Teoria gier - Przemysław Juszczuk

Teoria gier
dr Przemysław Juszczuk
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego
Wykład 2 - Gry o sumie zero
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
Gry o sumie zero
Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym
typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania. często określane są
też jako ściśle konkurencyjne, gdzie interesy graczy są przeciwstawne.
u1 (a) = −u2 (a), a ∈ A
Teoria gier
Gry o sumie zerowej były podstawą matematycznej teorii gier
opracowanej przez J. von Neumanna i O Morgensterna
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
Jeden z pionierów informatyki;
Twórca teorii gier oraz teorii
automatów komórkowych;
Istotny wkład w dziedzinach;
logika matematyczna, teoria
mnogości, analiza
matematyczna, mechaniki
kwantowej;
udowodnił twierdzenie
min-max;
Rysunek : John von Neumann
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
Wspólnie z von Neumannem
stworzył podstawy teorii gier;
Istotny wkład w dziedzinie
ekonomii;
Rysunek : Oskar Morgenstern
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
Przykłady gier o sumie zero:
Szachy;
Warcaby;
GO;
gry karciane;
Kamień-Papier-Nożyczki;
Orzeł-Reszka;
Należy pamiętać, że gry w postaci ekstensywnej takie jak szachy czy
warcaby, mogą zostać przedstawione jako gra w postaci macierzowej.
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
Rysunek : Gra o sumie zero
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
W grze o sumie zero:
Gry o sumie zero
każdy z graczy posiada skończoną liczbę strategii;
strategie poszczególnych graczy wybierane są jednocześnie;
przy wyborze strategii gracz może za każdym razem wybierać tylko
jedną strategię - w takiej sytuacji jest to strategia czysta;
profil strategii czystych, to sytuacja, w której gracze wybrali jedną ze
swoich strategii czystych:
s = (xn , ym ), gdzie xn ∈ X oraz ym ∈ Y .
xn oraz ym oznaczają odpowiednio n-tą oraz m-tą strategię czystą
graczy.
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
Jeszcze o grach w postaci normalnej
W postaci normalnej da się zapisać tylko proste gry, gdzie ilość
możliwych strategii poszczególnych graczy jest niezbyt duża.
Jest to postać bardzo czytelna, w której widać wyraźnie jaki będzie
wynik gry przy wyborze określonych strategii poprzez graczy.
Dla gier w postaci normalnej nie ma podanej historii rozgrywki - gry
jednoetapowe;
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
W przeciwieństwie do strategii czystej, strategia mieszana określa
częstotliwość wyboru danej strategii czystej w n kolejnych grach.
Rysunek : Gra o sumie zero
Wartości obok wierszy gracza niebieskiego oraz wartości pod kolumnami
gracza czerwonego oznaczają częstości wyboru poszczególnych strategii.
W tym wypadku strategię mieszaną można odczytać następująco: na
każde 12 gier, 5 razy stosuj strategię pierwszą, natomiast pozostałe 7
razy strategię drugą.
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
Twierdzenie o minmaksie
Dla każdej 2-osobowej skończonej gry o sumie zero:
1
Istnieje v ∗ taka, że v1 = v2 = v ∗ , gdzie v1 oznacza maksimum z
minimów dla wierszy, natomiast v2 to minimum z maksimów kolumn;
2
Jeżeli s = (xn , ym ) jest punktem siodłowym to wypłata graczy
stosujących strategie xn orazym wynosi v ∗ ;
3
s = (xn , ym ) jest punktem siodłowym, gdy pierwszy z graczy gra
strategię maksminową, natomist gracz drugi - minmaksową.
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
Rysunek : Przykład wyznaczania punktu siodłowego
Wiersze : Maksimum z minimów : max z {4, 1}
Kolumny : Minimum z maksimów : min z {7, 4}
Siodło istnieje, jeżeli : max min = min max
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
Procedura wyznaczania strategii w grze 2x2
1
2
3
4
5
6
Czy gra ma punkt siodłowy?
Jeżeli gra nie ma punktu siodłowego, to przechodzimy dalej:
Dla czerwonego: odejmujemy od liczb z 1 wierwsza wartości z 2
wiersza.
Wyniki zapisujemy w dwóch nowych kratkach poniżej.
Częstotliwość stosowania strategii 1 jest w kratce 2 (i na odwrót)
Próbujemy skrócić wartości w obydwu kratkach.
Uwaga
Metoda stosowana do wyznaczania strategii mieszanych daje często
błędne wyniki, jeżeli okaże się, że gra ma punkt siodłowy.
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
Rysunek : Obliczanie strategii mieszanych w grze 2x2
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
Rysunek : Przykład wyznaczania punktu siodłowego
Rysunek : Przykład wyznaczania strategii bez punktu siodłowego
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
Rysunek : Dodanie stałej do komórek macierzy
Dodanie określonej stałej c do każdej z komórek macierzy wypłat nie
wpływa w żaden sposób na częstość wyboru strategii poszczególnych
graczy.
Uwaga
Dodanie stałej do wybranej gry wpływa na koszt gry.
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
Rysunek : Istnienie punktów siodłowych w grach 2xm
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
Rysunek : Dominowanie strategii w grach 2xm - istnienie strategii
zdominowanych
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
Rysunek : Dominowanie strategii w grach mx2 - istnienie strategii dominujących
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
Rysunek : Graficzna metoda rozwiązywania gier
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
Rysunek : Graficzna metoda rozwiązywania gier poprzedzona usuwaniem
strategii zdominowanych
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
Rysunek : Graficzna metoda rozwiązywania gier 2xm
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
Rysunek : Punkt siodłowy w grze 3x3
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
Koszt gry
w grze z punktem siodłowym koszt gry to wartość w punkcie
siodłowym;
po dodaniu wartości stałej w grze z punktem siodłowym - koszt gry
to również wartość w punkcie siodłowym;
w pozostałych sytuacjach koszt gry, to średnia wypłata, którą gracz
otrzymuje w rezultacje zastosowania strategii optymalnej.
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
Rysunek : Koszt gry
Załóżmy, iż gracz 2 stosuje strategię: 3 : 5 : 5 : 2. Wtedy jego wypłatę
przeciwko 1 strategii czystej gracza 1 możemy obliczyć następująco:
30
F (X : x1 ) = 3·2+5·1+3·2+2·4
= 15
,
3+5+5+2
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
Analogicznie dla pozostałych strategii:
przeciwko drugiej strategii I :
F (X : x2 ) =
3·3+5·2+5·3+2·2
3+5+5+2
=
38
15
,
3·1+5·5+5·4+2·2
3+5+5+2
=
52
15
,
3·4+5·4+5·1+2·2
3+5+5+2
=
41
15
,
przeciwko trzeciej strategii I :
F (X : x3 ) =
przeciwko czwartej strategii I :
F (X : x4 ) =
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
Natomiast, gdzy gracz 2 stosuje strategię optymalną 8 : 3 : 7 : 9
przciwko strategii 1:
F (X : x1 ) =
8·2+3·1+7·2+9·4
8+3+7+9
=
69
27
,
8·3+3·2+7·3+9·2
8+3+7+9
=
69
27
,
8·1+3·5+7·4+9·2
8+3+7+9
=
69
27
,
8·4+3·4+7·1+9·2
8+3+7+9
=
69
27
,
przciwko strategii 2:
F (X : x2 ) =
przciwko strategii 3:
F (X : x3 ) =
przciwko strategii 4:
F (X : x4 ) =
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
Ogólne zasady postępowania:
1
Czy istnieje punkt siodłowy?
2
Czy można usunąć strategie zdominowane oraz dominujące?
3
Wyznacz częstości stosowania strategii poszczególnych graczy.
4
Wybierz losowo po 2 strategie graczy sprowadzając problem do gry
2x2.
5
W przypadku dużych gier zastosuj rozwiązanie przybliżone.
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
Rysunek : Gry 3x3
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
Rysunek : Gry 3x3
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
Rysunek : Gry 3x3
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
Rysunek : Gry 3x3
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
Rysunek : Gry 3x3
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
Rysunek : Gry 3x3
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
Rysunek : Gry 3x3
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
Rysunek : Gry 3x3
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
Rysunek : Algorytm przybliżony - krok 1
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
Rysunek : Algorytm przybliżony - po 6 kroku
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
Rysunek : Algorytm przybliżony - po 14 krokach
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier
Dziękuję za uwagę.
dr Przemysław Juszczuk
Teoria gier