oznaczają odpowiednio symetryczne i przechodnie domknięcie

Egzamin z matematyki dyskretnej 21 wrzesień 2005
Imię:
Nazwisko:
Grupa:
Numer Indeksu:
Uwagi:
1.
2.
Czas rozwiązywania 100 minut.
Ewentualne wątpliwości związane z niejednoznacznością sformułowań w zadaniach należy
umieścić obok udzielonych odpowiedzi.
3. Dozwolone jest korzystanie z pomocy w formie własnoręcznych notatek i wydruków slajdów
z wykładu. Nie wolno korzystać z książek i urządzeń elektronicznych.
4. Zbiór liczb naturalnych nie zawiera zera: 0  N.
5. Zapis "a | b" oznacza "a jest dzielnikiem b" czyli "b jest podzielne przez a".
6. NWD(x, y) oznacza największy wspólny dzielnik liczb x i y
7. W trakcie egzaminu nie wolno opuszczać sali przed oddaniem pracy.
8. Skala ocen jest opisana notacją (a/b/c) gdzie a – liczba pkt. za poprawną odp., b – liczba
pkt. za brak odp., c – liczba pkt. za błędną odp.
9. Za żadne z ośmiu zadań nie można uzyskać mniej niż 0 pkt.
10. Rozwiązania zadań 6, 7, 8 należy umieścić na osobnej kartce.
(2) {x  A : xR6}................................2, 3, 4, 6
(3) {x  A : 6Rx}................................6, 8, 9, 10, 12
(4) wysokość R ................................ 6
(5) szerokość R................................ 6
(6) wszystkie elementy maksymalne w A względem R................1, 7, 11, 12
(7) wszystkie elementy minimalne w A względem R................. 1, 2, 3, 5, 7, 11
(8) najdłuższy łańcuch w A względem R................................ 2, 4, 6, 8, 10, 12
(9) najdłuższy antyłańcuch w A względem R................................np. 1, 2, 3, 5, 7, 11
12
Zad. 1. (10 pkt. 2/0/0) Na ile sposobów można wypełnić macierz 3x3:
(1) liczbami ze zbioru {1, 2, ..., 10} tak, aby każda z liczb występowała co najwyżej
10
raz ................................10!
(2) liczbami ze zbioru {1, 2, 3, 4} tak, aby w żadnym wierszu liczby się nie
powtarzały.............................. (4!)3
9
8
(3) liczbami ze zbioru {1, 2} tak, aby suma wszystkich liczb wynosiła 15 .......9!/(3!6!)
(4) liczbami ze zbioru {1, 2, 3} tak, aby w żadnym wierszu ani w żadnej kolumnie,
6
liczby się nie powtarzały ...................................3!2
(5) liczbami ze zbioru {1, 2, 3, 4} tak, aby każda z nich wystąpiła co najmniej dwa
razy ........................49!/(2!2!2!3!)
4
Zad. 2. (10 pkt. 1/0/0) Niech A = {1, 2, ..., 12}. Dana jest relacja S  A2, gdzie xSy  NWD(x,
y) > 1  x < y. Relacja R stanowi przechodnie domknięcie zwrotnego domknięcia relacji S (R
= p(z(S))).
(1) Czy relacja R jest porządkiem częściowym? ................................Tak
Jeżeli tak, to narysuj diagram Hass'ego tej relacji i wyznacz:
3
2
5
1
7
11
Zad. 3. (10 pkt. 2/0/0) Dla grafu G na rysunku poniżej wyznacz
Zad. 6. (10 pkt. 2.5/0/0) Dla każdej kolumny z zadania 5 wybierz jeden dowolny przypadek,
gdzie udzieliłeś negatywnej odpowiedzi i odpowiedź tę uzasadnij.
xRy  NWD(3x, 5y) = 2
przeciwzwrotna
symetryczna
antysymetryczna
przechodnia
2R2
2R10 
~10R2
2R4  4R2
4R14  14R8 
~4R8
xRy  x  2y – 3
1R1
3R1  ~1R3
1R2  2R1
xRy  x  2y – 4
1R1
3R1  ~1R3
1R2  2R1
1R2  2R3 
~1R3
(1) Długość optymalnej trasy chińskiego listonosza......... 23+7=30
Zad. 7. (10 pkt.) Udowodnij, że graf z zadania 3 nie jest planarny, wskazując podgraf
homeomorficzny z K3,3 lub K5. Narysuj ten podgraf.
(2) Wagę minimalnego drzewa spinającego................................12
(3) Długość najdłuższego cyklu................................12
Jest wiele takich podgrafów. Przedsawiony poniżej jest homeomorficzny z K3,3
(4) Liczbę chromatyczną G................................2
(5) Indeks chromatyczny G................................5
Uwaga: każda krawędź w tym grafie ma długość 1
Zad. 4. (10 pkt. 2/0/0) Podaj przykład funkcji f : N  R+ takiej, że:
(1) f(n) = o(n + log n)  f(n) = (n – n1/2);
f(n) =........#...................................................................
(2) f(n) = o(3n + n5)  f(n) = (5n + n3) ;
f(n) =..............#.....................................................................
(3) f(n) = o(5n + n3)  f(n) = (3n + n5) ;
f(n) =...............np. 4n....................................................................
(4) f(n) = O(2n / n)  nN(f(n) > 2n) ;
f(n) =.....................#..........................................
(5) f(n) = O(2n – logn)  nN(f(n) > 2n) ;
Jeżeli funkcja taka nie istnieje, to wpisz #.
f(n) =............np. 2n + 1.....................................................
...
Zad. 5. (12 pkt. 1/0/-1) Zaznacz w tabeli poniżej, które własności spełniają poszczególne
relacje określone w zbiorze liczb naturalnych. Pamiętaj, że 0  N. Wpisz słowa Tak lub Nie.
przeciwzwrotna
symetryczna
antysymetryczna
przechodnia
xRy  NWD(3x, 5y) = 2
N
N
N
N
xRy  x  2y – 3
N
N
N
T
xRy  x  2y – 4
N
N
N
N
Zad. 8 (10 pkt.) Wyznacz zwarty wzór na n-ty wyraz sumy:
n m k
n m
 k  1 n  m  2   n  3
  


a n   i   
3   4 
m 1 k 1 i 1
m 1 k 1  2  m 1 