Numeryczne modelowanie procesów obróbki cieplnej

Numeryczne modelowanie
procesów obróbki cieplnej
Henryk Adrian
Literatura pomocnicza

S. Wisniewski, T.Wisniewski Wymiana ciepła, WNT, Warszawa,
2000

Z.Kolenda, Transport ciepła i masy

K. Przybyłowicz – Metaloznawstwo

H. Adrian – Model termodynamiczny wydzielania
węglikoazotków z zastosowaniem do badań hartowności

W.Luty: Poradnik inżyniera. Obróbka cieplna stopów żelaza

G.Kowalczyk – Excel 2000 PL. Ćwiczenia praktyczne

H.Adrian: Numeryczne modelowanie procesów obróbki cieplnej
 Pod pojęciem obróbki cieplnej rozumiemy
odpowiednio dobrane zabiegi cieplne prowadzące do
zmiany własności stali przez zmiany struktury,
wywołane przemianami fazowymi zachodzącymi w
stanie stałym.
 W obróbce cieplnej rozróżniamy operacje i zabiegi.
 Operacja jest to część procesu technologicznego
(hartowanie, wyżarzanie) realizowana na jednym
stanowisku
 Zabiegami nazywamy część operacji (nagrzewanie,
wygrzewanie, chłodzenie).
 Podstawowymi parametrami obróbki cieplnej są:
 szybkość nagrzewania,
 temperatura zabiegu cieplnego,
 czas nagrzewania, wygrzewania, chłodzenia,
 szybkość chłodzenia.
 Proces grzania polega na doprowadzeniu
ciepła w ciągu założonego czasu w celu
uzyskania określonej temperatury przez
całą masę nagrzewanego ciała.
 Zarówno w teorii jak i w praktyce procesu
grzania, nagrzewane ciała dzieli się na:
 — ciała o dużej zdolności przenikania ciepła,
(ciała „cienkie”)
 — ciała o małej zdolności przenikania ciepła.
(„ciała masywne”)
 Wymieniony podział nagrzewanych ciał
uwzględnia występowanie różnic temperatur na
przekroju nagrzewanego ciała zależnych nie
tylko od grubości ciała i przewodności cieplnej,
lecz również od oporu cieplnego ciała
 Opór cieplny jest charakteryzowany wartością
stosunku S/l i od szybkości nagrzewania,
gdzie: S — grubość ciała[ m.], l— współczynnik
przewodności ciepła [kcal/(m • h • °C)], J/mK.
 Chłodzenie jest to proces polegający na ciągłym lub
stopniowym obniżaniu temperatury elementu do
pewnej określonej temperatury, najczęściej
temperatury otoczenia.
 Proces te zależy od szeregu czynników. Jednym z
głównych jest zdolność chłodząca ośrodka, która
zależy od wielu czynników.
 Największy wpływ wywiera współczynnik
przejmowania ciepła a, który oznacza ilość ciepła
przejmowanego przez jednostkę powierzchni w ciągu
jednostki czasu.
 a -określa warunki wymiany ciepła między
powierzchnią ciała stałego a cieczą.
 W procesie obróbki cieplnej bardzo ważną rolę
odgrywa znajomość czasu chłodzenia, która jest
nieodzowna przy planowaniu procesu
technologicznego.
 Czas chłodzenia danego przedmiotu zmienia się w
zależności od rodzaju ośrodka chłodzącego, jego
temperatury, geometrii kształtu przedmiotu, masy
przedmiotu i temperatury początkowej.
 Własności mechaniczne wyrobów stalowych
poddawanych obróbce cieplnej zależą od otrzymanej
struktury Dlatego tak bardzo ważną rolę odgrywają
procesy nagrzewania i chłodzenia wyrobów.
 Aby struktura materiału była właściwa i materiał
spełniał stawiane mu wymagania musimy znać
parametry procesów obróbki cieplnej (temperaturę,
czas i szybkość nagrzewania i chłodzenia).
 Wszystkie procesy obróbki cieplnej są związane
z pobieraniem czy oddawaniem ciepła które mogą
odbywać się na różne sposoby
 Proces nagrzewania jest to pobieranie ciepła przez
materiał od pieca, zaś chłodzenie jest procesem
oddawania ciepła ośrodkowi chłodzącemu.
 Przekazywanie ciepła może odbywać w następujące
sposoby:
 1. przekazywanie ciepła wskutek promieniowania ciał
stałych (ścian pieca) otaczających nagrzewany
przedmiot,
 2. przekazywanie ciepła wskutek ruchu gazów
przenoszących ciepło na powierzchnię przedmiotu,
 3. przekazywanie ciepła wskutek przewodnictwa
cieplnego gazów,
 4. przekazywanie ciepła przez podstawki, na których
leży nagrzewany przedmiot.
Mechanizmy wymiany ciepła
 Promieniowanie
 Konwekcja
 przewodzenie
 Zagadnienia obejmujące niestacjonarne procesy cieplne
rozwiązuje się różnymi metodami.

Jedną z tych metod jest metoda matematyczna
oparta na rozwiązaniach równania różniczkowego
wymiany ciepła, zwaną metodą fizyki matematycznej.
Metoda ta daje możliwość otrzymywania
najdokładniejszych rozwiązań i obejmuje różne
przypadki nagrzewania i chłodzenia. Można ją stosować
dla przedmiotów o prostych kształtach
 Inne metody to metody numeryczne – metoda różnic
skończonych, metoda elementów skończonych. Dają
rozwiązania przybliżone, ale można je stosować do
przedmiotów o złożonych kształtach i złożonych
warunków wymiany ciepła
 Dla najprostszych przypadków nagrzewania
(ciała cienkie) mogą być wykorzystywane
wzory analityczne otrzymywane przy
wykorzystaniu znanych praw wymiany
ciepła i prawa zachowania energii.
 Czasami wykorzystuje się metodę
przekształceń całkowych.
Równanie Fouriera
 Do obliczania temperatury w dowolnym miejscu
elementu poddawanego obróbce cieplnej, określonym
współrzędnymi x, y, z po czasie t, przy znajomości
warunków obróbki cieplnej:
 temperatura początkowa,
 temperatura środowiska,
 charakterystyka środowiska grzejnego/chłodzącego
 wykorzystuje się rozwiązania równania Fouriera
uzyskane dla założonych warunków brzegowych oraz
dla określonych kształtów przedmiotów.
 Fouriera wprowadza się rozpatrując nieustalony w
czasie przepływ ciepła w elementarnym elemencie
przedstawionym na rys. 1
Strumień ciepła dopływający do elementarnej
objętości dV wynosi qx, zaś strumień wypływający jest
równy qx+dx
 Różnica strumieni cieplnych, zgodnie z pierwszą
zasadą termodynamiki, jest równa czasowej
zmianie energii wewnętrznej elementu masowego
dV. Na tej podstawie otrzymuje się:
T
q x dydz - q x  dx dydz  c
dxdydz
t


przy czym T=T(x,τ), zaś c jest ciepłem właściwym przy stałym
ciśnieniu lub objętości
w zależności od rodzaju procesu. Biorąc pod uwagę liniowe
przybliżenie rozwinięcia w szereg Taylora:



q x  dx  q x 
qx
x
dx
 z równania (1) otrzymuje się:

-
q x
T
dxdydz  c
dxdydz
x
t
Wykorzystując prawo Fouriera , po obustronnym
uproszczeniu przez dxdydz, i wykorzystując równanie:
T
q  -l
x
x
T

T
(λ (T)
)
c
x
x
τ
 Zakładając λ=const, otrzymuje się
równanie różniczkowe:
λ
 2T
x 2
 c
T
t
 2T T
a 2 
τ
x
 gdzie a – współczynnik przewodności
temperaturowej określany jest wzorem:
 λ – współczynnik przewodzenia ciepła,
 cp – ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu,
- masa właściwa, kg/m3
λ
a
 cp
Jeśli ciepło przepływa wzdłuż normalnej
do powierzchni, wówczas wektor strumienia
można zapisać przy użyciu trzech strumieni
składowych o kierunkach równoległych do
osi układu współrzędnych.
 Zmiana energii wewnętrznej elementu ρdV
wynosi wówczas:


 


 q


q

q
y
- x 
 z dxdydz
 x
y
z 




 Na podstawie prawa Fouriera dla
strumieni składowych:

q x  -λ

q y  -λ

T
x
T
y
q z  -λ
T
z
przy czym λ=λ(T) oraz T=T(x,y,z,τ), otrzymuje się
równanie różniczkowe przewodzenia ciepła w postaci:
T   
T   
T 
 
T
λ
(T)

λ
(T)

ρ
c
 λ (T)



x 
τ
x  y 
y  z 
z 
 Przy stałym współczynniku przewodzenia ciepła,
równanie powyższe upraszcza się do postaci
  2T  2T  2T  T

a 


2
2
2 
τ

x

y

z


Z matematycznego punktu widzenia, każde równanie różniczkowe
posiada nieskończenie wiele rozwiązań.
Wybór rozwiązania fizykalnego, opisującego przebieg procesu w
sposób jednoznaczny, wymaga dodatkowych informacji.
W teorii procesów dyfuzyjnych noszą nazwę warunków
granicznych, w skład których wchodzą: warunek początkowy,
determinujący stan układu ciała w pewnej chwili czasu oraz
warunki brzegowe, będące opisem mechanizmu oddziaływania z
otoczeniem.
 Warunek początkowy określa rozkład temperatury
we wszystkich punktach ciała w chwili czasu τ=0, co
oznacza, że znana jest postać funkcji:
 T(x,y,z,0) = T(x,y,z)
 Warunki brzegowe mogą być dane w różny sposób
w zależności od rodzaju informacji
o procesach zachodzących na powierzchni
ograniczającej ciało. Wyróżnia się cztery rodzaje
warunków brzegowych :
 Warunek brzegowy pierwszego rodzaju
– (warunek Dirichleta)
 Warunek ten przyjmuje założenie, że znany
jest rozkład temperatur na brzegu
T(x, y, z, τ)  ψ(x, y, z, τ)
gdzie A jest brzegiem obszaru.
dla
(τ  0) i (x, y, z) A
 Warunek brzegowy drugiego rodzaju –
(warunek Neumanna)
 określa rozkład strumieni ciepła w
każdym punkcie brzegowym.

q(x, y, z,τ)  - λ (x, y, z,t )
dla
(τ  0) i (x, y, z)  A


Warunek brzegowy trzeciego rodzaju .
Przy warunku tym przyjmuje się określony sposób wymiany
ciepła między ośrodkiem otaczającym ciało a jego
powierzchnią.

Przy założeniu wymiany ciepła przez konwekcję z danym
współczynnikiem przejmowania ciepła a otrzymuje się
następującą zależność wyrażającą omawiany warunek
brzegowy:
T
λ
 α [ T(x, y, z,τ) - To ]  0
n
dla (x, y, z) A
gdzie:
a– współczynnik wymiany ciepła
To – temperatura ośrodka otaczającego ciało
Warunek brzegowy czwartego
rodzaju – (warunek Łykowa)
 Warunek ten związany jest z wymianą
ciepła między dwoma ciałami stałymi.
 Wprowadza się pojęcie doskonałego styku
dwóch ciał stałych 1 i 2, przyjmując, że
ścianki stykające się ze sobą mają
jednakowe temperatury i gęstości strumieni
ciepła przechodzącego przez te ścianki w
danym punkcie ich styku są jednakowe.
Wyraża się to zależnością:
λ1
T1
T
 λ2 2
n
n
T1 (x, y, z,τ)  T2 (x, y, z,τ)
dla (x, y, z)  A
dla (x, y, z)  A