Zadanie 1. Firma może produkować dwa wyroby A i B zużywając

Badania operacyjne i ekonometria
Zestaw J 1
W roku akademickim 2005/2006 zestaw egzaminacyjny pana prof. Sikory składał się
tylko z dwóch zadań praktycznych (a nie 4), ponieważ drugą część zestawu przygotował
mgr M. Anholcer
Imię i nazwisko........................................................................................., sala ........, miejsce <
Data ..................... godz. ................., suma punktów..................... ocena
>, grupa ..........
Zadanie 1. Firma może produkować dwa wyroby A i B zużywając dwa środki S1 i S2. Produkcja wyrobu A nie może
być większa od produkcji wyrobu B. Nakłady środków wielkość ich zasobów oraz ceny sprzedaży wyrobów (w tys. zł)
przedstawia tabela
a) Sformułuj ten problem w postaci zadania PL.
A
B Zasób
b) Znajdź optymalne rozwiązanie metodą graficzną.
S1
2
4
16
c) Zaznacz na wykresie jak się zmienia rozwiązanie optymalne, jeżeli
S2
3
2
12
zwiększamy zasób środka S2.
cena
8
4
X
d) Ustal w oparciu o zadanie dualne wycenę środków.
e) Podaj czy opłacalny jest zakup 15 jed. S2 po cenie 5/3 tys. zł (ile
zyskujemy lub tracimy).
Zadanie 2. Surowiec dostarczony przez dwóch dostawców jest przerabiany w trzech zakładach. Podaż dostawców,
jednostkowe koszty transportu są podane w tabeli. Koszty przerobu w zakładach określone są funkcjami:
ai
1
2
3
1 2
2
2
f1 ( x)  2 x1  x1 , f 2 ( x)  7 x 2  x 2 , f 3 ( x)  4 x3  x3
5
3
2
6
2
3
5
3
4
a) Ustal plan dostaw minimalizujący łączny koszt transportu i przerobu, przy  = 0,1.
b) Podaj, czy końcowe rozwiązanie jest optymalne oraz łączny koszt transportu i przerobu.
c) Oblicz koszty przeciętne przerobu dla poszczególnych zakładów.
Badania operacyjne i ekonometria
Zestaw J2
W roku akademickim 2005/2006 zestaw egzaminacyjny pana prof. Sikory składał się
tylko z dwóch zadań praktycznych (a nie 4), ponieważ drugą część zestawu przygotował
mgr M. Anholcer
Imię i nazwisko........................................................................................., sala ........, miej sce <
Data ..................... godz. ................., suma punktów..................... ocena
>, grupa ..........
Zadanie 1. Z dwóch produktów A i B, w których istotne są dwa składniki odżywcze S1 i S2 należy ustalić dietę
minimalizującą koszt żywienia. Minimalne ilości obydwu składników w diecie, zawartość składników w jed. każdego
z produktów oraz ich cenę w zł zawiera tabela:
a) Sformułuj powyższy problem w postaci zadania PL.
A
B
Min. Ilość
b) Znajdź optymalną dietę metodą simpleks.
składnika
c) Podaj wycenę obydwu składników.
S1
2
1
10
d) Ustal, czy dołączenie nowego produktu C, który zawiera dwie jed. S1
S2
3
0
9
i trzy jed. S2 oraz kosztuje 6 zł zmieni rozwiązanie optymalne.
cena
5
2
e) Zmieniono normy żywienia, składnika S1 musi być co najmniej 8 jed. a
składnika S2 - 12 jed. Ustal jak się zmieni rozwiązanie optymalne.
Zadanie 2. MPK w Poznaniu dla trzech linii A, B, C oszacowało dzienne straty z tytułu jazdy bez biletu (tabela 1) oraz
liczbę złapanych gapowiczów (tabela 2). Zależą one od liczby kontrolerów skierowanych na każdą linię. Koszt dziennej
pracy kontrolera – 100 zl, a kara za jazdę bez biletu – 50 zl, z tego MPK dostaje 30 zl, gdyż 10 zł to premia dla
kontrolera, a 20% (czyli też 10 zł) kar nie jest ściągalnych.
Tabela 1 (macierz strat)
Liczba
kontrolerów
A
B
C
0
500
400
300
1
300
280
250
2
200
220
210
3
150
170
180
4
120
150
160
Tabela 2
(liczba gapowi czów)
Liczba
A
B
C
kontrolerów
1
10
12
9
2
16
19
15
3
20
24
20
4
22
25
23
a) Ustal macierz dochodów.
b) Ilu kontrolerów należy zatrudnić, aby dochód był maksymalny?.
c) Udało się zatrudnić tylko 7 kontrolerów, jak ich przydzielić do
poszczególnych linii?
d) Można zatrudnić dodatkowo jeszcze 5 kontrolerów, płacąc im o 40 zł
więcej. Ilu z nich warto zatrudnić?
Badania operacyjne i ekonometria
Zestaw M 2 - zadania
Imię i nazwisko ....................................................., sala ....., współrzędne [
data ................., godz. ........., punkty
ocena
]
1.
Szklarz wycina dwa rodzaje szyb: S1 i S2 z dwóch tafli szkła A i B. Z jednej tafli A uzyskujemy 2 szyby S1
i 2 szyby S2, a z jednej tafli B – 1 szybę S1. Koszt jednej tafli A – 50 zł, a jednej tafli B – 20 zł. Klient
zamówił 12 szyb S1 i 4 szyby S2. Należy zminimalizować koszt zużytego surowca.
a) Sformułuj ten problem w postaci zadania PL.
b) Znajdź optymalne rozwiązanie metodą simpleks.
c) Podaj wycenę obu szyb.
d) Klient zmienił zamówienie na 8 szyb S1 i 6 szyb S2.
Jak się zmieni rozwiązanie optymalne.
2.
Surowiec dostarczany przez dwóch dostawców jest przerabiany w 3 zakładach. Podaż dostawców i
jednostkowe koszty transportu podane są w tabeli. Koszty przerobu w zakładach określone są funkcjami.
2
a) Ustal plan dostaw, minimalizujący łączny
ai
1
2
3
f1 ( x)  3x1  0,5 x1
6
3
4
6
koszt transportu i przeroby przy   0,1 .
2
4
8
2
3
f 2 ( x)  5 x 2  0,5 x 2
b) Podaj czy rozwiązanie końcowe jest
optymalne oraz jaki jest łączny koszt.
f 3 ( x)  5 x3  x32
c) Ustal rzeczywistą dokładność I rozwiązania.
3.
Inwestor zamierza kupić jedną z trzech akcji: A, B, C. Możliwe stopy zwrotu (w %) i prawdopodobieństwo
ich wystąpienia zawiera tabela.
a) Ustal oczekiwane stopy zwrotu wariancji i
stany na giełdzie
prawd.
A
B
C
odchylenie standardowe.
S1
0,5
4
-6
0
b) Inwestor maksymalizuje stopę zwrotu oraz
S2
0,5
16
12
4
minimalizuje ryzyko mierzone odchyleniem. W
oparciu o te dwa parametry ustal macierz stopni
realizacji.
c) W oparciu o macierz realizacji ustal jaką akcję
powinien wybrać inwestor.
d) Jaką akcję wybrałby inwestor w oparciu o
metakryterium z wagą  =0,5.
Roczna sprzedaż masła (w tonach) w pewnym samie w latach 1997 – 2001 wynosi.
a) Oszacuj parametry liniowego trendu sprzedaży
Rok
97
98
99
00
01
Sprzedaż
8
9
7
7
5
y = 1  t   0 .
t
b) Podaj interpretacje parametrów modelu.
c) Oceń dopasowanie modelu do wyników obserwacji.
d) Podaj prognozę sprzedaży masła w roku 2003.
4.
Badania operacyjne i ekonometria
Zestaw M 1 - zadania
Imię i nazwisko ....................................................., sala ....., współrzędne [
data ................., godz. ........., punkty
ocena
1.
] grupa
Firma może produkować dwa wyroby A i B zużywając dwa środki S1 i S2. Produkcja wyrobu A nie może
być większa od produkcji wyrobu B. Nakłady środków na jednostkę wyrobu, zasoby środków oraz ceny
sprzedaży przedstawia tabela.
a) Sformułuj ten problem w postaci zadania PL .
Wyroby
A
B
Zasób
b) Znajdź optymalne rozwiązanie metodą graficzną.
S1
2
4
12
Podaj przychód i rozwiązanie.
S2
6
4
24
c)
Zaznacz na wykresie, jak się zmieni rozwiązanie
Cena
6
6
optymalne, jeżeli zwiększamy zasób środka S1,
czyli b1 [12,24] .
d) Ustal wycenę środków w oparciu o zadanie dualne.
Podaj czy opłaci się sprzedać 4 jednostki środka S1
po cenie 0,5 tys. zł. Ile zyskujemy lub tracimy.
Gazeciarz kupuje „Politykę” po cenie c1 = 3 zł. Cena sprzedaży nie jest dokładnie znana. Przyjmuje wartości
z przedziału c 2  [4; 5] . Rozkład prawdopodobieństwa popytu podany jest w tabelce. Cena zwrotu c 3 =0.
a) Ustal ile gazet powinien kupować gazeciarz.
Popyt
10
11
12
13
14
b) Oszacuj oczekiwany zysk dla optymalnej wielkości
p(x)
0,2
0,3
0,2
0,2
0,1
zakupu.
F(x)
c) Podaj w jakim przedziale może się zmieniać cena
sprzedaż c2, nie powodując zmiany rozwiązania
optymalnego.
2.
Pośrednik kupuje towar od dwóch dostawców i przesyła do dwóch odbiorców. Podaż dostawców (w
tonach), popyt odbiorców (w tonach), jednostkowe ceny zakupu, sprzedaży i koszty transportu przedstawia
tabela. Pojemność magazynu jest ograniczona i pozwala zakupić co najwyżej 50 ton towaru a koszt
magazynowania wynosi 1 tys. zł na 1 tonę. Pośrednik maksymalizuje swój dochód.
bj
a) Zapisz to zadanie w postaci tablicy transportowej.
30
30
ki
ai
b) Ustal optymalny plan dostaw.
45
7
4
6
c) Oblicz przychód, koszt zakupu, koszt transportu,
25
3
5
7
koszt magazynowania oraz dochód pośrednika.
pj
12
13
d) Można zwiększyć dodatkowo pojemność magazynu
płacą po 3 tys. za 1 tonę. Czy jest to opłacalne?
3.
4.
W Instytucie Górnictwa ustalono zależność między ceną węgla C (w zł/t), a wielkością wydobycia X (w mln ton):
C = 240 – X. Ustalono także zależność między kosztem całkowitym produkcji K (w mln zł) a wielkością
wydobycia X (w mln ton): K = 8.000 + 30X + 0,5X2.
a)
Ustal, jaki będzie przychód, koszt i zysk, przy aktualnym wydobyciu 100 mln ton.
b)
Ustal wielkość wydobycia maksymalizującą zysk. Oblicz jaki będzie przychód, koszt i zysk.
c)
Podaj, jaka powinna być produkcja minimalizująca koszt jednostkowy.
d)
Ustal produkcję maksymalizującą przychód, jeżeli wiadomo, że wydobycie nie może przekroczyć 110 mln
ton. Sformułuj także odpowiednie zadanie.
Badania operacyjne i ekonometria
Zestaw N 1
Imię i nazwisko........................................................................................., sala ........, miej sce <
Data ..................... godz. ................., suma punktów..................... ocena
>, grupa ..........
Zadanie 1. Firma może produkować dwa wyroby A i B zużywając dwa środki S1 i S2. Produkcja wyrobu A nie może
być większa od produkcji wyrobu B. Nakłady środków wielkość ich zasobów oraz ceny sprzedaży wyrobów (w tys. zł)
przedstawia tabela
a) Sformułuj ten problem w postaci zadania PL.
A
B Zasób
b) Znajdź optymalne rozwiązanie metodą graficzną.
S1
2
4
16
c) Zaznacz na wykresie jak się zmienia rozwiązanie optymalne jeżeli
S2
6
4
24
zwiększamy zasób środka S1, czyli b1[16,24].
cena
8
8
X
d) Ustal w oparciu o zadanie dualne wycenę środków.
e) Podaj czy opłacalny jest zakup 4 jed. S1 po cenie 0,8 tys. zł (ile zyskujemy
lub tracimy).
Zadanie 2. W piekarni, popyt na chleb (w tonach) w soboty, w ostatnich tygodniach był następujący. Koszt produkcji
1 tony chleba k = 1.500 zł, cena sprzedaży 1 tony c = 200 zł, a cena sprzedaży na cele paszowe c 2 = 100 zł.
Tydzień 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Popyt
4
5
8
7
6
5
8
6
7
5
a) Ustal rozkład prawdopodobieństwa popytu na chleb.
b) Wyznacz optymalną wielkość produkcji chleba maksymalizującą oczekiwany zysk.
c) Oblicz w jakim przedziale mogą się zmienić koszty produkcji, aby rozwiązanie optymalne nie uległo zmianie.
Zestaw N 1
Zadanie 3. Surowiec dostarczony przez dwóch dostawców jest przerabiany w trzech zakładach. Podaż dostawców,
jednostkowe koszty transportu są podane w tabeli. Koszty przerobu w zakładach określone są funkcjami:
ai
1
2
3
1 2
1 2
2
f 1 ( x)  2 x1  x1 , f 2 ( x)  7 x 2  x 2 , f 3 ( x)  5 x 3  x 3
5
3
4
6
2
2
3
5
2
4
a) Ustal plan dostaw minimalizujący łączny koszt transportu i przerobu, przy  = 0,1.
b) Podaj, czy końcowe rozwiązanie jest optymalne oraz łączny koszt transportu i przerobu.
c) Oblicz koszty krańcowe przerobu dla poszczególnych zakładów.
Zadanie 4. W Instytucie Badań Rynku ustalono jaka powinna być cena sprzedaży 1 tony węgla (w zł), aby możliwa
była sprzedaż na rynku krajowym określonych ilości węgla w (mln ton). Dane te zawiera tabela:
Cena węgla (yi)
180 190 200 220 250
Wielkość sprzedaży (xi) 120 180 80
70
50
a) Oszacuj parametry liniowego modelu ceny węgla: y   0   1 x .
b) Oceń dopasowanie modelu do wyników obserwacji.
c) Podaj interpretacje parametrów modelu.
d) Podaj jaka powinna być cena 1 tony węgla, jeżeli chcemy sprzedać 90 mln ton.
Badania operacyjne i ekonometria
Zestaw N2
Imię i nazwisko........................................................................................., sala ........, miej sce <
Data ..................... godz. ................., suma punktów..................... ocena
>, grupa ..........
Zadanie 1. Z dwóch produktów A i B, w których istotne są dwa składniki odżywcze S1 i S2 należy ustalić dietę
minimalizującą koszt żywienia. Minimalne ilości obydwu składników w diecie, zawartość składników w jed. każdego
z produktów oraz ich cenę w zł zawiera tabela:
a) Sformułuj powyższy problem w postaci zadania PL.
A
B
Min. Ilość
b) Znajdź optymalną dietę metodą simpleks.
składnika
c) Podaj wycenę obydwu składników.
S1
2
1
10
d) Ustal, czy dołączenie nowego produktu C, który zawiera dwie jed. S1
S2
3
0
6
i dwie jed. S2 oraz kosztuje 6 zł zmieni rozwiązanie optymalne.
cena
5
2
e) Zmieniono normy żywienia, składnika S1 musi być co najmniej 8 jed. a
składnika S2 - 9 jed. Ustal jak się zmieni rozwiązanie optymalne.
Zadanie 2. Pośrednik dostarcza towar od dwóch dostawców do dwóch odbiorców. Podaż dostawców (w tonach), popyt
odbiorców (w tonach), jednostkowe ceny zakupu, sprzedaży i koszty transportu (w tys. zł) przedstawia tabela.
Pośrednik podpisał umowę z dostawcą D1, że w pełni wykorzysta jego podaż. Pośrednik maksymalizuje swój dochód.
a) Zapisz powyższe zadanie w postaci tablicy transportowej.
bi
b) Znajdź optymalny plan dostaw.
ai
20
30
ki
c) Oblicz przychód, koszt zakupu, koszt transportu i dochód pośrednika.
35
6
4
6
d) Podaj ile co najmniej traci pośrednik podpisując umowę.
25
2
5
7
pj
11
13
Zestaw N2
Zadanie 3. Komiwojażer ma odwiedzić klientów w czterech punktach miasta i wrócić do domu. Mieszka w pobliżu
klienta K2. Dana jest macierz odległości między tymi punktami (klientami).
a) Stosując algorytm Little’a wyznacz najkrótszą drogę.
15
11
20

b) Ustal, o ile minimalna droga się wydłuży jeżeli zostanie zamknięty odcinek
14
6
10

<3, 2>.
10
3
9

c)
Podaj kolejność odwiedzanie klientów.
5
4
11

Zadanie 4. Inwestor chce kupić akcje dwóch firm A i B. Przewidywane stopy zwrotu w  przedstawia tabela:
Stopy
a) Ustal oczekiwane stopy zwrotu, wariancje oraz kowariancje dla akcji.
b) Sformułuj ten problem jako zadanie dwukryterialne.
Stany Prawdop.
A
B
c) Dla inwestora 1 stopy zwrotu ma wartość dwa razy większą niż 1
S1
0,5
20
10
ryzyka portfela mierzony jego odchyleniem standardowym. Wyznacz
S2
0,5
0
10
w oparciu o metakryterium odpowiednią decyzję kompromisową
(sformułuj zadanie i rozwiąż je graficznie).
Badania operacyjne i ekonometria
Zestaw H1
Imię i nazwisko........................................................................................., sala ........, miejsce <
Data ..................... godz. ................., suma punktów..................... ocena
>, grupa ..........
Zadanie 1. Firma może produkować dwa wyroby A i B zużywając dwa środki S1 i S2. Produkcja wyrobu A nie może
być mniejsza od produkcji wyrobu B. Nakłady środków i wielkość ich zasobów oraz ceny sprzedaży wyrobów (w tys.
zł) przedstawia tabela:
a) Sformułuj powyższy problem w postaci zadania PL.
A
B Zasób
b) Znajdź optymalne rozwiązanie metodą graficzną.
S1
2
4
16
c) Zaznacz na wykresie jak się zmienia rozwiązanie optymalne jeżeli
S2
3
2
12
zwiększamy zasób środka S2.
cena
8
4
d) Ustal w oparciu o zadanie dualne wycenę środków.
e) Podaj czy opłacalny jest dodatkowy zakup 15 jed. S2 po cenie 5/3 tys. zł
(ile zyskujemy lub tracimy).
Zadanie 2. Ogrodnik posiada 2 ha ziemi i może na niej uprawiać kapustę, pomidory i cebulę. Dochód z uprawy każdej
rośliny zależy od stanu pogody i podany jest w tabeli (w tys. zł/ ha).
a) Sformułuj zadanie PL wyznaczające optymalną strategię mieszaną
K
P
C
realizowaną jeden raz..
b) Sformułuj zadanie PL wyznaczające optymalną strategię mieszaną
S1
12
12
11
realizowaną wielokrotnie, jeżeli udział pomidorów w ogólnym areale
S2
8
18
8
uprawy nie może przekroczyć 50%.
S3
10
18
14
d) Podaj jakie będzie dla punktu b) optymalne rozwiązanie i maksymalny
średni dochód z uprawy.
e) Podaj czy to rozwiązanie jest optymalnym rozwiązaniem dla zadania z
punktu a).
H1
Zadanie 3. Surowiec dostarczony przez dwóch dostawców jest przerabiany w trzech zakładach. Podaż dostawców,
jednostkowe koszty transportu są podane w tabeli. Koszty przerobu w zakładach określone są funkcjami:
ai
1
2
3
1 2
2
2
f1 ( x)  2 x1  x1 , f 2 ( x)  7 x 2  x 2 , f 3 ( x)  4 x3  x3
5
3
2
6
2
3
5
3
4
a) Ustal plan dostaw minimalizujący łączny koszt transportu i przerobu, przy  = 0,1.
d) Podaj, czy końcowe rozwiązanie jest optymalne oraz łączny koszt transportu i przerobu.
e) Oblicz koszty przeciętne przerobu dla poszczególnych zakładów.
Zadanie 4. W Instytucie Badań Rynku ustalono jaka powinna być cena sprzedaży 1 tony węgla (w zł), aby możliwa
była sprzedaż na rynku krajowym określonych ilości węgla w (mln ton). Dane te zawiera tabela:
Cena węgla (yi)
180 190 200 220 250
Wielkość sprzedaży (xi) 120 100 80
70
50
e) Ustal macierz CROSS
f) Oszacuj parametry liniowego modelu ceny węgla: y   0   1 x .
g) Oceń dopasowanie modelu do wyników obserwacji.
h) Podaj interpretacje parametrów modelu.
i) Podaj jaka powinna być cena 1 tony węgla, jeżeli chcemy sprzedać 60 mln ton.
Badania operacyjne i ekonometria
Zestaw H2
Imię i nazwisko........................................................................................., sala ........, miejsce <
Data ..................... godz. ................., suma punktów..................... ocena
>, grupa ..........
Zadanie 1. Z dwóch produktów A i B, w których istotne są dwa składniki odżywcze S1 i S2 należy ustalić dietę
minimalizującą koszt żywienia. Minimalne ilości obydwu składników w diecie, zawartość składników w jed. każdego
z produktów oraz ich cenę w zł zawiera tabela:
f) Sformułuj powyższy problem w postaci zadania PL.
A
B
Min. Ilość
g) Znajdź optymalną dietę metodą simpleks.
składnika
h) Podaj wycenę obydwu składników.
S1
2
1
10
i) Ustal, czy dołączenie nowego produktu C, który zawiera dwie jed. S1
S2
3
0
9
i trzy jed. S2 oraz kosztuje 6 zł zmieni rozwiązanie optymalne.
cena
5
2
j) Zmieniono normy żywienia, składnika S1 musi być co najmniej 8 jed. a
składnika S2 - 12 jed. Ustal jak się zmieni rozwiązanie optymalne.
Zadanie 2. MPK w Poznaniu dla trzech linii A, B, C oszacowało dzienne straty z tytułu jazdy bez biletu (tabela 1) oraz
liczbę złapanych gapowiczów (tabela 2). Zależą one od liczby kontrolerów skierowanych na każdą linię. Koszt dziennej
pracy kontrolera – 100 zl, a kara za jazdę bez biletu – 50 zl, z tego MPK dostaje 30 zl, gdyż 10 zł to premia dla
kontrolera, a 20% (czyli też 10 zł) kar nie jest ściągalnych.
Tabela 1 (macierz strat)
Liczba
kontrolerów
A
B
C
0
500
400
300
1
300
280
250
2
200
220
210
3
150
170
180
4
120
150
160
Tabela 2
(liczba gapowi czów)
Liczba
A
B
C
kontrolerów
1
10
12
9
2
16
19
15
3
20
24
20
4
22
25
23
e) Ustal macierz dochodów.
f) Ilu kontrolerów należy zatrudnić, aby dochód był maksymalny?.
g) Udało się zatrudnić tylko 7 kontrolerów, jak ich przydzielić do
poszczególnych linii?
h) Można zatrudnić dodatkowo jeszcze 5 kontrolerów, płacąc im o 40 zł
więcej. Ilu z nich warto zatrudnić?
Zestaw H2
Zadanie 3. Komiwojażer ma odwiedzić klientów w czterech punktach miasta i wrócić do domu. Mieszka w pobliżu
klienta K2. Dana jest macierz odległości między tymi punktami (klientami).
d) Stosując algorytm Little’a wyznacz najkrótszą drogę.
5
11
20

e) Podaj kolejność odwiedzania klientów.
14
10
6

f) Ustal, o ile minimalna droga się wydłuży jeżeli zostanie zamknięty odcinek
10
3
9

<2,4>.
4
7
8

Zadanie 4. Inwestor chce kupić akcje dwóch firm A i B. Przewidywane stopy zwrotu w  przedstawia tabela:
Stopy
f) Ustal oczekiwane stopy zwrotu, wariancje oraz kowariancje dla akcji.
g) Sformułuj ten problem jako zadanie dwukryterialne, jeżeli udział akcji
Stany Prawdop.
A
B
A w portfelu nie może przekroczyć 50%.
S1
0,5
30
10
h) Dla inwestora 1 stopy zwrotu ma wartość dwa razy większą niż 1
S2
0,5
10
10
ryzyka portfela mierzony jego odchyleniem standardowym. Wyznacz
w oparciu o metakryterium odpowiednią decyzję kompromisową
(sformułuj zadanie i rozwiąż je graficznie).