Ciekawe własności liczb – podzielność

Genowefa Frącz
Scenariusz lekcji matematyki dla klasy VI szkoły podstawowej
z wykorzystaniem kalkulatora
Temat:
Ciekawe własności liczb – podzielność
Cele ogólne:
ƒ wdrażanie do świadomego i efektywnego posługiwania się kalkulatorem,
ƒ pobudzanie dociekliwości uczniów,
ƒ rozbudzanie zainteresowań matematyką,
ƒ doskonalenie umiejętności rozwiązywania problemów.
Cele szczegółowe:
ƒ doskonalenie obsługi kalkulatora w zakresie podstawowych działań,
ƒ doskonalenie umiejętności:
1.
wykorzystania kalkulatora jako narzędzia, które poszerza możliwości ucznia (uwalnia od
rachunków, gdy nie są one same w sobie celem),
2.
spostrzegania pewnych prawidłowości,
3.
formułowania hipotez,
4.
korzystania z cech podzielności.
Wiadomości ucznia:
ƒ zna cechy podzielności liczb przez 9,
ƒ potrafi zapisać liczbę naturalną czterocyfrową w postaci 1000a+100b+10c+d, gdzie a, b, c, d są
cyframi,
ƒ potrafi posługiwać się kalkulatorem w celu wykonania podstawowych działań.
Metody i formy pracy:
• praca indywidualna,
• dyskusja,
• pogadanka.
Czas trwania lekcji:
1 godzina lekcyjna.
1
Dokument pochodzi ze strony www.gwo.pl
Zadanie 1
82 i 28
71 i 17
to przykłady liczb lustrzanych
35 i 53
Podaj kilka innych par tego typu. Oblicz różnicę liczb lustrzanych. Jaką prawidłowość
dostrzegasz?
Oblicz sumy kilku par liczb lustrzanych. Co zauważyłeś? Sformułuj wnioski.
Sprawdź to samo dla liczb lustrzanych trzycyfrowych. A co z liczbami czterocyfrowymi?
Uczniowie stawiają hipotezę
Różnica liczb lustrzanych jest podzielna przez 9, a suma liczb lustrzanych jest podzielna przez 11.
Nauczyciel zwraca uwagę na to, że to jest tylko przypuszczenie. Obliczenia, które wykonali na
kalkulatorze, nie dowodzą prawdziwości tej hipotezy. Należy przeprowadzić dowód ogólny.
Sprawdzenie hipotezy
Uczniowie (z pomocą nauczyciela) przeprowadzają dowód formalny – najpierw dla liczb
dwucyfrowych, potem dla trzycyfrowych:
Liczby lustrzane zapisane ogólnie: 10a + b i 10b + a
Suma danych liczb: (10a+b) + (10b+a) = 10a + a + 10b + b = 11a + 11b = 11(a+b)
Różnica danych liczb: (10a+b) – (10b+a) = 10a – a – 10b + b = 9a – 9b = 9(a – b)
Zadanie 2
Od liczby 5436 odejmij sumę jej cyfr. To samo wykonaj dla 4935, 7382 i 1729.
Co możesz powiedzieć o liczbach, które powstały w wyniku tych działań (o wynikach działań)?
Sprawdź to samo dla innych liczb czterocyfrowych. Postaw hipotezę.
Uczniowie stawiają hipotezę
Jeśli od jakiejkolwiek liczby czterocyfrowej odejmiemy sumę jej cyfr, to otrzymamy liczbę
podzielną przez 9.
Nauczyciel przypomina, że to tylko hipoteza. Aby twierdzić, że tak jest zawsze, należy
przeprowadzić dowód ogólny.
Sprawdzenie hipotezy
Uczniowie (z pomocą nauczyciela) przeprowadzają dowód formalny.
Dowolną liczbę czterocyfrową można zapisać w postaci 1000a + 100b + 10c + d , gdzie a jest
cyfrą tysięcy, b – cyfrą setek, c – cyfrą dziesiątek, d – cyfrą jedności.
2
Dokument pochodzi ze strony www.gwo.pl
Badamy różnicę liczb: 1000a + 100b + 10c + d i a + b + c + d
(1000a + 100b + 10c + d ) – ( a + b + c + d ) = 1000a − a + 100b − b + 10c − c + d − d =
= 999a + 99b + 9c = 9(111a + 11b + c )
Czy prawdziwe jest stwierdzenie, że jeśli od dowolnej liczby naturalnej odejmiemy sumę jej cyfr,
to otrzymamy liczbę podzielną przez 9?
Uczniowie sprawdzają na kalkulatorze tę własność dla liczb naturalnych o różnej liczbie cyfr. Ich
obliczenia potwierdzają hipotezę. Na tym można zakończyć lekcję, a dowód tej hipotezy
przeprowadzić na kółku matematycznym.
3
Dokument pochodzi ze strony www.gwo.pl