Teoria Ppla Elektromagnetycznego - zadania

Zad. 5.12
Obliczyć indukcyjność własną cewki nawiniętej na rdzeniu podanym na rysunku 5.10.
Dane: z = 250, Δ = 0.5 mm, a = 1 cm, l = 4 cm, R = 2 cm, µAr = 500, µBr = 100.
R
l
z
a
A
Δ
B
a
a
Rys. 5.10
Pole powierzchni przekroju ma wartość:
S  a2
S  0.0001 m 2
Średnia długość drogi magnetycznej w części A:
lA  2l  πR
lA  0.1428 m
Długość drogi magnetycznej w części B:
a
lB  2(R  )
2
lB  0.05 m
Strumień magnetyczny w obwodzie:
φ
iz
izμos

A
l
lB
RmA  RmB  2RmΔ

 2Δ
μAr μBr
Indukcyjność własna cewki:
zφ
z 2 μos
250 2  4  Π  10 7  10 4
L


 4.4 mH
4
4
4
lA
lB
i
2
.
856

10

5

10

10

 2Δ
μAr μBr
Odp.: Indukcyjność własna cewki wynosi 4.4mH.
Zad. 5.18
Obliczyć indukcyjność wzajemną dwuprzewodowej linii i prostokątnej ramki umieszczonych
tak jak to pokazano na poniższych rysunkach.
Dane: a = 1m, b = 10cm, c = 5cm, l = 10cm, z2 = 50
Natężenie pola magnetycznego wytworzonego przez prostoliniowy przewodnik z prądem ma
i
postać H 
oraz zależność między natężeniem pola magnetycznego a indukcją
2r
 i
magnetyczną ma postać: B   0  H , z tego wynika B  0
2r
Przypadek 1
i
i
a
c
b
c
l
Strumień magnetyczny przenikający ramkę umieszczoną między dwoma przewodnikami
uz prądem możemy opisać zależnością:

Φ1   B ds
s
Zamieniając powyższą całkę liczoną po powierzchni s na całkę pojedynczą, oznaczoną, po
długości r otrzymujemy:
bc
1 

c
 ia
 0ia
dr  0
2
2r
bc

c
 ia b  c
 ia
 ia
1
bc
dr  0 ln r c  0 ln b  c  ln c   0 ln
2
c
2
2
r
Ze względu na symetrię strumień magnetyczny  2 pochodzący od drugiego przewodu jest
taki sam jak 1 , wobec czego strumień całkowity
  2 1
Indukcyjność wzajemną można obliczyć w następujący sposób:
M
z 2Φ z 2μ 0a b  c

 22 μH
ln
c
i
π
Przypadek 2
i
i
a
l
c
b
W tym przypadku całkowity strumień jest różnicą pomiędzy strumieniem pochodzącym od
przewodu drugiego, a strumieniem pochodzącym od przewodu pierwszego.
l bc
1 

lc
 0ia
 ia
dr  0
2r
2
bc
2 

c
l b c

l c
 ia
 ia
 ia l  b  c
1
l b  c
dr  0 ln r lc  0 ln l  b  c  ln l  c   0 ln
lc
r
2
2
2
 0 ia
 ia
dr  0
2r
2
bc

c
 ia
 ia
 ia b  c
1
bc
dr  0 ln r c  0 ln b  c  ln c   0 ln
c
2
2
r
2
   2  1 
 0ia b  c  0ia l  b  c  0ia (b  c)(l  c)
ln
ln
ln


2
c
2
lc
2
c ( l  b  c)
Indukcyjność wzajemna wynosi
z 2 Φ z 2 μ 0 a (b  c)(l  c)
 5,88 μH

ln
c(l  b  c)
i
π
M
Przypadek 3
i
i
b/2
b/2
l
W tym przypadku strumień   1
l
b
2
 ia
 ia
1   0 dr  0
2
b 2r
l
2
a indukcyjność wzajemna
l
b
2
b
l
 0 ia 
 0ia
b   0ia
b
1
b r dr  2 ln r l b22  2 ln l  2  ln l  2   2 ln
l
2
b
2
b
l
2
l
b
z  a 2l  b
z  z  a
 10,99H
M  2  2 0 ln 2  2 0 ln
b
2l  b
2
i
2
l
2
l
Zad. 5.20
Odliczyć indukcyjność wzajemną układu cewek podanego na rysunku a).
Dane: z1 = 50, z2 = 100, l1 = 20 cm, l2 = 10cm, s = 2,5 cm2, r = 800.
a)
z1
z2
b)
21
Rm1
Rm1
Rm2
Um
22
i 2 z2
Rozwiązanie
Na rysunku b). jest przedstawiony schemat jednokreskowy rozpatrywanego obwodu
magnetycznego przy zasilaniu cewki drugiej. Na podstawie metody węzłowej
1
1
i2  z2 
l1
R m1
,

Um 
2 1
2
1


l1 l 2
R m1 R m2
i2  z2 
Φ 21 
Um i2  z2 μ r μ0 s

,
R m1

l1 
l 1   2  
l2 

więc
M
z 1 Φ 21 i 2  z 2  μ r  μ 0  s  l 2

2  l 2  l1   l1
i2
Odp. Indukcyjność wzajemna układu cewek wynosi: M = 1.571 mH.
Zad. 5.21
Obliczyć indukcyjność wzajemną uzwojeń nawiniętych na rdzeniu podanym na rys.5.19a
Dane: l1= 9 cm , l2= 3 cm , s1=s2=1 cm2 , z1= 300 , z2= 200 , r= 500 .
a)
b)
21
22
Rm1
Rm2
Rm1
i 2 z2
Rozwiązanie
Na podstawie rys. 5.19b
Wyliczamy 22
22
Gdzie:
Rm2 
Rm1
,
2
Rm1
Rm2
i 2 z2
l1
,
μr  s1
l1
Rm1

,
2
2  μr  s1
l
Rm2  2 ,
μr  s 2
Rm1 
Φ 22 
Gdzie : μ 0  4  π  10  7
i2  z2
,
Rm2  Rm1
s  s1  s 2 ,
H
m
Φ 22 
i2  z2
l1
l2

2  μr  μo  s1 μr  μo  s 2

i 2  z 2  μr  μo  s
,
l1
 l2
2
Ze względu na symetrie rdzenia
Φ 21 
i  z  μr  μo  s
1
,
 Φ22  2 2
2
2  l 2  l1
więc
M
z1  Φ21 z1  z2  μr  μo  s

 2,514mH .
i2
2  l2  l1
Odp. Indukcyjność wzajemna uzwojeń nawiniętych na rdzeniu wynosi 2,514 mH .
Zad. 5.26
Obliczyć natężenie pola magnetycznego H w punkcie A układu podanego na rysunku 1.
Dane: I  2A , a  3cm .
a
a
I
A
Rys. 1
a
Rozwiązanie
W celu wykonania obliczeń należy najpierw wyprowadzić wzór na natężenie pola H w
odległości r od odcinka prostego przewodu, przez który płynie prąd I (do tego celu posłuży
rysunek nr 2). W punkcie A natężenie pola, pochodzące od elementu dl z prądem I, na
podstawie prawa Biota-Savarta wynosi:
Idl sin 
4  2
dH 
 
dl


dx

r
dl
A
H
I

 
A
d
Rys. 2a
Rys. 2b
Należy, zatem wyrazić ρ i dl za pomocą α i r, z rysunku 2a wynika zależność:
r
 sin     sin  ,

stąd
1 sin 

r

natomiast z rysunku 2b:
d 
dx 1
1
 dl sin     dl sin  ,
 

stąd
dl 
rd
d 

sin  sin 2 
podstawiając otrzymane wzory do prawa Biota-Savarta otrzymujemy:
I sin d
4 r
Wyrażenie to należy scałkować w granicach od α2 do π-α1.
dH 
  1
H 
2
  1
I sin d
I
 cos    I cos 1  cos  2 

4r
4r
4r
2
a) obliczenie natężenia pola magnetycznego w punkcie A.

Wektor H pochodzący od wszystkich czterech boków ramki jest skierowany prostopadle

a
a
A
r
I
HA
a
Rys. 3
H A  3H a
gdzie Ha jest natężeniem pochodzącym od jednego boku ramki o długości a.
Do wcześniej wyprowadzonego wzoru podstawiamy dane z rysunku nr 3:
I
Ha 
 2 cos 
4 r
ponieważ ramka jest trójkątem równobocznym to:
3
a 3
natomiast:
cos  
r
2
6
Podstawiając r oraz cos do wzoru na HA otrzymujemy:
HA 
HA 
9I
2a
92
A
 95.49
2    0.03
m
Odpowiedź : Natężenie pola magnetycznego w punkcie A wynosi H A  95.49
A
.
m
Zad. 5.27
Obliczyć natężenie pola magnetycznego H w punktach A i B w układzie pokazanym na
rysunku 5.27. Dane a  6cm , b  8cm , I  4A .
a
2
a
b

A
b
B
2
I

Rys. 5.27
Rozwiązanie
W celu wykonania obliczeń należy najpierw wyprowadzić wzór na natężenie pola H w
odległości r od odcinka prostego przewodu, przez który płynie prąd I (do tego celu posłuży
rysunek nr 2).
W punkcie A natężenie pola, pochodzące od elementu dl z prądem I, na podstawie prawa
Biota-Savarta wynosi:
dH 
Idl sin 
4  2
 
dl


dx

r
dl
A
H
I

 
A
d
Rys. 2a
Rys. 2b
Należy zatem wyrazić ρ i dl za pomocą α i r:
z rysunku 2a wynika zależność:
r
 sin     sin  ,

natomiast z rysunku 2b:
dx 1
1
d 
 dl sin     dl sin  ,
 

1 sin 


r
stąd
stąd
dl 
rd
d 

sin  sin 2 
podstawiając otrzymane wzory do prawa Biota-Savarta otrzymujemy:
dH 
I sin d
4 r
Wyrażenie to należy scałkować w granicach od α2 do π-α1.
  1
H 
2
  1
I sin d
I
 cos    I cos 1  cos  2 

4r
4r
4r
2
b) obliczenie natężenia pola magnetycznego w punkcie A.

Wektor H pochodzący od wszystkich czterech boków ramki jest skierowany prostopadle do
płaszczyzny rysunku:
a

A
I
HA

b
Rys. 3
H A  2 H a  2H b
Do wcześniej wyprowadzonego wzoru podstawiamy dane z rysunku nr 3:
Ha 
2I
Ia
 2 cos  
4b
b a 2  b 2
Hb 
2I
Ib
 2 cos  
4a
a a 2  b 2
mamy więc:
HA 
HA 
 a b  2I
a 2  b2
  
 a  b  b a  ab
2I
2
2
24
0 .8
A
 53.05
0.06 2  0.08 2 
3
m
  0.06  0.08
  4.8  10
c) obliczenie natężenia pola magnetycznego w punkcie B.

Zakłada się zwrot wektora H taki jak na rysunku:
a
2
a


2
1

B
3
HB
I
2

Rys. 4
H B  H1  2 H 2  H 4
Podstawiamy dane z rysunku nr 4:
H1 
I  2 cos 
4   1 . 5a
b
2
b
H2 
2I
cos   cos  
4b
H4 
2I  2 cos 
4a
gdzie H1, H2, H3 to natężenia pochodzące od przewodów oznaczonych na rysunku 4
numerami 1, 2 i 3.
Wyznaczamy cosinusy poszczególnych kątów:
b
2
cos  
2
 b   3a 
   
2  2 
2
b

cos   
2
cos  
9a 2  b 2
a
2
a b
   
2 2
2

3a
2
2
 b   3a 
   
2  2 
a
a 2  b2
cos  
b
2
2
b a
   
2 2
2
2
3a


9a 2  b 2
b
a 2  b2
a następnie podstawiamy je do końcowego wzoru:
HB 
I 
4b
12a
4a
4b




4  3a 9a 2  b 2 b 9a 2  b 2 b a 2  b 2 a a 2  b 2
HB 
HB 




I 1

9a 2  b 2  a 2  b 2 

ab  3

4
1

9  0.06 2  0.08 2  0.06 2  0.08 2 

  0.06  0.08  3

HB 
4
A
1

0.0388  0.1  9.11
3 
m
  4.8 10  3


Znak minus oznacza, że zwrot wektora H jest przeciwny do przyjętego na rys. 4
Odpowiedź : Natężenie pola magnetycznego w punkcie A wynosi H A  53.05
w punkcie B wynosi H B  9.11
Zad. 5.28
A
, natomiast
m
A
i jest skierowane przeciwnie niż jest przyjęte na rysunku 4.
m
Dwie kołowe, w których płyną prądy I1 i I2, umieszczono w odległości l=0,2m od siebie.
Prosta przechodząca przez środki obydwu pętli jest prostopadła do płaszczyzny pętli.
Obliczyć, w jakim punkcie tej prostej – między pętlami – natężenie pola magnetycznego H
jest równe zeru. Dane: I1=8A, I2=27A, R=0,1m.
l
I2
R
I1
H1
H2
x
Rysunek do zadania 5.28
Rozwiązanie:
Natężenie pola magnetycznego pochodzącego od poszczególnych pętli są skierowane tak, jak
to pokazano na rys.
I1  R 2
H1 

2  x R
2

3
2 2
I2  R 2
H2 
,
3
2  [(l  x) 2  R 2 ] 2
Całkowite natężenie pola magnetycznego jest różnicą natężeń składowych:
H = H1–H2 = 0
stąd
H1 = H2
,
I1

2  x R
2

3
2 2
I2

3
2 2
,
2  [(l  x)  R ]
2
Wstawiając dane liczbowe otrzymuje się
4
9

x  25 20  x 2  25
2
a po uporządkowaniu
3
I 12
x2  R2

3
I 22
l  x 2
R2
x 2  32x  259  0
Δ  b2  4  a  c
,
x1 
b Δ
2
,
x2 
b Δ
2
Po rozwiązaniu równania : x1 = 7,45cm, x2 = -39,4cm.
Drugie rozwiązanie należy odrzucić, bo nie spełnia warunków zadania – punkt nie leży
miedzy pętlami.