praca-magisterska
advertisement
Temat: Składanie fal o różnych polaryzacjach Niech dwie fale elektromagnetyczne mają jednakowe częstości (a więc zgodnie ze wzorem (1.7c) także jednakowe liczby falowe i długości fal) i rozchodzą się w tym samym kierunku. To oznacza, że czynniki są dla nich jednakowe, a więc jedynie E0 – wektorowe czynniki tych fal mogą różnić się, czyli fale mogą mieć różne polaryzacje i amplitudy. Tylko takie fale będziemy tu rozpatrywać. Pokażemy, że dowolnie spolaryzowaną falę określoną przez wektor E0, można przedstawić w postaci superpozycji dwóch fal spolaryzowanych , (2.1) Fale , mogą być spolaryzowane liniowo, albo kołowo o przeciwnych obiegach i wreszcie spolaryzowane eliptycznie także o przeciwnych obiegach. To zaś oznacza, że każdy z tych ruchów stanowi bazę fizyczną opisu stanu polaryzacji światła. Udowodnimy pierwsze z tych twierdzeń, czyli pokażemy, że dowolnie spolaryzowaną falę można przedstawić w postaci superpozycji dwóch fal spolaryzowanych liniowo. Przyjmijmy zatem, że falę określa wektorowa amplituda . Niech OA i OB będą dwoma nierównoległymi osiami, leżącymi w tej samej płaszczyźnie co wektory Ej (j = 1,2), Rys. 2.1 przecinającymi się w punkcie O (rys. 2.1). Niech będzie wektorem leżącym na osi OA, natomiast – wektorem leżącym na osi OB. Wektory , zawsze można wybrać tak, aby wektor E1 był sumą wektorów , . (2.2a) . (2.2b) Podobnie Stąd (2.3) Ponieważ więc fale o amplitudach wektorowych są liniowo spolaryzowane. Najczęściej przyjmujemy, że osie OA, OB są do siebie prostopadłe. Ponieważ na wektor E0 i na osie OA, OB nie nakładaliśmy żadnych ograniczeń możemy powiedzieć, że fale spolaryzowane liniowo tworzą bazę fizyczną. Przyjmijmy, że spełnione są następujące warunki: ,. (2.4a,b) Rozpatrzymy wektor . (2.5) Zbadajmy odpowiedź na pytanie jakie warunki muszą spełniać wektory i stałe aby wektor E (2.5) określał polaryzację liniową, tj. aby spełniona była relacja . (2.6) Po podstawieniu równań (2.4a,b) i (2.6) do równania (2.5) otrzymamy związek . (2.7) Jest on spełniony jeżeli wszystkie wektory są równoległe , albo . Niech wektory , znajdujące się po prawej stronie równania (2.1) odpowiadają polaryzacji kołowej, tzn. zgodnie ze związkami (1.27) ich składowe spełniają warunki (2.8) Wektor (2.1) można teraz przedstawić w postaci . (2.9) Jak widać . (2.10a,b) Gdy to zgodnie z warunkiem (1.27a) mamy to fala jest spolaryzowana kołowo. Natomiast gdy to warunek (1.27a) nie jest spełniony, a więc fala nie jest spolaryzowana kołowo. By ustalić polaryzację fali odpowiadającej wektorowi (2.9) zbadamy iloczyn . Mamy (2.11) Gdy wektory są równoległe to ze wzoru (2.11) wynika, że . Mamy więc do czynienia z falą kołowo, albo eliptycznie spolaryzowaną. Obliczymy i . Mamy . Obliczyć jest nieco trudniej . Wykorzystamy wzór (1.10a), wtedy . Na podstawie wzoru (1.23a,b) stwierdzamy, że gdy to fala jest spolaryzowana eliptycznie. Kryterium (1.26) pozwala ustalić obieg. Po wykorzystaniu tożsamości wektorowej (1.10b) i po uwzględnieniu własności prostopadłości wektorów natężenia pola elektrycznego do kierunku propagacji fali otrzymamy Zatem gdy Natomiast warunek równoległości składników wektora prowadzi do następującej relacji Skąd wynika, że fala będąca złożeniem dwóch fal kołowo spolaryzowanych o przeciwnych obiegach jest liniowo spolaryzowana wtedy gdy § 2.2 Wektory Jonesa Niech wersory określają kierunki osi x, y i z kartezjańskiego układu współrzędnych. Wybierzemy oś z kartezjańskiego układu współrzędnych tak, by była ona równoległa do kierunku propagacji fali: , osie x i y leżą w płaszczyźnie stałej fazy i są dowolnie zorientowane. Dla takiego wyboru układu współrzędnych . Zapiszemy wektor E w postaci macierzowej Oczywiście można zastąpić ten wektor przez wektor dwuelementowy, dla którego wprowadzimy specjalne oznaczenie , zatem . Wektor będziemy nazywali zupełnym wektorem Jonesa [1]. Natomiast gdy w składowych pominiemy wspólny czynnik fazowy to będziemy mówili o wektorze Jonesa, dla którego będziemy używali oznaczenia Diraca , zatem . Dla wektora otrzymanego z (2.12a) w wyniku operacji sprzężenia hermitowskiego wprowadzimy nowe oznaczenie:. Zgodnie z tym określeniem . (2.12b) Górny wskaźnik T oznacza operację transponowania, natomiast * oznacza sprzęganie liczb zespolonych. Rozpatrzymy dwa wektory biliniową i , można im przyporządkować skalar – formę (2.13) Jak widać, zgodnie z równaniem (1.11b), gęstość energii dla fali reprezentowanej przez wektor jest proporcjonalna do iloczynu (2.14) Ponieważ znika wtedy i tylko wtedy gdy znika wektor pola elektrycznego, więc wtedy i tylko wtedy gdy . Zatem biliniowa forma (2.14) określa iloczyn skalarny. Łatwo zauważyć, że falom odpowiadającym wektorom ,, odpowiadają te same gęstości energii. Iloczyn określa normę wektora . Nie znikający wektor Jonesa jest unormowany do jedności. Dla wektorów Jonesa będziemy także używali innego oznaczenia . § 2.3 Przykłady wektorów Jonesa Rozpatrzymy przykłady wektorów Jonesa dla różnych polaryzacji. A) Znajdziemy wektor Jonesa dla światła spolaryzowanego kołowo prawoskrętnie. Dla jego oznaczenia użyjemy skrótu RCP (od angielskich słów right circular polarized). Ponieważ w tym przypadku dla wybranego przez nas układu współrzędnych związek (1.27a) przyjmuje postać , to wektorowi odpowiada wektor Jonesa Ostatni wektor można przekształcić gdzie jest odpowiednią składową wektora pola elektrycznego w bazie stanów kołowo spolaryzowanych. Wektor jest unormowany do jedności Drugi wektor bazy stanów kołowo spolaryzowanych – ma postać . Bez trudu można sprawdzić, że wektory i są ortogonalne, tj. . B) Zajmiemy się następnie zadaniem odwrotnym do powyżej rozpatrzonego. Określimy polaryzację fali odpowiadającej wektorowi Jonesa . Odpowiadają mu następujące składowe wektora pola elektrycznego: ; , (2.15) Zatem wektorowi Jonesa (2.15) odpowiadają wektory , . Sprawdzamy rodzaj polaryzacji jaka odpowiada temu wektorowi. Obliczymy iloczyn wektorowy znalezionych wektorów Z kryterium (1.26a) wynika, że fala nie jest liniowo spolaryzowana. Jak widać mamy do czynienia z polaryzacją kołową albo eliptyczną. Łatwo sprawdzić, że oraz, że , . Zatem . Na podstawie kryterium (1.23) stwierdzamy, że mamy do czynienia z falą spolaryzowaną eliptycznie. Zbadajmy kierunek obiegu tej elipsy. Ponieważ na podstawie kryterium (1.26b,c) stwierdzamy, że mamy do czynienia z falą prawoskrętnie, eliptycznie spolaryzowaną, dla której użyjemy symbolu ERP: . Oczywiście powinniśmy jeszcze określić charakterystyki odpowiedniej elipsy. Jednak nie będziemy tu zajmowali się tym zagadnieniem (por. [2]) C) Trzecie zagadnienie jest bardziej ogólne. Pokażemy, że wektory ,. (2.16a,b) określają fale eliptycznie spolaryzowane o przeciwnych skrętnościach albo dwie fale liniowo spolaryzowane w kierunkach prostopadłych. W tym celu znajdziemy wektory natężenia pola elektrycznego odpowiadające wektorom Jonesa 1) Niech , wtedy Zbadajmy iloczyny . Mamy ,. Gdy obydwie fale charakteryzowane przez wektory Jonesa są spolaryzowane eliptycznie. Zbadajmy jeszcze kierunki obiegów (skrętności). Ponieważ skrętności są przeciwne. Ostatecznie stwierdzamy, że gdy to Obliczymy jeszcze iloczyn skalarny wektorów W ten sposób doszliśmy do ważnego wniosku: Wektory o przeciwnych skrętnościach odpowiadające tej samej polaryzacji są do siebie prostopadłe. 2) Natomiast gdy to . To oznacza, że obydwu wektorom odpowiadają fale liniowo spolaryzowane, a więc spełnione są relacje , , co równoważne jest następującym związkom, które spełniają liczby m1, m2, n1, n2: Łatwo sprawdzić, że – odpowiednie fale są liniowo spolaryzowane w kierunkach prostopadłych do siebie. Liczby m1, m2, n1, n2 są zgodne z warunkiem . Stwierdzamy więc, że w przypadku polaryzacji liniowej dwóm ortogonalnym wektorom Jonesa odpowiadają prostopadłe do siebie kierunki polaryzacji (wektory są prostopadłe). § 2.4 Liniowa przestrzeń Jonesa Wektory Jonesa tworzą 2D przestrzeń liniową nad ciałem liczb zespolonych, bowiem spełnione są następujące warunki: (a) Dla operacja dodawania jest przemienna: (b) Dla operacja dodawania ma własność łączności: . (c) Dla dowolnych liczb zespolonych a, b i dowolnego wektora spełnione jest pierwsze prawo rozdzielności: . (d) Dla dowolnej liczby zespolonej a, oraz spełnione jest drugie prawo rozdzielności: . (e) Dla dowolnych liczb zespolonych a, b oraz zachodzi związek . Dla wektorów należących do zdefiniowaliśmy iloczyn skalarny (2.13). Dlatego jest przestrzenią unitarną. Będziemy przestrzeń nazywali przestrzenią Jonesa. Niezależnym ruchom fizycznym odpowiadają niezależne liniowo wektory z przestrzeni Jonesa. Ponieważ każdą bazę w można zortogonalizować, będziemy używać baz ortogonalnych. § 2.5 Uogólnienie Zauważymy, że między sprzężonymi wektorami i (2.8a) i (2.8b) istnieje antyliniowy związek taki, że [3] ,. W dalszym ciągu każdemu stanowi układu kwantowego (w naszym konkretnym przypadku – stanowi polaryzacji) będziemy przypisywać wektor stanu (nazwany przez Paula Diraca „bra”) i wektor (nazwany przez niego „ket”, bracket to po angielsku nawias). Wektory stanu należą do przestrzeni liniowych (skończenie albo nieskończenie wymiarowych – te ostatnie nazywane są przestrzeniami Hilberta). Opis dwóch stanów i związany jest z wektorami bra i i wektorami ket , , z których można utworzyć trzy iloczyny skalarne: (a) liniowy w i antyliniowy w ; (b) liniowy w i antyliniowy w ; (c) – liniowy w i antyliniowy w . Odwzorowanie F określone przez definicję (2.12a) wiąże możliwość (a) i (c): . Stąd wynika, że gdy to , tj. jest liczbą rzeczywistą. Nałożymy jeszcze dodatkowy warunek by gdy . Każdej parze wektorów i reprezentującej stan przypiszemy normę . Wprowadzenie normy pozwala zmniejszyć dowolność istniejącą między stanami układów kwantowych, a reprezentującymi je wektorami stanu. Przyjmiemy, że wektory stanu są unormowane do jedności . Jak widać pozostaje jedynie dowolność wyboru czynnika fazowego . Literatura [1] R.M.A. Azzam, N.M. Bashara, Ellipsometry and polarized light, North Holland , Amsterdam, 1977 (tłum. na j. ros. Ellipsometria i polarizowannyj swet, Mir, Moskwa, 1981, § 1.6.2. [2] F.I. Fedorow, Optika anizotropnych sred, Izdatielstwo Akademii Nauk BSSR, Minsk, 1958, R. III. [3] B. W. Medwedew, Naczała teoreticzeskoj fiziki, Nauka, Moskwa, 1977, R. III.
