Podstawy Automatyki

1.
Wprowadzenie do techniki regulacji 1
Różnice wynikające ze sterowania w układzie otwartym i zamkniętym rozpatrzmy na
przykładzie sterowania silnika obcowzbudnego prądu stałego. Analizę tego układu
przeprowadzono przy założeniu, że dynamikę silnika obcowzbudnego prądu stałego można,
z dobrym przybliżeniem, opisać za pomocą równania różniczkowego pierwszego rzędu.
Na rys.1 przedstawiono uproszczony schemat silnika obcowzbudnego prądu stałego.
i
R

Uw=const
e
U
J

Rys. 1 Uproszczony schemat obcowzbudnego silnika prądu stałego
W układzie tym sterujemy prędkością kątowa (t) za pomocą napięcia twornika U(t).
Zależność wiążącą te wielkości można wyznaczyć korzystając z równań opisujących obwód
elektryczny i mechaniczny maszyny.
R
e
i
U
Rys. 2 Schemat obwodu elektrycznego twornika
Na rys. 2 przedstawiono schemat obwodu elektrycznego twornika uwzględniający oporność R
twornika oraz siłę elektromotoryczną indukcji e. Siła elektromotoryczna jest równa:
e  c
gdzie c – stała konstrukcyjna maszyny,
 – strumień wzbudzenia,
 – prędkość obrotowa silnika.
(1.1)
Przykład wprowadzający zaczerpnięto z podręcznika: Kaula R.: Podstawy automatyki. Wydawnictwo
Politechniki Śląskiej, Gliwice 2005.
1
2
Podstawy automatyki
Ponieważ napięcie Uw w obwodzie wzbudzenia jest stałe, stały jest także strumień
wzbudzenia  . Możemy zatem napisać:
e  k e
(1.2)
gdzie ke – stała elektromechaniczna maszyny
Stosując prawo Kirchhoffa do obwodu twornika otrzymujemy równanie:
e  k e  U  iR
(1.3)
Równanie równowagi momentów na wale silnika ma postać:
J
d
 Me  M
dt
(1.4)
gdzie: J – całkowity moment bezwładności,
Me – moment elektromagnetyczny silnika,
M – moment obciążenia
Zachodzi także zależność (1.5)
M e  cmi  k mi
(1.5)
gdzie: km – stała mechaniczna
Wobec tego podstawiając do równania (1.4) zależności (1.3) i (1.5) otrzymujemy równanie
dynamiki silnika:
JR d
1
R
  U 
M
k m k e dt
ke
ke km
(1.6)
oraz
T
gdzie: T 
d
   k uU  k o M
dt
(1.7)
JR
- stała czasowa obiektu,
km ke
R – rezystancja twornika,
ku 
1
R
; ko 
– wzmocnienia statyczne.
ke
ke km
W układzie tym sterujemy prędkością kątową (t) za pomocą napięcia twornika U(t), przy
występowaniu zakłócenia w postaci obciążenia M(t).
Przedstawiając równanie (1.7), za pomocą schematu blokowego, otrzymujemy schemat
sterowania silnika w układzie otwartym (w otwartej pętli sprzężenia zwrotnego).
1. Wprowadzenie do techniki regulacji
3
M(t)
ko
U(t)
x(t)
ku
T
d (t )
  (t )  x(t )
dt
 (t )
Rys. 3. Schemat blokowy sterowania silnika w otwartej pętli
Celem sterowania jest umożliwienie pracy silnika ze stałą, określoną prędkością zad(t).
Przeanalizujmy pracę silnika w układzie otwartym. W pierwszym etapie analizy przyjmijmy,
że znana jest dokładnie dynamika układu. Dla napięcia zasilania U(t)=U0, rozpatrzmy dwa
przypadki:
-
moment obciążenia jest równy zero,
-
moment obciążenia jest równy M(t)=M0.
W pierwszym przypadku równanie dynamiki silnika przyjmuje postać:
T
d
  k U
dt
u
(1.8)
.
0
Przy zerowych warunkach początkowych (tzn., gdy silnik startuje z prędkością (0)=0),
rozwiązanie równania różniczkowego (1.8) jest następujące (1.9):
 ( t )  k uU 0 ( 1  e

t
T
).
Dla przykładowych danych: T=2, U0=12, ku=2 przebieg (t), przedstawia rys. 4.
(1.9)
4
Podstawy automatyki
25
w[rad/s]
20
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
t[s]
Rys. 4. Przebieg prędkości kątowej silnika obcowzbudnego w układzie otwartym
Wartość prędkości kątowej w stanie ustalonym (dla t->) równa się  ust  k u U 0 . Stąd
wynika, że aby silnik pracował z zadaną prędkością (  zad =  ust ), należy go zasilać napięciem
równym: U 0 
 ust
ku
.
Sterowanie takiego układu wydaje się bardzo proste. W analizie tego przypadku poczyniliśmy
jednak założenie, że moment obciążenia jest równy zero. Prędkość w biegu jałowym jest inna
niż przy obciążeniu. Należy zatem przeanalizować sytuację, w której moment obciążenia
będzie różny od zera. W tej sytuacji dynamika układu opisana jest równaniem (1.7),
a rozwiązanie tego równania (przy zerowych warunkach początkowych) jest następujące:
 ( t )  ( k uU 0  k o M 0 )( 1  e

t
T
).
(1.10)
Ten przypadek, przy założeniu wartości momentu obciążenia M(t)=M0=6, oraz wzmocnienia
k0=1, przedstawia rys. 5.
1. Wprowadzenie do techniki regulacji
5
18
16
14
w[rad/s]
12
10
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
t[s]
Rys. 5. Przebieg prędkości kątowej silnika obcowzbudnego, w układzie otwartym, w przypadku
uwzględnienia stałego momentu obciążenia
Wartość prędkości kątowej w stanie ustalonym, przy działaniu stałego obciążenia, można
wyznaczyć z równania (1.4):
 ust  ( k uU 0  k o M 0 )  24  6  18 .
Błąd pomiędzy wartością zadaną a uzyskaną prędkością, w tym przypadku, wynosi:
    zad   ust  24  18  6 .
Im większe obciążenie, tym wartość prędkości kątowej silnika w układzie otwartym jest
mniejsza (bardziej różni się od wartości zadanej).
Analiza przeprowadzona w dwóch poprzednich przypadkach dotyczyła sterowania silnika
o znanej charakterystyce dynamicznej. Dynamika silnika zależy od wielu czynników i może
się zmieniać w trakcie długiej eksploatacji maszyny (np. starzenie się elementów
konstrukcyjnych). Przeprowadźmy analizę w przypadku, w którym wartość stałej
elektromechanicznej ke różni się od wartości wyznaczonej na początku. Załóżmy nową
wartość stałej jako: k en 
5
6
k e . Wtedy wartość stałej czasowej Tn  T , a wzmocnienia
6
5
statyczne przyjmują wartości k un 
5
5
k u oraz k on  k o .
6
6
Przebieg charakterystyki dynamicznej silnika, przy uwzględnieniu nowych wartości
parametrów w równaniu (1.2), przedstawia rys. 6.
6
Podstawy automatyki
20
18
16
w[rad/s]
14
12
10
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
t[s]
Rys. 6. Przebieg prędkości kątowej silnika obcowzbudnego, w układzie otwartym, w przypadku
zmiany właściwości dynamicznych silnika
Ustalona wartość prędkości kątowej w tym przypadku równa jest:
 ust _ n  k unU 0 
5
k uU 0  20 .
6
Nasza wiedza o maszynie i środowisku, w którym pracuje nie jest doskonała. Zakłócenia
wynikające ze zmiany obciążenia, czy też zmiany parametrów maszyny są nierozerwalnie
zwiazane z jej pracą. Jak można zauważyć sterowanie w układzie otwartym, przy
występowaniu zakłóceń, nie daje zadowalających rezultatów.
Biorąc to wszystko pod uwagę, rozpatrzmy sterowanie silnika w układzie zamkniętym
(układzie ze sprzężeniem zwrotnym - rys. 7).
M(t)
ko
 zad (t )
U(t)
K
x(t)
ku
T
d (t )
  (t )  x(t )
dt
obiekt
regulat or
kcz
Rys. 7. Schemat blokowy sterowania silnika w zamkniętej pętli sprzężenia zwrotnego
 (t )
1. Wprowadzenie do techniki regulacji
7
W układzie tym mierzymy wartość prędkości kątowej (t) (za pomocą tachometru)
i porównujemy (odejmujemy) w węźle sumacyjnym z wartością zadaną zad(t). W celu
otrzymania aktualnej wartości napięcia zasilającego silnik, sygnał błędu jest wzmacniany,
przez wzmocnienie regulatora proporcjonalnego Kp. Porównanie prędkości najczęściej
realizowane jest w woltach, ze względu na możliwość zastosowania liniowego przetwornika
pomiarowego prędkość-napięcie. Wzmocnienie przetwornika określono na schemacie
symbolem kcz. Zastosowany w analizie regulator proporcjonalny jest najprostszym elementem
regulatora klasycznego PID. Zastosowano go w celu uproszczenia analizy układu.
Zatem równanie dynamiki silnika w układzie z rys. 7 przyjmuje postać:
T
d
 (1  k u k cz K )  k u K zad  k o M ,
dt
(1.11)
a rozwiązanie tego równania:
 (t )  (

k u K zad  k o M
)(1  e
1  k u k cz K
(1 k u k cz K )
T
t
).
(1.12)
Przeprowadźmy analogiczne rozważania, jak dla układu otwartego. Rozpatrzmy najpierw
przypadek, w którym moment obciążenia jest równy zero. Prędkość kątowa wyznaczona dla
zerowego momentu obciążenia jest następująca:

k u K zad
)(1  e
1  k u k cz K
 (t )  (
(1 k u k cz K )
T
t
).
(1.13)
Przebieg prędkość kątowej, dla przyjętych wartości kcz=1, K=5 oraz zad=24, przedstawiono
na rys. 8.
25
w[rad/s]
20
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
t[s]
Rys. 8. Przebieg prędkości kątowej, w układzie zamkniętym, przy zerowym obciążeniu
8
Podstawy automatyki
Wartość prędkości kątowej w stanie ustalonym, dla zerowego obciążenia, można wyznaczyć
z zależności:
 ust 
k u K zad
.
1  k u k cz K
(1.14)
Dla przyjętych w analizie wartości parametrów, prędkość kątowa w stanie ustalonym
przyjmuje wartość ust=21,82.
Uwzględniając obciążenie różne od zera M(t)=M0, otrzymujemy zależność określającą
prędkość kątową, za pomocą równania (1.6). Przebieg prędkości kątowej w tym przypadku
przedstawiono na rys. 9.
25
w[rad/s]
20
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
t[s]
Rys. 9. Przebieg prędkości kątowej w układzie zamkniętym z uwzględnieniem obciążenia
Wartość prędkości kątowej w stanie ustalonym, przy działaniu stałego obciążenia, można
wyznaczyć z zależności:
 ust 
k u K zad  k o M 0
.
1  k u k cz K
(1.15)
Dla przyjętych w analizie wartości parametrów, prędkość kątowa w stanie ustalonym
przyjmuje wartość ust=21,27.
W przypadku trzecim założono inne wartości parametrów maszyny od wcześniej
zidentyfikowanych. Analogicznie, jak dla układu otwartego, wartość stałej czasowej
Tn 
5
5
5
T , wzmocnienia statyczne: k un  k u oraz k on  k o .
6
6
6
1. Wprowadzenie do techniki regulacji
9
25
w[rad/s]
20
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
t[s]
Rys. 10. Przebieg prędkości kątowej, w układzie zamkniętym, w przypadku zmiany właściwości
dynamicznych silnika
Wartość prędkości kątowej w stanie ustalonym, dla zerowego obciążenia, można wyznaczyć
z zależności:
 ust 
k un K zad
1  k un k cz K
(1.16)
Dla przyjętych w analizie wartości parametrów, prędkość kątowa w stanie ustalonym
przyjmuje wartość ust=21,43. Jak można zauważyć dla wszystkich rozpatrywanych
przypadków sterowania w układzie zamkniętym, w odróżnieniu od sterowania w układzie
otwartym, wartości prędkości kątowej były zbliżone i nieznacznie różniły się od wartości
zadanej.
Podsumowanie
Wnioski wynikające z analizy rozpatrywanego przykładu są następujące:
-
stosowanie układu zamkniętego przeciwdziałała wpływowi zakłóceń, działających na
obiekt regulacji,
-
dynamika (określona przez stałą czasową układu) w układzie zamkniętym jest dużo lepsza
niż w układzie otwartym,
-
w przypadku zastosowania bardziej złożonej struktury regulatora, błąd regulacji można
sprowadzić do zera.
W omawianym przykładzie działanie układu regulacji zostało przedstawione w sposób
poglądowy. W celu precyzyjnego wyjaśnienia istoty działania układów regulacji, analizy
10
Podstawy automatyki
i syntezy tych układów, w kolejnych rozdziałach, zostaną przedstawione podstawy teorii
regulacji.
Teoria regulacji jest obszerną dziedziną nauki o sterowaniu w układach ze sprzężeniem
zwrotnym. Do głównych zadań teorii regulacji należą:
-
metody opisu właściwości dynamicznych elementów automatyki,
-
metody identyfikacji obiektów sterowania,
-
stabilność układów automatyki,
-
projektowanie układów regulacji,
-
metody analizy i korekcji układów regulacji.