia pracy w przypadku liniowej
funkcji produkcji.
61. Wykazać wklęsłość liniowej funkcji produkcji.
62. Podać ogólną postać funkcji produkcji Cobba-Douglasa oraz wyjaśnić znaczenie parametrów „” i „”.
63. Pokazać, że funkcja produkcji Cobba-Douglasa jest dodatnio jednorodna stopnia „ + ”.
64. Co oznacza w przypadku funkcji Cobba-Douglasa, gdy  +  = 1, a co – gdy  +  < 1.
65. Jaką ma postać w przypadku funkcji produkcji Cobba-Douglasa zależność przeciętnej wydajności pracy
jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy.
66. Jaką ma postać w przypadku funkcji produkcji Cobba-Douglasa zależność przeciętnej efektywności
kapitału jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy.
67. Obliczyć dla funkcjo Cobba-Douglasa krańcową wydajność pracy oraz krańcową efektywność kapitału.
68. Podać ogólną definicję funkcji CES oraz wyjaśnić znaczenie obu parametrów tej funkcji.
69. Jaką ma postać w przypadku funkcji produkcji CES zależność przeciętnej wydajności pracy jako funkcji
technicznego uzbrojenia pracy.
70. Jaką ma postać w przypadku funkcji produkcji CES zależność przeciętnej efektywności kapitału jako
funkcji technicznego uzbrojenia pracy.
71. Obliczyć dla funkcji produkcji CES krańcową wydajność pracy.
72. Obliczyć dla funkcji produkcji CES krańcową efektywność kapitału.
73. Obliczyć dla funkcji produkcji CES stopień jednorodności.
74. Podać definicję funkcji produkcji Koopmansa-Leontiefa i wyjaśnić, co oznacza, że jest to tzw.
niesubstytucyjna funkcja produkcji.
75. Podać, kiedy funkcja produkcji CES jest:
- zbieżna do liniowej funkcji produkcji,
- zbieżna do funkcji produkcji Cobba-Douglasa,
- zbieżna do funkcji produkcji Koopmansa-Leontiefa.
1. Podać, jak mierzy się odległość między koszykami dóbr.
x = (x1, x2)  X
i y = (y1, y2)  X
d(x, y) = max xi – yi
Odległość między koszykami wyrażona jest zawsze w tych samych jednostkach co towar, dlatego różnica
 xi – yi jest maksymalna.
2. Podać określenie przestrzeni metrycznej.
Przestrzeń towarów jest przestrzenią metryczną, co oznacza, że spełnione są następujące trzy warunki:
a)
b)
c)
3.
 x, y  X
d ( x, y )  0  d ( x, y )  0  x  y 
d ( x, y )  d ( y, x )
 x, y  X
 x, y , z  X
d ( x, y )  d ( x, z )  d ( z, y )
Podać określenie przestrzeni towarów.
Przestrzenią towarów nazywamy zbiór X  Rn dostępnych na rynku koszyków towarów z odległością
między koszykami zdefiniowaną wzorem d(x, y) = max xi – yi (definicja z książki).
Przestrzenią towarów nazywamy zbiór dostępnych na rynku koszyków dóbr z odległością między
koszykami d ( x, y )  max xi  yi (definicja z zeszytu).
4. Podać, jak określa się podstawowe działania na koszykach dóbr.
a) dodawanie x  y  ( x1  y1, x2  y2 ,..., xn  yn )
b) mnożenie przez liczbę (skalar)
5.
x  ( x1, x2 ,...,xn )
R
0
Określić pojęcie liniowej kombinacji wypukłej dwóch koszyków.
Liniową kombinacją wypukłą dwóch koszyków x, y  Rn nazywamy każdy koszyk z postaci
z   x   y gdzie  ,   0,     1.
6.
czyli
Z  ( x1   y1 ,  x2   y 2 ,...,
,  xn   y n )
Określić, kiedy pewien zbiór koszyków dóbr jest wypukły.
Zbiór M  Rn nazywamy wypukłym, jeżeli wszystkie liniowe kombinacje wypukłe dowolnych dwóch
koszyków należących do zbioru M również należą do zbioru M, co zapisujemy:
x , y  M
 ,   0
  1 x y  M
.
7. Określić pojęcie relacji indyferencji konsumenta.
Relacją indyferencji konsumenta nazywamy zbiór I wszystkich par koszyków złożonych z koszyków
względem siebie obojętnych (indyferentnych), co zapisujemy: I  ( x, y )  X  X ; x ~ y
Własności powyższej relacji:
1)  x  X x ~ x (zwrotność)
2)  x, y  X x ~ y  y ~ x (symetryczność)
8. Określić pojęcie relacji silnej preferencji konsumenta.
Relacją silnej preferencji konsumenta nazywamy zbiór Ps wszystkich par koszyków takich, że pierwszy
koszyk w parze jest lepszy od drugiego koszyka w parze, co zapisujemy Ps  ( x, y )  X  X ; x  y
9. Określić pojęcie relacji preferencji konsumenta.
Relacją preferencji konsumenta nazywamy zbiór P wszystkich par koszyków takich, że pierwszy koszyk
towarów w parze jest słabo preferowany nad drugi koszyk w parze (jest nie gorszy od drugiego koszyka),


co zapisujemy: P  ( x , y )  X  X ; x  y 

~ 
Własności:
1)  x , y  X
x  y  y  x - zupełność
~
2)
x , y , z  X
~
x y  y z  x z
~
~
~
- przechodniość (tranzytywność)
10. Co to jest obszar obojętności względem danego koszyka.
Obszarem obojętności względem danego koszyka x  X jest zbiór wszystkich koszyków należących do
przestrzeni towarów, które są indyferentne (obojętne) z koszykiem x  X , co zapisujemy: K x  y  X ; x ~ y.
Jest to relacja równorzędności.
11. Określić, kiedy pewien koszyk dóbr jest optymalnym koszykiem w zbiorze koszyków.
Koszyk x  M jest optymalnym koszykiem w zbiorze M, jeśli jest on nie gorszy od każdego innego koszyka
z tego zbioru, co zapisujemy: x  M ( x  x ).
(Jest on jedynym najlepszym koszykiem albo jest jednym z wielu).
12. Jakie warunki muszą być spełnione, aby pewna funkcja określona na przestrzeni towarów
n
X  R
mogła pełnić rolę funkcji użyteczności konsumenta.
Funkcją użyteczności konsumenta nazywamy określoną na przestrzeni towarów X  Rn funkcję u : Rn  R1
spełniającą dla dowolnej pary koszyków x, y  Rn warunki:
1) u( x)  u( y)  x ~ y
2) u( x)  u( y)  x  y
Funkcja użyteczności u wyraża subiektywny stosunek konsumenta do oferowanych na rynku koszyków
towarów (bez względu na jego wymowę społeczną czy przyjęte normy).
13. Określić, kiedy funkcja użyteczności określona na Rn jest wklęsła na tym wzorze.
Funkcję u : Rn  R1 nazywamy wklęsłą na Rn , jeżeli
n
 ,   0     1, x, y  R
spełniony jest warunek
u( x   y )   u( x )   u( y ).
14. Określić, kiedy funkcja użyteczności określona na Rn
 jest rosnąca na tym zbiorze.
Funkcję u : Rn  R1 nazywamy rosnącą na Rn , jeżeli x, y  Rn prawdziwa jest implikacja:
( x  y  x  y )  u( x )  u( y ).
15. Kiedy w polu preferencji konsumenta występuje zjawisko niedosytu.
Warunek ( x  y  x  y ) oznacza, że w koszyku x żadnego towaru nie ma mniej niż w koszyku y, a
przynajmniej jednego jest więcej. Możemy zatem powiedzieć, że jeżeli z relacją preferencji konsumenta P
związana jest rosnąca funkcja użyteczności, to jakikolwiek wzrost ilości jakiegokolwiek towaru w
jakimkolwiek koszyku zwiększa użyteczność tego koszyka w oczach konsumenta (nowy koszyk x staje się
silnie preferowany nad koszyk y).
Mówimy w takim przypadku, że w polu preferencji konsumenta ( Rn , P ) występuje zjawisko niedosytu.
16. Przyjmując, że u : Rn  R1 to funkcja użyteczności konsumenta zdefiniować pojęcie krańcowej
użyteczności i-tego towaru w koszyku x oraz podać interpretację ekonomiczną.
Krańcową użytecznością i-tego towaru w koszyku X (i = 1, 2, 3, ..., n) nazywamy pochodną cząstkową
 u( x )
 xi

u ( x1 , x2 ,..., xi  xi ,..., xn )
2

xi
x  0
rzędu pierwszego  lim

u ( x1 , x2 ,..., xi ,..., xn )
xi
y  f (x)
f ( x0 ) 
f ( x0  x )  f ( x )
lim
x 0
x
u ( x )  u ( x1, x2 ,..., xi 1,..., xi ,...,
, xi 1,...,x )
n
Interpretacja ekonomiczna:
Krańcowa użyteczność i-tego towaru informuje nas, o ile (w przybliżeniu) zmieni się użyteczność koszyka
x, jeżeli ilość i-tego towaru wzrośnie (zmaleje) o jednostkę przy czym ilości pozostałych towarów nie
ulegną zmianie.
17. Uzasadnić, że funkcja w postaci u(x) x jest przykładem funkcji użyteczności, dla której
spełnione jest tzw. Prawo Gossena.
Prawo Gossena: Krańcowa użyteczność każdego towaru maleje w miarę jak wzrasta jego spożycie.
Dowód: u ( x )  x
pierwszy koszyk x = (2) < drugi koszyk x = (3)
1
1 2
 x

 xi
2
1
1
 u ( 3)
1





 xi
2 x
2 2
2 x
1

2 3
 u ( 2)
18. Podać interpretację ekonomiczną krańcowej substytucji towaru i-tego przez towar j-ty w
danym koszyku dóbr.
Krańcową stopą substytucji towaru i-tego przez towar j-ty (w koszyku x) nazywamy wyrażenie:
 xj
x j
si j ( x ) 
 - lim
.
 xi
x i 0 xi
Interpretacja ekonomiczna:
Krańcowa stopa substytucji si j ( x ) pokazuje, o ile (w przybliżeniu) powinna zwiększyć się ilość j-tego
towaru przy zmniejszeniu o jednostkę i-tego towaru, aby użyteczność koszyka towarów nie zmieniła się.
19. Podać interpretację ekonomiczną elastyczności substytucji towaru i-tego przez towar j-ty
w danym koszyku dóbr.
Elastycznością substytucji towaru i-tego przez towar j-ty (w koszyku x) nazywamy wyrażenie:
x j xi
 ij ( x )  


xi x j
x j / x j
  lim
.
xi 0 xi / xi
Interpretacja ekonomiczna:
Elastyczność substytucji ij (x) pokazuje, o ile procent powinna zwiększyć się ilość j-tego towaru przy
zmniejszeniu o jednostkę ilości i-tego towaru, aby użyteczność koszyka towarów nie zmieniła się.
20. Podać przykład funkcji, której złożenie z daną funkcją użyteczności jest także funkcją
użyteczności.
Taką funkcją jest u ( x )  x gdyż:
u( x )  x i druga funkcja użyteczności np.: g( x)  3x  5
(u  g )( x )  u[ g ( x )]  u[3x  5] 
 3x  5
( g  u )( x )  g [u ( x )]  g [ x ] 
 3 x 5
21. Podać, jaka jest odległość między następującymi koszykami dóbr: x = (2 kg mąki, „e”
litrów mleka, „” kg ziemniaków); y = (7/3 kg mąki, 5/2 litra mleka, 3 kg ziemniaków).
x = (2, e, ) y = (7/3, 5/2, 3)
2 – 7/3 = 1/3 = max
e – 5/2 = 2,71 – 2,5 = 0,21
 - 3 = 3,14 - 3 = 0,14
22. Udowodnić, że metryka określona wzorem d(x, y) = maxxi - yi dla i = 1, 2, ..., n spełnia
odpowiednie aksjomaty.
a)  xi , yi d ( x, y )  0 spełnione, gdyż xi  yi  0 dla dowolnych
xi , yi
x-y  0  x y  0 
 x y
b)  x, y d ( x, y)  d ( y, x) - symetria
d ( x , y )  x  y  ( 1)  ( y  x ) 
  1  y  x  1 y  x  y  x 
 d ( y, x )
c)  x, y, z d ( x, y )  d ( x, z )  d ( y, z ) - nierówność trójkąta
x y  xz  z y
x  y  ( x  z)  ( z  y  x  z 
 zy
23. Dla dwóch koszyków dóbr postaci: x = (3, 4) oraz y = (2, 5) znaleźć dwie liniowe
kombinacje wypukłe koszyków.
x = (3, 4)
y = (2, 5)
Z   x   y     1 ,   0
Z = 1/3(3, 4) + 2/3(2, 5) = (1, 4/3) + (4/3, 10/3)
Z = (7/3, 14/3) – kombinacja wypukła
24. Jakie własności posiada relacja indyferencji konsumenta.
Własności:
1)  x  X x ~ x (zwrotność)
2)  x, y  X x ~ y  y ~ x (symetryczność)
25.Jakie własności posiada relacja preferencji konsumenta.
Własności:
1)  x, y  X
x  y  y  x - zupełność
~
~
2) x , y , z  X x  y  y  z  x  z - przechodniość (tranzytywność)
~
~
~
26.Jakie własności posiada relacja preferencji konsumenta, która jest silnie wypukła.
Własności:
1)
2)
x , y  X
(x  y, x  y)   x   y  y
x, y  X
(x ~ y, x  y) 
 x   y  y
3)
x , y  X
(x ~ y, x  y)   x   y  x
27. Podaj (tj. postać analityczną) przykład zbioru M R2 , który jest domknięty i ograniczony.
A  {(x1, x2 )  0 x2   x1  1}
28. Podaj (tj. postać analityczną) przykład zbioru M R2 , który jest domknięty i nieograniczony.
B  {(x1, x2 )  0 x2   x1  1}
29. Podaj (tj. postać analityczną) przykład zbioru M R2 , który jest otwarty i nieograniczony.
30. Podaj (tj. postać analityczną) przykład zbioru M R2 , który jest wypukły i nieograniczony.
31. Sprawdź, czy koszyk z = (11, 36, 38) należy do odcinka łączącego koszyki x = (5, 20, 60),
y = (20, 50, 10).
x = (5, 20, 60) y = (20, 50, 10) z = (11, 36, 38)

Równanie odcinka: pr  t  pq

xy =[20-5, 50-20, 10-60]

xy =[15, 30, -50]

x z =[11-5, 36-20, 38-60]

x z =[6, 16, -22]
[6, 16, -22] = t · [15, 30, -50]
9 = t · 15
 t = 6/15
16 = t · 30
 t = 16/30
-22 = t · (-50)
 t = 22/50
t1  t2  t3
Koszyk „z” nie należy do odcinka
32. Sprawdź, czy relacja preferencji; P = {(a, a), (a, b), (a, d), (b, b), (b, c), (c, a), (c, c), (d,
d), (d, c), (d, d)} jest zupełna i przechodnia.
a) nie jest zupełna
b) jest przechodnia ponieważ, np. (a, a)  (b, b)  (a, b)
33. Funkcja użyteczności ma postać: u(x) 4 x . Znaleźć złożenie tej funkcji z funkcją postaci:
g(x) 4x 3.
u(x) 4 x
g(x) 4x 3
(u  g )( x )  u[ g ( x )]  u[4 x  3] 
 4 4x  3
( g  u )( x )  g[u ( x )]  g [4 x ] 
 44 x  3
34. Mając koszyk towarów x = (2, 3, 4) oraz funkcję użyteczności postaci: u(x) x12  x32  x3 znaleźć
krańcowe użyteczności pierwszego i drugiego towaru oraz podać interpretację ekonomiczną.
x = (2, 3, 4) u(x) x12  x3
2  x3
 u( x )
 2 x1  x23  x3
 xi
 u( x )
 x2
2 2
2
2
 x1  32  x3  2  3  3  4 
 432
 u(2,3,4)
 2  2  33  4  432
 x1
Użyteczność krańcowa dla pierwszego i drugiego towaru jest jednakowa.
35. O czym informuje pochodna cząstkowa drugiego rzędu funkcji użyteczności.
Pochodna cząstkowa drugiego rzędu informuje, o ile (w przybliżeniu) zmieni się użyteczność krańcowa itego towaru, jeżeli ilość j-tego towaru w koszyku x wzrośnie (zmaleje) o jednostkę (a ilości pozostałych
towarów nie ulegną zmianie).
36. Obliczyć pochodną cząstkową drugiego rzędu funkcji użyteczności postaci: u(x) x12  x32 dla
koszyka postaci: x = (3, 5) oraz podać interpretację ekonomiczną wyniku.
37. Wyjaśnić, co to jest płaszczyzna budżetowa na przykładzie trzech koszyków dóbr.
Linią (płaszczyzną) budżetową nazywamy zbiór wszystkich tych koszyków, których kupno wymaga
n  p, x   I .
wydania całego dochodu, tj. zbiór x  R


38. O czym mówi krańcowa użyteczność dochodu.
Krańcowa użyteczność dochodu informuje, o ile wzrośnie użyteczność optymalnego koszyka, gdy dochód
konsumenta wzrośnie o jednostkę.
39. Podać interpretację ekonomiczną popytu krańcowego na i-ty towar względem j-tego
towaru.
W przybliżeniu popyt krańcowy na i-ty towar względem ceny j-tego towaru informuje, o ile jednostek
zmieni się popyt na i-ty towar, jeżeli cena j-tego towaru wzrośnie (zmaleje) o jednostkę (a pozostałe ceny
i dochód konsumenta nie ulegną zmianie). Obrazowo możemy też powiedzieć, że pochodna ta pokazuje, z
jaką prędkością zmienia się popyt na i-ty towar pod wpływem zmian ceny j-tego towaru.
40. Podać interpretację ekonomiczną elastyczności popytu na i-ty towar względem j-tego
towaru.
Elastyczność popytu na i-ty towar względem ceny j-tego towaru informuje, o ile procent zmieni się popyt
na i-ty towar, jeżeli cena j-tego towaru wzrośnie (zmaleje) o jeden procent (a pozostałe ceny i dochód
konsumenta nie ulegną zmianie).
41. Kiedy towar nazywamy normalnym, a kiedy towarem Giffena.
Towar nazywamy normalnym, jeżeli popyt na ten towar maleje wraz ze wzrostem jego ceny.
Towar nazywamy towarem Giffena, jeżeli popyt na ten towar rośnie wraz ze wzrostem jego ceny.
42. Kiedy dwa towary są substytucyjne względem siebie.
Towar i-ty nazywamy substytucyjnym względem towaru j-tego, jeżeli wzrost ceny towaru j-tego powoduje
wzrost popytu na towar i-ty.
43. Kiedy dwa towary są komplementarne względem siebie.
Towar i-ty nazywamy komplementarnym względem towaru j-tego, jeżeli wzrost ceny towaru j-tego
powoduje spadek popytu na towar i-ty.
44. O czym informuje popyt krańcowy na i-ty towar względem dochodu konsumenta.
Popyt krańcowy informuje, o ile (jednostek) zmieni się popyt na i-ty towar, jeżeli dochód konsumenta
wzrośnie o jednostkę pieniężną (a ceny pozostaną niezmienione).
45. O czym informuje elastyczność popytu na i-ty towar względem dochodu konsumenta.
Elastyczność popytu na i-ty towar względem dochodu konsumenta informuje, o ile procent zmieni się
popyt na i-ty towar przy wzroście dochodu o 1%.
46. Kiedy mamy do czynienia z towarem wyższego rzędu, a kiedy z towarem niższego rzędu.
Towarem wyższego rzędu nazywamy towar, na który konsument zwiększa popyt, gdy wzrasta jego
dochód.
Towarem niższego rzędu nazywamy towar, na który konsument zmniejsza popyt, gdy wzrasta jego
dochód.
47. Podać określenie skalarnej funkcji produkcji.
Skalarną funkcją produkcji nazywamy funkcję f : Rk  R1 , która każdemu wektorowi nakładów
x  ( x1,..., xk )  0 podporządkowuje maksymalną wielkość produkcji danego produktu y = f(x), możliwą do
uzyskania z wektora x.
48. Podać standardowe założenia o skalarnej funkcji produkcji.
1) Funkcja f : Rk  R1 jest ciągła i dwukrotnie różniczkowalna na int Rk .
2) Zerowym nakładom odpowiada zerowy wynik produkcji: f (0,...,0)  0
3) Funkcja f : Rk  R1 jest rosnąca na int Rk , tzn.
1 2
k
x , x  R
1
2
x  x 
1
2
 f (x )  f (x )
4) Funkcja f : Rk  R1 jest wklęsła na int Rk , tzn.
1 2
k
x , x  R ,  ,   0     1 :
1
2
1
2
f ( x   x )   f ( x )   f ( x ).
5) Funkcja f : Rk  R1 jest dodatnio jednorodna stopnia   0, tzn.
k
x  R ,   0

f (  x )  f ( x1 ,...,xk )  
f ( x ).
49. O czym informuje krańcowa produktywność i-tego czynnika produkcji.
Krańcową produktywność i-tego czynnika pokazuje, o ile wzrośnie produkcja, gdy nakład i-tego czynnika
wzrośnie o jednostkę, a nakłady pozostałych czynników produkcji nie ulegną zmianie. Należy podkreślić,
że jeżeli funkcja produkcji jest silnie wklęsła, to krańcowa produktywność każdego czynnika produkcji
maleje ze wzrostem tego czynnika.
50. O czym mówi elastyczność produkcji względem i-tego czynnika produkcji.
Elastyczność produkcji względem i-tego czynnika produkcji pokazuje, o ile procent wzrośnie produkcja,
gdy nakład i-tego czynnika wzrośnie o 1%, a nakłady pozostałych czynników produkcji nie ulegną
zmianie.
51. Co pokazuje elastyczność produkcji względem skali nakładów.
Elastyczność produkcji względem skali nakładów pokazuje, o ile procent wzrośnie produkcja, jeżeli
wszystkie czynniki produkcji wzrosną o 1 %.
52. Wyjaśnić pojęcie izokwanty produkcji.
Izokwantą produkcji na poziomie y0  0 nazywamy zbiór G wszystkich wektorów nakładów x, którym


k ; f ( x)  y .
odpowiada ten sam poziom produkcji y0 , co zapisujemy : G  x  R
0
53. O czym informuje krańcowa stopa substytucji i-tego czynnika produkcji przez j-ty czynnik
w wektorze produkcji.
Krańcowa stopa substytucji i-tego czynnika pokazuje, o ile jednostek należy w wektorze nakładów x
zwiększyć ilość j-tego czynnika, aby poziom produkcji nie uległ zmianie.
54. O czym mówi elastyczność substytucji i-tego czynnika przez j-ty w wektorze nakładów.
Elastyczność substytucji i-tego czynnika przez j-ty czynnik pokazuje, o ile procent należy w wektorze
nakładów x zwiększyć ilość j-tego czynnika, gdy nakład i-tego czynnika zmniejszył się o 1%, aby poziom
produkcji nie uległ zmianie.
55. Co to jest techniczne uzbrojenie pracy.
Technicznym uzbrojeniem pracy nazywamy wyrażenie: u 
k
,
k  0 , z  0.
z
Techniczne uzbrojenie pracy określa liczbę jednostek kapitału przypadających na jednostkę pracy.
56. O czym informuje elastyczność krańcowej stopy substytucji (pracy przez kapitał)
względem technicznego uzbrojenia pracy.
Elastyczność krańcowej stopy substytucji (pracy przez kapitał) względem technicznego uzbrojenia pracy
informuje, o ile procent zmieni się krańcowa stopa substytucji pracy przez kapitał, gdy techniczne
uzbrojenie pracy wzrośnie o 1%.
57. Co oznacza, że krańcowa stopa substytucji pracy przez kapitał dla liniowej funkcji
b
produkcji postaci u(x) a k b z jest stała, równa .
a
Oznacza to, że niezależnie od tego czy mamy duże zasoby pracy i małe zasoby kapitału, czy na odwrót, to
zawsze potrzeba tyle samo kapitału do zastąpienia jednostki pracy w celu utrzymania produkcji na
niezmienionym poziomie. Z tego względu mówimy, że liniowa funkcja produkcji cechuje się doskonałą
substytucyjnością nakładów.
58. Jak zależy przeciętna wydajność pracy od technicznego uzbrojenia pracy w przypadku
liniowej funkcji produkcji.
Zależność przeciętnej wydajności pracy od technicznego uzbrojenia pracy:
w( u ) 
y

ak  bz
z
z
a
k
b 
z
 au  b
59. Obliczyć krańcową wydajność pracy oraz krańcową efektywność kapitału dla liniowej
funkcji produkcji.
60. Jak zależy przeciętna efektywność kapitału od technicznego uzbrojenia pracy w przypadku
liniowej funkcji produkcji.
Zależność przeciętnej efektywności kapitału od technicznego uzbrojenia pracy:
y ak  bz
z
e( u )  
 ab 
k
k
k
b
a
u
61. Wykazać wklęsłość liniowej funkcji produkcji.
62. Podać ogólną postać funkcji produkcji Cobba-Douglasa oraz wyjaśnić znaczenie
parametrów „” i „”.
Funkcją produkcji Cobba-Douglasa nazywamy funkcję f : R2  R1 postaci y  f (k , z )  ak z  , a, ,   0.
α – elastyczność produkcji względem kapitału,
β – elastyczność produkcji względem zatrudnienia.
63. Pokazać, że funkcja produkcji Cobba-Douglasa jest dodatnio jednorodna stopnia „ + ”.
Aby się o tym przekonać, wystarczy zauważyć, że (k , z)  0 i   0 zachodzi:
f (k , z )   (k ) (z )  
    ak z      f (k , z ).
Jeżeli     1, to podstawiając    ,   1   ,
0    1 , możemy otrzymać funkcję produkcji Cobba-
Douglasa postaci: y  ak z1 . Funkcja jest wtedy dodatnio jednorodna stopnia pierwszego, co oznacza,
że (k , z)  0  - krotny wzrost kapitału i pracy powoduje proporcjonalny  - krotny wzrost produkcji.
64. Co oznacza w przypadku funkcji Cobba-Douglasa, gdy  +  = 1, a co – gdy  +  < 1.
    1oznacza, że  - krotny wzrost kapitału i pracy powoduje proporcjonalny  - krotny wzrost
produkcji.
    1 oznacza, że  - krotny wzrost kapitału i pracy powoduje mniej niż proporcjonalny wzrost
produkcji.
65. Jaką ma postać w przypadku funkcji produkcji Cobba-Douglasa zależność przeciętnej
wydajności pracy jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy.
Zależność przeciętnej wydajności pracy jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy:
w( u ) 
y
z

 au ,

 1
ak z
z

k
 
z
 a
0 1
66. Jaką ma postać w przypadku funkcji produkcji Cobba-Douglasa zależność przeciętnej
efektywności kapitału jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy.
Zależność przeciętnej efektywności kapitału jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy:
y ak z1
e( u )  

k
k
 1
k
 ak 1  z1  a  

z
 au 1, 0    1
67. Obliczyć dla funkcjo Cobba-Douglasa krańcową wydajność pracy oraz krańcową
efektywność kapitału.
68. Podać ogólną definicję funkcji CES oraz wyjaśnić znaczenie obu parametrów tej funkcji.
Funkcją produkcji CES nazywamy funkcję f : int R2  int R1 postaci:





y  f  k , z )  ( ak  bz   , gdzie a, b  0,   1,   0.


Parametr  jest stopniem jednorodności funkcji, natomiast 1   przedstawia elastyczność krańcowej
f
stopy substytucji pracy przez kapitał  zk
względem technicznego uzbrojenia pracy.
69. Jaką ma postać w przypadku funkcji produkcji CES zależność przeciętnej wydajności pracy
jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy.
Zależność przeciętnej wydajności pracy jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy:
1




y
ak  bz  
w(u )   



z
z


1
1
 k






 a
b
  au  b   ,
 z





70. Jaką ma postać w przypadku funkcji produkcji CES zależność przeciętnej efektywności
kapitału jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy.
Zależność przeciętnej efektywności kapitału jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy:
1
 ak  bz  
y
 
e( u )   
k
k
1




  a  bu   ,


71. Obliczyć dla funkcji produkcji CES krańcową wydajność pracy.
Krańcowa wydajność pracy:

1
 
 
 1
  ak  bz 
bz


z
 
y



  ( ak  bz ) 
1
 1
bz
72. Obliczyć dla funkcji produkcji CES krańcową efektywność kapitału.
Krańcowa efektywność kapitału:

1
 
 
 1
  ak  bz 
ak


k
 
y



  ( ak  bz ) 
1
ak
 1
73. Obliczyć dla funkcji produkcji CES stopień jednorodności.
Stopień jednorodności:

f ( k , z )   a ( k )


 
 b ( z )  


   ( ak  bz )   










  ak  bz     f ( k , z )


funkcja produkcji CES jest więc dodatnio jednorodna stopnia  .
74. Podać definicję funkcji produkcji Koopmansa-Leontiefa i wyjaśnić, co oznacza, że jest to
tzw. niesubstytucyjna funkcja produkcji.
k z
Funkcją produkcji Koopmansa-Leontiefa nazywamy funkcję f : R2  R1 postaci: y  f (k , z )  min  , , gdzie
  
  0 oznacza współczynnik kapitałochłonności przedstawiający niezbędny nakład kapitału na wytworzenie
jednostki produkcji a   0 - współczynnik pracochłonności opisujący nakład pracy niezbędny do
wytworzenia jednostki produkcji.
Funkcja produkcji Koopmansa-Leontiefa jest przykładem niesubstytucyjnej funkcji produkcji. Jej
konstrukcja opiera się na dwóch założeniach:
a)
nie jest możliwa substytucja czynników produkcji,
b)
nakłady czynników produkcji niezbędne do uzyskania określonej wielkości produkcji rosną liniowo
(proporcjonalnie) z wielkością produkcji.
Zgodnie z tymi założeniami, jeżeli np. do wytworzenia jednostki produkcji niezbędne są dwie jednostki
kapitału i trzy jednostki pracy, to do wytworzenia dwóch jednostek produkcji potrzeba czterech jednostek
kapitału i sześć jednostek pracy. Zwiększenie nakładów tylko jednego z czynników produkcji nie
spowoduje zwiększenia produkcji, gdyż ograniczać ją będzie ten czynnik produkcji, którego ilość nie uległa
zmianie.
75. Podać, kiedy funkcja produkcji CES jest:
- zbieżna do liniowej funkcji produkcji,
Funkcja produkcji CES, dodatnio jednorodna stopnia pierwszego przy   1 , jest zbieżna do liniowej
1
funkcji produkcji, tzn. ( k , z )  0

lim  ak

 1

 bz   

 ak  bz
- zbieżna do funkcji produkcji Cobba-Douglasa,
Funkcja produkcji CES dodatnio jednorodna stopnia pierwszego jest przy   0 zbieżna do funkcji
produkcji Cobba-Douglasa dodatnio jednorodnej stopnia pierwszego, tzn.:
  ( 0,1)
A  0
( k , z )  0
1
lim  ak  bz
 0

 
 1
  Ak z

- zbieżna do funkcji produkcji Koopmansa-Leontiefa.
Funkcja produkcji CES dodatnio jednorodna stopnia pierwszego, jest przy    zbieżna do funkcji
( , )  0 ( k , z )  0
produkcji Koopmansa-Leontiefa tzn.
1
k z


lim  ak  bz    min , .

  
  