Krótki wstęp do mechaniki kwantowej

Piotr Kowalczewski
III rok fizyki, e-mail: [email protected]
Krótki wstęp do mechaniki kwantowej
Spotkanie Sekcji Informatyki Kwantowej
1. Mechanika kwantowa w cytatach
If quantum mechanics hasn’t profoundly shocked you, you haven’t understood it yet.
Niels Bohr (1885-1962, duński fizyk, twórca modelu atomu)
I think I can safely say that nobody understands Quantum Mechanics.
Richard Feynman (1918-1988, fizyk teoretyk amerykański)
I do not like it, and I am sorry I ever had anything to do with it.
Erwin Schroedinger (1887-1961, fizyk austriacki, pionier mechaniki
kwantowej)
2. Notacja Diraca
Niech H będzie pewną przestrzenią Hilberta. Elementem tej przestrzeni
jest wektor |ψi określany jako ”ket”. Iloczyn skalarny przedstawiany jest
jako:
|ψi, |ϕi ∈ H −→ hψ|ϕi ∈ C.
(1)
Wektor hψ| nosi nazwę ”bra”. Iloczyn skalarny jest więc ”bra-ketem” od
słowa bracket (nawias). Związek pomiędzy ketem i bra ma postać:
hψ| = |ψi† ,
(2)
przy czym operacja † określona jest jako sprzężenie hermitowskie.
Bra hψ| jest więc obiektem matematycznym, który działając na ket |ϕi
”produkuje” liczbę zespoloną równą iloczynowi skalarnemu wektorów (ketów)
|ψi i |ϕi.
Zachodzą przy tym związki
|aϕ + bψi = a|ϕi + b|ψi.
(3)
haϕ + bψ| = āhϕ| + b̄hψ|.
(4)
dla a, b ∈ C; ϕ, ψ ∈ H. Przy czym ā, b̄ - sprzężenia zespolone.
1
Przyjmijmy, że wektory |ϕi i tworzą bazę w przestrzeni H. Wówczas wektor |ψi przedstawiony jest jako:
|ψi =
∞
X
hϕi |ψi|ϕi i.
(5)
i=1
Ket |ψi można również przedstawić macierzowo:


hϕ1 |ψi


hϕ2 |ψi  .
|ψi = 


..
.
(6)
Wówczas element bra będzie miał postać:
h
|ψi =
i
hψ|ϕ1 i hψ|ϕ2 i · · · .
(7)
Czyli będzie to macierz sprzężona i transponowana względem macierzy
(6).
Niech operator  w działaniu na ket |ϕi daje wektor |ψi, tzn.
|ψi = Â|ϕi.
(8)
Przedstawmy tą operację jako działanie operatora  na poszczególne wektory bazy |ϕi i. Zgodnie ze wzorem (5) mamy:
|ψi =
∞
X
∞
X
i=1
i=1
hϕi |ψi|ϕi i =
hϕi |Âϕi|ϕi i.
Wstawiając do wyrażenia (9) operator jednostkowy 1̂ =
otrzymujemy:
|ψi =
∞
X
(9)
P∞
j=1
hϕi |Â|ϕj ihϕj |ϕi|ϕi i.
|ϕj ihϕj |
(10)
i,j=1
Operator  w zapisie macierzowym ma więc postać:


hϕ1 |Â|ϕ1 i hϕ1 |Â|ϕ2 i · · ·


 hϕ2 |Â|ϕ1 i hϕ2 |Â|ϕ2 i · · ·  .


..
..
...
.
.
(11)
Innymi słowy, tak jak wektor przedstawiamy w pewnej abstrakcyjnej bazie za pomocą n liczb, tak samo za pomocą n 2 liczb (a konkretnie macierzy
n × n) przedstawić możemy operator. Równanie (8) będzie wyglądało więc
następująco:



 

hϕ1 |ψi
hϕ1 |Â|ϕ1 i hϕ1 |Â|ϕ2 i · · ·
hϕ1 |ϕi



 

 hϕ2 |ψi  =  hϕ2 |Â|ϕ1 i hϕ2 |Â|ϕ2 i · · ·  ·  hϕ2 |ϕi  .



 

..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
.
(12)
Przykład 1. Operacja logiczna ”negacja” działająca dla bramki 1-qubitowej
(a więc w przestrzeni C 2 ) reprezentowana jest przez operator N OT , który
ma postać macierzy 2 × 2:
2
"
0 1
1 0
#
.
(13)
Działanie operatora N OT na element przestrzeni C 2 , w tym wypadku
wektor |0i odpowiadający wartości logicznej 0 klasycznego bitu algebry Boole’a, tj.
"
|0i =
1
0
#
.
ma postać analogicznego do (12) równania:
"
0 1
1 0
# "
·
1
0
#
"
=
0
1
#
.
(14)
W skrócie, jak można było przypuszczać, mamy więc:
N OT |0i = |1i.
(15)
3. Postulaty mechaniki kwantowej
Podstawą mechaniki kwantowej jest kilka postulatów, które przyjęte są
”na wiarę” - tj. nie wiadomo dlaczego te postulaty są słuszne, natomiast
wyniki doświadczalne są z nimi zgodne. W ten sposób zbudowana jest każda
teoria fizyczna, np. mechanika klasyczna bazuje na trzech zasadach dynamiki
Newtona.
Postulat 1. Przestrzenią stanów układu jest ośrodkowa przestrzeń Hilberta
H. W każdej chwili t stan układu reprezentowany jest przez ket |ψ(t)i ∈ H.
W bazie H, tj. B = {|ϕi i}∞
i charakteryzujemy stan |ψi przez podanie
∞
układu liczb: {hϕi |ψi}i (współrzędne |ψi w bazie B).
Postulat 2. Każda mierzalna wielkość fizyczna (obserwabla) reprezentowana jest przez operator hermitowski, którego wektory własne tworzą bazę w
H.
Niech A będzie pewną wielkością fizyczną, której odpowiada operator Â
o wartościach własnych ai .
Postulat 3. Wynikiem pomiaru wielkości fizycznej A może być tylko jedna
z wartości własnych Â.
Wynik pomiaru jest zawsze liczbą rzeczywistą, dlatego operatory reprezentujące obserwable muszą być hermitowskie (wartości własne operatorów
hermitowskich są zawsze rzeczywiste).
Postulat 4. Prawdopodobieństwo otrzymania w wyniku pomiaru obserwabli
 wartości ai wynosi:
P (ai ) =
|hϕi |ψi| 2
.
hψ|ψi
3
(16)
Dla stanu unormowanego hψ|ψi = 1 będzie:
P (ai ) = |hϕi |ψi| 2 .
(17)
Przykład 2. Niech unormowany stan qubitu |ψi ∈ C 2 przedstawiony będzie
w postaci liniowej kombinacji:
|ψi = α|0i + β|1i.
(18)
Prawdopodobieństwo otrzymania w wyniku pomiaru wartości logicznej 0
wynosi:
|h0|ψi| 2 = |αh0|0i + βh0|1i| 2 = |α| 2 .
Przy czym wykorzystaliśmy fakt, że skoro wektory |0i i |1i stanowią bazę,
to są względem siebie ortogonalne, czyli h0|0i = 1 i h0|1i = 0. Analogicznie
liczymy prawdopodobieństwo otrzymania w wyniku pomiaru wartości logicznej
1:
|h1|ψi| 2 = |αh1|0i + βh1|1i| 2 = |β| 2 .
Ponieważ prawdopodobieństwo otrzymania czegokolwiek wynosi 1 (układ
musi znajdować się w jakimś stanie), dochodzimy do następującej tożsamości:
|α| 2 + |β| 2 = 1.
(19)
Przyjmijmy, że dokonaliśmy pomiaru obserwabli Â, jako wynik otrzymując wartość własną an , odpowiadającą wektorowi własnemu |ϕn i.
Postulat 5. Stanem układu po przeprowadzeniu pomiaru jest unormowany
rzut stanu |ψi na unormowany wektor własny |ϕn i.
hϕn |ψi
.
|ψi −→ |ϕn i q
|hϕn |ψi| 2
(20)
Jednym słowiem w wyniku pomiaru następuje redukcja stanu |ψi do stanu |ϕn i. Klasycznie pomiar rejestruje rzeczywistość (która istnieje tak czy
inaczej). Kwantowo pomiar rzeczywistość kreuje.
Przykład 3. Wśród proponowanych fizycznych realizacji obliczeń kwantowych ważną rolę odgrywa koncepcja Jądrowego Rezonansu Magnetycznego
(ang. NMR - Nuclear Magnetic Resonance). Wykorzystuje ona wewnętrzny
moment magentyczny cząsteczki - spin. Mówiąc obrazowo - cząsteczki posiadające spin zachowują się jak niewielkie magnesy, przy czym dwa możliwe
ustawienia (równoległe i antyrównoległe) odpowiadają dwóm stanom kwantowym tworzącym qubit (przyjmijmy: ustawienie równoległe - |1i, ustawienie
antyrównoległe - |0i).
Pokazuje to doświadczenie Sterna-Gerlacha. Idea doświadczenia wyglądała następująco: atom złota Ag lub wodoru H (oba atomy mają po jednym
elektrnonie walencyjnym, więc tylko ten jeden elektron decyduje o kierunku
spinu) wpadał pomiędzy dwa magnesy o specjalnie ukształtowanych biegunach.
4
Spin w stanie |0i zostaje odchylony do góry i pozostaje w stanie |0i. Analogicznie spin w stanie |1i zostanie odchylony do dołu i pozostaje w stanie |1i.
Natomiast spin w stanie |ψi = 12 (|0i + |1i) z prawdopodobieństwem P = 21
zostanie odchylony ku górze i znajdzie się w stanie |0i i z takim samym prawdopodobieństwem zostanie odchylony ku dołowi i znajdzie się w stanie |1i.
Postulat 6. Ewolucję układu fizycznego w czasie określa równanie Schroedingera (z czasem).
d
|ψ(t)i = Ĥ(t)|ψ(t)i.
(21)
dt
Dla pełnego rozwiązania tego równania konieczne jest określenie stanu
dla pewnej chwili t0 (warunek początkowy).
i~
4. Funkcja falowa, równanie Schroedingera
Tak samo jak zwykły wektor w przestrzeni Rn można określić przez zestaw
liczb (x1 , . . . , xi , . . . , xn ), xi ∈ R, tak wektor stanu określa się przez zestaw
liczb C. W reprezentacji położeniowej (reprezentacja - baza, w której rozkładamy odpowiednie wektory) wektor stanu |ψi jest jednoznacznie określony
przez podanie wszystkich iloczynów skalarnych hx|ψi. Skoro każdej wartości
x przypisujemy liczbę, można mówić o funkcji:
ψ(x) = hx|ψi.
(22)
Funkcja określona wyrażeniem 22 nosi nazwę funkcji falowej (w reprezentacji położeniowej).
Funkcja ψ mogłaby być miarą znalezienia cząstki w określonym punkcie w przestrzeni, jednak prawdopodobieństwo ma być liczbą rzeczywistą
i nieujemną. Pod uwagę brany jest więc kwadrat modułu wartości ψ, tzn.
|ψ(x)| 2 = ψ(x)ψ(x). Wyrażenie |ψ(x)| 2 określone jest jako gęstość prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo P znalezienia cząstki w nieskończenie małej objętości dxdydz wokół punktu wyznaczonego przez wektor ~r wynosi w takim
razie
P = |ψ(x)| 2 dxdydz.
(23)
Pewne jest, że cząstka znajduje się gdziekolwiek. Zachodzi więc (tzw.
warunek normalizacyjny):
Z
R3
|ψ(x)| 2 dxdydz = 1.
(24)
Hamiltonian (operator energii) cząstki klasycznej ma postać:
p~ 2
+ V (~r).
(25)
2m
Po skwantowaniu (tj. zastąpieniu odpowiednich wartości z mechaniki klasycznej operatorami), otrzymujemy:
H(~r, p~) =
5
p~ˆ 2
+ V̂ (~r).
(26)
2m
W reprezentacji położeniowej operatory pędu i potencjału mają odpowiednio postać (co podaję bez dowodu):
Ĥ =
p~ˆ 2 = −i~∇.
(27)
V̂ (~r) = V (~r).
(28)
Tak więc ze związków 27 i 28, równanie 26 przyjmuje postać:
−~ 2
4 + V (~r).
(29)
2m
Równanie 29 nosi nazwę równania Schroedingera (bez czasu). Innymi słowy, jest to równanie na wektory ϕE (~r i wartości własne E operatora energii.
Mamy więc:
Ĥ =
−~ 2
4ϕE (~r) + V (~r)ϕE (~r) = EϕE (~r).
2m
6
(30)