Zbiór zadan z rachunku prawdopodobienstwa i statystyki

Zbiór zadań z rachunku
prawdopodobieństwa i statystyki
matematycznej
Wojciech Młocek
[email protected]
Kamila Piwowarczyk
[email protected]
Agnieszka Rutkowska
[email protected]
Uniwersytet Rolniczy w Krakowie
Katedra Zastosowań Matematyki
kzm.ur.krakow.pl
Kraków 2007 - 2011
Spis treści
Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1. Rachunek prawdopodobieństwa . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa . . . . . . . .
1.2. Prawdopodobieństwo geometryczne . . . . . . . . . . .
1.3. Schemat Bernoulliego . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Prawdopodobieństwo warunkowe. Zdarzenia niezależne
1.5. Prawdopodobieństwo całkowite. Wzór Bayesa . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
4
4
6
6
7
2. Zmienne losowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Zmienne losowe dyskretne . . . . . . . . . . . .
2.2. Zmienne losowe ciągłe . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Nierówność Czebyszewa. Twierdzenia graniczne
2.4. Estymatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
9
11
16
19
3. Charakterystyki próby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
4. Przedziały ufności . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1. Przedziały ufności dla średniej . . . . . . .
4.2. Przedziały ufności dla wariancji i odchylenia
4.3. Przedziały ufności dla wskaźnika struktury
4.4. Minimalna liczebność próby . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
standardowego
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
23
23
24
25
25
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
27
27
29
32
33
34
35
6. Nieparametryczne testy istotności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
7. Korelacja i regresja liniowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
8. Analiza wariancji z klasyfikacją pojedynczą . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
Dodatek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wzory statystyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tablice statystyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Katalog wybranych rozkładów prawdopodobieństwa
Zasady tworzenia szeregów rozdzielczych . . . . . . .
Charakterystyki liczbowe próby . . . . . . . . . . . .
Spis oznaczeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
48
48
49
55
56
57
58
Odpowiedzi do zadań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
5. Parametryczne testy istotności . . . . . . . . . . . . .
5.1. Testy istotności dla średniej . . . . . . . . . . . .
5.2. Testy istotności dla dwóch średnich . . . . . . . .
5.3. Testy istotności dla wariancji . . . . . . . . . . .
5.4. Testy istotności dla dwóch wariancji . . . . . . .
5.5. Testy istotności dla wskaźnika struktury . . . . .
5.6. Testy istotności dla dwóch wskaźników struktury
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Wstęp
Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej jest przeznaczony dla
studentów kierunków przyrodniczych i technicznych. Podlega on aktualizacji, bieżąca wersja
znajduje się na stronie kzm.ur.krakow.pl/dydaktyka.html.
Zbiór składa się z 8 rozdziałów poświęconych m.in. rachunkowi prawdopodobieństwa, zmiennym
losowym, charakterystykom próby, przedziałom ufności, parametrycznym i nieparametrycznym
testom istotności, korelacji i regresji liniowej, analizie wariancji. Na końcu zbioru zamieszczony
został dodatek, który zawiera wzory i tablice statystyczne, charakterystykę niektórych rozkładów
prawdopodobieństwa, zasady tworzenia szeregów rozdzielczych oraz charakterystyki liczbowe
próby.
Większość zadań posiada odpowiedzi. Ostateczny wynik w odpowiedziach podawany z przybliżeniem świadczy o dokonywaniu ich z dokładnością do 2-go lub 3-go miejsca po przecinku na
każdym etapie obliczeń. Jedynie w rozdziale „Charakterystyki próby” zaokrąglano je z dokładnością o jeden rząd wyższą niż wartości próby.
Autorzy będą wdzięczni za wszelkie uwagi i sugestie dotyczące zadań lub odpowiedzi. Uwagi
można przesyłać na adres [email protected].
Autorzy
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
1. Rachunek prawdopodobieństwa
1.1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
1. Egzaminator przygotował 20 pytań, z których zdający losuje 3. Jakie jest prawdopodobieństwo, że uczeń dobrze odpowie na 3 pytania, jeżeli umie odpowiedzieć na połowę pytań.
2. Z urny, w której jest 13 kul białych i 7 czarnych losujemy 2 kule
a) ze zwrotem,
b) bez zwrotu.
Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że obie kule będą białe.
3. Z grupy studenckiej liczącej 30 osób w tym 20 chłopców wybrano delegację złożoną z 5
osób, przy czym rozważano różne możliwości liczby chłopców i dziewcząt w delegacji,
w każdym razie liczby różne od zera. Obliczyć prawdopodobieństwo, że do delegacji będą
wybrane najwyżej 3 dziewczyny.
4. Z talii złożonej z 52 kart losujemy jedną. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosowana
karta jest damą lub królem.
5. Rzucamy kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w jednym rzucie uzyskano
liczbę oczek podzielną przez trzy lub pięć?
6. Spośród liczb 5, 6, 7, 8, 9 losujemy kolejno dwie bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb jest nie większa od 13?
7. W przetargu bierze udział 5 firm. Prawdopodobieństwo tego, że wygra firma A jest równe
0,25, natomiast, że wygra firma B - 0,4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przetarg wygra
firma A lub B?
8. Wykonujemy jeden rzut kostką sześcienną do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia
przeciwnego do zdarzenia polegającego na tym, że otrzymaliśmy jedno lub trzy oczka?
9. Z cyfr 1, 2, . . . , 9 losujemy bez zwracania trzy cyfry x, y, z i tworzymy liczbę trzycyfrową
xyz. Obliczyć prawdopodobieństwo, że otrzymamy liczbę mniejszą od 555.
10. Na dziesięciu klockach wyrzeźbiono litery: a, a, k, s, s, t, t, t, y, y. Bawiąc się nimi dziecko
układa je w rząd. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że przypadkowo złoży ono słowo
„statystyka”.
1.2. Prawdopodobieństwo geometryczne
11. Na koło o promieniu R losowo ”rzucono” punkt. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że
punkt trafi do wnętrza
a) kwadratu wpisanego w koło,
b) trójkąta równobocznego wpisanego w koło.
Zakładamy, że prawdopodobieństwo trafienia punktu w daną część koła jest proporcjonalne
do pola tej części i nie zależy od jej położenia w kole.
12. Wybieramy losowo punkt (x, y) z kwadratu [0, 1] × [0, 1]. Jakie jest prawdopodobieństwo,
że jego współrzędne będą spełniały nierówność y < x2 ?
13. Na odcinku OA o długości L na osi liczbowej OX, losowo wybrano punkt B. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że mniejszy z odcinków OB i BA będzie miał długość większą niż
1
3 L. Zakładamy, że prawdopodobieństwo trafienia punktu na odcinek jest proporcjonalne
do długości odcinka i nie zależy od jego położenia na osi liczbowej OX.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
1. Rachunek prawdopodobieństwa
5
14. Wewnątrz danego odcinka o długości a obieramy losowo 2 punkty: jeden na lewo, a drugi na
prawo od środka odcinka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odległość między wybranymi
punktami jest mniejsza niż 31 a?
15. Wewnątrz danego odcinka o długości a obieramy na ”chybił trafił” dwa punkty. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że odległość między punktami jest mniejsza niż 13 a?
16. Na płaszczyźnie poprowadzono proste równoległe. Odległość między nimi jest stała i równa
d. Na płaszczyznę rzucamy igłę (tak cienką, że może być interpretowana jako odcinek)
o długości l, przy czym l < d. Jakie jest prawdopodobieństwo, że igła przetnie jedną
z wykreślonych prostych? (Jest to tzw. zadanie Buffona)
17. Parę liczb (b, c) wybrano losowo z prostokąta [0, 2]×[0, 4]. Jakie jest prawdopodobieństwo,
że pierwiastki równania x2 + 2bx + c = 0 są rzeczywiste?
18. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwiastki równania x2 + 2bx + c = 0 są rzeczywiste,
jeśli liczby b i c zostały wybrane losowo z przedziału [0, 1]?
19. Parę liczb (a, b) wybrano losowo z prostokąta [−1, 1]2 . Oblicz prawdopodobieństwo, że
równanie ax2 + bx + 1 = 0 ma
a) pierwiastki rzeczywiste,
b) pierwiastki równe,
c) pierwiastki rzeczywiste dodatnie.
20. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt kwadratu {|x| < 1, |y| < 1} jest
punktem leżącym wewnątrz okręgu x2 + y 2 = 1?
21. Dwoje znajomych umawia się w pewnym miejscu. Każdy ma przyjść w dowolnej chwili
między godz. 15.00, a 16.00 i czekać na drugiego przez 20 minut. Jakie jest prawdopodobieństwo, że się spotkają?
22. Drewniane pale mają losową długość L, przy czym największa długość wynosi 12 m. Pale
są przeznaczone do wbijania w ziemię, której skalna warstwa stanowiąca opór znajduje się
na losowej głębokości H, której maksimum wynosi 10 m. Zaproponować przestrzeń zdarzeń
elementarnych i podać jej interpretację geometryczną. Zilustrować następujące zdarzenia
i obliczyć ich prawdopodobieństwa:
a) długość losowo wziętego pala jest większa od głębokości, na której znajduje się skalna
warstwa,
b) głębokość skalnej warstwy przekroczy 8 m,
c) długość losowo wziętego pala przekroczy 8 m.
23. Przy projektowaniu przepustu odprowadzającego wodę z 2 oddzielnych obszarów A i B
założono, że ilość wody pochodząca z A może wahać się w granicach 0−900 dm3 /s, natomiast z B: 0−1500 dm3 /s. Obliczyć prawdopodobieństwo, że ilość wody łącznie z obu
obszarów przekroczy 2000 dm3 /s.
24. Z przedziału (0, π) wybrano losowo punkty x i y. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że
sin x ­ 2y.
25. Dwa punkty A i B zostały wybrane losowo z I ćwiartki układu współrzędnych, a następnie
każdy z nich połączono z początkiem O układu współrzędnych. Obliczyć prawdopodobieństwo, że obie proste będą nachylone do siebie pod kątem mniejszym niż π4 .
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
6
Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej
1.3. Schemat Bernoulliego
26. Dziesięciu wyborowych strzelców celuje do lecącego samolotu. Prawdopodobieństwo trafienia samolotu dla każdego z nich jest stałe i wynosi p. Obliczyć prawdopodobieństwo
tego, że samolot zostanie trafiony.
27. Rzucamy 5 razy monetą symetryczną. Jakie jest prawdopodobieństwo trzykrotnego wyrzucenia orła?
28. Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A w każdym doświadczeniu jest równe 0,2. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że w ciągu 9 niezależnych doświadczeń zdarzenie A zajdzie 6 razy
w dowolnej kolejności.
29. Prawdopodobieństwo trafienia do tarczy w pojedynczym strzale wynosi 0,25. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że na 6 strzałów 2 będą trafione?
30. Rzucamy trzykrotnie symetryczną monetą. Niech zdarzenie A polega na tym, że wypadła
co najmniej jedna reszka, a zdarzenie B, że wypadły same reszki. Znaleźć P (A ∪ B) oraz
P (A ∩ B).
31. Zmienna losowa X ma rozkład B(50, 0, 1). Obliczyć P (X = 5). Wynik dokładny porównać
z wartością przybliżoną uzyskaną z prawa małych liczb Poissona.
1.4. Prawdopodobieństwo warunkowe. Zdarzenia niezależne
32. W urnie znajduje się 6 kul czarnych i 4 białe. Wyciągamy losowo dwa razy po jednej kuli
a) ze zwrotem kuli do urny po pierwszym wyjęciu,
b) bez zwrotu.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że druga wylosowana kula będzie biała, jeśli wiadomo, że
pierwsza wylosowana była biała.
33. Z liczb 2, 3, 15, 30 losujemy jedną liczbę. Sprawdzić, czy zdarzenia
A - wylosowana liczba jest podzielna przez 2,
B - wylosowana liczba jest podzielna przez 3
są niezależne.
34. Rzucamy dwa razy kostką do gry. Niech A oznacza zdarzenie „suma wyrzuconych oczek
równa się 8”, zaś B zdarzenie „w pierwszym rzucie wypadło 6 oczek”. Ustalić, czy zdarzenia
A i B są niezależne.
35. Z talii 52 kart wyciągamy losowo jedną. Czy zdarzenia
A - wyciągnięcie asa,
B - wyciągnięcie karty koloru czerwonego
są niezależne?
36. Prawdopodobieństwo, że cena pewnego towaru pójdzie jutro w górę wynosi 0,3, a prawdopodobieństwo, że cena srebra pójdzie w górę wynosi 0,2. Wiadomo ponadto, że w 6%
przypadków obie ceny - towaru i srebra idą w górę. Czy cena towaru i cena srebra są
niezależne?
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
1. Rachunek prawdopodobieństwa
7
1.5. Prawdopodobieństwo całkowite. Wzór Bayesa
37. Przed konkursem ogłoszono listę 200 pytań z dziedziny D1 , 100 pytań z dziedziny D2 oraz
100 pytań z dziedziny D3 . Umiemy odpowiedzieć na 150 pytań z dziedziny D1 , na wszystkie
pytania z dziedziny D2 oraz na 80 pytań z dziedziny D3 . Jakie jest prawdopodobieństwo,
że podczas konkursu odpowiemy na losowo zadane pytanie?
38. W magazynie znajdują się żarówki pochodzące z dwóch fabryk. 6% pochodzi z fabryki I.
Wśród żarówek z fabryki I jest 1% wadliwych, a spośród żarówek z fabryki II 2% wadliwych. Z magazynu pobrano losowo jedną żarówkę, która okazała się wadliwa. Jakie jest
prawdopodobieństwo tego, że ta żarówka została wyprodukowana przez fabrykę II?
39. Fabryka chemiczna jest wyposażona w system alarmowy. W razie zagrożenia system alarmowy działa w 95% przypadków. Prawdopodobieństwo, że system włączy się, gdy nie
ma żadnego zagrożenia jest równe 0,02. Rzeczywiste zagrożenie zdarza się rzadko − jego
prawdopodobieństwo wynosi 0,004. Gdy odzywa się system alarmowy, jakie jest prawdopodobieństwo, że naprawdę istnieje zagrożenie?
40. Około 10% studentów i 15% studentek pali papierosy. Z populacji liczącej 50 studentów
i 100 studentek wylosowano osobę palącą papierosy. Obliczyć prawdopodobieństwo, że nie
jest to mężczyzna.
41. Wiadomo, że 55% mężczyzn i 70% kobiet nie zdaje egzaminu praktycznego na prawo jazdy
za pierwszym razem. Wybrana losowo osoba nie zdała egzaminu. Zakładając, że liczba zdających egzamin kobiet i mężczyzn była taka sama, obliczyć jakie jest prawdopodobieństwo
tego, że wybraną osobą jest kobieta.
42. Dane są trzy urny. W pierwszej urnie są 3 kule białe i 1 czarna, w drugiej 4 białe i 2 czarne,
w trzeciej 2 białe i 2 czarne. Zakładając, że wylosowanie kuli z każdej urny jest jednakowo prawdopodobne, obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosowana kula, która okazała się
koloru białego pochodzi z urny pierwszej.
43. Na egzaminie z matematyki 40% stanowią zadania z algebry, 30% − zadania z geometrii,
natomiast pozostałe − to zadania z rachunku prawdopodobieństwa. Wśród tych zadań
łatwe stanowią odpowiednio: 1%, 2%, i 3%. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że jeśli
losowo wybrane zadanie jest trudne, to jest zadaniem z rachunku prawdopodobieństwa.
44. Długoletnie doświadczenia wskazują na to, że część pisemna pewnego egzaminu jest istotnie
trudniejsza − 60% zdających, od części ustnej − 95% zdających. Aby zdać egzamin, trzeba
pozytywnie zaliczyć obie części, obowiązuje przy tym zasada, że student, który nie zaliczył
części pisemnej, nie jest dopuszczony do części ustnej. Obliczyć prawdopodobieństwo tego,
że osoba, która nie zdała egzaminu, nie zaliczyła części pisemnej.
45. Firma poszukująca złóż ropy naftowej zamówiła test sejsmiczny w celu ustalenia, czy jest
prawdopodobne, że w pewnym rejonie wierceń znajdują się złoża. Znana jest wiarygodność
testu: jeżeli w miejscu wiercenia ropa występuje, test wskazuje to w 85% przypadków,
jeżeli ropy nie ma, test omyłkowo wykazuje jej występowanie w 10% przypadków. Firma
poszukująca złóż jest przekonana, że prawdopodobieństwo wystąpienia ropy w badanym
terenie wynosi 0,4. Jeżeli test wykazał występowanie ropy, jakie jest prawdopodobieństwo,
że w badanym terenie ropa rzeczywiście występuje?
46. Do eliminacji sportowych na uczelni wybrano z I roku 4 studentów, z II − 6, a z III −
5 studentów. Prawdopodobieństwo, że student I roku dostanie się do drużyny uczelnianej
wynosi 0,9, dla II i III roku jest one równe 0,7 i 0,8.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany student z lat I − III dostanie się
do drużyny uczelnianej?
b) Pewien student dostał się do drużyny uczelnianej. Z którego był najprawdopodobniej
roku?
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
8
Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej
47. W zakładzie znajdują się maszyny typu A, B, C produkujące odpowiednio 5%, 3% i 1%
braków. Z całej masy towarowej wybieramy losowo jedną sztukę. Obliczyć prawdopodobieństwo, że
a) jest ona brakiem,
b) pochodzi od B, jeśli nie okazała się brakiem?
48. Mamy trzy kostki do gry, które zostały sfałszowane tak, że częstość wyrzucenia szóstki
pierwszą kostką wynosi 20%, drugą kostką 25% i trzecią 30%. Wybieramy losowo jedną
kostkę i wyrzucamy 6. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wybraliśmy trzecią kostkę.
49. Wybranej grupie studentów zadano pytanie, czy ściągają na egzaminach ze statystyki.
Ponieważ wielu studentów nie chciało udzielić odpowiedzi, zastosowano metodę „odpowiedzi losowej” polegającej na tym, że każdy ze studentów rzuca monetą. Jeżeli wypadnie
orzeł i student nie ściąga, powinien odpowiedzieć „nie”, w pozostałych przypadkach mówi
„tak”. Załóżmy, że 30% studentów ściąga na egzaminie. Jakie jest prawdopodobieństwo,
że losowo wybrana osoba odpowie „nie” na zadane pytanie?
50. Pewna drużyna futbolowa rozgrywa 70% meczów po południu, a 30% późnym wieczorem.
Wiadomo ponadto, że wygrywa 50% meczów popołudniowych i 90% wieczornych. Drużyna
wygrała mecz. Jakie jest prawdopodobieństwo, że był to mecz grany późnym wieczorem?
51. Trzech dostawców dostarcza do punktu skupu grzyby. Dostawca I dostarczył 20% wszystkich łubianek, a w tej partii było 80% z borowikami, dostawca II dostarczył 30% łubianek
wśród nich było 50% z borowikami, a wśród łubianek ostatniego było 40% z borowikami.
a) Wyznaczyć prawdopodobieństwo wylosowania łubianki z borowikami spośród wszystkich dostarczonych do punktu skupu.
b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrana przez nas łubianka z borowikami pochodzi
od I dostawcy?
52. Prawdopodobiestwo tego, że w czasie pracy komputera nastąpi awaria: procesora, pamięci,
urządzeń WE-WY mają się do siebie tak, jak 3 : 2 : 5. Prawdopodobieństwa wykrycia awarii w tych urządzeniach są odpowiednio równe 0, 8, 0, 9, 0, 9. Znaleźć prawdopodobieństwo,
że awaria w komputerze zostanie wykryta.
53. Na 100 mężczyzn pięciu, a na 1000 kobiet dwie nie rozróżniają kolorów. Z grupy, w której
jest 3 razy więcej mężczyzn niż kobiet wylosowano jedną osobę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana osoba
a) jest daltonistą,
b) jest kobietą, jeśli jest daltonistą,
c) jest mężczyzną, jeśli nie jest daltonistą?
54. Do pudełka włożono trzy normalne monety i jedną fałszywą, w której awers i rewers są
reszkami. Losowo wyciągamy jedną monetę i rzucamy ją. Jakie jest prawdopodobieństwo,
że wyciągnęliśmy fałszywą, jeśli wypadła reszka?
55. Zaobserwowano, że w pewnym drzewostanie występuje 30% buka, 60% brzozy i reszta
grabu. Na hubiaka pospolitego zapadło 10% buków, 5% brzóz i 1% grabów. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że losowo wybrane drzewo
a) jest zdrowe,
b) jest bukiem, jeśli jest chore.
56. Szansa zapadnięcia na pewną chorobę wynosi 0,001. Test medyczny wykrywa chorobę
u osoby chorej z prawdopodobieństwem 0,99, a w przypadku osoby zdrowej prawdopodobieństwo uzyskania wyniku dodatniego wynosi 0,02. Jakie jest prawdopodobieństwo,
że
a) test dał wynik ujemny u losowo wybranej osoby,
b) osoba, w przypadku której test dał wynik dodatni, jest chora?
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
2. Zmienne losowe
2.1. Zmienne losowe dyskretne
57. Z urny zawierającej 3 kule białe i 6 czarnych losowo wyjęto dwie. Niech wartością zmiennej losowej X będzie liczba wyjętych kul białych. Znaleźć funkcję prawdopodobieństwa
i dystrybuantę zmiennej X oraz obliczyć jej wariancję.
58. Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela:
xi
pi
a
0,4
1
0,1
3
0,3
4
b
Wiadomo, że EX = 13
5 . Wyznaczyć a i b oraz obliczyć DX.
59. Dana jest dystrybuanta zmiennej losowej skokowej X:
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
x
(−∞, 0]
(0, 1]
(1, 2]
(2, 3]
(3, 4]
(4, +∞)
F (x)
0
0,12
0,44
0,62
0,78
1
a) Wyznaczyć jej funkcję rozkładu prawdopodobieństwa.
b) Obliczyć EX oraz DX.
c) Obliczyć P (1 < X ¬ 3), P (X = 21 ), P (X > 5).
Rzucamy 5 razy monetą. Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie wyrzuconych reszek. Znaleźć rozkład X oraz obliczyć D2 X.
W partii składającej się z 6 detali znajdują się 4 detale standardowe. Losowo wybrano
3 detale. Znaleźć rozkład dyskretnej zmiennej losowej X − liczby standardowych detali
wśród wybranych. Obliczyć EX i D2 X.
W urnie znajduje się 8 kul, 3 białe i 5 czarnych. Wyciągamy losowo 3 kule. Niech zmienna
losowa X przyjmuje wartości równe liczbie wylosowanych kul czarnych. Znaleźć funkcję
rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej X.
Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ = 3. Obliczyć P (X ­ 3).
Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z wartością oczekiwaną 40 i wariancją 30.
Znaleźć n i p.
Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ = 2. Znaleźć wariancję zmiennej
losowej Z = 2X − 3.
Zmienna losowa Z ma rozkład dwumianowy z parametrami n = 10, p = 31 . Obliczyć
P (Z > 2).
Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela:
xi
pi
10
0,1
a
0,2
30
0,3
40
0,3
50
b
Wiadomo, że EX = 31. Wyznaczyć a i b oraz obliczyć D2 X.
68. Zmienna losowa Y ma rozkład Bernoulliego z parametrami n = 900, p = 0, 1. Znaleźć
odchylenie standardowe zmiennej losowej X = 3Y + 2.
69. Dwie rozróżnialne sześcienne kostki do gry rzucamy jednocześnie. Zmienna losowa X przyjmuje wartości równe wartości bezwzględnej różnicy oczek. Znaleźć
a) rozkład zmiennej X,
b) medianę oraz dominantę zmiennej X.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
10
Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej
70. Na drodze ruchu pociągów znajdują się w znacznej odległości od siebie 4 semafory, z których każdy (wobec znacznej odległości niezależnie od innych) zezwala na przejazd z prawdopodobieństwem p = 0, 8. Niech X oznacza liczbę semaforów zezwalających na przejazd
i poprzedzających pierwsze zatrzymanie lub stację docelową. Znaleźć
a) funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej X,
b) momenty centralne rzędu pierwszego, drugiego i trzeciego zmiennej X,
c) P (X > 2), P (X = 3), P (0 < X ¬ 4).
71. Zmienna losowa X przyjmuje trzy wartości: 0, 1 i 2. Wiadomo, że EX=1 oraz EX 2 =1,5.
Wyznaczyć rozkład zmiennej X.
72. Z grupy 3 mężczyzn i 5-ciu kobiet losowo wybrano 2-osobowy zarząd. Niech wartością
zmiennej losowej X będzie liczba kobiet w zarządzie. Znaleźć funkcję rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej X oraz wyznaczyć medianę i dominantę.
73. W pewnym drzewostanie zebrano informacje o liczbie nabiegów korzeniowych:
74.
75.
76.
77.
xi
0
1
2
3
4
pi
0,1
0,3
0,3
0,2
0,1
Niech X oznacza liczbę nabiegów korzeniowych w losowo wybranym drzewie.
a) Znaleźć dystrybuantę zmiennej X i naszkicować jej wykres.
b) Obliczyć EX oraz D2 X.
c) Obliczyć P (X > 2), P (1 6 X 6 4).
W partii złożonej z 10 produktów znajdują się 3 produkty wadliwe. Wybrano losowo 2
produkty. Znaleźć rozkład liczby produktów wadliwych (wśród wybranych), dystrybuantę
i wartość oczekiwaną.
Prawdopodobieństwo zajścia pewnego zdarzenia w pojedynczej próbie jest równe p. Próby
przeprowadzane są dopóty, dopóki zdarzenie zajdzie. Znaleźć rozkład liczby przeprowadzonych prób oraz EX.
Rzucamy monetą aż do pierwszego wypadnięcia orła. Niech X oznacza liczbę rzutów.
Znaleźć rozkład X, dystrybuantę oraz EX.
Dana jest funkcja prawdopodobieństwa pewnej zmiennej X:
xi
-5
-2
0
1
3
8
pi
0,1
0,2
0,1
0,2
c
0,1
Wyznaczyć
a) stałą c,
b) dystrybuantę i jej wykres,
c) EX, D2 X, DX,
d) P (X < 0), P (X ¬ 0), P (X < 4), P (X ¬ 4), P (−2 ¬ X < 4), P (X = 2), P (X = 3),
P (−6 < X ¬ 0), P (1 < X ¬ 8).
78. Dana jest dystrybuanta pewnej zmiennej losowej X:
F (x) =

0
dla x ¬ 2,







 0, 3 dla 2 < x ¬ 4,
0, 7 dla 4 < x ¬ 6,




0, 9 dla 6 < x ¬ 7,




1
dla x > 7.
Narysować jej wykres, wyznaczyć rozkład, obliczyć EX, D2 X, DX, P (X > 1),
P (X ­ 0, 5), P (−1 < X < 2), P (X ­ 7).
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
2. Zmienne losowe
11
79. Gramy z drugą osobą, na przykład z bankierem w następującą grę: jeśli w rzucie kostką
wypadnie parzysta liczba oczek, bankier płaci nam tyle złotych, ile wypadło na kostce,
a jeśli nieparzysta - my płacimy bankierowi tyle, ile wypadło na kostce. Znaleźć rozkład
kwoty uzyskanej przez nas w pojedynczym rzucie. Obliczając jej wartość oczekiwaną rozstrzygnąć, czy można przypuszczać, że gra będzie dla nas opłacalna.
80. Wśród wszystkich dzieci szkolnych z pewnego województwa przeprowadzono ankietę: ile
razy byłeś na wakacjach w ciągu ostatnich 4 lat. 20% odpowiedziało 0 razy, 14% − 1 raz,
43% − 2 razy, 19 % − 3, a reszta − 4. Zmienna X jest określona jako: liczba wyjazdów
na wakacje w ciągu ostatnich 4 lat. Znaleźć jej rozkład, narysować wykres dystrybuanty,
obliczyć EX, D2 X, P (X > 3), P (X ¬ 1), P (0 ¬ X ¬ 4).
81. Prawdopodobieństwo urodzenia się dziewczynki w pewnej populacji wynosi 0,51. W zbiorze
rodzin posiadających troje dzieci określamy zmienną X− liczba dziewczynek w rodzinie.
Znaleźć rozkład X, obliczyć średnią i wariancję liczby dziewczynek oraz prawdopodobieństwo, że w rodzinie z trójką dzieci jest co najmniej jeden chłopiec.
82. Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ = 2. Wyznaczyć kwartyle zmiennej X.
83. Korzystając z własności wartości oczekiwanej zmiennej losowej X wykazać, że
D2 X = EX 2 − E 2 X.
2.2. Zmienne losowe ciągłe
84. Zmienna losowa Z ma rozkład N (0, 1). Obliczyć P (Z > 0), P (|Z| < 2), P (|Z| > 1) oraz
kwantyle x0,1 , x0,7 , x0,97 .
85. Zmienna losowa X podlega rozkładowi N (3, 5). Obliczyć P (|X − 1| > 1).
86. W populacji studentów w Krakowie wzrost ma rozkład N (170, 8). Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wzrost przypadkowo napotkanego studenta
a) będzie większy od 166,
b) będzie należał do przedziału (168, 174),
c) będzie równy co najwyżej 154.
Każde z prawdopodobieństw zinterpretować na dwóch wykresach funkcji gęstości rozkładu
normalnego.
87. Stwierdzono, że błąd podczas wykonywania pomiaru ma rozkład N (1, 0, 25) (mm). Jakie
jest prawdopodobieństwo, że wykonując ten pomiar pomylimy się o
a) więcej niż 0,5 mm,
b) mniej niż 0,75 mm,
c) co najwyżej 0,25 mm?
88. Rozkład długości liścia rośliny pewnego gatunku jest N (14, 2). Obliczyć prawdopodobieństwo, że losowo wybrany liść ma długość
a) większą niż 17,
b) równą co najmniej 12 i co najwyżej 19,
c) równą co najwyżej 13.
Prawdopodobieństwa zinterpretować na 2 wykresach.
89. Pierśnica buka w pewnym drzewostanie ma rozkład N (30, 4). Jaki procent buków ma
pierśnicę większą niż 40?
90. Zmienna losowa X podlega rozkładowi N (m, σ).
a) Obliczyć P {|X − m| < 3σ}.
b) Dobrać stałą k tak, aby P {|X − m| < kσ} = 0, 99.
91. Zmienna losowa X ma rozkład N (2, 1). Znaleźć dla tej zmiennej kwantyl rzędu 0,2.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
12
Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej
92. Niech Xi ∈ N (0, σ), i ∈ N. Ile należy zsumować niezależnych zmiennych Xi , aby odchylenie
standardowe sumy było równe 10σ?
93. Niech zmienne Xi (i ∈ N) mają rozkład jednostajny na przedziale [−σ, σ]. Ile należy
zsumować niezależnych zmiennych Xi , aby odchylenie standardowe sumy było równe 10σ?
94. Funkcja gęstości zmiennej losowej X ma postać
3x2 dla x ∈ [0, 1],
(
f (x) =
dla x ∈ R \ [0, 1].
0
Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej X.
95. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości prawdopodobieństwa
f (x) =



 0
dla x < −1,
2
5 |x|


 0
dla x ∈ [−1, 2],
dla x > 2.
a) Znaleźć dystrybuantę i narysować jej wykres.
b) Obliczyć EX oraz D2 X.
c) Obliczyć P (X > 3), P (− 12 ¬ X < 1), P (X = 0).
96. Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy o funkcji gęstości
(
0
dla x < 0,
λe−λx dla x ­ 0,
f (x) =
gdzie λ > 0. Znaleźć EX oraz DX.
97. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [a, b] o funkcji gęstości
f (x) =


 0
1
b−a

 0
dla x < a,
dla a ¬ x ¬ b,
dla x > b.
Znaleźć EX oraz D2 X.
a
98. Gęstość zmiennej losowej X ma postać: f (x) = ex +e
−x , x ∈ R. Znaleźć stałą a oraz obliczyć
P (X > 0).
99. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości prawdopodobieństwa
x
2
dla 0 ¬ x ¬ 2,
0
dla pozostałych x.
(
f (x) =
a) Obliczyć EX oraz D2 X.
b) Wyznaczyć momenty centralne rzędu pierwszego, drugiego i trzeciego oraz kwartyle
zmiennej X.
100. Dobrać tak stałą a, by funkcja
F (x) =



 0
2(1 −


 1
dla x ¬ 1,
1
x)
dla 1 < x ¬ a,
dla x > a
była dystrybuantą zmiennej losowej X typu ciągłego. Wyznaczyć jej gęstość. Obliczyć
P (−1 ¬ X ¬ 1, 5) i zinterpretować je za pomocą wykresu gęstości.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
2. Zmienne losowe
13
101. Zmienna losowa X ma dystrybuantę daną równaniem:
F (x) =
1
2
+
arc tg x2 , x ∈ R .
1
π
Znaleźć możliwą wartość a, dla której zmienna losowa X w wyniku próby przyjmie wartość
większą niż a z prawdopodobieństwem 61 .
102. Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej X ma postać
(
sin(2x) dla x ∈ [0,
f (x) =
π
2 ],
dla x ∈ R \ [0,
0
π
2 ].
a) Znaleźć dystrybuantę X.
b) Obliczyć EX oraz D2 X.
c) Obliczyć P (X > π4 ).
d) Obliczyć x 1 oraz x 3 .
4
4
103. Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej X ma postać
√ a
4−x2
(
f (x) =
dla x ∈ (−1, 2),
dla x ∈ R \ (−1, 2).
0
Znaleźć
a) stałą a,
b) dystrybuantę X,
c) D2 X,
d) P (−1 < X < 1), P (X > 0), P (X = 21 ).
104. Gęstość zmiennej losowej X ma postać
f (x) =



 0
dla x < 0,


 0
dla x > ln 3.
bex dla x ∈ [0, ln 3],
a) Wyznaczyć stałą b.
b) Znaleźć dystrybuantę X.
c) Obliczyć EX oraz D2 X.
d) Obliczyć P (X > 1).
e) Na wykresie gęstości zaznaczyć P (0 < X ¬ ln 2).
105. Dystrybuanta zmiennej losowej X jest postaci
F (x) =



 0
dla x ¬ 0,


 1
dla x > 3.
1 3
27 x
dla 0 < x ¬ 3,
Znaleźć funkcję gęstości zmiennej X, obliczyć jej wartość oczekiwaną oraz kwantyle x0,125 , x 1
125
ix8.
27
√
106. Zmienne losowe X i Y są niezależne oraz wiadomo, że EX > 0, EX 2 = 16, DX = 2 3,
EY > 0, EY 2 = 12, DY = 3. Obliczyć E(3XY − 2).
107. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości
(
f (x) =
|x| dla − 1 ¬ x ¬ 1,
0
poza tym.
Narysować wykres f , znaleźć dystrybuantę i narysować jej wykres, obliczyć EX, D2 X,
P (X < 0), P (X ­ 1). Prawdopodobieństwa zaznaczyć na wykresie f i F .
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
14
Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej
108. Niech
(
f (x) =
3
4
(1 − x2 )
0
dla − 1 ¬ x < 1,
poza tym.
Narysować wykres f , znaleźć dystrybuantę i narysować jej wykres, obliczyć EX, D2 X,
P (X < − 12 ), P (|X| > 31 ).
109. Dobrać tak stałą a, by funkcja
(
f (x) =
a · cos x dla − π2 ¬ x < π2 ,
0
poza tym
była gęstością pewnej zmiennej losowej X. Narysować wykres f , znaleźć dystrybuantę
i narysować jej wykres, obliczyć EX, D2 X, P (|X| > π6 ), P (X ­ π3 ), P (− π6 < X ¬ π2 ) oraz
medianę i modę X.
110. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej X jest postaci:
(
dla x 6 0
dla x > 0.
0
2 e−2x
f (x) =
Narysować wykres f , znaleźć dystrybuantę i narysować jej wykres, obliczyć EX, D2 X,
P (X > 1), P (0 < X ¬ ln 3) oraz medianę X.
111. Niech gęstość pewnej zmiennej X będzie postaci
(
f (x) =
0
2
x3
dla x 6 1,
dla x > 1.
Narysować wykres f , znaleźć dystrybuantę i narysować jej wykres, obliczyć EX, D2 X,
P (|X| > 1) oraz medianę X.
1
112. Niech f (x) = π1 · 1+x
2 dla x ∈ R. Narysować wykres f , znaleźć dystrybuantę i naryso√
wać jej wykres,
√ zbadać istnienie EX. Obliczyć P (0 < X ¬ 1), P (3X − 1 > 3 − 1),
P (0 < X < 3). Znaleźć medianę oraz modę.
113. Zmienna X ma gęstość postaci
f (x) =

0
dla x < 0,
2
− x2
x e
dla x ­ 0.
Znaleźć dystrybuantę, medianę, modę, wartość oczekiwaną, P (X >
114. Zmienna X ma gęstość postaci

1 ·
f (x) = π
0
√ 1
4−x2
√
ln 4), P (X ¬
dla |x| < 2,
poza tym.
Zbadać istnienie EX. Wyznaczyć dystrybuantę X oraz obliczyć P (1 < X ¬ 2).
115. Zmienna X ma gęstość postaci
(
√
e2x dla x ∈ (0, ln 3),
f (x) =
0
poza tym.
Znaleźć P (ln 2 < X ¬ 1), P (X < ln 12 ).
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
√
ln 9).
2. Zmienne losowe
15
116. Dobrać k tak, by funkcja



0
dla x ¬ 0,
F (x) = k arc sin x dla x ∈ (0, 1],


1
dla x > 1
była dystrybuantą pewnej zmiennej X, następnie wyznaczyć jej funkcję gęstości oraz obliczyć P ( 12 ¬ X), P (X ­ 1), P ( 12 < X ¬ 1).
117. Dobrać A i B tak, by funkcja



0
dla x ¬ −1,
F (x) = A + B arc cos x dla x ∈ (−1, 1],


1
dla x > 1
była dystrybuantą pewnej ciągłej zmiennej losowej X. Narysować wykres F , znaleźć funkcję gęstości, obliczyć P (0 < X ¬ 1), P (X > 21 ).
118. Bok prostokąta jest zmienną losową X o rozkładzie jednostajnym na przedziale [0, 10].
Obliczyć
a) EX 2 ,
b) wartość oczekiwaną pola prostokąta, jeśli jego obwód wynosi 20.
119. Zmienna X ma gęstość postaci
(
0
xe−x
f (x) =
dla x < 0,
dla x ­ 0.
Wyznaczyć dystrybuantę oraz P (0 < X < ln 2).
120. Dobrać tak stałą k, by funkcja
(
f (x) =
k arc sin x dla x ∈ [0, 1],
0
poza tym
była gęstością pewnej zmiennej losowej X.
121. Zmienna losowa X ma dystrybuantę postaci
F (x) =



0
3x2
−


1
2x3
dla x ¬ 0,
x ∈ (0, 1],
dla x > 1.
Znaleźć funkcję gęstości i narysować jej wykres. Obliczyć EX, D2 X, P (0 < X <
P (X > 13 ) oraz podać interpretację geometryczną tych prawdopodobieństw.
122. Dystrybuanta pewnej zmiennej losowej X jest postaci
F (x) =



 0
x3


 1
1
2 ),
dla x ¬ 0,
dla x ∈ (0, 1],
dla x > 1.
Narysować wykres F , znaleźć funkcję gęstości, obliczyć EX, D2 X, P (0 < X < 21 ), medianę
oraz x0,2 i x0,729 .
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
16
Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej
2.3. Nierówność Czebyszewa. Twierdzenia graniczne
Wskazówka: W poniższych zadaniach należy skorzystać z prawa małych liczb Poissona, twierdzenia Lindeberga−Levy’ego, twierdzenia Moivre’a−Laplace’a lub z nierówności
Czebyszewa.
123. Prawdopodobieństwo wygrania nagrody na loterii wynosi 0,01. Korzystając z prawa małych liczb Poissona obliczyć, jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 200 losujących
a) żaden nie wygra,
b) wygra co najmniej jeden.
124. Tkaczka obsługuje 100 wrzecion. Prawdopodobieństwo zerwania się nici na jednym wrzecionie w czasie jednej minuty, jest równe 0,03. Korzystając z prawa małych liczb Poissona
znaleźć prawdopodobieństwo tego, że w czasie jednej minuty zerwą się dokładnie 2 nici.
125. Załóżmy, że nowa szczepionka będzie testowana na 100 osobach. Producent ocenia jej
skuteczność na 80%. Znaleźć przybliżone prawdopodobieństwo, że co najmniej 74 osoby
i co najwyżej 85 osób uzyska odporność po zastosowaniu szczepionki.
126. Strzelec trafia do celu z prawdopodobieństwem 0,5. Jaką liczbę strzałów musi oddać, aby
prawdopodobieństwo tego, że częstość trafienia do celu różni się od 0,5 co najwyżej o 0,1
było równe 0,95?
127. Prawdopodobieństwo urodzenia się chłopca jest równe 0,515. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wśród 900 noworodków będzie co najwyżej 470 dziewczynek?
128. Wśród ilu krasnoludków należy przeprowadzić ankietę, aby mieć 95% pewności, że wyznaczona na jej podstawie frakcja zwolenników ujawnienia się (tzn. stosunek liczby radykałów
do liczby wszystkich krasnoludków) jest obarczona błędem nie przekraczającym 0,03, jeśli
średnio co dziesiąty krasnoludek jest radykałem?
129. (Trudniejsza wersja zadania 128.) Wśród ilu krasnoludków należy przeprowadzić ankietę,
aby mieć 95% pewności, że wyznaczona na jej podstawie frakcja zwolenników ujawnienia
się (tzn. stosunek liczby radykałów do liczby wszystkich krasnoludków) jest obarczona
błędem nie przekraczającym 0,03?
130. Prawdopodobieństwo wygrania nagrody na loterii wynosi 0,001. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 200 losujących
a) żaden nie wygra,
b) wygra co najmniej jeden.
Podać wynik dokładny i przybliżony.
131. Podręcznik wydano w nakładzie 100000 egzemplarzy. Prawdopodobieństwo tego, że podręcznik zostanie źle oprawiony jest równe 0,0001. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że
w nakładzie pojawi się 5 źle oprawionych książek.
132. Automat produkuje detale. Prawdopodobieństwo tego, że wyprodukowany detal jest wybrakowany jest równe 0,01. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że wśród 250 detali
a) dokładnie 4 będą wybrakowane,
b) co najwyżej 2 będą wybrakowane.
133. Rzucamy 720 razy kostką symetryczną. Korzystając z nierówności Czebyszewa oszacować
prawdopodobieństwo tego, że liczba wyrzuconych czwórek będzie należeć do przedziału
(100, 140).
134. Wykonano 200 rzutów symetryczną monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba
wyrzuconych orłów będzie
a) większa od 90,
b) z przedziału (88, 105]?
Zapisać wartość dokładną i obliczyć przybliżoną.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
2. Zmienne losowe
17
135. W populacji dorosłych Polaków 39% ma kłopoty ze snem. Oszacować prawdopodobieństwo, że wśród 100 losowo wybranych dorosłych Polaków częstość osób mających kłopoty
ze snem nie przekroczy 33%.
136. Wykonujemy 100 rzutów kostką symetryczną. Znaleźć przedział symetryczny wokół wartości średniej, w jakim z prawdopodobieństwem 0,95 znajduje się liczba wyrzuconych szóstek.
Wykorzystać twierdzenie Moivre’a−Laplace’a.
137. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 200 osób znajdzie się co najmniej trzech mańkutów, jeśli przeciętnie co setna osoba jest mańkutem.
138. Wiadomo, że prawdopodobieństwo zgłoszenia reklamacji wynosi 0,1. Które z poniższych
zdarzeń jest bardziej prawdopodobne:
a) spośród 4 klientów przynajmniej 1 zgłosi reklamację,
b) spośród 400 klientów reklamację zgłosi co najmniej 38 osób?
139. Prawdopodobieństwo popełnienia błędu przy dokonywaniu pomiaru przez geodetę wynosi
p = 0, 05. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy 200 pomiarach liczba pomyłek będzie
a) większa niż 12,
b) od 5 do 15?
Określić zmienną losową, opisać jej rozkład oraz oszacować (wszystkimi znanymi sposobami) powyższe prawdopodobieństwa.
140. O pewnej porze dnia prawdopodobieństwo, że nie uzyskamy połączenia z serwerem wynosi
0,2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na 400 osób próbujących się połączyć z serwerem
a) co najmniej 70 nie uzyska połączenia,
b) nie połączy się od 72 do 88 osób?
Określić zmienną losową i jej rozkład, a następnie oszacować wszystkimi znanymi sposobami powyższe prawdopodobieństwa.
141. Prawdopodobieństwo awarii nowego samochodu w pierwszym miesiącu użytkowania wy1
nosi p = 300
. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 900 nowo kupionych aut
a) dokładnie 5 przytrafi się awaria,
b) awaria wystąpi w co najwyżej 2 samochodach,
c) liczba samochodów z awarią będzie od 1 do 3?
Zapisać prawdopodobieństwa dokładne i obliczyć przybliżone (wszystkie możliwe).
142. Prawdopodobieństwo, że młode drzewko nie przyjmie się w szkółce wynosi p = 0, 05. Jakie
jest prawdopodobieństwo, że w szkółce liczącej 1000 drzew nie przyjmie się
a) od 40 do 50 drzew,
b) więcej niż 30 drzew,
c) od 40 do 60 drzew?
Wykorzystać wszystkie znane oszacowania.
143. Prawdopodobieństwo wystąpienia pewnej cechy genetycznej wśród osobników pewnego gatunku wynosi p = 0, 2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w grupie liczącej 300 osobników
liczba osób o tej cesze będzie
a) od 40 do 50,
b) większa niż 55,
c) od 50 do 70?
Wykorzystać wszystkie znane oszacowania.
144. Rzucono 1000 razy symetryczną kostką do gry. Oszacować prawdopodobieństwo, że ”6”
wypadła więcej niż 150 razy.
145. Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna 100 niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie jednostajnym na odcinku [0, 10], przyjmie wartość z przedziału [5, 5 21 ]?
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
18
Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej
146. Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna 100 niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie N (10, 2) przyjmie wartość większą niż 9,8 i mniejszą niż 10,1?
147. Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna 500 niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie danym gęstością
(
f (x) =
148.
149.
150.
151.
152.
153.
3 2
8x
dla 0 ¬ x ¬ 2,
poza tym
0
przyjmie wartość z przedziału (1,49, 1,5)?
Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma 100 niezależnych zmiennych losowych o tym
samym rozkładzie wykładniczym z parametrem λ = 21 przyjmie wartość z przedziału
(200, 250)?
Pojedynczy pomiar pewnej wielkości ma rozkład jednostajny na przedziale [0, 1]. Ile należy
wykonać pomiarów, aby przy obliczaniu średniej arytmetyczej z tych pomiarów uzyskać
a) odchylenie standardowe nie większe niż σ,
b) odchylenie standardowe nie większe niż 0,01,
c) pewność 95%, że średnia arytmetyczna będzie leżeć w przedziale (0, 4, 0, 6)?
Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna 100 niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie geometrycznym z p = 0, 75 przyjmuje wartości z przedziału (1, 2]?
Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna 300 niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie Poissona z λ = 3 przyjmie wartość większą niż 2,8 i równą co najwyżej
3,1?
Pewna firma zatrudnia 100 pracowników. Każdy z nich z prawdopodobieństwem 0, 8 korzysta codziennie z komputera (zakładamy, że jeśli zaczyna z niego korzystać, to używa
przez cały dzień). Ile należy kupić komputerów, aby prawdopodobieństwo tego, że jakiś
komputer jest w danym dniu do dyspozycji wynosiło 0, 95?
Zmienna losowa X opisuje względny wzrost ceny nieruchomości w pewnym regionie i ma
dystrybuantę postaci
F (x) =



 0
x3


 1
dla x < 0,
dla x ∈ [0, 1],
dla x > 1.
Ile elementów powinna liczyć próba prosta pobrana z tej populacji, aby odchylenie standardowe średniej arytmetycznej było mniejsze niż 0,01?
154. Zmienna losowa Xi (i = 1, . . . , n) ma rozkład normalny o średniej 5 i odchyleniu standardowym 2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna zmiennych Xi przyjmie
wartość większą niż 4,9 i równą co najwyżej 5,3, jeśli
a) n = 100,
b) n = 500?
W każdym z powyższych przypadków zinterpretować to prawdopodobieństwo na odpowiednim wykresie.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
2. Zmienne losowe
19
2.4. Estymatory
155. Niech X1 , . . . , Xn będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie z wartością oczekiwaną równą m i odchyleniem standardowym σ. Wykazać, że estymatory postaci T =
a1 X1 +...+an Xn
,
a1 +...+an
gdzie ai ∈ R (i = 1, . . . , n) oraz
n
P
ai 6= 0 są nieobciążonymi
i=1
estymatorami parametru m.
156. Metodą największej wiarygodności w oparciu o n-elementową
estymator parametru λ rozkładu Poissona.
157. Metodą największej wiarygodności w oparciu o n-elementową
estymator parametru λ rozkładu wykładniczego.
158. Metodą największej wiarygodności w oparciu o n-elementową
estymator parametru λ (λ > 0) rozkładu Rayleigha określonego
(
f (x) =
2
2λxe−λx
0
próbę prostą wyznaczyć
próbę prostą wyznaczyć
próbę prostą wyznaczyć
funkcją gęstości
dla x > 0
dla x 6 0.
159. T1 i T2 są nieobciążonymi i niezależnymi estymatorami parametru θ oraz D2 (Ti ) = σi2 dla
i = 1, 2.
a) Sprawdzić, czy statystyka T = aT1 + (1 − a)T2 jest nieobciążonym estymatorem parametru θ dla każdego a ∈ R.
b) Wyznaczyć tę wartość a, przy której wariancja estymatora T jest najmniejsza.
160. Metodą największej wiarygodności w oparciu o n-elementową próbę prostą wyznaczyć
estymator parametru θ (θ > 0) rozkładu określonego funkcją gęstości
(
f (x) =
θxθ−1 dla x ∈ (0, 1)
0
dla pozostałych x.
161. Niech X i Y będą takimi niezależnymi zmiennymi losowymi, że E(X) = 1, E(Y ) = 3,
D2 (X) = D2 (Y ) = σ 2 . Dla jakiej stałej c statystyka cX 2 + (1 − c)Y 2 jest nieobciążonym
estymatorem parametru σ 2 .
162. Wyznaczyć metodą największej wiarygodności estymator parametru p rozkładu geometrycznego, którego funkcja rozkładu prawdopodobieństwa jest postaci:
P (X = k) = p(1 − p)k−1 , k ∈ N.
163. Rozkład zmiennej losowej X opisany jest następującą funkcją gęstości prawdopodobieństwa:


dla x < 0,

 0
f (x) =
(2a + 1) x2a dla x ∈ [0, 1],


 0
dla x > 1.
Wyznaczyć estymator parametru a metodą największej wiarygodności. Wyrazić go za
pomocą średniej geometrycznej powyższej próby.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
3. Charakterystyki próby
164. Dokonano pomiaru zawartości witaminy C w owocach agrestu. Uzyskano następujące wyniki w miligramach na 100 gramów świeżych owoców: 35, 38, 29, 34, 41, 28, 36, 31, 28,
30, 34, 37, 35, 39, 30, 33. Obliczyć średnią, medianę, wariancję, odchylenie standardowe
i współczynnik zmienności badanej cechy.
165. W pewnym zakładzie badano czas dojazdu pracowników do pracy. Otrzymane wyniki
zestawiono w szeregu rozdzielczym:
czas dojazdu (w min)
liczba pracowników
(0, 20]
9
(20, 40]
26
(40, 60]
30
(60, 80]
21
(80, 100]
14
a) Narysować histogram liczebności.
b) Wyznaczyć dystrybuantę empiryczną.
c) Obliczyć średnią, wariancję oraz odchylenie standardowe.
166. Sprawdzono 40 stron maszynopisu znajdując na nich następujące liczby błędów: 0, 0, 2,
0, 2, 4, 2, 0, 2, 0, 1, 1, 3, 1, 0, 3, 1, 0, 2, 2, 3, 2, 3, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 3, 0, 1, 0, 1, 1,
2, 2, 1. Zbudować punktowy szereg rozdzielczy, a następnie wyznaczyć średnią, odchylenie
standardowe oraz kwartyle liczby błędów.
167. Strukturę wiekową zbiorowości w pewnym ośrodku wczasowym w sierpniu 2007 roku przedstawia szereg:
wiek w latach
10−20
20−30
30−40
40−50
50−60
liczba osób
12
16
24
30
18
a) Narysować histogram liczebności.
b) Wyznaczyć dystrybuantę empiryczną i sporządzić jej wykres.
c) Obliczyć odchylenie przeciętne.
168. W pewnej centrali handlu zagranicznego przeprowadzono sondaż wśród 50 pracowników,
pytając ich o liczbę wyjazdów w ciągu roku do krajów Europy Zachodniej. Wyniki były
następujące: 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2,
2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4. Zbudować punktowy szereg rozdzielczy
a następnie
a) wyznaczyć średnią i odchylenie standardowe,
b) wyznaczyć i zinterpretować modę oraz medianę,
c) wyznaczyć współczynnik skośności.
169. Badano czas reakcji organizmu osób cierpiących na pewne schorzenie. Otrzymano następujące wyniki (w s): 45, 40, 39, 50, 37, 38. Wyznaczyć i zinterpretować wartości następujących
współczynników: asymetrii, koncentracji.
170. W pewnym drzewostanie dokonano pomiaru wysokości drzew. Otrzymane wyniki zestawiono w szeregu rozdzielczym:
wysokość (w metrach)
(41, 43]
(43, 45]
(45, 47]
(47, 49]
(49, 51]
liczba drzew
11
29
33
20
7
Wykreślić histogram liczebności oraz wyznaczyć odchylenie standardowe, modę i kwartyle
badanej cechy.
171. W drzewostanie zmierzono pierśnice (d) i wysokości (h) 12 drzew uzyskując wyniki:
di [cm]
28,4
44,1
36,8
25,0
31,2
19,9
24,3
48,0
32,2
22,7
42,5
30,6
hi [m]
24,7
27,3
26,1
19,4
27,8
21,8
24,0
28,2
25,8
22,1
26,9
25,4
Obliczyć średnią ważoną wysokość drzew, stosując jako wagę kwadrat pierśnicy.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
3. Charakterystyki próby
21
172. W celu scharakteryzowania rozkładu wysokości drzew pewnego drzewostanu dokonano
pomiaru 69 drzew, uzyskując następujące wyniki w metrach:
4, 50 6, 45 5, 53 5, 40 7, 24 5, 29 6, 25 5, 90 6, 81 6, 05 4, 68 6, 55
5, 75 5, 93 4, 53 6, 91 5, 64 7, 36 4, 36 6, 49 5, 36 6, 27 4, 25 5, 70
6, 35 5, 41 6, 18 5, 18 6, 78 4, 93 5, 72 4, 79 5, 06 7, 05 5, 43 5, 80
6, 50 5, 76 7, 41 5, 59 5, 81 5, 80 6, 61 4, 82 6, 20 4, 12 7, 46 5, 50
4, 45 5, 03 6, 00 4, 70 6, 85 5, 21 6, 42 7, 30 5, 60 7, 21 5, 92 5, 89
5, 49 6, 30 7, 00 6, 75 5, 90 5, 35 7, 35 6, 60 4, 90
Zbudować przedziałowy szereg rozdzielczy i sporządzić histogram liczebności.
173. W celu określenia rozkładu cen działek budowlanych w gminie Kraków zebrano informacje
o 80 losowo wybranych transakcjach w ciągu ostatniego miesiąca:
cena (w tys. zł za ar)
(3, 5]
(5, 7]
(7, 9]
(9, 11]
(11, 13]
(13, 15]
liczba transakcji
8
11
22
17
13
9
Sporządzić histogram częstości znormalizowanej i częstości skumulowanej oraz wyznaczyć
średnią i wariancję w próbie.
174. Lesistość oraz powierzchnia województw Polski (stan na dzień 31 XII 2005 roku):
województwo
dolnośląskie
kujawsko-pomorskie
lubelskie
lubuskie
łódzkie
małopolskie
mazowieckie
opolskie
podkarpackie
podlaskie
pomorskie
śląskie
świętokrzyskie
warmińsko-mazurskie
wielkopolskie
zachodniopomorskie
powierzchnia w %
6,4
5,8
8,0
4,5
5,8
4,9
11,4
3,0
5,7
6,5
5,9
3,9
3,7
7,7
9,5
7,3
lesistość w %
29,2
23,1
22,4
48,7
20,7
28,4
22,1
26,4
36,6
30,0
35,9
31,7
27,6
30,0
25,5
34,8
Na podstawie powyższych danych obliczyć średnią ważoną lesistość Polski, stosując jako
wagę powierzchnię województw.
175. W pewnym doświadczeniu fizycznym mierzony jest czas określonego efektu świetlnego.
Przeprowadzono 100 doświadczeń i otrzymano następujące wyniki:
czas efektu świetlnego (w s)
(0, 1]
(1, 2]
(2, 3]
(3, 4]
(4, 5]
liczba doświadczeń
7
21
33
24
15
Wyznaczyć i zinterpretować wartości następujących miar położenia: średniej, mody, kwartyli.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
22
Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej
176. Rozkład liczby wyjazdów służbowych w ciągu roku wśród 100 pracowników pewnej firmy
przedstawia się następująco:
liczba pracowników
1
2
3
4
5
6
7
8
liczba wyjazdów
7
8
17
27
14
7
11
9
a) Wyznaczyć i zinterpretować wartości następujących miar położenia: średniej, mody,
kwartyli.
b) Wyznaczyć dystrybuantę empiryczną.
177. Dla wylosowanej próby 100 klientów pewnego sklepu RTV otrzymano następujący rozkład
wartości zakupów:
wartość zakupów (w euro)
liczba klientów
(0, 40]
9
(40, 80]
19
(80, 120]
36
(120, 160]
24
(160, 200]
12
Wyznaczyć
a) dystrybuantę empiryczną oraz narysować jej wykres,
b) średnią, modę oraz kwartyle,
c) wariancję, odchylenie standardowe oraz odchylenie przeciętne.
178. Posortowane rosnąco wartości pewnej próby są następujące:
4, 6, 7, 9, 11, 11, 11, 13, 14, 15, 15, 17, 18, 18, 20, 20, 20, 21, 23.
Znaleźć kwartyle w tej próbie.
179. Badaniu statystycznemu poddano czas trwania pewnej reakcji chemicznej. Przeprowadzono 100 doświadczeń i otrzymano następujące wyniki:
czas trwania (w s)
(1, 3]
(3, 5]
(5, 7]
(7, 9]
(9, 11]
liczba reakcji
12
19
28
24
17
Wyznaczyć średnią, odchylenie standardowe (s), medianę, skośność oraz współczynnik
zmienności czasu trwania reakcji chemicznej.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
4. Przedziały ufności
4.1. Przedziały ufności dla średniej
180. Wytrzymałość pewnego materiału budowlanego (w kg/cm2 ) jest zmienną losową o rozkładzie N (m, 1). Wylosowano niezależnie 5 sztuk tego materiału i dokonano pomiaru wytrzymałości. Wyniki pomiarów były następujące: 20,4, 19,6, 22,1, 20,8, 21,1. Przyjmując
współczynnik ufności 0,9, zbudować przedział ufności dla średniej wytrzymałości badanego
materiału budowlanego.
181. Z drzewostanu sosnowego pobrano próbę prostą o liczebności 50 drzew i dla niej obliczono
średnią wysokość x = 20 m i odchylenie standardowe s = 1, 5 m. Przyjmując, że rozkład wysokości drzew jest normalny wyznaczyć przedział ufności dla średniej, przyjmując
współczynnik ufności 1 − α = 0, 98.
182. W instytucie chemii przeprowadzono badania czasu trwania określonej reakcji chemicznej.
W tym celu wykonano 10 niezależnych prób tego eksperymentu, otrzymując następujące
wyniki (w s): 9, 11, 10, 12, 7, 10, 11, 12, 10, 8. Wiedząc, że w określonych warunkach
badany czas jest zmienną losową o rozkładzie normalnym, wyznaczyć przedział ufności
dla średniego czasu trwania badanej reakcji, przyjmując współczynnik ufności na poziomie
0,95.
183. W 50-osobowej losowo wybranej grupie uczniów zmierzono czas rozwiązywania pewnego
zadania matematycznego. Otrzymano następujące wyniki (w minutach): x = 17, 5, s = 6.
Wiedząc, że badany czas jest zmienną losową o rozkładzie normalnym, wyznaczyć przedział
ufności dla średniej, przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0,99.
184. Na podstawie informacji o czasie przepisywania na komputerze jednej strony tekstu przez
100 losowo wybranych maszynistek oszacowano przedział dla średniego czasu pisania jednej
strony tekstu przez ogół maszynistek (5,804 min, 6,196 min). Wiedząc dodatkowo, że
rozkład czasu pisania jednej strony tekstu jest rozkładem normalnym z parametrem σ = 1,
ustalić jaki współczynnik ufności przyjęto przy szacowaniu powyższego przedziału.
185. W pewnym drzewostanie dokonano pomiaru wysokości losowo wybranych drzew. Otrzymano następujące wyniki (w m): 6,45, 5,53, 5,40, 7,24, 5,29, 6,25, 5,90, 6,81, 4,68,
6,55, 5,75, 5,93, 4,53, 6,91, 5,64, 7,36, 4,36, 6,49. Na poziomie ufności 0,95 wyznaczyć
przedział ufności dla średniej. Zakładamy, że badana cecha ma rozkład normalny.
186. W szklarni pewnego gospodarstwa ogrodniczego pobrano losowo próbę 27 goździków i zmierzono ich długość, oto wyniki (w cm): 34,96, 26,28, 26,18, 28,28, 28,81, 29,13, 33,14,
27,53, 36,31, 25,59, 31,19, 30,68, 34,04, 32,92, 21,32, 33,31, 31,62, 28,68, 37,20, 27,57,
28,94, 27,54, 35,02, 33,91, 25,31, 35,33, 32,18. Przyjmując, że rozkład długości goździków
jest normalny, na poziomie ufności 0,98, wyznaczyć przedział ufności dla średniej.
187. Z drzewostanu pobrano próbę prostą o liczebności 46 drzew, dla której określono średnią
pierśnicę uzyskując x = 25 cm przy odchyleniu standardowym s = 5 cm. Przyjmując
α = 0, 04, wyznaczyć przedział ufności dla średniej pierśnicy drzewostanu przy założeniu,
że rozkład pierśnic drzew jest normalny.
188. W pewnym gospodarstwie ekologicznym pobrano losowo próbę 9 tuczników, które następnie zważono, oto wyniki (w kg): 105, 117, 125, 123, 120, 135, 123, 115, 117. Znaleźć
przedział ufności dla średniej. Założyć normalność rozkładu wagi oraz przyjąć poziom
ufności równy 0,96.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
24
Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej
189. Zmierzono grubości kory na pierśnicy w 20 - elementowej próbie pobranej z pewnego
drzewostanu świerkowego uzyskując x = 1, 6 mm. Zakładając, że grubość kory jest zmienną
losową o rozkładzie normalnym z parametrem σ = 0, 15 znaleźć przedział ufności dla
średniej grubości kory. Przyjąć poziom ufności
a) 1 − α = 0, 9,
b) 1 − α = 0, 95.
4.2. Przedziały ufności dla wariancji i odchylenia
standardowego
190. Z drzewostanu pobrano próbę prostą o liczebności 50 drzew, dla których dokonano pomiarów pierśnicy, uzyskując: x = 25 cm, s = 5 cm. Przy założeniu, że rozkład pierśnic
drzew jest normalny, wyznaczyć przedział ufności dla wariancji, przyjmując współczynnik
ufności na poziomie 0,95.
191. Z populacji liczącej 2000 robotników wylosowano niezależną próbę 120, dla których odchylenie standardowe wykonania dziennej normy pracy wynosiło s = 8%. Oszacować z prawdopodobieństwem 0,95 przedział pokrywający nieznaną wartość odchylenia standardowego
w populacji generalnej, jeżeli zakłada się, że stopień wykonania normy ma rozkład normalny.
192. Zmierzono średnice 20 drzew wybranych losowo z drzewostanu mieszanego świerkowo sosnowego i otrzymano s2 = 13, 5. Zakładając, że średnice drzew mają rozkład normalny,
zbudować przedział ufności dla odchylenia standardowego. Przyjąć 1 − α = 0, 9.
193. Dokonano pomiaru zawartości witaminy C w owocach agrestu. Uzyskano następujące wyniki w miligramach na 100 gramów świeżych owoców: 34, 32, 33, 34, 35, 32, 28, 30, 33,
35, 31, 31, 33, 34, 32, 36, 27, 32, 32, 34, 34, 32, 27, 30, 35, 27, 31. Na poziomie ufności
0,98 wyznaczyć przedział ufności dla wariancji. Zakładamy, że badana cecha ma rozkład
normalny.
194. W instytucie chemii przeprowadzono badania czasu trwania określonej reakcji chemicznej.
W tym celu wykonano 10 niezależnych prób tego eksperymentu, otrzymując następujące
wyniki (w s): x = 10, 6, s = 2, 1. Wiedząc, że w określonych warunkach badany czas
jest zmienną losową o rozkładzie normalnym wyznaczyć przedział ufności dla wariancji,
przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0,99.
195. W pewnym gospodarstwie ekologicznym pobrano losowo próbę 9 tuczników, które następnie zważono, oto wyniki (w kg): x = 120, s = 7, 72. Znaleźć przedział ufności dla wariancji
oraz odchylenia standardowego masy tuczników badanego gatunku na poziomie ufności
0,9. Założyć normalność rozkładu wagi.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
4. Przedziały ufności
25
4.3. Przedziały ufności dla wskaźnika struktury
196. Oszacować przedziałowo jaka część młodzieży szkół licealnych pali papierosy, jeżeli w próbie wybranej w losowaniu niezależnym, liczącej 1000 uczniów, 230 osób paliło papierosy.
Przyjąć współczynnik ufności 0,9.
197. W pewnej przychodni rejonowej wśród 920 ludzi poddanych prześwietleniu stwierdzono
zmiany chorobowe u 9 osób. Wyznaczyć 95% przedział ufności dla frakcji osób chorych
obsługiwanych przez te przychodnie.
198. W losowo wybranej próbie 200 studentów UJ 70 osób mieszkało na stałe w Krakowie.
Przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0,99, wyznaczyć przedział ufności dla frakcji
osób mieszkających na stałe poza Krakowem.
4.4. Minimalna liczebność próby
199. Dostarczono partię cytryn, z której należy wylosować próbę w celu oszacowania ich średniej
wagi, przy założeniu, że błąd szacunku wynosi 4,6 g, a poziom ufności jest równy 0,99.
W tym celu z populacji generalnej pobrano 5-elementową próbę wstępną, dla której odchylenie standardowe ŝ = 20 g. Czy próba wstępna jest wystarczająco liczna? Zakładamy,
że rozkład wagi cytryn jest normalny.
200. Waga opakowań kawy (w dag) ma rozkład N (m, 0, 08). Ile co najmniej torebek kawy
należy pobrać do próby, aby przy współczynniku ufności równym 0,99 oszacować średnią
wagę ogółu opakowań kawy, otrzymując przedział o długości nie przekraczającej 0,1 dag?
201. Wyznaczyć minimalną liczebność próby służącej do oszacowania średniego wzrostu uczniów
w klasach piątych szkół podstawowych, jeżeli wiadomo, że rozkład wzrostu uczniów jest
normalny, a dla próby wstępnej liczącej 10 uczniów otrzymano następujące wyniki [w cm]:
147, 145, 149, 152, 143, 161, 150, 151, 138, 144. Zakładamy dopuszczalny błąd szacunku
5 cm przy współczynniku ufności 0,95.
202. Wariancja 5-letniego przyrostu pierśnicy drzew drzewostanu sosnowego wynosi 16 mm,
a rozkład tej cechy jest normalny. Przyjmując poziom ufności 0,95, wyznaczyć minimalną
liczebność losowej próby tak, aby maksymalny błąd szacunku nie przekroczył 1 mm przy
szacowaniu średniego przyrostu pierśnicy drzew.
203. Zbadać, ile niezależnych obserwacji powinna liczyć próba, by na jej podstawie można było
oszacować średni czas wykonywania przez robotnika pewnej operacji technicznej z błędem maksymalnym 20 s, przy współczynniku ufności na poziomie 0,95. Wiadomo, że czas
wykonywania tej operacji technicznej jest zmienną losową o rozkładzie N (m, 40).
204. Jaką minimalną liczbę drzew z lasów sosnowych należy wylosować do próby, aby przy
współczynniku ufności 0,99 oszacować przeciętną wysokość drzewa w lesie sosnowym? Wariancja wysokości drzew obliczona z pilotażowej 10-elementowej próby wyniosła ŝ2 = 25
cm2 . Zakładamy, że maksymalny błąd szacunku jest równy 4 cm, a rozkład wysokości
drzew jest normalny.
205. Podczas badania pierśnic w pewnym drzewostanie pobrano próbę 22-elementową i obliczono dla niej x = 32, 8 oraz ŝ2 = 1, 8. Zakładając normalność rozkładu, sprawdzić, czy próba
ta jest wystarczająco liczna do oszacowania średniej pierśnicy z maksymalnym błędem
szacunku l = 0, 5 cm na poziomie ufności
a) 1 − α = 0, 9,
b) 1 − α = 0, 99.
Jeśli próba nie jest wystarczająco liczna obliczyć, o ile należy ją powiększyć.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
26
Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej
206. Małopolski Oddział NFZ wyasygnował na badania poziomu magnezu w surowicy krwi
u 10-latków kwotę 1400 zł. Dla 20-elementowej próby pilotażowej otrzymano: x = 0, 9
mmol/l, s = 0, 05 mmol/l. Czy kwota ta jest wystarczająca dla oszacowania na poziomie
ufności 0,99 średniego poziomu magnezu w populacji 10-latków z dopuszczalnym błędem
szacunku równym 0,01 mmol/l? Koszt badania dla jednego pacjenta wynosi 10 zł. Założyć
normalność rozkładu.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
5. Parametryczne testy istotności
5.1. Testy istotności dla średniej
207. Pewien automat w fabryce czekolady wytwarza tabliczki czekolady o nominalnej wadze
250 g. Wiadomo, że rozkład wagi produkowanych tabliczek jest normalny N (m, 5). Kontrola techniczna pobrała w pewnym dniu próbę losową 16 tabliczek czekolady i otrzymała
ich średnią wagę 247 g. Czy można twierdzić, że automat rozregulował się i produkuje
tabliczki czekolady o mniejszej niż przewiduje norma wadze? Na poziomie istotności 0,05
zweryfikować odpowiednią hipotezę statystyczną.
208. Zakład L otrzymuje od zakładu N pręty stalowe, których średnia długość powinna wynosić 1 m. Odbiorca L złożył reklamację, że dostarczane pręty są krótsze. Dostawca N
w obecności odbiorcy L wylosował z dostarczanej partii próbę liczącą 10 prętów. Wyniki
pomiarów były następujące (w cm): 97, 101, 100, 102, 96, 99, 101, 98, 99, 100. Czy można
uznać reklamację odbiorcy L za słuszną? Do weryfikacji hipotezy przyjąć poziom istotności
0,05 oraz założyć, że rozkład długości prętów jest normalny.
209. Plony żyta w gospodarstwach indywidualnych pewnego województwa mają rozkład normalny o nieznanych parametrach. Przypuszcza się, że średnie plony są równe 30 q/ha. Czy
przypuszczenie to jest słuszne, jeżeli w próbie złożonej z 49 losowo wybranych gospodarstw
otrzymano: x = 28 q/ha oraz s = 4 q/ha? Przyjąć poziom istotności 0,05.
210. W stołówce studenckiej przeprowadzono kontrolę masy porcji obiadowej mięsa, która nominalnie powinna wynosić 120 g. Losowo wybrano a następnie zważono 40 porcji, uzyskując
wyniki: x = 118 g, s = 2, 7 g. Na poziomie istotności 0,02, zweryfikować, czy masa mięsa
jest zgodna z masą nominalną.
211. Sklep spożywczy otrzymał dostawę rodzynek w torebkach, z których każda powinna ważyć
średnio 10 dag. Ponieważ zdarzały się reklamacje co do wagi zakupionych bakalii, wybrano
losowo 10 torebek, zważono je i uzyskano następujące wyniki: 10,5, 9,3, 9,5, 10,3, 10,9,
8,7, 9,9, 10,1, 10,5, 10,2. Przy poziomie istotności α = 0, 1 zweryfikować hipotezę, że
przeciętna waga rodzynek w torebkach jest zgodna z podaną na opakowaniu, przyjmując,
że badana cecha ma rozkład normalny.
212. Kiedy w drzewostanie sosnowym II klasy wieku liczba gąsienic barczatki sosnówki wyniesie
przeciętnie pod jednym drzewem 50 lub więcej sztuk, wówczas należy przystąpić do zakładania na drzewach pierścieni lepowych, co stanowi sposób zwalczania tego szkodnika.
Przyjmując poziom istotności 0,05, zbadać, czy próba o liczebności 9 drzew, dla której
x = 45 i s = 10 gąsienic, stanowi sygnał do zwalczania barczatki.
213. Zmierzono czasy pracy 10 wylosowanych bateryjek radiowych i otrzymano następujące
wyniki (w godz.): 29, 34, 37, 40, 35, 37, 34, 36, 33, 30. Zakładając, że czasy pracy mają
rozkład normalny na poziomie istotności 0,02 zweryfikować hipotezę, że wartość przeciętna
czasu pracy tego typu bateryjek jest mniejsza niż 35 godz.
214. Sklep ogrodniczy otrzymał dostawę nasion fasoli w torebkach, których średnia waga powinna być równa 10 dag. Ponieważ zdarzały się reklamacje, co do wagi zakupionych nasion, wybrano losowo 36 torebek, zważono je i w wyniku obliczeń otrzymano: x = 9, 94, s = 0, 24.
Przyjmując, że badana cecha ma rozkład normalny, na poziomie istotności
a) α = 0, 08,
b) α = 0, 05,
sprawdzić zasadność składanych reklamacji.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
28
Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej
215. Badania wykazały, że średnie zużycie paliwa w pewnym modelu samochodu wynosi 7
litrów na 100 km. Wprowadzono nowy model i po przeprowadzeniu 45-ciu jazd próbnych
otrzymano następujące wyniki: x = 6, 95, s = 0, 16. Czy na poziomie istotności
a) α = 0, 01,
b) α = 0, 05,
firma może twierdzić, że nowy model zużywa mniej paliwa? Założyć, że rozkład zużycia
paliwa jest normalny.
216. Dla celów dietetycznych konieczne jest ustalenie zawartości witaminy C w owocach agrestu.
Czy można przyjąć, że przeciętna zawartość tej witaminy w 100 g świeżych owoców jest
równa 35 mg, jeżeli na podstawie wyników badań 46 próbek 100-gramowych uzyskano:
x = 33, 625, s2 = 15, 11. Przyjąć α = 0, 05
217. W pewnym biochemicznym doświadczeniu bada się czas życia żywych komórek w pewnym
środowisku. Rozkład tego czasu można przyjąć za normalny. Dokonano 8 pomiarów i otrzymano następujące czasy życia tych komórek w badanym środowisku (w godz.): 4,7, 5,3,
4,0, 3,8, 6,2, 5,5, 4,5, 6,0. Przyjmując poziom istotności α = 0, 05 sprawdzić hipotezę, że
średni czas życia tych komórek w tym środowisku jest dłuższy niż 4 godziny.
218. Konsumenci twierdzą, że waga netto dżemu produkowanego w słoikach przez pewien zakład
jest mniejsza, niż podano na etykiecie, czyli mniej niż 495 g. Dla zbadania czy skarga jest
słuszna, z partii słoików produkowanych przez ten zakład wylosowano 15 sztuk i zważono
je otrzymując x = 493, 4 g oraz s = 7, 48 g.
Zakładając, że waga dżemu w słoikach ma rozkład normalny, zbadać, na poziomie istotności α = 0, 05 czy skarga konsumentów jest uzasadniona.
219. Dzienne zużycie wody w zakładzie jest zmienną losową o rozkładzie N (1000, 200). Na
podstawie obserwacji przez 196 dni w roku stwierdzono, że średnie dzienne zużycie wody
wynosi x = 1025 m3 . Na poziomie istotności α = 0, 05, sprawdzić, czy średnie rzeczywiste zużycie wody różni się istotnie od teoretycznego. Rozważyć dwie (sensowne) postacie
hipotezy alternatywnej.
220. W drzewostanie sosnowym IV klasy wieku z drzew zebrano jaja brudnicy mniszki uzyskując na 6 drzewach: 820, 1500, 780, 1000, 600 i 1300 jaj. Krytyczna średnia liczba jaj
od której należy przystąpić do zwalczania brudnicy wynosi 1200 na drzewo. Zakładając
normalność rozkładu, sprawdzić na poziomie istotności
a) α = 0, 05,
b) α = 0, 2,
czy należy przystąpić do zwalczania szkodnika.
221. Zmierzono wysokości 40 świerków wylosowanych z drzewostanu Węgierska Górka i otrzymano: x = 21, 5, s = 3, 3. Czy można twierdzić, że średnia wysokość świerka jest większa
niż 20 m? Przyjąć α = 0, 1 oraz założyć, że rozkład wysokości świerków jest normalny.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
5. Parametryczne testy istotności
29
5.2. Testy istotności dla dwóch średnich
222. Porównano długość śledzia bałtyckiego i atlantyckiego. Losowo wybrano 100 śledzi bałtyckich i otrzymano: x1 = 28 cm, s1 = 3 cm, a dla 100 śledzi atlantyckich: x2 = 33 cm,
s2 = 4 cm. Zakładając, że rozkład badanej cechy w obu populacjach śledzi jest normalny,
na poziomie istotności 0,01 zweryfikować hipotezę, że śledzie atlantyckie osiągają większą
średnią długość.
223. W teście badającym pamięć uczniów, dla 10 wylosowanych uczniów otrzymano następujące
liczby zapamiętanych przez nich elementów: 21, 16, 21, 14, 17, 25, 17, 22, 19, 17. Natomiast
po specjalnym treningu pamięci grupa ta wykazała następujące wyniki: 25, 23, 19, 25, 18,
17, 19, 15, 23, 22. Przyjmując poziom istotności α = 0, 05 zweryfikować hipotezę, że trening
zwiększa średnią liczbę zapamiętanych przez uczniów elementów (zastosować test dla par
wiązanych).
224. Pewnej grupie 12 pacjentów leczonych na nadciśnienie podawano odpowiedni lek. Wyniki
pomiarów ciśnienia tętniczego krwi były w tej grupie przed leczeniem następujące (w mm
Hg): 220, 180, 270, 290, 200, 300, 250, 190, 220, 230, 260, 270. Natomiast po pewnym
okresie leczenia pacjenci ci mieli odpowiednio ciśnienie: 190, 170, 220, 260, 220, 200, 260,
150, 160, 170, 210, 190. Przyjmując poziom istotności α = 0, 01 zweryfikować hipotezę, że
lek ten powoduje spadek ciśnienia u pacjentów (zastosować test dla par wiązanych).
225. Opracowano dwie metody produkcji pewnego wyrobu. W metodzie A zaobserwowano następujące liczby zużycia surowca w kg na jednostkę wyrobu: 17, 11, 20, 18, 19, 13, 14, 16, zaś
w metodzie B: 15, 12, 10, 18, 14, 16, 13. Zakładając, że zużycie surowca w metodzie A i B
na jednostkę wyprodukowanego wyrobu ma rozkład normalny o równych wariancjach, na
poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że przeciętne zużycie surowca na jednostkę
wyrobu w metodach A i B jest różne.
226. Zmierzono w dwóch losowych próbach długość ziaren fasoli. Otrzymano następujące wyniki:
odmiana A: x1 = 11, 9 mm, s1 = 2, 1 mm, n1 = 100,
odmiana B: x2 = 12, 3 mm, s2 = 1, 8 mm, n2 = 100.
Zakładamy, że rozkład badanej cechy w obu populacjach jest rozkładem normalnym. Na
poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że przeciętna długość ziaren w populacjach
A i B jest taka sama.
227. Badano wpływ koszenia liści po zbiorach na plon owoców na plantacji truskawek. Zabieg koszenia zastosowano w drugim roku uprawy. Dla wybranych losowo roślin uzyskano
następujące wyniki określające łączny plon owoców z trzech lat:
x1 = 8, 4 kg, s1 = 0, 5 kg, n1 = 50 dla roślin bez zabiegu,
x2 = 8, 7 kg, s2 = 1, 2 kg, n2 = 60 dla roślin z zastosowanym zabiegiem.
Na poziomie istotności
a) α = 0, 1,
b) α = 0, 01,
zweryfikować hipotezę, że średnie plony są takie same, przeciw alternatywnej, że dla roślin
bez zabiegu średni plon jest mniejszy.
228. Dwóm grupom robotników zlecono wykonanie tej samej pracy z tym jednak, że robotnicy grupy drugiej przeszli wcześniej odpowiednie przeszkolenie. Zaobserwowana wydajność
pracy w pierwszej grupie kształtowała się następująco (w szt/h): 17,3, 17,6, 17,8, 16,7,
18,1, podczas gdy w drugiej grupie zaobserwowano następujące wydajności: 18,2, 17,7,
18,1, 17,1, 18,6, 18,3. Zakładając, że wydajność pracy ma rozkład normalny zweryfikować
hipotezę, że przeszkolenie zwiększa średnią wydajność pracy . Przyjąć α = 0, 1.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
30
Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej
229. Porównywano średnią wysokość 2 gatunków cisów i dla roślin 5-letnich uzyskano następujące wyniki (w cm): x1 = 84, s1 = 5, n1 = 14 oraz x2 = 79, s2 = 6, n2 = 16. Na poziomie
istotności
a) α = 0, 05,
b) α = 0, 01,
zweryfikować hipotezę, że średnie wysokości są równe przeciw alternatywnej, że 1-szy gatunek ma większy średni przyrost. Zakładamy, że w obu populacjach badana cecha ma
rozkład normalny o równych wariancjach.
230. W województwie śląskim i małopolskim dokonano pomiarów 5-letniego przyrostu wysokości 20-letnich drzewostanów sosnowych. Otrzymano następujące wyniki:
Śląsk: n1 = 19, x1 = 66 cm, s1 = 3 cm,
Małopolska: n2 = 23, x2 = 70 cm, s2 = 2, 7 cm.
Zakładamy, że w obu populacjach 5-letni przyrost wysokości badanych drzewostanów ma
rozkład normalny o równych wariancjach. Przyjmując poziom istotności 0,05, zweryfikować hipotezę, że średni 5-letni przyrost wysokości drzewostanu sosnowego jest większy
w Małopolsce.
231. W drzewostanie mieszanym świerkowo-sosnowym o przeciętnym wieku sosny 179 lat, wyróżniono dwie populacje świerka: populację drzew zdrowych i populację drzew porażonych
przez hubę korzeniową. Z obu populacji pobrano próbę liczącą po 46 świerków i określono
dla każdego drzewa 5-letni przyrost pierśnicy. Dla próby pobranej z populacji drzew zdrowych otrzymano x1 = 7, 87 mm i s1 = 4, 01 mm, a dla próby pobranej z populacji drzew
porażonych hubą korzeniową otrzymano x2 = 6, 2 mm i s2 = 2, 28 mm. Przyjmując poziom istotności 0, 01 zbadać istotność różnicy między średnimi, przy założeniu, że rozkład
badanej cechy jest normalny. Rozważyć dwie postacie hipotezy alternatywnej.
232. Wybrani studenci matematyki i fizyki na pewnej uczelni uzyskali następujące średnie wyników nauczania: x1 = 3, 6, x2 = 4, 1, przy czym n1 = n2 = 50. Na poziomie istotności
α = 0, 08 zweryfikować hipotezę, że średnie oceny na obu kierunkach są takie same. Założyć, że próby pochodzą z populacji o rozkładzie normalnym i wariancji równej 3. Rozważyć
dwie postacie hipotezy alternatywnej.
233. Badano zawartość nikotyny w dwóch gatunkach papierosów. Dla próby liczącej 60 papierosów gatunku A otrzymano x1 = 23, 2 mg, s1 = 1, 1 mg. Natomiast dla próby liczącej
50 papierosów gatunku B otrzymano x2 = 23, 8 mg, s2 = 1, 3 mg. Czy można uważać, na
poziomie istotności 0,01, że przeciętna zawartość nikotyny w papierosach gatunku A jest
niższa niż w papierosach gatunku B? Zakładamy, że rozkład zawartości nikotyny dla obu
gatunków jest rozkładem normalnym.
234. Dla 7 losowo wybranych roślin chmielu wykonano następujące doświadczenie laboratoryjne: zapylono jedną połowę każdej kwitnącej rośliny, a drugiej nie zapylono. Otrzymano
następujący plon z tych roślin (masa nasion na 10 g chmielu):
część zapylona
0,75
0,73
0,40
0,89
0,82
0,56
0,65
część niezapylona
0,18
0,09
0,29
0,26
0,27
0,17
0,11
Przyjmując α = 0, 05 zweryfikować hipotezę, że zapylenie zwiększa średnią masę nasion
chmielu. Zastosować test dla par wiązanych oraz założyć normalność rozkładów.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
5. Parametryczne testy istotności
31
235. W celu porównania zawartości witaminy C dla dwóch gatunków porzeczek pobrano 8
próbek owoców czarnej i 7 owoców czerwonej porzeczki otrzymując następujące wyniki
pomiarów (w mg/100 g):
czarna: 48, 42, 50, 56, 55, 45, 60, 44,
czerwona: 40, 41, 42, 38, 48, 32, 39.
Zweryfikować hipotezę o jednakowej średniej zawartości witaminy C w obu gatunkach
zakładając normalność rozkładów i równość wariancji. Przyjąć α = 0, 1.
236. Pojemność płuc studentów uprawiających czynnie sport ma rozkład normalny z odchyleniem standardowym 440 cm3 , natomiast studentów nie uprawiających sportu ma rozkład
normalny z odchyleniem standardowym 620 cm3 . Z obu populacji studentów wylosowano
próby i zmierzono średnią pojemnośc płuc każdego studenta otrzymując dla 40 studentów uprawiających sport średnią równą 4080 cm3 , a dla 50 pozostałych średnią równą
3615 cm3 . Sprawdzić, czy na podstawie powyższych danych można twierdzić, że uprawianie sportu zwiększa średnią pojemność płuc. Przyjąć poziom istotności α = 0, 02.
237. Wydział Ochrony Środowiska Urzędu Miasta w Czarnkowicach postanowił zasadzić topole
wzdłuż Alei Topolowej. W ofercie są dwa gatunki topól: Robusta i Hybrida. Postanowiono wybrać ten gatunek, który charakteryzuje się większym średnim rocznym przyrostem
wysokości. Lokalna firma ogrodnicza, w wyniku wieloletnich badań, uzyskała następujące
wyniki:
Robusta: 112, 93, 121, 80, 97, 125, 118, 104, 113,
Hybrida: 98, 96, 94, 107, 93, 99, 82, 115.
Który gatunek topoli powinni wybrać urzędnicy? Przyjąć α = 0, 1 oraz założyć, że rozkład
przyrostu wysokości jest normalny.
238. Dwa 70 - letnie drzewostany sosnowe miały takie same: przeciętną pierśnicę, wysokość,
miąższość i przyrost wysokości. Około 30 lat temu jeden z drzewostanów znalazł się w zasięgu emisji nowo wybudowanego zakładu wapienniczego. Z obu drzewostanów pobrano
próby 6 elementowe i zmierzono 30 letnie przyrosty pierśnic (w cm.):
I drzewostan: 13, 9, 19, 18, 11, 14,
II drzewostan (w zasięgu emisji): 7, 5, 9, 14, 13, 12.
Na poziomie istotności 0,05 sprawdzić, czy wybudowanie zakładu spowodowało zmniejszenie średniego przyrostu pierśnic. Założyć normalność rozkładów i równość wariancji.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
32
Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej
5.3. Testy istotności dla wariancji
239. W szklarni pewnego gospodarstwa ogrodniczego pobrano losowo próbę 20 goździków i zmierzono ich długość, otrzymując s = 3, 35 cm. Zakładając, że długość goździków ma rozkład
normalny, na poziomie istotności 0,05, zweryfikować hipotezę, że wariancja goździków
szklarniowych wynosi 6,5 cm2 , przeciw hipotezie, że jest ona większa od 6,5 cm2 .
240. Sadzonki sosny posadzono na powierzchni doświadczalnej nowo skonstruowaną sadzarką.
Postawmy żądanie dotyczące precyzji sadzenia − korzenie sadzonek powinny być umieszczone na odpowiedniej głębokości w ziemi z dopuszczalnym odchyleniem standardowym
równym 5 mm. Dla próby złożonej z 26 sadzonek, uzyskano odchylenie standardowe głębokości sadzenia s = 5, 8 mm. Zakładając, że rozkład głębokości sadzenia jest normalny,
na poziomie istotności
a) α = 0, 1,
b) α = 0, 05,
ocenić, czy sadzarka spełniła postawiony wymóg.
241. W szklarni pewnego gospodarstwa ogrodniczego pobrano losowo próbę 46 róż, zmierzono
ich długość i otrzymano następujące wyniki: (w cm): x = 60, 8, s = 2, 6 cm. Zakładając,
że długość róż ma rozkład normalny, na poziomie istotności 0,02, zweryfikować hipotezę
H0 : σ 2 = 7, wobec hipotezy alternatywnej HA : σ 2 6= 7.
242. Sklep spożywczy otrzymał dostawę maku w torebkach. Podczas kontroli wylosowano i zważono 12 torebek uzyskując następujące wyniki (w g): x = 485, s = 9, 3. Zakładając
normalność rozkładu, na poziomie istotności α = 0, 1 zweryfikować hipotezę H0 : σ = 10,
wobec hipotezy alternatywnej HA : σ < 10.
243. Temperatura w chłodni ma rozkład normalny o nieznanych parametrach. Wykonano 20
niezależnych pomiarów i na ich podstawie otrzymano s = 2, 3o C. Zweryfikować hipotezę
H0 : σ = 2o C, wobec hipotezy alternatywnej HA : σ > 2o C. Przyjąć α = 0, 1.
244. Do produkcji pewnego typu baterii używane są metalowe płytki o średnicy 6 mm. Jeśli
wariancja średnicy płytki jest nie większa niż 1 mm2 , produkcja jest kontynuowana. Jeśli
wariancja przekracza 1 mm2 proces produkcji trzeba przerwać. W celu przeprowadzenia
kontroli pobrano losowo próbę 28 płytek i obliczono wariancję s2 = 1, 34. Czy na poziomie
istotności
a) α = 0, 01,
b) α = 0, 1,
możemy podjąć decyzję o przerwaniu produkcji? Założyć, że badana cecha ma rozkład
normalny.
245. Zebrano następujące plony z pewnej odmiany leszczyny szlachetnej, w kilogramach z krzaka: 2,45, 3,81, 2,60, 4,12, 5,05, 4,28, 5,20, 4,62, 3,85, 4,52. Zakładamy, że rozkład plonów
leszczyny jest normalny. Na poziomie istotności 0,05, zweryfikować hipotezę, że wariancja
plonu leszczyny szlachetnej wynosi 0,85, przeciw hipotezie, że jest ona różna od 0,85.
246. Przeciętne zróżnicowanie czasu wykonania pojedynczego detalu przy produkcji pewnego
wyrobu powinno wynosić 10 minut. Wylosowano 80 stanowisk roboczych i ustalono, że
odchylenie standardowe czasu wykonania tego detalu wynosi s = 12 minut. Zakładając,
że rozkład czasu wykonania detalu jest normalny, zweryfikować hipotezę, że odchylenie
standardowe faktycznie nie odbiega od wartości teoretycznej. Przyjąć α = 0, 04.
247. Dla zbadania wariancji wysokości powojnika Clematis ”Błękitny Anioł” zmierzono wysokości 10 roślin (w m): 3,9, 4,3, 3,9, 3,7, 4,5, 4,8, 3,5, 3,2, 4,5, 4,7.
Zakładając normalność rozkładu rozstrzygnąć, czy można twierdzić, że odchylenie standardowe wysokości jest mniejsze niż 0,6. Przyjąć α = 0, 1.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
5. Parametryczne testy istotności
33
248. W celu zbadania dokładności urządzenia pomiarowego dokonano 40 pomiarów pewnej
wielkości uzyskując s2 = 0, 45 mm2 . Na poziomie istotności α = 0, 1, sprawdzić, czy
można twierdzić, że wariancja pomiarów jest wyższa niż zadeklarowana przez producenta
urządzenia tj. 0, 4 mm2 . Założyć normalność rozkładu pomiarów.
249. Badano zróżnicowanie wzrostu 10 - letnich chłopców. W tym celu pobrano próbę 15 elementową i obliczono (w cm) x = 143, s = 3, 1. Na poziomie istotności 0,05 sprawdzić,
czy można twierdzić, że odchylenie standardowe jest mniejsze niż 4. Założyć normalność
rozkładu wzrostu.
250. Nowa metoda pomiaru długości powinna zapewnić odchylenie standardowe nie większe niż
0,5 cm. Stosując ją dokonano 15 pomiarów tej samej działki otrzymując x = 1425, 3 cm oraz
s2 = 0, 37 cm2 . Czy wynik ten neguje skuteczność nowej metody z prawdopodobieństwem
a) 0,9,
b) 0,95?
Założyć normalność rozkładu długości.
5.4. Testy istotności dla dwóch wariancji
251. Z dwóch drużyn piłkarskich wybrano losowo po 8 zawodników. Wariancja wzrostu wylosowanych piłkarzy wynosiła w I drużynie: ŝ21 = 5, 28 cm2 , a w II drużynie: ŝ22 = 4, 96
cm2 . Zakładając, że rozkład wzrostu piłkarzy w obu drużynach jest rozkładem normalnym,
zweryfikować hipotezę, że wariancje wzrostu zawodników w obu drużynach są jednakowe.
Przyjąć poziom istotności 0,02.
252. Dla sprawdzenia stabilności pracy maszyny pobrano dwie próbki: pierwszą w początkowym
okresie eksploatacji oraz drugą po miesięcznym okresie pracy tej maszyny i wykonano
pomiary wylosowanych produktów. Otrzymano:
dla pierwszej próbki: n1 = 25, ŝ21 = 0, 1447,
dla drugiej próbki: n2 = 19, ŝ22 = 0, 1521.
Zakładając, że rozkład badanej cechy jest normalny, na poziomie istotności α = 0, 1 zweryfikować hipotezę o równości wariancji wymiarów wykonanych produktów w badanych
okresach (tzn. hipotezę o nierozregulowaniu się maszyny w sensie stabilności rozproszenia
mierzonego wymiaru produktów).
253. Dwaj zawodnicy skaczą w dal. W czasie treningu zawodnik A oddał 10 skoków o następującej długości (w m): 9,0, 7,8, 8,0, 7,9, 7,6, 8,2, 7,5, 8,1, 7,7, 8,1. Zawodnik B natomiast
6 skoków o długości (w m) 8,0, 7,6, 7,8, 8,2, 7,9, 7,7. Czy na poziomie istotności 0,05
można twierdzić, że zawodnik B jest bardziej regularny niż zawodnik A? Zakładamy, że
rozkład długości skoków obu zawodników jest normalny.
254. W celu stwierdzenia, czy wariancje ocen uzyskanych na egzaminie z pewnego przedmiotu
przez studentów dwóch wydziałów pierwszego roku pewnej uczelni są jednakowe, dla losowo
wybranej z każdego wydziału grupy 30 studentów obliczono wariancje ocen, otrzymując:
ŝ21 = 1, 4, ŝ22 = 0, 9. Zakładając, że rozkłady ocen są normalne, na poziomie istotności
α = 0, 1 zweryfikować hipotezę o równości wariancji ocen dla wszystkich studentów pierwszego roku tych dwóch wydziałów.
255. W drzewostanie mieszanym świerkowo-sosnowym z populacji zdrowych świerków pobrano
próbę o liczebności 12 drzew, dla której otrzymano s1 = 4, 01 mm. Z populacji świerków
porażonych hubą korzeniową pobrano próbę o liczebności 16 drzew, dla której s2 = 2, 78
mm. Przyjmując poziom istotności 0,02, zbadać, czy wariancje w obu populacjach mają
takie same wartości.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
34
Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej
5.5. Testy istotności dla wskaźnika struktury
256. Celem przeprowadzenia oceny owoców buka zebrano w drzewostanie 600 bukwi. Ocena
wykazała, że 162 bukwie są płonne lub uszkodzone przez owady. Ponieważ nadleśnictwo
może podjąć decyzję o zbiorze bukwi w przypadku, kiedy liczba owoców płonnych lub
uszkodzonych przez owady jest mniejsza od 30%, należy zbadać na poziomie istotności
0,05, czy decyzja dotycząca zbioru bukwi może być podjęta.
257. Sondaż opinii publicznej na temat frekwencji oczekiwanej na wyborach do samorządu
wykazał, że w losowo wybranej grupie 2500 osób, 1600 zamierza uczestniczyć w głosowaniu.
Czy na poziomie istotności równym 0,03 można przyjąć, że 60% ogółu osób zamierza wziąć
udział w wyborach do samorządu?
258. W magazynie żywnościowym wylosowano niezależnie 120 składowanych tam skrzynek z cytrynami i po zbadaniu ich okazało się, że w 16 skrzynkach znaleziono zepsute cytryny. Na
poziomie istotności 0,05, zweryfikować hipotezę, że przechowywana partia zawiera więcej
niż 5% skrzynek z zepsutymi cytrynami.
259. W jednej z politechnik wylosowano niezależnie próbę 150 studentów, z których jedynie 45
zdało wszystkie egzaminy w pierwszym terminie. Na poziomie istotności 0,05, zweryfikować
hipotezę, że mniej niż trzecia część studentów zdaje egzaminy w pierwszym terminie.
260. W czasie transportu ze szklarni zakładu ogrodniczego do sklepu może ulec uszkodzeniu
5% kwiatów. Wśród dostarczonych do sklepu 250 chryzantem uszkodzeniu uległo 17 sztuk.
Zweryfikować hipotezę, że frakcja uszkodzonych kwiatów chryzantem jest zgodna z przewidywaną normą. Przyjąć α = 0, 1.
261. Z drzewostanu mieszanego pobrano próbę 150 drzew iglastych i stwierdzono, że 18 z nich
jest porażonych przez korzeniowiec wieloletni. Czy można twierdzić, na poziomie istotności
0,1, że frakcja drzew chorych wynosi w drzewostanie 15%?
262. Gdy frakcja drzew mających na najmłodszych pędach wierzchołkowych igły uszkodzone
przez choinka szarego będzie równa co najmniej 30%, należy przystąpić do zwalczania
szkodnika. Zaobserwowano, że wśród 300 drzew 85 ma uszkodzone igły. Na poziomie istotności α = 0, 05 sprawdzić, czy ingerencja jest już konieczna.
263. Opracowano nową metodę wyznaczania współrzędnych (X, Y ) punktu. W celu jej zweryfikowania wyznaczono 40 - krotnie współrzędne tego samego punktu (którego współrzędne
(X0 , Y0 ) były wcześniej wyznaczone inną metodą, którą można uznać za dokładną), a następnie dla każdego pomiaru obliczono odległość (X, Y ) od (X0 , Y0 ). Nowa metoda będzie
uważana za równie dokładna, jak stara, jeśli więcej niż 90 % punktów (X, Y ) będzie leżeć
w odległości mniejszej niż 1 cm od (X0 , Y0 ). Okazało się, że 38 współrzędnych spełnia ten
warunek. Na poziomie istotności α = 0, 05 dokonać weryfikacji.
264. Z populacji pobrano próbę 150 osób. Wśród nich 117 było nosicielami gronkowca złocistego. Czy można twierdzić, że frakcja nosicieli gronkowca jest mniejsza niż 80%? Użyć
α = 0, 1.
265. Przyjmuje się, że przy prawidłowym przechowywaniu ziarna pszenicy przez okres 12 miesięcy do 5% ziaren może ulec zepsuciu. Z populacji pobrano losowo 200 ziaren i stwierdzono,
że 14 z nich jest zepsutych. Czy można twierdzić, że odsetek zepsutych jest zbyt duży
w stosunku do dopuszczalnego, np. na skutek złego przechowywania? Użyć α = 0, 1.
266. Badając drzewostan świerkowy Puszczy Knyszyńskiej stwierdzono, że duża część populacji została zaatakowana przez kornika drukarza. Na 230 wylosowanych świerków u 30
zaobserwowano typowe objawy obecności szkodnika. Czy na poziomie istotności
a) α = 0, 08,
b) α = 0, 01
można twierdzić, że odsetek zaatakowanych jest większy niż 10%?
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
5. Parametryczne testy istotności
35
267. Na 800 zbadanych pacjentów pewnego szpitala 320 miało grupę krwi „0”. Na poziomie
istotności 0,05, zweryfikować hipotezę, że procent pacjentów z tą grupą krwi wynosi 35%.
5.6. Testy istotności dla dwóch wskaźników struktury
268. Badając wpływ nowego leku na poprawę stanu zdrowia diabetyków podzielono ich na
dwie grupy. Z pierwszej wylosowano 300 osób, którym podano nowy lek. U 240 stwierdzono, po ustalonym okresie leczenia, powrót poziomu cukru w organizmie do normy.
Natomiast z drugiej grupy wylosowano 200 chorych, których leczono lekami tradycyjnymi
i u 124 pacjentów stwierdzono powrót poziomu cukru do normy. Na poziomie istotności
0,01 zweryfikować hipotezę o większym procencie wyzdrowień w grupie pacjentów, która
otrzymywała nowy lek.
269. W odpowiedzi na pewną ankietę na 300 wylosowanych pracowników pewnego zakładu,
pracujących w produkcji, 52 pracowników oświadczyło, że pragnie zmienić swoje stanowisko na inne. Natomiast na takie samo pytanie skierowane do 200 pracowników zaplecza
technicznego i administracji 26 wyraziło chęć zmiany stanowiska. Na poziomie istotności
0,05 zweryfikować hipotezę o jednakowym odsetku pracowników produkcji i administracji
pragnących zmienić swe dotychczasowe stanowisko pracy.
270. 23 z 251 osób, które zostały zaszczepione przeciw grypie, zachorowało na nią, natomiast
wśród 214 osób nie szczepionych zachorowało 91. Czy można wyciągnąć wniosek, że ta
szczepionka jest skuteczna? Zastosować test dla dwóch frakcji przyjmując α = 0, 05.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
6. Nieparametryczne testy istotności
Uwaga! Minimalną liczebność klasy w teście χ2 ustalono na 5.
271. Wylosowano 250 robotników i zbadano ich pod względem liczby wytwarzanych braków
w partii 100 sztuk wyrobów. Otrzymano następujące wyniki:
liczba braków
0
1
2
3
4
liczba robotników
54
82
64
30
20
Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że rozkład liczby wytwarzanych braków
w populacji generalnej jest w stosunku 4:8:5:2:1.
272. Zbadano 300 losowo wybranych 5-sekundowych odcinków czasowych pracy pewnej centrali
telefonicznej i otrzymano następujący empiryczny rozkład liczby zgłoszeń:
liczba zgłoszeń
liczba odcinków
0
50
1
100
2
80
3
40
4
20
5
10
Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że rozkład liczby zgłoszeń w centrali
jest rozkładem Poissona.
273. W celu sprawdzenia, czy kostka sześcienna do gry jest rzetelna (symetryczna), wykonano
120 rzutów tą kostką i otrzymano następujące wyniki:
liczba oczek
liczba rzutów
1
2
3
4
5
6
11
30
14
10
33
22
Na poziomie istotności α = 0, 05 zweryfikować hipotezę, że wszystkie liczby oczek w rzucie
tą kostką mają identyczne prawdopodobieństwo wyrzucenia.
274. W pewnym doświadczeniu mierzony jest czas określonego efektu świetlnego. Przeprowadzono 140 doświadczeń i otrzymano następujące wyniki:
czas efektu świetlnego
0−0,2
0,2−0,4
0,4−0,6
0,6−0,8
0,8−1
liczba doświadczeń
10
30
45
34
21
Korzystając z testu zgodności χ2 zweryfikować hipotezę, że rozkład czasu efektu świetlnego
jest rozkładem normalnym. Przyjąć poziom istotności α = 0, 05. Estymatory zaokrąglić
do 2-go miejsca po przecinku.
275. W pewnym drzewostanie dokonano pomiaru wysokości 200 drzew i uzyskano następujące
wyniki:
wysokość (w m) 0−26 26−52 52−78 78−104 104−130
liczba drzew
14
46
69
51
20
Na poziomie istotności 0,01 zweryfikować hipotezę, że rozkład wysokości drzew badanego
drzewostanu jest N (70, 28).
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
6. Nieparametryczne testy istotności
37
276. W WSSE w Krakowie przeprowadzono badania czasu trwania pewnej reakcji chemicznej.
W tym celu wykonano 180 niezależnych prób tego eksperymentu i otrzymano następujące
wyniki:
czas trwania (w s) 1−2 2−3 3−4 4−5 5−6
liczba doświadczeń
9
16
30
48
77
Korzystając z testu zgodności χ2 , na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że
badany czas ma rozkład, którego gęstość jest postaci
f (x) =



 0
dla x < 0,


 0
dla x > 6.
1 2
72 x
dla x ∈ [0, 6],
277. Automat paczkuje kostki masła o nominalnej wadze 250 g. Zważono 200 kostek i uzyskano
następujące wyniki:
waga (w g)
248−248,4
248,4−248,8
248,8−249,2
249,2−249,6
249,6−250
liczba kostek
15
45
70
50
20
Korzystając z testu λ-Kołmogorowa, na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę,
że waga kostek masła ma rozkład normalny. Estymatory zaokrąglić do 2-go miejsca po
przecinku.
278. Rejestrując straty czasu na skutek przestoju maszyn i urządzeń otrzymano dla dwóch
wydziałów pewnego zakładu następujące wyniki:
Straty czasu (w min)
0−10
10−20
20−30
30−40
Liczba stanowisk na wydziale I
10
14
15
11
Liczba stanowisk na wydziale II
20
30
40
10
a) Zweryfikować hipotezę, że rozkład strat czasu na obydwu wydziałach jest taki sam.
Przyjąć α = 0, 05.
b) Czy można uważać na poziomie istotności 0,05, że rozkład strat czasu na wydziale II
jest rozkładem N (20, 9)?
279. W pewnym drzewostanie dokonano pomiaru wysokości 200 drzew i uzyskano następujące
wyniki:
wysokość (w m) 0−26 26−52 52−78 78−104 104−130
liczba drzew
15
45
70
50
20
W wyniku obliczeń otrzymano: x = 67, s = 28. Korzystając z testów zgodności: χ2 ,
λ-Kołmogorowa, na poziomie istotności 0,01 zweryfikować hipotezę, że rozkład wysokości
drzew badanego drzewostanu jest rozkładem normalnym.
280. Młodnik bukowy podzielono na 500 małych działek, po czym na każdej działce policzono
drzewa i otrzymano następujący rozkład liczby drzew:
liczba drzew
liczba działek
0
182
1
185
2
92
3
30
4
11
Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że rozkład liczby drzew jest rozkładem
Poissona z parametrem λ = 1.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
38
Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej
281. Zaobserwowane liczby roślin ostu na poletkach o powierzchni 20 m2 przedstawia poniższy
szereg:
liczba roślin ostu 0
1
2
3
4
liczba poletek
22
58
70
39
11
Na poziomie istotności 0,01 zweryfikować hipotezę, że rozkład ten jest w stosunku 2:6:7:4:1.
282. Wylosowano 250 robotników i zbadano ich pod względem liczby wytwarzanych braków
w partii 100 sztuk wyrobów. Otrzymano następujące wyniki:
liczba braków
0
1
2
3
4
liczba robotników
54
82
64
30
20
Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że rozkład liczby wytwarzanych braków
w populacji generalnej jest rozkładem Poissona z parametrem λ = 1, 5.
283. Dla 200 próbek betonu przeprowadzono badanie wytrzymałości na ściskanie i uzyskano
wyniki (w kg/cm2 ) zapisane w tabeli:
wytrzymałość
190−200
200−210
210−220
220−230
230−240
240−250
liczba próbek
10
26
56
64
30
14
Na poziomie istotności 0,1 zweryfikować hipotezę, że rozkład wytrzymałości jest rozkładem
N (221, 12).
284. Wykonano 200 serii po 6 niezależnych rzutów pewną monetą i uzyskano następujące liczby
wyrzuconych orłów:
liczba orłów w serii
liczba serii
0
7
1
18
2
45
3
60
4
46
5
19
6
5
Na poziomie istotności 0,1 zweryfikować hipotezę, że liczba orłów wyrzuconych na tej
monecie w serii rzutów ma rozkład dwumianowy z parametrem p = 12 .
285. Wylosowano 300 robotników i zbadano ich pod względem liczby wytwarzanych braków
w partii 100 sztuk wyrobów. Otrzymano następujące wyniki:
liczba braków
0
1
2
3
liczba robotników
99
138
39
24
Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że rozkład liczby wytwarzanych braków
w populacji generalnej jest rozkładem Poissona z parametrem λ = 0, 9.
286. W pewnym drzewostanie mieszanym sosnowo-brzozowo-dębowym dokonano pomiaru wysokości losowo wybranych 100 drzew i uzyskano następujące wyniki:
wysokość (w metrach)
(41, 43]
(43, 45]
(45, 47]
(47, 49]
(49, 51]
liczba drzew
10
26
35
21
8
Na poziomie istotności 0,01, zweryfikować hipotezę, że wysokość drzew badanego drzewostanu ma rozkład N (46, 2).
287. Młodnik bukowy podzielono na 500 małych działek, po czym na każdej działce policzono
drzewa i otrzymano następujący rozkład liczby drzew:
liczba drzew
liczba działek
0
182
1
185
2
92
3
30
4
11
Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że rozkład liczby drzew jest w stosunku
8:8:4:2:1.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
6. Nieparametryczne testy istotności
39
288. Ogrodnik podzielił wszystkie sadzonki pomidorów na 90 skrzynek po 5 sztuk. Po pewnym
czasie zauważył, że część z nich choruje:
liczba chorych
liczba skrzynek
0
1
2
3
4
5
33
15
16
16
8
2
Sprawdzić zgodność liczby chorych sadzonek z rozkładem Bernoulliego, przyjąć α = 0, 01.
Estymator parametru p rozkładu teoretycznego zaokrąglić do pierwszego miejsca po przecinku.
289. Dokonano pomiaru 160 liści pewnego gatunku otrzymując następujący rozkład ich długości
(w mm):
długość liścia
liczba liści
0−5
5 − 10
10 − 15
15 − 20
20 − 25
25 − 30
30 − 35
35 − 40
40 − 45
2
10
30
48
41
15
11
2
1
Na poziomie istotności α = 0, 05 zweryfikować hipotezę, że rozkład długości jest normalny.
Użyć testów χ2 oraz λ-Kołmogorowa. Estymatory zaokrąglić do pierwszego miejsca po
przecinku. Narysować na jednym obrazku histogram częstości znormalizowanej oraz wykres
hipotetycznej krzywej Gaussa.
290. Z populacji pobrano próbę 500 - elementową, której wartości ustawiono w szereg rozdzielczy:
wartości próby liczebność
1, 0 − 1, 5
1, 5 − 2, 0
2, 0 − 2, 5
2, 5 − 3, 0
3, 0 − 3, 5
3, 5 − 4, 0
22
64
84
83
103
144
Na poziomie istotności α = 0, 1 sprawdzić, czy próba pochodzi z populacji o rozkładzie
zadanym następującą funkcją gęstości:
f (x) =











1
3x
1
3
1
3x
0
−
1
3
−
2
3
dla x ∈ [1, 2),
dla x ∈ [2, 3),
dla x ∈ [3, 4)
poza tym.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
40
Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej
291. Dokonano 200 pomiarów długości sardynek (w cm), złowionych w pewnym rejonie Atlantyku i otrzymano następujący rozkład długości:
długość sardynki
10 − 12
12 − 14
14 − 16
16 − 18
18 − 20
20 − 22
liczebność
10
26
56
64
30
14
Na poziomie istotności 0,1 zweryfikować hipotezę, że rozkład długości sardynek jest normalny. Estymatory parametrów zaokrąglić do pierwszego miejsca po przecinku.
292. Młodnik sosnowy podzielono na 500 małych działek i na każdej działce policzono drzewa.
Otrzymano empiryczny rozkład liczby drzew na działce:
liczba drzew
liczba działek
0
1
2
3
4
5
6
182
185
92
30
8
2
1
Sprawdzić zgodność rozkładu liczby drzew z rozkładem Poissona, przyjąć α = 0, 05. Estymator parametru λ zaokrąglić do liczby całkowitej.
293. Zebrano informacje o liczbie zachorowań na grypę w pewnym województwie w kolejnych
dniach tygodnia:
dzień tygodnia liczba zachorowań
poniedziałek
wtorek
środa
czwartek
piątek
sobota
niedziela
350
270
240
260
270
190
150
Na poziomie istotności α = 0, 05 sprawdzić, czy rozkład liczby zachorowań jest równomierny.
294. Zbadano 100 niezależnych próbek pobranych z dużej zawiesiny drożdży i otrzymano następujący rozkład liczby komórek w próbkach:
liczba komórek
liczba próbek
0
1
2
3
4
5
10
27
29
19
8
7
Na poziomie istotności α = 0, 1 zweryfikować hipotezę, że rozkład ten jest rozkładem
Poissona. Estymator parametru λ zaokrąglić do liczby cakowitej.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
6. Nieparametryczne testy istotności
41
295. Grupa krwi ludzi w układzie AB0 jest wyznaczana trzema allelami: A, B i 0. W próbie
pobranej z pewnej narodowości stwierdzono 161 osobników 0, 229 A, 326 B oraz 124 AB. Na
poziomie istotności α = 0, 1 sprawdzić zgodność rozkładu grup krwi w populacji, z której
pochodzi próba z rozkładem danym tabelą:
grupa krwi
procent
0
20
A
25
B
40
AB
15
296. Firma telekomunikacyjna badała liczbę zgłoszeń w wybranej centrali telefonicznej w godzinach od 8.00 do 15.00, oto wyniki:
godzina
liczba zgłoszeń
8−9
9 − 10
10 − 11
11 − 12
12 − 13
13 − 14
14 − 15
1023
1112
1234
1520
1089
1321
1163
Na poziomie istotności α = 0, 1 sprawdzić, czy rozkład liczby zgłoszeń jest jednostajny
(prostokątny) na przedziale [8, 15].
297. Na podstawie przeprowadzonych transakcji zebrano informacje o cenach działek w dwóch
województwach:
cena za 1 ar ( tys. zł)
liczba sprzedanych działek
w województwie A
liczba sprzedanych działek
w województwie B
3, 5 − 4, 0
4, 0 − 4, 5
4, 5 − 5, 0
5, 0 − 5, 5
5, 5 − 6, 0
6, 0 − 6, 5
6, 5 − 7, 0
7, 0 − 7, 5
7, 5 − 8, 0
8, 0 − 8, 5
10
22
25
39
69
60
42
23
10
−
−
15
33
46
72
55
47
22
11
9
Zweryfikować testem Kołmogorowa-Smirnowa hipotezę, że rozkłady cen są takie same.
Użyć α = 0, 05.
298. Zebrano informacje o cenach działek w województwach dolnośląskim (D), małopolskim
(M ) i wielkopolskim (W ) (w tys. zł/ar):
D
M
W
10,3
8,5
8,2
8,3
6,2
7,4
9,0
5,3
6,3
8,4
7,9
5,9
8,9
11,5
10,1
8,0
10,3
8,3
7,5
12,1
7,8
7,8
7,3
8,8
7,2
6,4
6,8
7,6
8,7
9,1
Na poziomie istotności 0, 05 sprawdzić testem Kruskala-Wallisa równość rozkładów cen
w tych trzech województwach.
299. W populacji dębów badano liczbę nabiegów korzeniowych. W losowej próbie było 15 drzew
z czterema nabiegami, 25 z trzema, 32 z dwoma, 28 z jednym i 10 bez nabiegów. Czy
na podstawie powyższej próby można twierdzić, że w populacji liczba dębów z czterema, trzema, dwoma, jednym i brakiem nabiegów pozostaje w stosunku 1:2:2:2:1? Przyjąć
α = 0, 05.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
42
Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej
300. Badano względny przyrost nadwyżki bezpośredniej uzyskanej po zwiększeniu intensywności uprawy fasoli zwykłej z poziomu technologii ekstensywnej do integrowanej. Na podstawie próby 100 - elementowej sporządzono następujące zestawienie:
względny wzrost ceny
liczebności
0 − 0, 2
0, 2 − 0, 4
0, 4 − 0, 6
0, 6 − 0, 8
0, 8 − 1, 0
2
10
18
25
45
Stosując dowolny test zgodności sprawdzić na poziomie istotności α = 0, 1, czy populacja,
z której pochodzi próba, ma rozkład zadany następującą funkcją gęstości:



 0
dla x < 0,


 0
dla x > 1.
3 x2
f (x) =
dla x ∈ [0, 1],
301. Z populacji pobrano 100 elementową próbę prostą. Wyniki jej badania ze względu na cechę
X przedstawia poniższa tabela:
klasy
0−0,2
0,2−0,4
0,4−0,6
0,6−0,8
0,8−1,0
liczebności
2
10
18
23
47
Korzystając z testu λ-Kołmogorowa zweryfikować na poziomie istotności 0,05 hipotezę, że
badana cecha X ma rozkład, którego gęstość jest postaci
f (x) =



 0
dla x < 0,


 0
dla x > 1.
xex
dla x ∈ [0, 1],
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
7. Korelacja i regresja liniowa
302. W pewnym zakładzie pobrano losową próbę 11-tu partii gotowych wyrobów i obliczono
współczynnik korelacji r = 0, 4 między wielkością partii a wadliwością (procent braków).
Na poziomie istotności 0,1 zweryfikować hipotezę o braku korelacji między wielkością produkowanych w tym zakładzie partii gotowych wyrobów a ich wadliwością.
303. Wylosowano 10 par zawierających związek małżeński i otrzymano dla nich następujące
dane o wieku (w latach) kobiety i mężczyzny:
wiek kobiety
23
24
29
27
33
29
19
22
21
23
wiek mężczyzny
27
28
30
30
35
41
22
25
26
26
Na poziomie istotności α = 0, 05 zweryfikować hipotezę, że istnieje dodatnia korelacja
między wiekiem osób zawierających małżeństwo.
304. W celu zbadania zależności między kątami nachylenia terenu a wielkością błędów wysokościowych popełnianych w pewnej metodzie aerotriangulacji, dokonano 9 pomiarów tych
błędów dla różnych kątów nachylenia i otrzymano wyniki (xi kąt w radianach, yi błąd
wysokościowy w metrach):
xi
0,157
0,140
0,122
0,105
0,087
0,070
0,052
0,035
0,017
yi
0,111
0,097
0,183
0,215
0,214
0,209
0,200
0,178
0,225
Na poziomie istotności α = 0, 05 zweryfikować hipotezę, że istnieje ujemna korelacja między kątem nachylenia terenu a wielkością błędu wysokościowego.
305. Badając zależność między wielkością produkcji X pewnego wyrobu a zużyciem Y pewnego
surowca zużywanego w produkcji tego wyrobu otrzymano dla losowej próby 7 obserwacji
następujące wyniki (xi w tys. sztuk, yi w tonach):
xi
1
2
3
4
5
6
7
yi
3,3
4,1
4,4
5,0
5,2
6,1
6,6
a) Narysować wykres rozrzutu punktów empirycznych. Co na podstawie tego wykresu
można powiedzieć o kształcie zależności badanych cech?
b) Znaleźć funkcję regresji liniowej Y względem X oraz ocenić stopień jej dopasowania do
danych empirycznych.
306. W rezultacie badania ceny działek budowlanych i odległości działek od centrum miasta
otrzymano następujące wyniki:
odległość od centrum [km]
0
1
2
3
4
5
6
ceny działek [zł/m2 ]
2000
1900
1500
1500
1270
1300
1100
Wyznaczyć równanie regresji liniowej opisujące ceny działek w zależności od odległości od
centrum miasta. Zbadać dokładność dopasowania tej funkcji do danych empirycznych.
307. Badając zależność między wiekiem i wzrostem dzieci i młodzieży, otrzymano następujące
dane (xi wiek w latach, yi wzrost w cm):
xi
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
yi
122
125
131
135
142
145
150
154
159
164
168
Zbadać korelację między zmiennymi X i Y oraz zbudować odpowiedni model regresji
liniowej.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
44
Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej
308. Wysunięto hipotezę, że istnieje związek między czasem leczenia chorych na zaburzenia
układu krążenia a aktywnością pewnego enzymu w organizmie tych chorych. Losowa próba
dała następujące wyniki (xi czas leczenia w dniach, yi aktywność badanego enzymu):
xi
1
2
3
4
5
7
10
14
18
20
yi
42
40
37
39
36
35
30
26
22
20
Wyznaczyć równanie regresji liniowej opisujące aktywność enzymu od czasu leczenia oraz
ocenić stopień dopasowania tego równania do danych empirycznych. Podać interpretację
otrzymanych wyników.
309. W pewnej szkole dokonano, na podstawie całokształtu pracy zawodowej i kwalifikacji,
oceny nauczycieli. Opinie wyraził dyrektor szkoły oraz wizytator, wyniki ujęto w punktach:
nauczyciele
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
ocena dyrektora
41
27
35
33
25
47
38
53
43
35
36
ocena wizytatora
38
24
34
29
27
47
43
52
39
31
29
Wyznaczyć współczynnik korelacji rang Spearmana oraz podać interpretację otrzymanego
wyniku.
310. Wykonano pomiary biometryczne pszenicy losując 12 roślin. Dla każdej rośliny zmierzono
jej wysokość oraz masę i długość kłosa.
masa kłosa (g)
długość kłosa (cm)
wysokość rośliny (cm)
2, 0
7, 8
112
1, 6
8, 0
102
1, 5
7, 5
96
2, 5
8, 3
110
3, 1
9, 0
114
3, 0
8, 4
102
2, 8
8, 9
112
1, 8
8, 0
98
2, 2
7, 5
104
1, 9
7, 8
100
2, 7
7, 2
106
2, 4
7, 6
104
Obliczyć współczynniki korelacji liniowej dla wszystkich par zmiennych. Która para jest
najsilniej skorelowana?
311. W tabeli zebrano informacje o pierśnicowej liczbie kształtu strzały (yi ) oraz procentem
grubości kory na pierśnicy (xi ) w próbie wybranej z 63-letniego drzewostanu sosnowego
Puszczy Białej.
xi
8
10
12
12
13
14
14
16
17
17
yi
0,469
0,473
0,465
0,448
0,437
0,441
0,438
0,432
0,429
0,425
Znaleźć współczynnik korelacji w próbie, sprawdzić, czy korelacja między zmiennymi jest
ujemna (α = 0, 1), znaleźć równanie prostej regresji.
312. Dla kilku oddziałów leśnych określono liczbę gatunków drzew (X) i liczbę gatunków ptaków
(Y ):
xi 2 5 5 7 8 8 8 9 10 10
yi
4
3
6
5
5
7
6
8
9
9
Obliczyć współczynnik korelacji Spearmana, sprawdzić testem Spearmana na poziomie
istotności 0, 05, czy istnieje zależność między X i Y .
313. Analizowano zmiany poziomów oceanów wyznaczonych z obserwacji altimetrycznych satelity TOPEX/POSEIDON. Zaistniały podejrzenia (bazujące na obserwacjach poczynionych w okresie El Nino i bezpośrednio go poprzedzającym), że wraz ze wzrostem amplitudy oscylacji poziomu wody na okołorównikowym Pacyfiku, maleje amplituda oscylacji
poziomu Oceanu Indyjskiego. Obliczony współczynnik korelacji liniowej Pearsona dla 10
pomiarów wynosił −0, 4. Sprawdzić, czy można twierdzić, że istnieje ujemna korelacja
między oscylacjami poziomu wody. Założyć normalność rozkładu i przyjąć α = 0, 1.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
7. Korelacja. Regresja liniowa
45
314. Badano zależność między głebokością całkowitą studni a ciśnieniem subartezyjskim. Dla
20-elementowej próby otrzymano r = 0, 78. Zakładając normalność rozkładu zweryfikować
hipotezę, że współczynnik korelacji dla tej pary zmiennych wynosi 0, 7 przeciw alternatywnej, że jest większy. Przyjąć α = 0, 05.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
8. Analiza wariancji z klasyfikacją
pojedynczą
315. Prowadząc badania wzrostu dzieci z klas 6-tych otrzymano następujące wyniki:
klasa A: 1,75, 1,38, 1,51, 1,55,
klasa B: 1,63, 1,30, 1,73, 1,45,
klasa C: 1,55, 1,48, 1,58, 1,52,
klasa D: 1,72, 1,51, 1,67, 1,59.
Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę o identycznym średnim wzroście uczniów
w populacjach różnych klas. Założyć normalność rozkładów i równość wariancji.
316. Fabryka „Polam” przeprowadziła badania czasu świecenia nowego typu żarówek (o różnych
kształtach), pobierając losowo żarówki do czterech niezależnych prób. Oto wyniki (w tys.
godz.):
próba I: 1,61, 1,65, 1,70, 1,72, 1,80,
próba II: 1,58, 1,64, 1,70, 1,75,
próba III: 1,55, 1,60, 1,64, 1,74, 1,82,
próba IV: 1,52, 1,57, 1,60, 1,68.
Przyjmując poziom istotności 0,05 zbadać, czy kształt żarówki ma wpływ na średni czas
jej świecenia. Założyć normalność rozkładów i równość wariancji.
317. W 80 - letnim drzewostanie bukowym w 1956 roku założono 16 działek, na których przeprowadzono trzebieże o różnym nasileniu: A−wariant bez trzebieży, B−trzebież o nasileniu
słabym, C−trzebież umiarkowana i D−silna. W 1971 roku przeprowadzono kontrolny pomiar drzew na działkach:
A
B
C
D
36,4 39,7 40,1 38,2
37,3 37,0 39,9 39,9
36,6 38,5 38,5 45,9
34,1 41,1 38,9 36,6
Przyjmując poziom istotności α = 0, 05 zbadać, czy nasilenie trzebieży ma wpływ na
średnią pierśnicę drzew. Założyć normalność rozkładów i równość wariancji pierśnicy.
318. Badano wpływ różnych pochodzeń, które oznaczono A, B, C, D na wysokość 3-letnich
siewek jedlicy, oto wyniki (w mm):
A
482
367
333
261
298
327
B
343
349
341
270
294
C
219
195
219
156
156
227
D
216
237
206
165
155
Na poziomie istotności 0,05 sprawdzić, czy pochodzenie ma wpływ na średnią wysokość
3-letnich siewek jedlicy. Założyć normalność rozkładów i równość wariancji wysokości.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
8. Analiza wariancji z klasyfikacją pojedynczą
47
319. Trzech nauczycieli języka polskiego N 1, N 2, N 3 miało ocenić w skali punktowej 1−20
wypracowania czterech uczniów pewnej szkoły. Wyniki oceny (punkty) były następujące:
N 1: 19, 20, 10, 14;
N 2: 17, 20, 11, 15;
N 3: 20, 19, 9, 12.
Na poziomie istotności 0,01 zweryfikować hipotezę, że wszyscy trzej nauczyciele są tak samo surowi (wystawiają średnie oceny takie same). Założyć normalność rozkładów i równość
wariancji.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
Dodatek
Wzory statystyczne

σ
σ

x − uα · √ < m < x + uα · √


n
n



s
s
< m < x + tα; n−1 · √
, n 6 30
x − tα; n−1 · √
n
−
1
n
−1




s
s

 x − uα · √ < m < x + uα · √ , n > 30
n
n

n · s2
n · s2

2

<
σ
<
, n 6 30

 χ2α
χ21− α ; n−1
2 ; n−1
2
√
√


s · 2n
s · 2n

√
<σ< √
, n > 30
2n − 3 + uα
2n − 3 − uα
r
r
p̂(1 − p̂)
p̂(1 − p̂)
p̂ − uα ·
< p < p̂ + uα ·
, n > 100
n
n

n · s2


χ2 =
, n 6 30


σ2
s 0

2n · s2 √


− 2n − 3, n > 30
u =
σ02
ŝ21
, gdy ŝ21 > ŝ22
ŝ22

p
√
√

u = 2 n(arc sin p̂ − arc sin p0 ), n < 100




√

 u = p p̂ − p0
· n, n > 100
p0 (1 − p0 )



√
p̂1 − p̂2

·n2
2 ·p̂2


· n, p̂ = n1 ·np̂11 +n
, n = nn11+n
u = p
+n2
2
p̂(1 − p̂)

k
X

(ni − npi )2

2

χ
=


npi


i=1
√
λ = D n, D = sup |Fn (x) − F0 (x)|


x∈R


√


 λ = D∗ n, D∗ = sup |F1 n1 (x) − F2 n2 (x)|, n =

u · σ 2
α


n
>

l
2
t

α;
n0 −1 · ŝ

n >
l

x − m0 √


· n
u=


σ


x − m0 √
t=
· n − 1, n 6 30

s




 u = x − m0 · √n, n > 30
s

x1 − x2


u= q 2


σ22
σ1



n1 + n2





x1 − x2

t= r
,
n1 ·s21 +n2 ·s22
1
1


n1 +n2 −2
n 1 + n2





x1 − x2



u= q 2
, n1 , n2 > 30


s1
s22

+
n1
n2
n1 6 30
lub
n2 6 30





χ2 =


f=
x∈R
α
0, 01
0, 02
0, 05
0, 1
λα 1, 628 1, 517 1, 358 1, 224

1


k−1 qG

(k − 1, n − k) stopni swobody
f
=

1


qR

n−k



ni
k

X
X

xi = n1i
xij , i = 1, . . . , k, x = n1
xi ni

j=1
i=1




ni
k X
k

X
X


2


q
=
(x
−
x
)
,
q
=
(xi − x)2 ni
R
ij
i
G


i=1 j=1
12
n(n+1)
3
X
R2
i
ni
− 3(n + 1), k = 3
i=1
k

X

12[Ri − ni (n+1)
]2

2
2

χ
=
, k>3


ni (n − ni )(n + 1)
i=1






n1 ·n2
n1 +n2
1
n
n
P
xi yi − x · y
i=1
r=
sx · sy


√
r


t= √
· n−2
2
1−r

n
P

6
d2i


i=1
rs = 1 − 3
n −n


√

u s = rs · n − 1

n
n
P
P


xi yi − x
yi


sy

i=1
 â = i=1
=r
n
n
P
P
s
x
x2i − x
xi



i=1
i=1



b̂ = y − âx
i=1
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
Dodatek
49
Tablice statystyczne
Dystrybuanta standaryzowanego rozkładu normalnego, Φ(x) =
x
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
0,00
0,5000
0,5398
0,5793
0,6179
0,6554
0,6915
0,7257
0,7580
0,7881
0,8159
0,8413
0,8643
0,8849
0,9032
0,9192
0,9332
0,9452
0,9554
0,9641
0,9713
0,9772
0,9821
0,9861
0,9893
0,9918
0,9938
0,9953
0,9965
0,9974
0,9981
0,9987
0,9990
0,9993
0,9995
0,9997
0,9998
0,9998
0,9999
0,9999
1,0000
1,0000
0,01
0,5040
0,5438
0,5832
0,6217
0,6591
0,6950
0,7291
0,7611
0,7910
0,8186
0,8438
0,8665
0,8869
0,9049
0,9207
0,9345
0,9463
0,9564
0,9649
0,9719
0,9778
0,9826
0,9864
0,9896
0,9920
0,9940
0,9955
0,9966
0,9975
0,9982
0,9987
0,9991
0,9993
0,9995
0,9997
0,9998
0,9998
0,9999
0,9999
1,0000
1,0000
0,02
0,5080
0,5478
0,5871
0,6255
0,6628
0,6985
0,7324
0,7642
0,7939
0,8212
0,8461
0,8686
0,8888
0,9066
0,9222
0,9357
0,9474
0,9573
0,9656
0,9726
0,9783
0,9830
0,9868
0,9898
0,9922
0,9941
0,9956
0,9967
0,9976
0,9982
0,9987
0,9991
0,9994
0,9995
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
1,0000
0,03
0,5120
0,5517
0,5910
0,6293
0,6664
0,7019
0,7357
0,7673
0,7967
0,8238
0,8485
0,8708
0,8907
0,9082
0,9236
0,9370
0,9484
0,9582
0,9664
0,9732
0,9788
0,9834
0,9871
0,9901
0,9925
0,9943
0,9957
0,9968
0,9977
0,9983
0,9988
0,9991
0,9994
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
1,0000
0,04
0,5160
0,5557
0,5948
0,6331
0,6700
0,7054
0,7389
0,7704
0,7995
0,8264
0,8508
0,8729
0,8925
0,9099
0,9251
0,9382
0,9495
0,9591
0,9671
0,9738
0,9793
0,9838
0,9875
0,9904
0,9927
0,9945
0,9959
0,9969
0,9977
0,9984
0,9988
0,9992
0,9994
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
1,0000
0,05
0,5199
0,5596
0,5987
0,6368
0,6736
0,7088
0,7422
0,7734
0,8023
0,8289
0,8531
0,8749
0,8944
0,9115
0,9265
0,9394
0,9505
0,9599
0,9678
0,9744
0,9798
0,9842
0,9878
0,9906
0,9929
0,9946
0,9960
0,9970
0,9978
0,9984
0,9989
0,9992
0,9994
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
1,0000
0,06
0,5239
0,5636
0,6026
0,6406
0,6772
0,7123
0,7454
0,7764
0,8051
0,8315
0,8554
0,8770
0,8962
0,9131
0,9279
0,9406
0,9515
0,9608
0,9686
0,9750
0,9803
0,9846
0,9881
0,9909
0,9931
0,9948
0,9961
0,9971
0,9979
0,9985
0,9989
0,9992
0,9994
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
1,0000
√1
2π
Rx
1 2
e− 2 t dt, x > 0
−∞
0,07
0,5279
0,5675
0,6064
0,6443
0,6808
0,7157
0,7486
0,7794
0,8078
0,8340
0,8577
0,8790
0,8980
0,9147
0,9292
0,9418
0,9525
0,9616
0,9693
0,9756
0,9808
0,9850
0,9884
0,9911
0,9932
0,9949
0,9962
0,9972
0,9979
0,9985
0,9989
0,9992
0,9995
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
1,0000
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
0,08
0,5319
0,5714
0,6103
0,6480
0,6844
0,7190
0,7517
0,7823
0,8106
0,8365
0,8599
0,8810
0,8997
0,9162
0,9306
0,9429
0,9535
0,9625
0,9699
0,9761
0,9812
0,9854
0,9887
0,9913
0,9934
0,9951
0,9963
0,9973
0,9980
0,9986
0,9990
0,9993
0,9995
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
1,0000
0,09
0,5359
0,5753
0,6141
0,6517
0,6879
0,7224
0,7549
0,7852
0,8133
0,8389
0,8621
0,8830
0,9015
0,9177
0,9319
0,9441
0,9545
0,9633
0,9706
0,9767
0,9817
0,9857
0,9890
0,9916
0,9936
0,9952
0,9964
0,9974
0,9981
0,9986
0,9990
0,9993
0,9995
0,9997
0,9998
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
1,0000
50
Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej
Dystrybuanta standaryzowanego rozkładu normalnego, Φ(x) =
x
-0,0
-0,1
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
-0,6
-0,7
-0,8
-0,9
-1,0
-1,1
-1,2
-1,3
-1,4
-1,5
-1,6
-1,7
-1,8
-1,9
-2,0
-2,1
-2,2
-2,3
-2,4
-2,5
-2,6
-2,7
-2,8
-2,9
-3,0
-3,1
-3,2
-3,3
-3,4
-3,5
-3,6
-3,7
-3,8
-3,9
-4,0
0,00
0,5000
0,4602
0,4207
0,3821
0,3446
0,3085
0,2743
0,2420
0,2119
0,1841
0,1587
0,1357
0,1151
0,0968
0,0808
0,0668
0,0548
0,0446
0,0359
0,0287
0,0228
0,0179
0,0139
0,0107
0,0082
0,0062
0,0047
0,0035
0,0026
0,0019
0,0013
0,0010
0,0007
0,0005
0,0003
0,0002
0,0002
0,0001
0,0001
0,0000
0,0000
0,01
0,4960
0,4562
0,4168
0,3783
0,3409
0,3050
0,2709
0,2389
0,2090
0,1814
0,1562
0,1335
0,1131
0,0951
0,0793
0,0655
0,0537
0,0436
0,0351
0,0281
0,0222
0,0174
0,0136
0,0104
0,0080
0,0060
0,0045
0,0034
0,0025
0,0018
0,0013
0,0009
0,0007
0,0005
0,0003
0,0002
0,0002
0,0001
0,0001
0,0000
0,0000
0,02
0,4920
0,4522
0,4129
0,3745
0,3372
0,3015
0,2676
0,2358
0,2061
0,1788
0,1539
0,1314
0,1112
0,0934
0,0778
0,0643
0,0526
0,0427
0,0344
0,0274
0,0217
0,0170
0,0132
0,0102
0,0078
0,0059
0,0044
0,0033
0,0024
0,0018
0,0013
0,0009
0,0006
0,0005
0,0003
0,0002
0,0001
0,0001
0,0001
0,0000
0,0000
0,03
0,4880
0,4483
0,4090
0,3707
0,3336
0,2981
0,2643
0,2327
0,2033
0,1762
0,1515
0,1292
0,1093
0,0918
0,0764
0,0630
0,0516
0,0418
0,0336
0,0268
0,0212
0,0166
0,0129
0,0099
0,0075
0,0057
0,0043
0,0032
0,0023
0,0017
0,0012
0,0009
0,0006
0,0004
0,0003
0,0002
0,0001
0,0001
0,0001
0,0000
0,0000
0,04
0,4840
0,4443
0,4052
0,3669
0,3300
0,2946
0,2611
0,2296
0,2005
0,1736
0,1492
0,1271
0,1075
0,0901
0,0749
0,0618
0,0505
0,0409
0,0329
0,0262
0,0207
0,0162
0,0125
0,0096
0,0073
0,0055
0,0041
0,0031
0,0023
0,0016
0,0012
0,0008
0,0006
0,0004
0,0003
0,0002
0,0001
0,0001
0,0001
0,0000
0,0000
0,05
0,4801
0,4404
0,4013
0,3632
0,3264
0,2912
0,2578
0,2266
0,1977
0,1711
0,1469
0,1251
0,1056
0,0885
0,0735
0,0606
0,0495
0,0401
0,0322
0,0256
0,0202
0,0158
0,0122
0,0094
0,0071
0,0054
0,0040
0,0030
0,0022
0,0016
0,0011
0,0008
0,0006
0,0004
0,0003
0,0002
0,0001
0,0001
0,0001
0,0000
0,0000
0,06
0,4761
0,4364
0,3974
0,3594
0,3228
0,2877
0,2546
0,2236
0,1949
0,1685
0,1446
0,1230
0,1038
0,0869
0,0721
0,0594
0,0485
0,0392
0,0314
0,0250
0,0197
0,0154
0,0119
0,0091
0,0069
0,0052
0,0039
0,0029
0,0021
0,0015
0,0011
0,0008
0,0006
0,0004
0,0003
0,0002
0,0001
0,0001
0,0001
0,0000
0,0000
√1
2π
Rx
1 2
e− 2 t dt, x < 0
−∞
0,07
0,4721
0,4325
0,3936
0,3557
0,3192
0,2843
0,2514
0,2206
0,1922
0,1660
0,1423
0,1210
0,1020
0,0853
0,0708
0,0582
0,0475
0,0384
0,0307
0,0244
0,0192
0,0150
0,0116
0,0089
0,0068
0,0051
0,0038
0,0028
0,0021
0,0015
0,0011
0,0008
0,0005
0,0004
0,0003
0,0002
0,0001
0,0001
0,0001
0,0000
0,0000
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
0,08
0,4681
0,4286
0,3897
0,3520
0,3156
0,2810
0,2483
0,2177
0,1894
0,1635
0,1401
0,1190
0,1003
0,0838
0,0694
0,0571
0,0465
0,0375
0,0301
0,0239
0,0188
0,0146
0,0113
0,0087
0,0066
0,0049
0,0037
0,0027
0,0020
0,0014
0,0010
0,0007
0,0005
0,0004
0,0003
0,0002
0,0001
0,0001
0,0001
0,0000
0,0000
0,09
0,4641
0,4247
0,3859
0,3483
0,3121
0,2776
0,2451
0,2148
0,1867
0,1611
0,1379
0,1170
0,0985
0,0823
0,0681
0,0559
0,0455
0,0367
0,0294
0,0233
0,0183
0,0143
0,0110
0,0084
0,0064
0,0048
0,0036
0,0026
0,0019
0,0014
0,0010
0,0007
0,0005
0,0003
0,0002
0,0002
0,0001
0,0001
0,0001
0,0000
0,0000
Dodatek
51
Wartości krytyczne rozkładu t-Studenta, P (|T | > tα; r ) = α
r
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
35
40
45
50
60
70
80
90
100
120
∞
0,8
0,325
0,289
0,277
0,271
0,267
0,265
0,263
0,262
0,261
0,260
0,260
0,259
0,259
0,258
0,258
0,258
0,257
0,257
0,257
0,257
0,257
0,256
0,256
0,256
0,256
0,256
0,256
0,256
0,256
0,256
0,255
0,255
0,255
0,255
0,254
0,254
0,254
0,254
0,254
0,254
0,253
0,6
0,727
0,617
0,584
0,569
0,559
0,553
0,549
0,546
0,543
0,542
0,540
0,539
0,538
0,537
0,536
0,535
0,534
0,534
0,533
0,533
0,532
0,532
0,532
0,531
0,531
0,531
0,531
0,530
0,530
0,530
0,529
0,529
0,528
0,528
0,527
0,527
0,526
0,526
0,526
0,526
0,524
0,4
1,376
1,061
0,978
0,941
0,920
0,906
0,896
0,889
0,883
0,879
0,876
0,873
0,870
0,868
0,866
0,865
0,863
0,862
0,861
0,860
0,859
0,858
0,858
0,857
0,856
0,856
0,855
0,855
0,854
0,854
0,852
0,851
0,850
0,849
0,848
0,847
0,846
0,846
0,845
0,845
0,842
0,2
3,078
1,886
1,638
1,533
1,476
1,440
1,415
1,397
1,383
1,372
1,363
1,356
1,350
1,345
1,341
1,337
1,333
1,330
1,328
1,325
1,323
1,321
1,319
1,318
1,316
1,315
1,314
1,313
1,311
1,310
1,306
1,303
1,301
1,299
1,296
1,294
1,292
1,291
1,290
1,289
1,282
0,1
6,314
2,920
2,353
2,132
2,015
1,943
1,895
1,860
1,833
1,812
1,796
1,782
1,771
1,761
1,753
1,746
1,740
1,734
1,729
1,725
1,721
1,717
1,714
1,711
1,708
1,706
1,703
1,701
1,699
1,697
1,690
1,684
1,679
1,676
1,671
1,667
1,664
1,662
1,660
1,658
1,645
α
0,05
0,04
12,706 15,894
4,303
4,849
3,182
3,482
2,776
2,999
2,571
2,757
2,447
2,612
2,365
2,517
2,306
2,449
2,262
2,398
2,228
2,359
2,201
2,328
2,179
2,303
2,160
2,282
2,145
2,264
2,131
2,249
2,120
2,235
2,110
2,224
2,101
2,214
2,093
2,205
2,086
2,197
2,080
2,189
2,074
2,183
2,069
2,177
2,064
2,172
2,060
2,167
2,056
2,162
2,052
2,158
2,048
2,154
2,045
2,150
2,042
2,147
2,030
2,133
2,021
2,123
2,014
2,115
2,009
2,109
2,000
2,099
1,994
2,093
1,990
2,088
1,987
2,084
1,984
2,081
1,980
2,076
1,960
2,054
0,02
31,821
6,965
4,541
3,747
3,365
3,143
2,998
2,896
2,821
2,764
2,718
2,681
2,650
2,624
2,602
2,583
2,567
2,552
2,539
2,528
2,518
2,508
2,500
2,492
2,485
2,479
2,473
2,467
2,462
2,457
2,438
2,423
2,412
2,403
2,390
2,381
2,374
2,368
2,364
2,358
2,327
0,01
63,656
9,925
5,841
4,604
4,032
3,707
3,499
3,355
3,250
3,169
3,106
3,055
3,012
2,977
2,947
2,921
2,898
2,878
2,861
2,845
2,831
2,819
2,807
2,797
2,787
2,779
2,771
2,763
2,756
2,750
2,724
2,704
2,690
2,678
2,660
2,648
2,639
2,632
2,626
2,617
2,576
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
0,002
318,29
22,328
10,214
7,173
5,894
5,208
4,785
4,501
4,297
4,144
4,025
3,930
3,852
3,787
3,733
3,686
3,646
3,610
3,579
3,552
3,527
3,505
3,485
3,467
3,450
3,435
3,421
3,408
3,396
3,385
3,340
3,307
3,281
3,261
3,232
3,211
3,195
3,183
3,174
3,160
3,091
0,001
636,58
31,600
12,924
8,610
6,869
5,959
5,408
5,041
4,781
4,587
4,437
4,318
4,221
4,140
4,073
4,015
3,965
3,922
3,883
3,850
3,819
3,792
3,768
3,745
3,725
3,707
3,689
3,674
3,660
3,646
3,591
3,551
3,520
3,496
3,460
3,435
3,416
3,402
3,390
3,373
3,291
52
Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej
Wartości krytyczne rozkładu χ2 , P (χ2 > χ2α; r ) = α
α
r
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
35
40
45
50
60
70
80
90
100
120
140
0,999
0,000
0,002
0,024
0,091
0,210
0,381
0,599
0,857
1,152
1,479
1,834
2,214
2,617
3,041
3,483
3,942
4,416
4,905
5,407
5,921
6,447
6,983
7,529
8,085
8,649
9,222
9,803
10,391
10,986
11,588
14,688
17,917
21,251
24,674
31,738
39,036
46,520
54,156
61,918
77,756
93,925
0,995
0,000
0,010
0,072
0,207
0,412
0,676
0,989
1,344
1,735
2,156
2,603
3,074
3,565
4,075
4,601
5,142
5,697
6,265
6,844
7,434
8,034
8,643
9,260
9,886
10,520
11,160
11,808
12,461
13,121
13,787
17,192
20,707
24,311
27,991
35,534
43,275
51,172
59,196
67,328
83,852
100,65
0,99
0,000
0,020
0,115
0,297
0,554
0,872
1,239
1,647
2,088
2,558
3,053
3,571
4,107
4,660
5,229
5,812
6,408
7,015
7,633
8,260
8,897
9,542
10,196
10,856
11,524
12,198
12,878
13,565
14,256
14,953
18,509
22,164
25,901
29,707
37,485
45,442
53,540
61,754
70,065
86,923
104,03
0,975
0,001
0,051
0,216
0,484
0,831
1,237
1,690
2,180
2,700
3,247
3,816
4,404
5,009
5,629
6,262
6,908
7,564
8,231
8,907
9,591
10,283
10,982
11,689
12,401
13,120
13,844
14,573
15,308
16,047
16,791
20,569
24,433
28,366
32,357
40,482
48,758
57,153
65,647
74,222
91,573
109,14
0,95
0,004
0,103
0,352
0,711
1,145
1,635
2,167
2,733
3,325
3,940
4,575
5,226
5,892
6,571
7,261
7,962
8,672
9,390
10,117
10,851
11,591
12,338
13,091
13,848
14,611
15,379
16,151
16,928
17,708
18,493
22,465
26,509
30,612
34,764
43,188
51,739
60,391
69,126
77,929
95,705
113,66
0,9
0,016
0,211
0,584
1,064
1,610
2,204
2,833
3,490
4,168
4,865
5,578
6,304
7,041
7,790
8,547
9,312
10,085
10,865
11,651
12,443
13,240
14,041
14,848
15,659
16,473
17,292
18,114
18,939
19,768
20,599
24,797
29,051
33,350
37,689
46,459
55,329
64,278
73,291
82,358
100,62
119,03
0,1
2,706
4,605
6,251
7,779
9,236
10,645
12,017
13,362
14,684
15,987
17,275
18,549
19,812
21,064
22,307
23,542
24,769
25,989
27,204
28,412
29,615
30,813
32,007
33,196
34,382
35,563
36,741
37,916
39,087
40,256
46,059
51,805
57,505
63,167
74,397
85,527
96,578
107,57
118,50
140,23
161,83
0,05
3,841
5,991
7,815
9,488
11,070
12,592
14,067
15,507
16,919
18,307
19,675
21,026
22,362
23,685
24,996
26,296
27,587
28,869
30,144
31,410
32,671
33,924
35,172
36,415
37,652
38,885
40,113
41,337
42,557
43,773
49,802
55,758
61,656
67,505
79,082
90,531
101,88
113,15
124,34
146,57
168,61
0,025
5,024
7,378
9,348
11,143
12,832
14,449
16,013
17,535
19,023
20,483
21,920
23,337
24,736
26,119
27,488
28,845
30,191
31,526
32,852
34,170
35,479
36,781
38,076
39,364
40,646
41,923
43,195
44,461
45,722
46,979
53,203
59,342
65,410
71,420
83,298
95,023
106,63
118,14
129,56
152,21
174,65
0,01
6,635
9,210
11,345
13,277
15,086
16,812
18,475
20,090
21,666
23,209
24,725
26,217
27,688
29,141
30,578
32,000
33,409
34,805
36,191
37,566
38,932
40,289
41,638
42,980
44,314
45,642
46,963
48,278
49,588
50,892
57,342
63,691
69,957
76,154
88,379
100,43
112,33
124,12
135,81
158,95
181,84
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
0,005
7,879
10,597
12,838
14,860
16,750
18,548
20,278
21,955
23,589
25,188
26,757
28,300
29,819
31,319
32,801
34,267
35,718
37,156
38,582
39,997
41,401
42,796
44,181
45,558
46,928
48,290
49,645
50,994
52,335
53,672
60,275
66,766
73,166
79,490
91,952
104,21
116,32
128,30
140,17
163,65
186,85
0,001
10,827
13,815
16,266
18,466
20,515
22,457
24,321
26,124
27,877
29,588
31,264
32,909
34,527
36,124
37,698
39,252
40,791
42,312
43,819
45,314
46,796
48,268
49,728
51,179
52,619
54,051
55,475
56,892
58,301
59,702
66,619
73,403
80,078
86,660
99,608
112,32
124,84
137,21
149,45
173,62
197,45
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
35
40
45
50
60
70
80
100
120
∞
r2
1
4052
98,50
34,12
21,20
16,26
13,75
12,25
11,26
10,56
10,04
9,65
9,33
9,07
8,86
8,68
8,53
8,40
8,29
8,18
8,10
8,02
7,95
7,88
7,82
7,77
7,72
7,68
7,64
7,60
7,56
7,42
7,31
7,23
7,17
7,08
7,01
6,96
6,90
6,85
6,63
2
4999
99,00
30,82
18,00
13,27
10,92
9,55
8,65
8,02
7,56
7,21
6,93
6,70
6,51
6,36
6,23
6,11
6,01
5,93
5,85
5,78
5,72
5,66
5,61
5,57
5,53
5,49
5,45
5,42
5,39
5,27
5,18
5,11
5,06
4,98
4,92
4,88
4,82
4,79
4,61
3
5404
99,16
29,46
16,69
12,06
9,78
8,45
7,59
6,99
6,55
6,22
5,95
5,74
5,56
5,42
5,29
5,19
5,09
5,01
4,94
4,87
4,82
4,76
4,72
4,68
4,64
4,60
4,57
4,54
4,51
4,40
4,31
4,25
4,20
4,13
4,07
4,04
3,98
3,95
3,78
4
5624
99,25
28,71
15,98
11,39
9,15
7,85
7,01
6,42
5,99
5,67
5,41
5,21
5,04
4,89
4,77
4,67
4,58
4,50
4,43
4,37
4,31
4,26
4,22
4,18
4,14
4,11
4,07
4,04
4,02
3,91
3,83
3,77
3,72
3,65
3,60
3,56
3,51
3,48
3,32
5
5764
99,30
28,24
15,52
10,97
8,75
7,46
6,63
6,06
5,64
5,32
5,06
4,86
4,69
4,56
4,44
4,34
4,25
4,17
4,10
4,04
3,99
3,94
3,90
3,85
3,82
3,78
3,75
3,73
3,70
3,59
3,51
3,45
3,41
3,34
3,29
3,26
3,21
3,17
3,02
6
5859
99,33
27,91
15,21
10,67
8,47
7,19
6,37
5,80
5,39
5,07
4,82
4,62
4,46
4,32
4,20
4,10
4,01
3,94
3,87
3,81
3,76
3,71
3,67
3,63
3,59
3,56
3,53
3,50
3,47
3,37
3,29
3,23
3,19
3,12
3,07
3,04
2,99
2,96
2,80
7
5928
99,36
27,67
14,98
10,46
8,26
6,99
6,18
5,61
5,20
4,89
4,64
4,44
4,28
4,14
4,03
3,93
3,84
3,77
3,70
3,64
3,59
3,54
3,50
3,46
3,42
3,39
3,36
3,33
3,30
3,20
3,12
3,07
3,02
2,95
2,91
2,87
2,82
2,79
2,64
8
5981
99,38
27,49
14,80
10,29
8,10
6,84
6,03
5,47
5,06
4,74
4,50
4,30
4,14
4,00
3,89
3,79
3,71
3,63
3,56
3,51
3,45
3,41
3,36
3,32
3,29
3,26
3,23
3,20
3,17
3,07
2,99
2,94
2,89
2,82
2,78
2,74
2,69
2,66
2,51
9
6022
99,39
27,34
14,66
10,16
7,98
6,72
5,91
5,35
4,94
4,63
4,39
4,19
4,03
3,89
3,78
3,68
3,60
3,52
3,46
3,40
3,35
3,30
3,26
3,22
3,18
3,15
3,12
3,09
3,07
2,96
2,89
2,83
2,78
2,72
2,67
2,64
2,59
2,56
2,41
10
6056
99,40
27,23
14,55
10,05
7,87
6,62
5,81
5,26
4,85
4,54
4,30
4,10
3,94
3,80
3,69
3,59
3,51
3,43
3,37
3,31
3,26
3,21
3,17
3,13
3,09
3,06
3,03
3,00
2,98
2,88
2,80
2,74
2,70
2,63
2,59
2,55
2,50
2,47
2,32
11
6083
99,41
27,13
14,45
9,96
7,79
6,54
5,73
5,18
4,77
4,46
4,22
4,02
3,86
3,73
3,62
3,52
3,43
3,36
3,29
3,24
3,18
3,14
3,09
3,06
3,02
2,99
2,96
2,93
2,91
2,80
2,73
2,67
2,63
2,56
2,51
2,48
2,43
2,40
2,25
12
6107
99,42
27,05
14,37
9,89
7,72
6,47
5,67
5,11
4,71
4,40
4,16
3,96
3,80
3,67
3,55
3,46
3,37
3,30
3,23
3,17
3,12
3,07
3,03
2,99
2,96
2,93
2,90
2,87
2,84
2,74
2,66
2,61
2,56
2,50
2,45
2,42
2,37
2,34
2,18
13
6126
99,42
26,98
14,31
9,82
7,66
6,41
5,61
5,05
4,65
4,34
4,10
3,91
3,75
3,61
3,50
3,40
3,32
3,24
3,18
3,12
3,07
3,02
2,98
2,94
2,90
2,87
2,84
2,81
2,79
2,69
2,61
2,55
2,51
2,44
2,40
2,36
2,31
2,28
2,13
14
6143
99,43
26,92
14,25
9,77
7,60
6,36
5,56
5,01
4,60
4,29
4,05
3,86
3,70
3,56
3,45
3,35
3,27
3,19
3,13
3,07
3,02
2,97
2,93
2,89
2,86
2,82
2,79
2,77
2,74
2,64
2,56
2,51
2,46
2,39
2,35
2,31
2,27
2,23
2,08
15
6157
99,43
26,87
14,20
9,72
7,56
6,31
5,52
4,96
4,56
4,25
4,01
3,82
3,66
3,52
3,41
3,31
3,23
3,15
3,09
3,03
2,98
2,93
2,89
2,85
2,81
2,78
2,75
2,73
2,70
2,60
2,52
2,46
2,42
2,35
2,31
2,27
2,22
2,19
2,04
16
6170
99,44
26,83
14,15
9,68
7,52
6,28
5,48
4,92
4,52
4,21
3,97
3,78
3,62
3,49
3,37
3,27
3,19
3,12
3,05
2,99
2,94
2,89
2,85
2,81
2,78
2,75
2,72
2,69
2,66
2,56
2,48
2,43
2,38
2,31
2,27
2,23
2,19
2,15
2,00
17
6181
99,44
26,79
14,11
9,64
7,48
6,24
5,44
4,89
4,49
4,18
3,94
3,75
3,59
3,45
3,34
3,24
3,16
3,08
3,02
2,96
2,91
2,86
2,82
2,78
2,75
2,71
2,68
2,66
2,63
2,53
2,45
2,39
2,35
2,28
2,23
2,20
2,15
2,12
1,97
18
6191
99,44
26,75
14,08
9,61
7,45
6,21
5,41
4,86
4,46
4,15
3,91
3,72
3,56
3,42
3,31
3,21
3,13
3,05
2,99
2,93
2,88
2,83
2,79
2,75
2,72
2,68
2,65
2,63
2,60
2,50
2,42
2,36
2,32
2,25
2,20
2,17
2,12
2,09
1,93
19
6201
99,45
26,72
14,05
9,58
7,42
6,18
5,38
4,83
4,43
4,12
3,88
3,69
3,53
3,40
3,28
3,19
3,10
3,03
2,96
2,90
2,85
2,80
2,76
2,72
2,69
2,66
2,63
2,60
2,57
2,47
2,39
2,34
2,29
2,22
2,18
2,14
2,09
2,06
1,90
20
6209
99,45
26,69
14,02
9,55
7,40
6,16
5,36
4,81
4,41
4,10
3,86
3,66
3,51
3,37
3,26
3,16
3,08
3,00
2,94
2,88
2,83
2,78
2,74
2,70
2,66
2,63
2,60
2,57
2,55
2,44
2,37
2,31
2,27
2,20
2,15
2,12
2,07
2,03
1,88
Wartości krytyczne rozkładu F -Snedecora, P (F > f0,01; r1 ; r2 ) = 0, 01
r1
24
6234
99,46
26,60
13,93
9,47
7,31
6,07
5,28
4,73
4,33
4,02
3,78
3,59
3,43
3,29
3,18
3,08
3,00
2,92
2,86
2,80
2,75
2,70
2,66
2,62
2,58
2,55
2,52
2,49
2,47
2,36
2,29
2,23
2,18
2,12
2,07
2,03
1,98
1,95
1,79
30
6260
99,47
26,50
13,84
9,38
7,23
5,99
5,20
4,65
4,25
3,94
3,70
3,51
3,35
3,21
3,10
3,00
2,92
2,84
2,78
2,72
2,67
2,62
2,58
2,54
2,50
2,47
2,44
2,41
2,39
2,28
2,20
2,14
2,10
2,03
1,98
1,94
1,89
1,86
1,70
40
6286
99,48
26,41
13,75
9,29
7,14
5,91
5,12
4,57
4,17
3,86
3,62
3,43
3,27
3,13
3,02
2,92
2,84
2,76
2,69
2,64
2,58
2,54
2,49
2,45
2,42
2,38
2,35
2,33
2,30
2,19
2,11
2,05
2,01
1,94
1,89
1,85
1,80
1,76
1,59
60
6313
99,48
26,32
13,65
9,20
7,06
5,82
5,03
4,48
4,08
3,78
3,54
3,34
3,18
3,05
2,93
2,83
2,75
2,67
2,61
2,55
2,50
2,45
2,40
2,36
2,33
2,29
2,26
2,23
2,21
2,10
2,02
1,96
1,91
1,84
1,78
1,75
1,69
1,66
1,47
120
6340
99,49
26,22
13,56
9,11
6,97
5,74
4,95
4,40
4,00
3,69
3,45
3,25
3,09
2,96
2,84
2,75
2,66
2,58
2,52
2,46
2,40
2,35
2,31
2,27
2,23
2,20
2,17
2,14
2,11
2,00
1,92
1,85
1,80
1,73
1,67
1,63
1,57
1,53
1,32
200
6350
99,49
26,18
13,52
9,08
6,93
5,70
4,91
4,36
3,96
3,66
3,41
3,22
3,06
2,92
2,81
2,71
2,62
2,55
2,48
2,42
2,36
2,32
2,27
2,23
2,19
2,16
2,13
2,10
2,07
1,96
1,87
1,81
1,76
1,68
1,62
1,58
1,52
1,48
1,25
∞
6366
99,50
26,13
13,46
9,02
6,88
5,65
4,86
4,31
3,91
3,60
3,36
3,17
3,00
2,87
2,75
2,65
2,57
2,49
2,42
2,36
2,31
2,26
2,21
2,17
2,13
2,10
2,06
2,03
2,01
1,89
1,80
1,74
1,68
1,60
1,54
1,49
1,43
1,38
1,00
Dodatek
53
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
35
40
45
50
60
70
80
100
120
∞
r2
1
161
18,51
10,13
7,71
6,61
5,99
5,59
5,32
5,12
4,96
4,84
4,75
4,67
4,60
4,54
4,49
4,45
4,41
4,38
4,35
4,32
4,30
4,28
4,26
4,24
4,23
4,21
4,20
4,18
4,17
4,12
4,08
4,06
4,03
4,00
3,98
3,96
3,94
3,92
3,84
2
199
19,00
9,55
6,94
5,79
5,14
4,74
4,46
4,26
4,10
3,98
3,89
3,81
3,74
3,68
3,63
3,59
3,55
3,52
3,49
3,47
3,44
3,42
3,40
3,39
3,37
3,35
3,34
3,33
3,32
3,27
3,23
3,20
3,18
3,15
3,13
3,11
3,09
3,07
3,00
3
216
19,16
9,28
6,59
5,41
4,76
4,35
4,07
3,86
3,71
3,59
3,49
3,41
3,34
3,29
3,24
3,20
3,16
3,13
3,10
3,07
3,05
3,03
3,01
2,99
2,98
2,96
2,95
2,93
2,92
2,87
2,84
2,81
2,79
2,76
2,74
2,72
2,70
2,68
2,60
4
225
19,25
9,12
6,39
5,19
4,53
4,12
3,84
3,63
3,48
3,36
3,26
3,18
3,11
3,06
3,01
2,96
2,93
2,90
2,87
2,84
2,82
2,80
2,78
2,76
2,74
2,73
2,71
2,70
2,69
2,64
2,61
2,58
2,56
2,53
2,50
2,49
2,46
2,45
2,37
5
230
19,30
9,01
6,26
5,05
4,39
3,97
3,69
3,48
3,33
3,20
3,11
3,03
2,96
2,90
2,85
2,81
2,77
2,74
2,71
2,68
2,66
2,64
2,62
2,60
2,59
2,57
2,56
2,55
2,53
2,49
2,45
2,42
2,40
2,37
2,35
2,33
2,31
2,29
2,21
6
234
19,33
8,94
6,16
4,95
4,28
3,87
3,58
3,37
3,22
3,09
3,00
2,92
2,85
2,79
2,74
2,70
2,66
2,63
2,60
2,57
2,55
2,53
2,51
2,49
2,47
2,46
2,45
2,43
2,42
2,37
2,34
2,31
2,29
2,25
2,23
2,21
2,19
2,18
2,10
7
237
19,35
8,89
6,09
4,88
4,21
3,79
3,50
3,29
3,14
3,01
2,91
2,83
2,76
2,71
2,66
2,61
2,58
2,54
2,51
2,49
2,46
2,44
2,42
2,40
2,39
2,37
2,36
2,35
2,33
2,29
2,25
2,22
2,20
2,17
2,14
2,13
2,10
2,09
2,01
8
239
19,37
8,85
6,04
4,82
4,15
3,73
3,44
3,23
3,07
2,95
2,85
2,77
2,70
2,64
2,59
2,55
2,51
2,48
2,45
2,42
2,40
2,37
2,36
2,34
2,32
2,31
2,29
2,28
2,27
2,22
2,18
2,15
2,13
2,10
2,07
2,06
2,03
2,02
1,94
9
241
19,38
8,81
6,00
4,77
4,10
3,68
3,39
3,18
3,02
2,90
2,80
2,71
2,65
2,59
2,54
2,49
2,46
2,42
2,39
2,37
2,34
2,32
2,30
2,28
2,27
2,25
2,24
2,22
2,21
2,16
2,12
2,10
2,07
2,04
2,02
2,00
1,97
1,96
1,88
10
242
19,40
8,79
5,96
4,74
4,06
3,64
3,35
3,14
2,98
2,85
2,75
2,67
2,60
2,54
2,49
2,45
2,41
2,38
2,35
2,32
2,30
2,27
2,25
2,24
2,22
2,20
2,19
2,18
2,16
2,11
2,08
2,05
2,03
1,99
1,97
1,95
1,93
1,91
1,83
11
243
19,40
8,76
5,94
4,70
4,03
3,60
3,31
3,10
2,94
2,82
2,72
2,63
2,57
2,51
2,46
2,41
2,37
2,34
2,31
2,28
2,26
2,24
2,22
2,20
2,18
2,17
2,15
2,14
2,13
2,07
2,04
2,01
1,99
1,95
1,93
1,91
1,89
1,87
1,79
12
244
19,41
8,74
5,91
4,68
4,00
3,57
3,28
3,07
2,91
2,79
2,69
2,60
2,53
2,48
2,42
2,38
2,34
2,31
2,28
2,25
2,23
2,20
2,18
2,16
2,15
2,13
2,12
2,10
2,09
2,04
2,00
1,97
1,95
1,92
1,89
1,88
1,85
1,83
1,75
13
245
19,42
8,73
5,89
4,66
3,98
3,55
3,26
3,05
2,89
2,76
2,66
2,58
2,51
2,45
2,40
2,35
2,31
2,28
2,25
2,22
2,20
2,18
2,15
2,14
2,12
2,10
2,09
2,08
2,06
2,01
1,97
1,94
1,92
1,89
1,86
1,84
1,82
1,80
1,72
14
245
19,42
8,71
5,87
4,64
3,96
3,53
3,24
3,03
2,86
2,74
2,64
2,55
2,48
2,42
2,37
2,33
2,29
2,26
2,22
2,20
2,17
2,15
2,13
2,11
2,09
2,08
2,06
2,05
2,04
1,99
1,95
1,92
1,89
1,86
1,84
1,82
1,79
1,78
1,69
15
246
19,43
8,70
5,86
4,62
3,94
3,51
3,22
3,01
2,85
2,72
2,62
2,53
2,46
2,40
2,35
2,31
2,27
2,23
2,20
2,18
2,15
2,13
2,11
2,09
2,07
2,06
2,04
2,03
2,01
1,96
1,92
1,89
1,87
1,84
1,81
1,79
1,77
1,75
1,67
16
246
19,43
8,69
5,84
4,60
3,92
3,49
3,20
2,99
2,83
2,70
2,60
2,51
2,44
2,38
2,33
2,29
2,25
2,21
2,18
2,16
2,13
2,11
2,09
2,07
2,05
2,04
2,02
2,01
1,99
1,94
1,90
1,87
1,85
1,82
1,79
1,77
1,75
1,73
1,64
17
247
19,44
8,68
5,83
4,59
3,91
3,48
3,19
2,97
2,81
2,69
2,58
2,50
2,43
2,37
2,32
2,27
2,23
2,20
2,17
2,14
2,11
2,09
2,07
2,05
2,03
2,02
2,00
1,99
1,98
1,92
1,89
1,86
1,83
1,80
1,77
1,75
1,73
1,71
1,62
18
247
19,44
8,67
5,82
4,58
3,90
3,47
3,17
2,96
2,80
2,67
2,57
2,48
2,41
2,35
2,30
2,26
2,22
2,18
2,15
2,12
2,10
2,08
2,05
2,04
2,02
2,00
1,99
1,97
1,96
1,91
1,87
1,84
1,81
1,78
1,75
1,73
1,71
1,69
1,60
19
248
19,44
8,67
5,81
4,57
3,88
3,46
3,16
2,95
2,79
2,66
2,56
2,47
2,40
2,34
2,29
2,24
2,20
2,17
2,14
2,11
2,08
2,06
2,04
2,02
2,00
1,99
1,97
1,96
1,95
1,89
1,85
1,82
1,80
1,76
1,74
1,72
1,69
1,67
1,59
20
248
19,45
8,66
5,80
4,56
3,87
3,44
3,15
2,94
2,77
2,65
2,54
2,46
2,39
2,33
2,28
2,23
2,19
2,16
2,12
2,10
2,07
2,05
2,03
2,01
1,99
1,97
1,96
1,94
1,93
1,88
1,84
1,81
1,78
1,75
1,72
1,70
1,68
1,66
1,57
Wartości krytyczne rozkładu F -Snedecora, P (F > f0,05; r1 ; r2 ) = 0, 05
r1
24
249
19,45
8,64
5,77
4,53
3,84
3,41
3,12
2,90
2,74
2,61
2,51
2,42
2,35
2,29
2,24
2,19
2,15
2,11
2,08
2,05
2,03
2,01
1,98
1,96
1,95
1,93
1,91
1,90
1,89
1,83
1,79
1,76
1,74
1,70
1,67
1,65
1,63
1,61
1,52
30
250
19,46
8,62
5,75
4,50
3,81
3,38
3,08
2,86
2,70
2,57
2,47
2,38
2,31
2,25
2,19
2,15
2,11
2,07
2,04
2,01
1,98
1,96
1,94
1,92
1,90
1,88
1,87
1,85
1,84
1,79
1,74
1,71
1,69
1,65
1,62
1,60
1,57
1,55
1,46
40
251
19,47
8,59
5,72
4,46
3,77
3,34
3,04
2,83
2,66
2,53
2,43
2,34
2,27
2,20
2,15
2,10
2,06
2,03
1,99
1,96
1,94
1,91
1,89
1,87
1,85
1,84
1,82
1,81
1,79
1,74
1,69
1,66
1,63
1,59
1,57
1,54
1,52
1,50
1,39
60
252
19,48
8,57
5,69
4,43
3,74
3,30
3,01
2,79
2,62
2,49
2,38
2,30
2,22
2,16
2,11
2,06
2,02
1,98
1,95
1,92
1,89
1,86
1,84
1,82
1,80
1,79
1,77
1,75
1,74
1,68
1,64
1,60
1,58
1,53
1,50
1,48
1,45
1,43
1,32
120
253
19,49
8,55
5,66
4,40
3,70
3,27
2,97
2,75
2,58
2,45
2,34
2,25
2,18
2,11
2,06
2,01
1,97
1,93
1,90
1,87
1,84
1,81
1,79
1,77
1,75
1,73
1,71
1,70
1,68
1,62
1,58
1,54
1,51
1,47
1,44
1,41
1,38
1,35
1,22
200
254
19,49
8,54
5,65
4,39
3,69
3,25
2,95
2,73
2,56
2,43
2,32
2,23
2,16
2,10
2,04
1,99
1,95
1,91
1,88
1,84
1,82
1,79
1,77
1,75
1,73
1,71
1,69
1,67
1,66
1,60
1,55
1,51
1,48
1,44
1,40
1,38
1,34
1,32
1,17
∞
254
19,50
8,53
5,63
4,37
3,67
3,23
2,93
2,71
2,54
2,40
2,30
2,21
2,13
2,07
2,01
1,96
1,92
1,88
1,84
1,81
1,78
1,76
1,73
1,71
1,69
1,67
1,65
1,64
1,62
1,56
1,51
1,47
1,44
1,39
1,35
1,32
1,28
1,25
1,00
54
Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
Dodatek
55
Katalog wybranych rozkładów prawdopodobieństwa
Rozkłady dyskretne
X ma rozkład
parametry
funkcja prawdopodobieństwa
EX
D2 X
jednopunktowy
c∈R
P (X = c) = 1
c
0
dwupunktowy
Bernoulliego
p ∈ (0, 1)
P (X = 0) = 1 − p, P (X = 1) = p
p
p(1 − p)
dwumianowy
Bernoulliego ∼ B(n, p)
p ∈ (0, 1)
n∈N
P (X = k) =
np
np(1 − p)
Poissona ∼ P (λ)
λ>0
λ
λ
geometryczny
p ∈ (0, 1)
1
p
1−p
p2
hipergeometryczny
n, N, M ∈ N 1
M < N, n ¬ M
n ¬ N −M
Mn
N
M n(N −M )(N −n)
N 2 (N −1)
n
k
pk (1 − p)n−k
k ∈ {0, 1, . . . , n}
P (X = k) =
λk −λ
e ,
k!
k∈N
P (X = k) = (1 − p)k−1 p, k ∈ N
N −M
(M
k )( n−k )
(N
n)
k ∈ {0, 1, . . . , n}
P (X = k) =
Rozkłady ciągłe
X ma rozkład
jednostajny
parametry
a, b ∈ R, a < b
funkcja gęstości

 0

wykładniczy
λ>0
f (x) =
normalny ∼ N (m, σ)
m ∈ R, σ > 0
f (x) =
Cauchy’ego ∼ C(µ, λ)
µ ∈ R, λ > 0
t-Studenta z r
stopniami swobody
r∈N
χ2 (chi-kwadrat) z r
stopniami swobody
F -Snedecora z r1 oraz
r2 stopniami swobody
logarytmiczno normalny
1
0
f (x) =
1
e− 2 (
√1
2π
1+
f (x) =
) , x∈R
x2
r
− r+1
2
r
1
r1 +r2
2
r
Γ 21
(
x
x 2 −1 e− 2 ,
r1
r2
r12 r22
)Γ( r22 )
m ∈ R, σ > 0
f (x) =
(a−b)2
12
1
λ
1
λ2
m
σ2
0
x 6 0,
x>0
r
2r
r2
r2 −2
2
2r2
(r1 +r2 −2)
r1 (r2 −2)2 (r2 −4)
(r2 > 2)
(r2 > 4)
1 −1
x 2
r1 +r2
2
(r1 x+r2 )
x 6 0,
0,
2
1 ln x−m
1
√
e− 2 ( σ )
xσ 2π
,
r
(r > 2)
r−2
, x∈R
dla x > 0
(
a+b
2
nie istnieją
r
·
D2 X
x∈R
0,
( )
r1 , r2 ∈ N
x−m 2
σ
1
λ
,
π λ2 +(x−µ)2
2r/2 Γ r
2
Γ
dla x < 0,
dla x ­ 0
0
λe−λx
Γ( r+1
2 )
√
Γ( r
πr
2)
(
r∈N
σ
f (x) =
f (x) =
dla x < a,
dla a ¬ x ¬ b,
dla x > b
1
b−a
f (x) =
EX
x>0
1
em+ 2 σ
n - liczebność próby, N - liczebność populacji, M - liczba sukcesów w populacji.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
2
2
(eσ − 1)e2m+σ
2
56
Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej
Zasady tworzenia szeregów rozdzielczych
W celu przedstawienia zasad budowy szeregów rozdzielczych przypomnijmy najpierw pojęcia
i oznaczenia z tymi zagadnieniami związane:
n − liczebność próby (N − liczebność populacji),
k − liczba klas szeregu,
b − długość klasy (dla szeregu przedziałowego),
xi − środek i-tej klasy (dla szeregu przedziałowego),
ymin − najmniejsza wartość próby y1 , y2 , . . . , yn ,
ymax − największa wartość próby y1 , y2 , . . . , yn ,
R = ymax − ymin − rozstęp badanej cechy w próbie,
ni − liczebność i-tej klasy (nazywana też często częstością absolutną lub częstością),
wi =
fi =
vi =
ni
n
i
P
− częstość względna i-tej klasy,
ws − częstość skumulowana i-tej klasy,
s=1
wi
b −
częstość znormalizowana i-tej klasy.
Szereg rozdzielczy punktowy tworzy się poprzez grupowanie powtarzających się wartości
badanej cechy w próbie. Tego typu grupowanie stosujemy dla cech o charakterze skokowym.
Szereg rozdzielczy punktowy dla cechy o k różnych wartościach x1 , x2 , . . . , xk będziemy przedstawiać w postaci tabeli:
xi x1 x2 . . . xk
ni n1 n2 . . . nk
Szereg rozdzielczy przedziałowy tworzy się poprzez grupowanie wartości próby y1 , y2 , . . . , yn
w tzw. klasach. Klasy są przedziałami, najczęściej jednakowej długości. Szereg rozdzielczy przedziałowy stanowią poszczególne klasy oraz ich liczebności ni . Istnieje kilka reguł ustalania orientacyjnie liczby klas szeregu rozdzielczego w zależności od liczebności próby. My przyjmiemy
następujące kryterium:
√
k∼
= n (n ¬ 500) lub k ∼
= 1 + 3, 322 ln n (n > 500).
∼
Jako długość klasy przyjmuje się liczbę b = R , tak jednak, by bk ­ R. Jako lewy koniec
k
pierwszej klasy możemy przyjąć x1 = ymin .
Mając k, b oraz x1 wyznaczamy wszystkie klasy szeregu oraz ich liczebności otrzymując szereg
rozdzielczy przedziałowy postaci:
klasy
[x1 , x2 ] (x2 , x3 ] . . . . . . (xk , xk+1 ]
liczebności n1
n2
......
nk
Empiryczny rozkład cechy możemy przedstawić w formie graficznej poprzez narysowanie histogramu. Histogram to wykres kolumnowy, gdzie oś pozioma reprezentuje wartości (klasy) a
pionowa odpowiadające im:
• liczebności − histogram liczebności,
• częstości względne − histogram częstości względnej,
• częstości skumulowane − histogram częstości skumulowanej (obrazuje on dystrybuantę
empiryczną),
• częstości znormalizowane − histogram częstości znormalizowanej (obrazuje on empiryczny rozkład gęstości prawdopodobieństwa).
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
Dodatek
57
Charakterystyki liczbowe próby
szereg szczegółowy
szereg punktowy
szereg przedziałowy
x1 6 x2 6 . . . 6 xn
xi x1 x2 . . . xk
ni n1 n2 . . . nk
klasy
(x1 , x2 ] (x2 , x3 ] . . . (xk , xk+1 ]
ni
n1
n2
...
nk
środki klas
x1
x2
...
xk
miary
opisowe
średnia
arytmetyczna
x=
średnia
geometryczna
xg =
n
P
1
n
s
n
k
P
1
n
x=
xi
i=1
s
n
Q
xg =
xi
i=1
i=1
średnia
harmoniczna
n
xh = P
n
1
i=1
xi
i=1
wartość występująca najczęściej
xini
n
xh = P
k
ni
xi
i=1
k
Q
n
xg =
n
xh = P
k
ni
xi
moda
(dominanta)
xni i
xi ni
i=1
s
k
Q
n
k
P
1
n
x=
xi ni
i=1
i=1
d - nr klasy o największej liczebności
wartość xi dla której ni jest
największa
Mo = xd +
nd −nd−1
2nd −nd−1 −nd+1
|xd+1 − xd |
Uwaga! Przy wyznaczaniu mody nie bierzemy pod uwagę wartości oraz klas skrajnych.
mediana
(kwartyl drugi)
m
P
m - nr pierwszej klasy, dla której
ni > n2
i=1
m−1
P
−xm |
Me = xm
Me = xm + n2 −
ni |xm+1
nm
Me = x n+1 n - nieparzyste
2
Me = 21 x n2 + x n2 +1 n - parzyste
i=1
kwartyl
pierwszy
kwartyl
trzeci
m
P
wyznacza się w ten sposób, że
z pierwszej części zbiorowości, która
powstała po wyznaczeniu mediany,
wyznacza się medianę
m - nr pierwszej klasy, dla której
ni > n4
i=1m−1 P
−xm |
Q1 = xm
Q1 = xm + n4 −
ni |xm+1
nm
i=1
m
P
wyznacza się w ten sposób, że
z drugiej części zbiorowości, która
powstała po wyznaczeniu mediany,
wyznacza się medianę
odchylenie
przeciętne
d=
1
n
1
n
s2 =
wariancja
ŝ2 =
n
P
m - nr pierwszej klasy, dla której
ni > 3n
4
i=1 m−1 P
−xm |
Q3 = xm
Q3 = xm + 3n
ni |xm+1
4 −
nm
i=1
|xi − x|
1
n
d=
i=1
n
P
(xi − x)2
i=1
n
P
1
n−1
(xi − x)2
ŝ2 =
V =
momenty
zwykłe
mr =
Mr =
1
n
1
n
n
P
n
P
i=1
xri
(xi − x)r
s
x
(xi − x)2 ni
Mr =
1
n
k
P
Fn (x) =


 0
dla x 6 x1 ,
i
n
dla xi < x 6 xi+1 ,


1
dla x > xn
M4
s4
(xi − x)2 ni
ŝ2 =
i=1
√
s2 , ŝ =
√
1
n
k
P
k
P
i=1
ŝ
x
|xi − x| ni
i=1
k
P
(xi − x)2 ni
i=1
1
n−1
k
P
(xi − x)2 ni
i=1
· 100 [%]
xri ni
mr =
(xi − x)r ni
M3
s3 ,
k
P
ŝ2
Mr =
i=1
γ=
K=
1
n
s2 =
· 100 [%], V̂ =
mr =
i=1
współczynnik
asymetrii
(skośność)
współczynnik
koncentracji
(kurtoza)
dystrybuanta
empiryczna
k
P
s=
współczynnik
zmienności
1
n
d=
i=1
1
n−1
odchylenie
standardowe
momenty
centralne
|xi − x| ni
i=1
1
n
s2 =
i=1
k
P
1
n
1
n
k
P
xir ni
i=1
k
P
(xi − x)r ni
i=1
√
γ̂ =
− 3, K̂ =
n2 −n
n−2
·γ
n2 −1
(n−2)(n−3)


0


 P
i
ns
Fn (x) =
n

 s=1

 1
K+
6
n+1
dla x 6 x1 ,
dla xi < x 6 xi+1 , i = 1, 2, . . . , k − 1,
dla x > xk
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
58
Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej
Spis oznaczeń
B(n, p)
χ2α; r
d
D2 X
DX
EX
fα; r1 ; r2
F
ϕ
Φ
γ, γ̂
Γ
K, K̂
Me
Mo
mr
Mr
N (m, σ)
P (λ)
Qk
r
rs
R2
s2 , ŝ2
s, ŝ
tα; r
uα
V , V̂
xp
x
xg
xh
xw
rozkład dwumianowy Bernoulliego z parametrami n i p
kwantyl rzędu 1 − α rozkładu χ2 z r stopniami swobody
odchylenie przeciętne od średniej
wariancja zmiennej losowej X
odchylenie standardowe zmiennej losowej X
wartość oczekiwana zmiennej losowej X
kwantyl rzędu 1 − α rozkładu F -Snedecora z r1 oraz r2 stopniami swobody
dystrybuanta zmiennej losowej X 2
gęstość standaryzowanego rozkładu normalnego
dystrybuanta standaryzowanego rozkładu normalnego
współczynnik asymetrii (skośność)
funkcja gamma 3
współczynnik koncentracji (kurtoza)
mediana
moda (dominanta)
moment zwykły rzędu r
moment centralny rzędu r
rozkład normalny z parametrami m i σ
rozkład Poissona z parametrem λ
kwartyl k-ty, gdzie k = 1, 2, 3
współczynnik korelacji liniowej
współczynnik korelacji rang Spearmana
współczynnik determinacji
wariancja z próby
odchylenie standardowe z próby
kwantyl rzędu 1 − α2 rozkładu t-Studenta z r stopniami swobody
kwantyl rzędu 1 − α2 rozkładu N (0, 1)
współczynnik zmienności
kwantyl rzędu p, gdzie p ∈ (0, 1)
średnia arytmetyczna z próby
średnia geometryczna z próby
średnia harmoniczna z próby
średnia ważona z próby
2
F (x) = P (X < x).
3
Γ(r) =
+∞
R
xr−1 e−x dx, r > 0.
0
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
Odpowiedzi do zadań
1. P =
2
19 .
2. a) P =
169
400 ,
b) P =
39
95 .
3. P = 0, 86.
4. P =
2
13 .
5. P = 12 .
6. P = 0, 4.
7. P = 0, 65.
8. P = 23 .
9. P = 0, 5.
10. P =
1
75600 .
√
3 3
4π .
11. a) P = π2 , b) P =
12. P = 13 .
13. P = 13 .
14. P = 29 .
15. P = 59 .
16. P =
2l
πd .
17. P = 13 .
18. P = 13 .
19. a) P =
13
24 ,
b) P = 0, c) P =
7
12 ,
b) P = 15 , c) P = 31 .
1
48 .
20. P = π4 .
21. P = 59 .
22. a) P =
23. P =
4
675 .
24. P =
1
π2 .
3
4 . Wskazówka:
25. P =
z każdą prostą związać jej kąt nachylenia do osi OX.
26. P = 1 − (1 − p)10 .
27. P =
5
16 .
28. P = 0, 003.
29. P = 0, 297.
30. P (A ∪ B) = 78 , P (A ∩ B) = 18 .
31. P (X = 5) = 0, 185, P (X = 5) ≈ 0, 175.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
60
Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej
32. a) P = 25 , b) P = 13 .
33. P (A ∩ B) =
1
4
34. P (A ∩ B) =
1
36
6=
3
8
6=
= P (A) · P (B), zatem zdarzenia nie są niezależne.
5
216
= P (A) · P (B), zatem zdarzenia nie są niezależne.
35. P (A ∩ B) = P (A) · P (B) =
1
26 ,
zatem zdarzenia są niezależne.
36. P (A ∩ B) = P (A) · P (B) = 0, 06, zatem zdarzenia są niezależne.
37. P =
33
40 .
38. P = 0, 969.
39. P = 0, 16.
40. P = 0, 75.
41. P = 0, 56.
42. P =
9
23 .
43. P =
97
327 .
44. P = 0, 93.
45. P = 0, 85.
46. a) P = 0, 787, b) z drugiego.
47. a) P = 0, 03, b) P = 13 .
48. P = 0, 4.
49. P = 0, 35.
50. P = 0, 435.
51. a) P = 0, 51, b) P = 0, 314.
52. P = 0, 87.
53. a) P = 0, 038, b) P = 0, 013, c) P = 0, 741.
54. P = 0, 4.
55. a) P = 0, 939, b) P = 0, 492.
56. a) ok. 0, 98, b) 0, 047 - jest to pozorna sprzeczność, gdyż milcząco zakładamy, że testowi
poddanych zostaje aż 99, 9% zdrowych i tylko 0, 1% chorych.
57.
xi 0 1
5
6
pi 12
12
2
1
12
,
x (−∞, 0] (0, 1] (1, 2] (2, +∞)
,
5
11
F (x)
0
1
12
12
D2 X =
7
18 .
58. a = 2, b = 0, 2, DX = 0, 917.
xi 0
1
2
3
4
,
pi 0,12 0,32 0,18 0,16 0,22
b) EX = 2, 04, DX = 1, 356,
c) P (1 < X ¬ 3) = 0, 34, P (X = 21 ) = P (X > 5) = 0.
59. a)
60.
xi 0
1
2
3
4
5
, D2 X = 1, 246.
pi 0,031 0,156 0,313 0,313 0,156 0,031
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
Odpowiedzi do zadań
61.
xi 1 2 3
,
pi 15 35 15
62.
xi 0 1 2
1 15 30
pi 56
56 56
61
EX = 2, D2 X = 0, 4.
3
10
56
.
63. P (X ­ 3) = 0, 577.
64. p = 14 , n = 160.
65. D2 Z = 8.
66. P (Z > 2) = 0, 701.
67. a = 20, b = 0, 1, D2 X = 129.
68. DX = 27.
69.
xi 0 1 2 3 4
3
5
4
3
2
pi 18
18 18 18 18
70. a)
5
1
18
,
Me = 2, Mo = 1.
xi 0
1
2
3
4
,
pi 0,2 0,16 0,128 0,102 0,41
b) M1 = 0, M2 = 2, 571, M3 = −1, 217,
c) P (X > 2) = 0, 512, P (X = 3) = 0, 102, P (0 < X ¬ 4) = 0, 8.
71.
xi 0
1
2
.
pi 0,25 0,5 0,25
72.
xi 0 1
3 15
pi 28
28
73. a)
2
10
28
,
Me = Mo = 1.
x (−∞, 0] (0, 1] (1, 2] (2, 3] (3, 4] (4, +∞)
,
F (x)
0
0,1 0,4 0,7 0,9
1
b) EX = 1, 9, D2 X = 1, 29,
c) P (X > 2) = 0, 3, P (1 6 X 6 4) = 0, 9.
74.
xi 0 1
7
7
pi 15
15
2
1
15
,
x (−∞, 0] (0, 1] (1, 2] (2, +∞)
,
7
14
F (x)
0
1
15
15
EX = 35 .
75. P (X = n) = (1 − p)n−1 p dla n = 1, 2, 3, ..., EX = p1 . (Wskazówka: Można zauważyć, że
EX jest pochodną pewnego szeregu geometrycznego)
76. P (X = n) = ( 12 )n , n = 1, 2, 3, . . . ,
(
F (x) =
dla x ∈ (−∞, 1],
0
1−
( 12 )n
dla x ∈ (n, n + 1], n = 1, 2, 3, . . . ,
EX = 2.
77. a) c = 0, 3
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
62
Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej
b) F (x) =


0
dla x ¬ −5,






0, 1 dla −5 < x ¬ −2,






0, 3 dla −2 < x ¬ 0,


0, 4 dla 0 < x ¬ 1,




0, 6 dla 1 < x ¬ 3,






0, 9 dla 3 < x ¬ 8,





1
dla x > 8
2
c) EX = 1, D X = 11, 6, DX = 3, 406
d) P (X < 0) = 0, 3, P (X ¬ 0) = 0, 4, P (X < 4) = 0, 9, P (X ¬ 4) = 0, 9,
P (−2 ¬ X < 4) = 0, 8, P (X = 2) = 0, P (X = 3) = 0, 3, P (−6 < X ¬ 0) = 0, 4,
P (1 < X ¬ 8) = 0, 4.
78.
xi 2 4 6 7
,
pi 0,3 0,4 0,2 0,1
EX = 4, 1, D2 X = 2, 89, DX = 1, 7,
P (X > 1) = 1, P (X ­ 0, 5) = 1, P (−1 < X < 2) = 0, P (X ­ 7) = 0, 1.
79. EX = 21 , tak.
80.
xi 0
1
2
3
4
,
pi 0,2 0,14 0,43 0,19 0,04
x (−∞, 0] (0, 1] (1, 2] (2, 3] (3, 4] (4, +∞)
,
F (x)
0
0,2 0,34 0,77 0,96
1
EX = 1, 73, D2 X = 1, 217, P (X > 3) = 0, 04, P (X ¬ 1) = 0, 34, P (0 ¬ X ¬ 4) = 1.
81.
xi 0
1
2
3
,
pi 0,118 0,367 0,382 0,133
EX = 1, 53, D2 X = 0, 751, P = 0, 867.
82. Q1 = 1, Me = 2, Q3 = 3.
84. P (Z > 0) = 0, 5, P (|Z| < 2) = 0, 9544, P (|Z| > 1) = 0, 3174,
x0,1 = −1, 28, x0,7 = 0, 52, x0,97 = 1, 88.
85. P (|X − 1| > 1) = 0, 8536.
86. a) P = 0, 6915, b) P = 0, 2902, c) P = 0, 0228.
87. a) P = 0, 9772, b) P = 0, 1587, c) P = 0, 0013.
88. a) P = 0, 0668, b) P = 0, 8351, c) P = 0, 3085.
89. 0, 62%.
90. a) P {|X − m| < 3σ} = 0, 9974, b) k = 2, 58.
91. x0,2 = 1, 16.
92. n = 100.
93. n = 300.
94. EX = 43 , D2 X =
3
80 .
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
Odpowiedzi do zadań
63


0
dla x ¬ −1,




 − 1 (x2 − 1) dla x ∈ (−1, 0],
5
95. a) F (x) =
 1 (x2 + 1) dla x ∈ (0, 2],


5



dla x > 2.
1
b) EX =
14
15 ,
D2 X
373
450 ,
=
c) P (X > 3) = 0, P (− 21 ¬ X < 1) = 14 , P (X = 0) = 0.
96. EX = λ1 , DX = λ1 .
97. EX =
a+b
2 ,
D2 X =
(a−b)2
12 .
98. a = π2 , P (X > 0) = 12 .
99. a) EX = 43 , D2 X = 92 ,
√
√
8
b) M1 = 0, M2 = 29 , M3 = − 135
, Q1 = 1, Me = 2, Q3 = 3.
(
100. a = 2, P (−1 ¬ X ¬ 1, 5) =
2
3,
f (x) =
2
x2
0
dla x ∈ (1, 2),
poza tym
√
101. a = 2 3.
102. a) F (x) =


0


dla x ¬ 0,
1
2 (1



− cos 2x) dla 0 < x ¬ π2 ,
dla x >
1
b) EX = π4 , D2 X =
π2
16
π
2
− 12 ,
c) P (X > π4 ) = 12 ,
d) x 1 = π6 , x 3 = π3 .
4
4
103. a) a =
b) F (x) =


0


dla x ¬ −1,
3 π
2π ( 6



c) D2 X =
3
2π ,
+ arc sin
x
2)
dla x ∈ (−1, 2],
dla x > 2,
1
8π 2 −27−3π
4π 2
√
d) P (−1 < X < 1) =
3
,
1
2 , P (X
> 0) = 14 , P (X = 21 ) = 0.
104. a) b = 12 ,
b) F (x) =


0


dla x ¬ 0,
1 x
2 (e



− 1) dla x ∈ (0, ln 3],
dla x > ln 3.
1
c) EX = 12 (3 ln 3 − 2), D2 X = 2 − 43 ln2 3,
d) P (X > 1) = 12 (3 − e).
(
105. f (x) =
1 2
9x
dla x ∈ [0, 3],
0
poza tym
EX = 49 , x0,125 = 32 , x
1
125
= 53 , x 8 = 2.
27
√
106. 2(3 3 − 1).
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
64
Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej


0
dla x ¬ −1,




 1 (1 − x2 ) dla x ∈ (−1, 0],
2
107. F (x) =
 1 (1 + x2 ) dla x ∈ (0, 1],


2



dla x > 1
1
EX = 0,
D2 X
108. F (x) =
1
2,
=


0


dla x ¬ −1,
1
4 (3x



−
x3
+ 2) dla x ∈ (−1, 1],
dla x > 1,
1
− 12 )
EX = 0, P (X <
109. F (x) =
P (X < 0) = 12 , P (X ­ 1) = 0.


0


1
2 (1



1
5,
=
P (|X| > 13 ) =
14
27 .
dla x ∈ (−∞, − π2 ],
+ sin x) dla x ∈ (− π2 ,
π
2 ],
dla x ∈ ( π2 , +∞)
1
π 2 −8
4 ,
√
π
­ 3 ) = 2−4 3 ,
a = 21 , EX = 0, D2 X =
P (|X| > π6 ) = 21 , P (X
(
dla x 6 0,
0
110. F (x) =
1−
P (− π6 < X ¬ π2 ) = 34 , Mo = Me = 0.
e−2x
dla x > 0,
EX = 12 , D2 X = 41 , P (X > 1) = e−2 , P (0 < X ¬ ln 3) = 89 , Me =
(
EX = 2,
D2 X
1−
ln 2.
dla x ¬ 1,
0
111. F (x) =
1
2
1
x2
dla x > 1
= +∞, P (|X| > 1) = 1, Me =
√
2.
112. EX nie istnieje, Me = Mo = 0, F (x) = π1 ( π2 + arc tgx) dla x ∈ R,
√
√
P (0 < X ¬ 1) = 14 , P (0 < X < 3) = 13 , P (3X − 1 > 3 − 1) = 13 .
x2
113. F (x) = 1 − e− 2 dla x > 0, poza tym F (x) = 0, Me =
q
√
√
EX = π2 , P (X > ln 4) = 12 , P (X ¬ ln 9) = 32 .
114. EX = 0, P (1 < X ¬ 2) = 16 , F (x) =


0


1
2



1
√
ln 4, Mo = 1,
dla x ¬ −2,
+
1
π
arc sin x2
dla x ∈ (−2, 2],
dla x > 2.
115. P (ln 2 < X ¬ 1) = P (X < ln 12 ) = 0.
116. k = π2 , f (x) =
P (X ­ 1) = 0.
√π
2 1−x2
dla x ∈ (0, 1), poza tym f (x) = 0, P ( 12 ¬ X) = 23 ,
117. A = 1, B = − π1 , f (x) =
P (0 < X ¬ 1) =
118. a) EX 2 =
1
2,
100
3 ,
P (X >
b)
√1
π 1−x2
1
1
2) = 3.
dla x ∈ (−1, 1), poza tym f (x) = 0
50
3 .
−x dla x ­ 0 oraz F (x) = 0 dla x < 0,
119. F (x) = 1 − xe−x − e√
P (0 < X < ln 2) = 1 − ln 2e.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
Odpowiedzi do zadań
120. k =
π
2
− 1.
(
121. f (x) =
EX =
1
2,
65
−6x2 + 6x dla x ∈ [0, 1],
0
D2 X
(
122. f (x) =
=
poza tym
P (0 < X < 12 ) = 12 , P (X > 13 ) =
1
20 ,
20
27 .
3x2 dla x ∈ (0, 1),
0
EX = 34 , D2 X =
poza tym,
3
80 ,
P (0 < X < 12 ) = 18 , Me =
1
√
3 ,
2
x0,2 =
√
3
0, 97, x0,729 = 0, 9.
123. a) P ≈ 0, 135, b) P ≈ 0, 865.
124. P ≈ 0, 224.
125. P (74 ¬ X ¬ 85) ≈ Φ( 54 ) − Φ(− 64 ) = 0, 8276.
126. n > 96.
127. P (X ¬ 470) ≈ Φ(0, 43) = 0, 6664.
128. n ­ 385.
129. n ­ 1068. Wskazówka: Dla każdego p ∈ (0, 1) mamy p(1 − p) ¬ 14 .
130. a) P (X = 0) = (0, 999)200 ≈ e−0,2 ,
b) P (X ­ 1) = 1 − (0, 999)200 ≈ 1 − e−0,2 .
131. P (X = 5) ≈
105 −10
.
5! e
132. a) P (X = 4) ≈
2,54 −2,5
,
4! e
b) P (X ¬ 2) ≈ 6, 625 e−2,5 ,
P (X ¬ 2) ≈ Φ(−0, 32) = 0, 3745.
133. P (100 < X < 140) = P (|X − 120| < 20) ­ 34 .
134. a) P (X > 90) =
200
P
1
2200
b) P (88 < X ¬ 105) =
i=91
1
2200
105
P
i=89
200
i
≈ 1 − Φ(−1, 41) = 0, 9207,
200
i
≈ Φ(0, 71) − Φ(−1, 7) = 0, 7165.
k
135. P ( 100
¬ 0, 33) ≈ Φ(−1, 23) = 0, 1093, gdzie k jest liczbą osób w próbie mających problemy
ze snem.
136. P (−ε < X − E(X) < ε) ≈ 0, 95, stąd ε = 7, 31 i szukany przedział to (9, 35, 23, 98).
137. P (X ­ 3) ≈ 1 − e−2 ,
P (X ­ 3) ≈ 1 − Φ(0, 71) = 0, 2389.
138. a) P (X ­ 1) = 0, 344,
b) P (X ­ 38) ≈ 1 − Φ(−0, 33) = 0, 6293,
Pa < Pb .
139. a) X jest liczbą pomyłek, X ∈ B(200, 0, 05), P (X > 12) ≈ 1 − Φ(0, 65) = 0, 2578,
b) P (5 ¬ X ¬ 15) ­ 265
360 , P (5 ¬ X ¬ 15) ≈ Φ(1, 62) − Φ(−1, 62) = 0, 8948.
140. a) X jest liczbą osób, które nie uzyskały połączenia, X ∈ B(400, 0, 2),
P (X ­ 70) ≈ 1 − Φ(1, 25) = 0, 1056,
b) P (72 ¬ X ¬ 88) ­ 17
P (72 ¬ X ¬ 88) ≈ Φ(1) − Φ(−1) = 0, 6826.
81 ,
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
66
Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej
141. a) P (X = 5) =
b) P (X ¬ 2) =
900 1 5 299 295
5 ( 300 ) ( 300 )
900 299 300
0 ( 300 )
+
900 1
1 300
≈
35 −3
5! e ,
299 +
( 299
300 )
900 1 2 299 298
2 ( 300 ) ( 300 )
≈
17 −3
2 e ,
P (X ¬ 2) ≈ Φ(−0, 42) = 0, 3372,
c) P (X = 1 ∨ X = 2 ∨ X = 3) ≈ 12e−3 , P (X = 1 ∨ X = 2 ∨ X = 3) ≈ 0, 5 − Φ(−1, 16) = 0, 377.
142. a) P (40 ¬ X ¬ 50) ≈ 0, 5 − Φ(−1, 45) = 0, 4265,
b) P (X > 30) ≈ 1 − Φ(−2, 9) = 0, 9981,
c) P (40 ¬ X ¬ 60) ≈ Φ(1, 45) − Φ(−1, 45) = 0, 853, P (40 ¬ X ¬ 60) ­
735
1210 .
143. a) P (40 ¬ X ¬ 50) ≈ Φ(−1, 44) − Φ(−2, 89) = 0, 073,
b) P (X > 55) ≈ 1 − Φ(−0, 72) = 0, 7642,
c) P (50 ¬ X ¬ 70) ≈ Φ(2, 88) − Φ(−2, 88) = 0, 996, P (50 ¬ X ¬ 70) ­
73
121 .
144. P (X > 150) ≈ 1 − Φ(−1, 41) = 0, 9207.
145. P (5 ¬ X ¬ 5, 5) ≈ Φ(1, 73) − 0, 5 = 0, 4582.
146. P (9, 8 < X < 10, 1) ≈ Φ(0, 5) − Φ(−1) = 0, 5328.
147. P (1, 49 < X < 1, 5) ≈ 0, 5 − Φ(−0, 58) = 0, 219.
148. P (200 < S100 < 250) ≈ Φ(2, 5) − 0, 5 = 0, 4938.
1
149. a) n ­ 12σ
2,
b) n ­ 834,
c) P (0, 4 < X < 0,6) = 0, 95, stąd n ­ 33.
150. P ≈ 1.
151. P (2, 8 < X ¬ 3, 1) ≈ Φ(1) − Φ(−2) = 0, 8185.
152. n ­ 87.
153.
1
4
q
3
5n
< 0, 01, stąd n > 375.
154. a) P (4, 9 < X < 5, 3) ≈ Φ(1, 5) − Φ(−0, 5) = 0, 6247,
b) P (4, 9 < X < 5, 3) ≈ Φ(3, 35) − Φ(−1, 19) = 0, 8826.
155. Wskazówka: Należy pokazać, że ET = m.
156. λ̂ = x
157. λ̂ =
1
x
158. λ̂ =
1
x
159. a) Wskazówka: Należy pokazać, że E(aT1 + (1 − a)T2 ) = θ,
σ22
b) a = σ2 +σ
2.
1
2
160. θ̂ = − ln1xg .
161. Dla c = 89 .
162. p̂ =
1
x
163. â = − 12 ( ln1xg + 1).
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
Odpowiedzi do zadań
67
164. x = 33, 6, Me = 34, ŝ2 = 16, 1, ŝ = 4, V = 10%.
165. b)
x (−∞, 0] (0, 20] (20, 40] (40, 60] (60, 80] (80, +∞)
,
Fn (x)
0
0,09
0,35
0,65
0,86
1
c) x = 51, s2 = 555, s = 23, 6.
166.
xi 0 1 2 3 4
, x = 1, 2, s = 1, 1, Q1 = 0, Q2 = 1, Q3 = 2.
ni 13 12 9 5 1
167. d = 10, 7.
168.
xi 0 1 2 3 4
,
ni 3 13 17 10 7
a) x = 2, 1, s = 1, 1, b) Mo = Me = 2, c) γ = 0, 15.
169. γ = 0, 9, K = −0, 7.
170. s = 2, 2, Mo = 45, 5, Q1 = 44, Me = 45, 6, Q3 = 47, 2.
n
P
d2i ·hi
i=1
n
171. xw = P
= 26, 02.
d2i
i=1
173. x = 9, 1, s2 = 8, 5.
174. xw = 28, 78.
175. x = 2, 7, Mo = 2, 6, Q1 = 1, 9, Me = 2, 7, Q3 = 3, 6.
176. a) x = 4, 4, Mo = 4, Q1 = 3, Me = 4, Q3 = 6,
b)
x (−∞, 1] (1, 2] (2, 3] (3, 4] (4, 5] (5, 6] (6, 7] (7, 8] (8, +∞)
Fn (x)
0
0,07 0,15 0,32 0,59 0,73 0,80 0,91
1
177. a)
x (−∞, 0] (0, 40] (40, 80] (80, 120] (120, 160] (160, +∞)
,
Fn (x)
0
0,09
0,28
0,64
0,88
1
b) x = 104, 4, Mo = 103, 4, Q1 = 73, 7, Me = 104, 4, Q3 = 138, 3,
c) s2 = 2012, 7, s = 44, 9, d = 35, 2.
178. Q1 = 11, Q2 = Me = 15, Q3 = 20.
179. x = 6, 3, s = 2, 5, Me = 6, 36, γ = −0, 13, V = 0, 4.
180. Przedział (20,067, 21,533) jest jednym z przedziałów, który z prawdopodobieństwem 0,9
pokrywa nieznaną średnią.
181. 19, 506 < m < 20, 494.
182. 8, 832 < m < 11, 168.
183. 15, 311 < m < 19, 689.
184. 1 − α = 0, 95.
185. 5, 504 < m < 6, 392.
186. 28, 597 < m < 32, 363.
187. 23, 489 < m < 26, 511.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
68
Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej
188. 113, 318 < m < 126, 682.
189. a) 1, 545 < m < 1, 655, b) 1, 534 < m < 1, 666.
190. Przedział (17,928, 40,171) jest jednym z przedziałów, który z prawdopodobieństwem 0,95
pokrywa nieznaną wariancję.
191. 0, 071 < σ < 0, 092.
192. 2, 993 < σ < 5, 165.
193. 3, 670 < σ 2 < 13, 768.
194. 1, 870 < σ 2 < 25, 418.
195. 34, 590 < σ 2 < 196, 263.
196. 0, 208 < p < 0, 252.
197. 0, 003 < p < 0, 016.
198. 0, 563 < p < 0, 737.
199. Należy do próby wstępnej dolosować co najmniej 396 elementów.
200. n = 18.
201. Próba wstępna jest wystarczająco liczna.
202. n = 62.
203. Próba powinna liczyć co najmniej 16 elementów.
204. Należy do próby wstępnej dolosować 7 elementów.
205. a) jest wystarczająco liczna,
b) nie jest wystarczająco liczna, należy do próby wstępnej dobrać co najmniej 36 elementów.
206. Nie jest wystarczająca, brakuje 760 zł.
207. u = −2, 4 ∈ (−∞, −1, 64]. Wyniki badań sugerują, że z prawdopodobieństwem 0,95
automat zaniża wagę czekolady.
208. t = −1, 172 6∈ (−∞, −1, 833]. Reklamacje odbiorcy L są nieuzasadnione.
209. Rozważając H0 : m = 30, HA : m 6= 30 mamy u = −3, 5 ∈ (−∞, −1, 96] ∪ [1, 96, +∞),
zatem z prawdopodobieństwem 0,95 możemy twierdzić, że średnie plony są różne od 30 q/ha.
210. u = −4, 68 ∈ (−∞, −2, 05]. Mamy podstawy, by z prawdopodobieństwem 0,98 przypuszczać, że waga porcji mięsa jest zaniżana.
211. Rozważając H0 : m = 10, HA : m 6= 10 mamy t = −0, 048 6∈ (−∞, −1, 833] ∪ [1, 833, +∞),
zatem nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0 .
212. t = −1, 414 6∈ (−∞, −1, 86]. Należy przystąpić do zwalczania szkodnika.
213. t = −0, 478 6∈ (−∞, −2, 398]. Brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0 .
214. a) u = −1, 5 ∈ (−∞, −1, 41], zatem z prawdopodobieństwem 0,92 reklamacje są zasadne,
b) u = −1, 5 6∈ (−∞, −1, 64], reklamacje są bezzasadne.
215. a) u = −2, 1 6∈ (−∞, −2, 33], brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0 ,
b) u = −2, 1 ∈ (−∞, −1, 64], firma ma podstawy, by z prawdopodobieństwem 0,95 twierdzić,
że nowy model zużywa mniej paliwa.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
Odpowiedzi do zadań
69
216. Rozważając H0 : m = 35 mg, HA : m < 35 mg mamy u = −2, 41 ∈ (−∞, −1, 64], zatem
z prawdopodobieństwem 0,95 odrzucamy hipotezę H0 na korzyść HA .
217. t = 3, 172 ∈ [1, 895, +∞). Z prawdopodobieństwem 0,95 odrzucamy hipotezę H0 na korzyść HA .
218. t = −0, 8 6∈ (−∞, −1, 761]. Nie ma podstaw do tego, by przypuszczać, że skarga konsumentów jest uzasadniona.
219. Rozważając H0 : m = 1000, HA : m 6= 1000 mamy u = 1, 75 6∈ (−∞, −1, 96] ∪ [1, 96, +∞),
zatem nie ma podstaw do odrzucenia H0 .
Natomiast rozważając H0 : m = 1000, HA : m > 1000 mamy u = 1, 75 ∈ [1, 64, +∞), zatem
z prawdopodobieństwem 0,95 odrzucamy hipotezę H0 na korzyść HA .
220. a) t = −1, 437 6∈ (−∞, −2, 015], należy przystąpić do zwalczania,
b) t = −1, 437 ∈ (−∞, −0, 92], wyniki nie dają podstaw do tego, by już przystąpić do zwalczania
szkodnika.
221. u = 2, 87 ∈ [1, 28, +∞). Z prawdopodobieństwem 0,9 średnia wysokość świerka jest większa niż 20 m.
222. u = −10 ∈ (−∞, −2, 33]. Z prawdopodobieństwem 0,99 śledzie atlantyckie osiągają większą średnią długość.
223. t = −0, 95 6∈ (−∞, −1, 833]. Wyniki badań przemawiają za tym, że trening nie ma wpływu
na liczbę zapamiętanych elementów.
224. t = 4, 146 ∈ [2, 718, +∞). Możemy twierdzić z prawdopodobieństwem 0,99, że zastosowany
lek powoduje spadek ciśnienia.
225. t = 1, 328 6∈ (−∞, −2, 16] ∪ [2, 16, +∞). Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0 .
226. Rozważając H0 : m1 = m2 , HA : m1 6= m2 otrzymujemy u = −1, 45 6∈ (−∞, −1, 96] ∪
[1, 96, +∞), zatem nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0 .
227. a) u = −1, 76 ∈ (−∞, −1, 28], z prawdopodobieństwem 0,9 badania wskazują na to, że
zastosowanie zabiegu zwiększa plon, b) u = −1, 76 6∈ (−∞, −2, 33], brak podstaw do odrzucenia
hipotezy H0 .
228. Weryfikujemy najpierw hipotezę H0 : σ12 = σ22 , HA : σ12 6= σ22 , otrzymujemy f = 1, 02 6∈
[5, 19, +∞), zatem nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o równości wariancji.
Rozważając H0 : m1 = m2 , HA : m1 < m2 mamy t = −1, 555 ∈ (−∞, −1, 383], stąd możemy
twierdzić z prawdopodobieństwem 0,9, że przeszkolenie zwiększa średnią wydajność.
229. a) t = 2, 377 ∈ [1, 701, +∞), z prawdopodobieństwem 0,95 odrzucamy hipotezę H0 na
korzyść HA ,
b) t = 2, 377 6∈ [2, 467, +∞), nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0 .
230. t = −4, 434 ∈ (−∞, −1, 684]. Przeprowadzone pomiary sugerują, że z prawdopodobieństwem 0,95 badany przyrost jest większy w Małopolsce.
231. Rozważając H0 : m1 = m2 , HA : m1 6= m2 mamy u = 2, 45 6∈ (−∞, −2, 58] ∪ [2, 58, +∞),
zatem nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0 .
Natomiast rozważając H0 : m1 = m2 , HA : m1 > m2 mamy u = 2, 45 ∈ [2, 33, +∞), zatem
z prawdopodobieństwem 0,99 odrzucamy hipotezę H0 na korzyść HA .
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
70
Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej
232. Rozważając H0 : m1 = m2 , HA : m1 6= m2 otrzymujemy u = −1, 44 6∈ (−∞, −1, 75] ∪
[1, 75, +∞), zatem nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0 .
Natomiast rozważając H0 : m1 = m2 , HA : m1 < m2 mamy u = −1, 44 ∈ (−∞, −1, 41], zatem
z prawdopodobieństwem 0,92 odrzucamy hipotezę H0 na korzyść HA .
233. u = −2, 59 ∈ (−∞, −2, 33], zatem z prawdopodobieństwem 0,99 można tak uważać.
234. t = 7, 493 ∈ [1, 943, +∞). Przeprowadzone doświadczenie wskazuje, że z prawdopodobieństwem 0,95 zapylenie zwiększa średnią masę nasion.
235. Rozważając H0 : m1 = m2 , HA : m1 6= m2 otrzymujemy t = 3, 367 ∈ (−∞, −1, 771] ∪
[1, 771, +∞), zatem z prawdopodobieństwem 0,9 hipotezę H0 należy odrzucić.
236. u = 4, 15 ∈ [2, 05, +∞). Z prawdopodobieństwem 0,98 odrzucamy hipotezę H0 na korzyść
HA .
237. Weryfikujemy najpierw hipotezę H0 : σ12 = σ22 , HA : σ12 6= σ22 , otrzymujemy f = 2, 26 6∈
[3, 73, +∞), zatem nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o równości wariancji.
Rozważając H0 : m1 = m2 , HA : m1 > m2 mamy t = 1, 463 ∈ [1, 341, +∞), zatem z prawdopodobieństwem 0,9 urzędnicy powinni wybrać Robustę.
238. t = 1, 852 ∈ [1, 812, +∞). Z prawdopodobieństwem 0,95 możemy twierdzić, że zakład miał
wpływ na zmniejszenie przyrostu pierśnic.
239. χ2 = 34, 531 ∈ [30, 144, +∞), z prawdopodobieństwem 0,95 odrzucamy hipotezę H0 na
korzyść HA .
240. a) χ2 = 34, 986 ∈ [34, 382, +∞), z prawdopodobieństwem 0,9 możemy twierdzić, że sadzarka nie spełnia wymogów dotyczących precyzji sadzenia,
b) χ2 = 34, 986 6∈ [37, 652, +∞), brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0 .
241. u = −0, 01 6∈ (−∞, −2, 33] ∪ [2, 33, +∞). Brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0 .
242. χ2 = 10, 379 6∈ (0, 5, 578]. Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0 .
243. χ2 = 26, 45 6∈ [27, 204, +∞). Brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0 .
244. a) χ2 = 37, 52 6∈ [46, 963, +∞), nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0 ,
b) χ2 = 37, 52 ∈ [36, 741, +∞), z prawdopodobieństwem 0,9 decyzja o przerwaniu produkcji jest
słuszna.
245. χ2 = 9, 049 6∈ (0, 2, 7] ∪ [19, 023, +∞). Brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0 .
246. u = 2, 65 ∈ (−∞, −2, 05] ∪ [2, 05, +∞). Z prawdopodobieństwem 0,96 hipotezę H0 należy
odrzucić.
247. χ2 = 7, 282 6∈ (0, 4, 168]. Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0 .
248. u = 0, 71 6∈ [1, 28, +∞). Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0 .
249. χ2 = 9, 009 6∈ (0, 6, 571], zatem nie można tak twierdzić.
250. a) χ2 = 22, 2 ∈ [21, 064, +∞), z prawdopodobieństwem 0,9 uzyskane wyniki negują skuteczność nowej metody, b) χ2 = 22, 2 6∈ [23, 685, +∞), brak podstaw do odrzucenia H0 .
251. f = 1, 06 6∈ [6, 99, +∞). Test nie zaprzecza równości wariancji.
252. f = 1, 05 6∈ [2, 05, +∞). Nie mamy podstaw, by twierdzić, że maszyna uległa rozregulowaniu.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
Odpowiedzi do zadań
71
253. f = 3, 81 6∈ [4, 77, +∞). Nie możemy twierdzić, że skoki zawodnika B cechuje większa
regularność.
254. f = 1, 55 6∈ [1, 85, +∞). Brak podstaw do odrzucenia hipotezy o równości wariancji.
255. f = 2, 13 6∈ [3, 73, +∞). Brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0 .
256. u = −1, 6 6∈ (−∞, −1, 64]. Brak podstaw do podjęcia takiej decyzji.
257. u = 4, 08 ∈ [1, 88, +∞). Z prawdopodobieństwem 0,97 możemy przyjąć, że frekwencja
w wyborach przekroczy 60%.
258. u = 4, 17 ∈ [1, 64, +∞). Z prawdopodobieństwem 0,95 odsetek zepsutych cytryn jest
większy niż 5%.
259. u = −0, 87 6∈ (−∞, −1, 64]. Brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0 .
260. u = 1, 31 ∈ [1, 28, +∞). Z prawdopodobieństwem 0,9 frakcja uszkodzonych kwiatów przewyższa dopuszczalną normę.
261. u = −1, 03 6∈ (−∞, −1, 28], zatem nie można tak twierdzić.
262. u = −0, 64 6∈ (−∞, −1, 64]. Należy przystąpić do zwalczania szkodnika.
263. u = 1, 22 6∈ [1, 64, +∞). Przy przyjętym poziomie istotności nie możemy uznać nowej
metody za równie dokładną.
264. u = −0, 61 6∈ (−∞, −1, 28]. Przeprowadzone badania nie pozwalają tak twierdzić.
265. u = 1, 3 ∈ [1, 28, +∞). Z prawdopodobieństwem 0,9 możemy twierdzić, że dopuszczalne
normy są przekroczone.
266. a) u = 1, 52 ∈ [1, 41, +∞), zatem z prawdopodobieństwem 0,92, możemy twierdzić, że
odsetek jest większy niż 10%, b) u = 1, 52 6∈ [2, 33, +∞), nie mamy podstaw, by tak twierdzić.
267. u = 2, 96 ∈ (−∞, −1, 96]∪[1, 96, +∞). Z prawdopodobieństwem 0,95 odrzucamy hipotezę
H0 na korzyść HA .
268. u = 4, 43 ∈ [2, 33, +∞). Z prawdopodobieństwem 0,99 badany lek ma wpływ na poprawę
stanu zdrowia.
269. u = 1, 3 6∈ (−∞, −1, 96] ∪ [1, 96, +∞). Brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0 .
270. u = −8, 32 ∈ (−∞, −1, 64]. Z prawdopodobieństwem 0,95 zastosowanie szczepionki
zmniejsza odsetek zachorowań.
271.
nr klasy xi
1
2
3
4
5
suma
0
1
2
3
4
−
pi
npi
ni
(ni −npi )2
npi
0,2
0,4
0,25
0,1
0,05
1
50
100
62,5
25
12,5
250
54
82
64
30
20
250
0,32
3,24
0,036
1
4,5
9,096
χ2 = 9, 096 ∈
/ [9, 488, +∞). Nie odrzucamy H0 , rozkład może być w postaci podanej proporcji.
272. λ = 1, 7, χ2 = 1, 820 ∈
/ [9, 488, +∞). Nie odrzucamy H0 , rozkład może być Poissona.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
72
Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej
273. χ2 = 24, 451 ∈ [11, 070, +∞). Odrzucamy H0 , z prawdopodobieństwem 0,95 kostka nie
jest symetryczna.
274. H0 : badany czas ma rozkład N (0, 54, 0, 23), HA : badany czas nie ma takiego rozkładu
nr
klasy
1
2
3
4
5
suma
prawe końce
ui = xi −m
F (xi ) = Φ(ui )
σ
klas (xi )
0,2
−1, 48
0,069
0,4
−0, 61
0,271
0,6
0, 26
0,603
0,8
1, 13
0,871
1,0
2, 00
0,977
−
−
−
pi
npi
ni
(ni −npi )2
npi
0,069
0,202
0,332
0,268
0,129
1
9,66
28,28
46,48
37,52
18,06
140
10
30
45
34
21
140
0,012
0,105
0,047
0,330
0,479
0,973
χ2 = 0, 973 ∈
/ [5, 991, +∞). Nie odrzucamy H0 , rozkład może być N (0, 54, 0, 23).
275. χ2 = 1, 84 ∈
/ [13, 277, +∞). Nie odrzucamy H0 , rozkład wysokości drzew może być
N (70, 28).
276. χ2 = 1, 034 ∈
/ [9, 488, +∞). Nie odrzucamy H0 , czas trwania reakcji może mieć rozkład
zadany daną gęstością.
277. H0 : waga kostek masła ma rozkład N (249, 0, 44), HA : waga kostek masła nie ma takiego
rozkładu
nr
klasy
1
2
3
4
5
prawe końce
ui = xi −m
F0 (xi ) = Φ(ui )
σ
klas (xi )
248,4
−1, 43
0,076
248,8
−0, 52
0,302
249,2
0, 39
0,652
249,6
1, 30
0,903
250,0
2, 20
0,986
ni
n
0,075
0,225
0,350
0,250
0,100
Fn (xi ) |Fn (xi ) − F0 (xi )|
0,075
0,300
0,650
0,900
1,000
0,001
0,002
0,002
0,003
0,014
λ = 0, 198 ∈
/ [1, 358, +∞). Nie odrzucamy H0 , rozkład może być N (249, 0, 44).
278. a) λ = 0, 693 ∈
/ [1, 358, +∞). Nie odrzucamy H0 , rozkład może być taki sam.
b) χ2 = 5, 714 ∈
/ [7, 815, +∞). Nie odrzucamy H0 , rozkład może być N (20, 9).
279. χ2 = 0, 181 ∈
/ [9, 21, +∞), λ = 0, 17 ∈
/ [1, 628, +∞). W obu przypadkach nie odrzucamy
H0 , rozkład może być normalny.
280. χ2 = 0, 272 ∈
/ [9, 488, +∞). Nie odrzucamy H0 , rozkład liczby drzew może być P(1).
281. χ2 = 0, 392 ∈
/ [13, 277, +∞). Nie odrzucamy H0 , rozkład liczby roślin ostu może być dany
taką proporcją.
282. χ2 = 1, 053 ∈
/ [9, 488, +∞). Nie odrzucamy H0 , rozkład liczby drzew może być P(1,5).
283. χ2 = 1, 885 ∈
/ [9, 236, +∞). Nie odrzucamy H0 , rozkład wysokości drzew może być
N (221, 12).
284. χ2 = 6, 073 ∈
/ [10, 645, +∞). Nie odrzucamy H0 , rozkład liczby orłów może być B(200, 21 ).
285. χ2 = 15, 408 ∈ [7, 815, +∞). Odrzucamy H0 , z prawdopodobieństwem 0,95 rozkład liczby
braków nie może być P(0,9).
286. χ2 = 2, 702 ∈
/ [13, 277, +∞). Nie odrzucamy H0 , rozkład wysokości drzew może być
N (46, 2).
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
Odpowiedzi do zadań
73
287. χ2 = 10, 668 ∈ [9, 488, +∞). Odrzucamy H0 , z prawdopodobieństwem 0,95 rozkład liczby
drzew nie może być dany taką proporcją.
288. Wskazówka: Estymatorem frakcji chorych sadzonek w całej populacji (tzn. parametru p)
jest frakcja chorych w próbie pb = (liczba chorych)/(liczba wszystkich sadzonek).
pb = 0, 3, χ2 = 59, 934 ∈ [13, 345, +∞). Odrzucamy H0 , z prawdopodobieństwem 0,99 rozkład
nie jest Bernoulliego.
289. H0 : długość liści ma rozkład N (19, 4, 7, 1), HA : długość liści nie ma takiego rozkładu
nr
klasy
1
2
3
4
5
6
7
8
9
suma
χ2
prawe końce
klas (xi )
5
10
15
20
25
30
35
40
45
−
ui
F (xi ) = Φ(ui )
−2,03
−1,32
−0,62
0,08
0,79
1,49
2,20
2,90
3,61
−
0,021
0,093
0,268
0,532
0,785
0,932
0,986
0,998
1,000
−
pi
npi
3,36
14,88
11,52
28
42,24
40,48
23,52
8,64 )
1,92 10,88
0,021
0,072
0,175
0,264
0,253
0,147
0,054
0,012
0,002
0,32
1
160
ni
2
12
10
30
48
41
15
11 )
2 14
(ni −npi )2
npi
1
160
0,557
0,143
0,785
0,007
3,086
0,895
5,473
= 5, 473 ∈
/ [7, 815, +∞). Nie odrzucamy H0 , rozkład może być N (19,4, 7,1).
nr
klasy
1
2
3
4
5
6
7
8
9
prawe końce
klas (xi )
5
10
15
20
25
30
35
40
45
ui
F0 (xi ) = Φ(ui )
ni
n
−2,03
−1,32
−0,62
0,08
0,79
1,49
2,20
2,90
3,61
0,021
0,093
0,268
0,532
0,785
0,932
0,986
0,998
1
0,013
0,063
0,188
0,300
0,256
0,094
0,069
0,013
0,006
Fn (xi ) Fn (xi ) − F0 (xi )
0,013
0,076
0,264
0,564
0,82
0,914
0,983
0,996
1,002
0,008
0,017
0,004
0,032
0,035
0,018
0,003
0,002
0,002
λ = 0, 443 ∈
/ [1, 358, +∞). Nie odrzucamy H0 , rozkład może być N (19,4, 7,1).
290. χ2 = 58, 408 ∈ [9, 236, +∞). Z prawdopodobieństwem 0,9 rozkład nie jest zadany taką
gęstością.
291. x = 16, 2, s = 2, 5, χ2 = 1, 259 ∈
/ [6, 251, +∞). Nie odrzucamy H0 , rozkład długości
sardynek może być normalny.
b = 1, χ2 = 0, 272 ∈
292. λ
/ [7, 815, +∞). Nie odrzucamy H0 , rozkład może być P (1).
293. χ2 = 99, 305 ∈ [12, 592, +∞). Z prawdopodobieństwem 0,95 rozkład nie jest równomierny.
294. χ2 = 1, 752 ∈
/ [7, 779, +∞). Rozkład może być Poissona.
295. χ2 = 2, 341 ∈
/ [6, 251, +∞). Nie odrzucamy H0 , test χ2 nie zaprzecza zgodności.
296. χ2 = 139, 005 ∈ [10, 645, +∞). Z prawdopodobieństwem 0,9 rozkład nie jest jednostajny.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
74
Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej
297. λ = 0, 407 ∈
/ [1, 358, +∞). Nie odrzucamy H0 , rozkłady cen mogą być jednakowe.
298. χ2 = 0, 477 ∈
/ [5, 991, +∞). Nie odrzucamy H0 , rozkłady cen nie różnią się istotnie.
299. χ2 = 2, 109 ∈
/ [9, 488, +∞). Nie odrzucamy H0 , rozkład może być zadany taką proporcją.
300. χ2 = 6, 427 ∈ [6, 251, +∞). Z prawdopodobieństwem 0,9 rozkład nie jest zadany taką
gęstością.
301. χ2 = 1, 309 ∈
/ [7, 815, +∞). Nie odrzucamy H0 , rozkład może być zadany taką gęstością.
302. t = 1, 309 ∈
/ (−∞, −1, 833]∪[1, 833, +∞). Nie istnieje korelacja między tymi wielkościami.
303. t = 4, 225 ∈ [1, 860, +∞). Istnieje dodatnia korelacja między wiekiem nowożeńców.
304. t = −2, 701 ∈ (−∞, −1, 895]. Istnieje ujemna korelacja między tymi wielkościami.
305. y = 0, 525 x + 2, 857, R2 = 0, 982 - stopień dopasowania prostej regresji jest wysoki.
306. y = −147, 5 x + 1952, 5, R2 = 0, 92 - stopień dopasowania prostej regresji jest wysoki.
307. r = 0, 999, y = 4, 692 x + 84, 004.
308. y = −1, 130 x + 42, 192, R2 = 0, 986. Stopień dopasowania prostej regresji jest wysoki.
309. rs = 0, 923.
310. Niech X− masa kłosa, Y − długość kłosa, Z− wysokość rośliny. Wtedy rxy = 0, 546,
rxz = 0, 648, ryz = 0, 548. Najsilniej skorelowane są X i Z.
311. r = −0, 918, t = −6, 547 ∈ (−∞, −1, 397], z prawdopodobieństwem 0,9 istnieje ujemna
korelacja między zmiennymi. Równanie prostej regresji: y = −0, 005 x + 0, 518.
312. rs = 0, 876, us = 2, 628 ∈ (−∞, −1, 96]∪[1, 96, +∞), z prawdopodobieństwem 0,95 istnieje
zależność między X i Y .
313. t = −1, 234 ∈
/ (−∞, −1, 397], nie można twierdzić, że istnieje ujemna korelacja.
314. u = 0, 734 ∈
/ [1, 64, +∞), współczynnik korelacji ρ może być równy 0,7.
315. f = 0, 44 ∈
/ [3, 49, +∞), brak istotnych różnic w średnich.
316. f = 1, 21 ∈
/ (3, 34, +∞), kształt nie ma istotnego wpływu na średni czas świecenia.
317. f = 2, 28 ∈
/ [3, 49, +∞), trzebież nie ma istotnego wpływu na średnie pierśnice.
318. f = 14, 4 ∈ [3, 16, +∞). Z prawdopodobieństwem 0,95 pochodzenie ma wpływ na średnią
wysokość siewek jedlicy.
319. f = 0, 03 ∈
/ [8, 02, +∞), nie ma istotnych różnic w średnich ocenach.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska
Literatura
[1] A. Balicki, W. Makać, Metody wnioskowania statystycznego, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk 2000.
[2] A. Bruchwald, Statystyka matematyczna dla leśników, Wydawnictwo SGGW, Warszawa 1997.
[3] W.J. Gmurman, Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, WNT,
Warszawa 1976.
[4] J. Greń, Statystyka matematyczna, modele i zadania, PWN, Warszawa 1984.
[5] Z. Hellwig, Elementy rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, PWN, Warszawa
1975.
[6] J. Jóźwiak, J. Podgórski, Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa 2006.
[7] J. Koronacki, J. Mielniczuk, Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych,
WNT, Warszawa 2001.
[8] W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa
i statystyka matematyczna w zadaniach, część I i II, PWN, Warszawa 2004.
[9] J. Ombach, Rachunek prawdopodobieństwa wspomagany komputerowo − MAPLE, Wydawnictwo
Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 2000.
[10] Cz. Platt, Problemy rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, PWN, Warszawa
1978.
[11] M. Sobczyk, Statystyka, PWN, Warszawa 2002.
[12] A. Sowa, M. Nelicka-Leonhard, R. Sawińska, Elementy matematyki i probabilistyki, Wydawnictwo
AR, Kraków 1999.
© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska