i potrafi określać zależność funkcyjną między wielkościami liczbowymi • opisywać za pomocą funkcji zależności w przyrodzie, gospodarce i życiu codziennym interpretować zależności funkcyjne na podstawie danego wzoru Samochód jadący autostradą spala 5,6 litra paliwa na 100 km. a) Napisz wzór funkcji p określającej zużycie paliwa (w litrach) w zależności od przebytej drogi 5 (w km). b) Napisz wzór funkcji s określającej przebytą drogę (w kilometrach) w zależności od zużytego paliwa p (w litrach). • • » i T* O godzinie 10® rozpoczęto napełnianie wodą dwóch identycznych, częściowo wypełnionych zbiorników. Ilość wody (w litrach) w pierwszym zbiorniku po upływie t sekund od rozpoczęcia napełniania wyraża wzór W|(f)=3f+1900. a) Ile litrów wody znajdowało się w zbiorniku o godzinie 10~? b) Ile litrów wody wpływa do pierwszego zbiornika w ciągu minuty? c) O godzinie 10® w drugim zbiorniku znajdowało się 4600 1 wody. Napisz wzór funkcji określającej ilość wody w tym zbiorniku (w litrach) w zależności od czasu (w sekundach), jeżeli wiadomo, że w ciągu sekundy wpływały 2 litry wody. d) O której godzinie zbiorniki zostały napełnione, jeśli wiadomo, że ich napełnienie nastąpiło równocześnie? e) Oblicz objętość zbiorników. Wynik podaj w m l ZADANIA MATURALNE RÓŻNE SPOSOBY OKREŚLANIA FUNKCJI SC. BI Funkcja / określona jest wzorem f(x) = 4xą - 4x3 - 9x2+x + 2. a) Sprawdź, która z liczb - 1 , 0,5, 1, 2 jest miejscem zerowym funkcji /. b) Znajdź punkt przecięcia wykresu funkcji / z osią OY. c) R Wyznacz te argumenty, dla których funkcja / i funkcja g(x) = Ir -l5x+2 Funkcja / określona jest wzorem f(x) = -J-x2 - przyjmują tę samą wartość. 6x-5. a) R Wyznacz dziedzinę funkcji /. b) Dla którego z argumentów: ~ 52./R czy J 3 - 3 funkcja / przyjmuje większą wartość? Funkcja / określona jest następująco: f(x) = \x [x +x -4x 6 dla ^ < 1 dla x > 1 a) Oblicz wartość funkcji / dla argumentu 1. b) Sprawdź, która z liczb - 3 , 0, 2, 4 jest miejscem zerowym funkcji /. c) Wyznacz te argumenty, dla których funkcja / przyjmuje wartość - 4 . Dziedziną funkcji / jest zbiór {-2, - 1 , 0, 1, 2, 3}. Funkcja / k a ż d e m u argumentowi przyporządkowuje jego kwadrat pomniejszony o 1. a) Określ zbiór wartości funkcji /. b) Podaj wzór funkcji /. c) Sporządź wykres funkcji /. M . R Funkcja / , określona na zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich, każdej liczbie R+ przyporządkowuje jej odwrotność pomnożoną przez 18. a) Podaj wzór funkcji /. b) Uzasadnij, że wszystkie punkty wykresu funkcji / znajdują się w I ćwiartce układu współrzędnych. c) Wyznacz wszystkie te punkty należące do wykresu funkcji /, których obie współrzędne są liczbami naturalnymi. Dziedziną funkcji / jest zbiór D- {-2, - 1 , O, 1, 2, 3, 4}. Funkcja / każdej liczbie ujemnej ke D przyp rządkowuje jej wartość bezwzględną, a każdej liczbie nieujemnej m e D przyporządkowuje sumę licz m i liczby o 6 od niej mniejszej. a) Oblicz / ( - 1 ) i / ( I ) . b) Podaj wszystkie argumenty x, dla których zachodzi równość f(x) = 2. c) Podaj wszystkie argumenty x spełniające nierówność f(x) < 0. R Na płaszczyźnie z układem współrzędnych dane są dwa zbiory punktów: A= {(-3, 3), (0, 4), (2, 5), (2, 0), (3, -7), (4, 9)}, B= {(-3, 4), (0, 4), (2, -2), (3, 0), (4, -1)}. Jeden z tych zbiorów jest wykresem pewnej funkcji / : {-3, 0, 2, 3, 4} —» R. a) Wskaż zbiór, który jest wykresem funkcji f i uzasadnij, że drugi ze zbiorów nie jest wykresem żadn funkcji ze zbioru {-2, 0, 2, 3, 4} w zbiórR. b) Podaj najmniejszą wartość funkcji /. c) Podaj miejsca zerowe funkcji /. Wykresem funkcji / jest zbiór wszystkich punktów należących do odcinka AB lub odcinka CD, gdz A = (-2,4), B = ( 1,2), C=(4,1), £> = (7,6). a) Jaką wartość funkcja / przyjmuje dla argumentu 4? b) Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji /. Obok zamieszczono wykresy funkcji / i g. a) Określ zbiór wartości funkcji / oraz funkcji g. b) Podaj te wartości funkcji g, które nie są_wartościami funkcji /. c) Podaj te argumenty, dla których wartości obu funkcji są równe. d) Podaj zbiór tych argumentów, dla których wartości funkcji / są większe od wartości funkcji g. e) Podaj te argumenty x, dla których f(x) < 0 i g(x) < 0. f) Podaj te argumenty x, dla których f(x)-g(x) = 0. g) W Podaj te argumenty x, dla których f(x)-g(x) < 0. ,y y\ \ i \ o i \ A V/ A \ f Funkcja / określona jest za pomocą poniższej tabelki. X -3 -2 m -V3 -2 0 1,2 3 -2 0 0 4V5 2 a) Przedstaw funkcję / za pomocą grafu. b) R Przedstaw za pomocą tabelki funkcję g, która każdej liczbie w, należącej do zbioru wartości funkcji przyporządkowuje liczbę argumentów, dla których funkcja / przyjmuje wartość w. Sporządź wykrs funkcji g. Funkcja rosnąca / : {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} —> C została częściowo określona za pomocą tabelki. X m 0 -2 1 2 0 3 5 4 9 5 6 7 12 a) Uzupełnij tabelkę. b) Podaj punkty wspólne wykresu funkcji / z osiami układu współrzędnych. c) R Podaj ten argument a, dla którego zachodzi równość /f(f(a)) + 2 = 0. Dziedziną funkcji / jest zbiór wszystkich dodatnich liczb wymiernych W+. Funkcja / każdej liczbie w e W+ przyporządkowuje licznik ułamka gdzie = w, jest ułamkiem nieskracalnym i p, q są liczbami całkowitymi dodatnimi. a) Oblicz wartość funkcji / dla argumentów 3, 2,49, ,^6-k b) Dla którego argumentu, — czy — , funkcja / przyjmuje większą wartość? 84 68 c) Podaj zbiór wartości funkcji / . Funkcja / każdej naturalnej liczbie trzycyfrowej przyporządkowuje sumę jej cyfr. a) Podaj wszystkie argumenty, dla których funkcja / przyjmuje wartość 2. b) W Dla pewnego argumentu a funkcja / przyjmuje wartość 15. Uzasadnij, że a dzieli się przez 3. c) Podaj najmniejszą liczbę a taką że f(a) = 20. Funkcja / każdej liczbie rzeczywistej x przyporządkowuje największą liczbę parzystą mniejszą od x. a) Oblicz/(ji) i / ( 1 0 ) . b) Podaj zbiór wszystkich miejsc zerowych funkcji f . c) Określ zbiór wartości funkcji /. d) Naszkicuj wykres funkcji / dla x e (2; 8). Funkcja g każdej liczbie x e (-5; 6) przyporządkowuje najmniejszą liczbę całkowitą n taką że 3n jest większa od x. a) Podaj wartości funkcji g dla argumentów 0, - 5 , b) Podaj miejsca zerowe funkcji g. c) Podaj zbiór wartości funkcji g. Funkcja / każdej liczbie rzeczywistej x przyporządkowuje najmniejszą liczbę nieujemną a taką, że liczba x + a jest podzielna przez 4. a) Jaką wartość przyjmuje funkcja / dla argumentu -10-L, a jaką dla argumentu >/2? b) Ile miejsc zerowych funkcji / należy do przedziału (1; 100)? c) Podaj zbiór wartości funkcji /. d) W Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n suma f(n)+f(n+ ! ) + / ( « + 2)+/'(« + 3 ) ma stałą wartość. Funkcja / każdej liczbie naturalnej n przyporządkowuje liczbę cyfr potrzebnych do jej zapisania w zapisie dziesiętnym, np./(7285) = 4. a) Podaj zbiór wartości funkcji /. b) Dla ilu argumentów funkcja / przyjmuje wartość 3? c) Podaj wszystkie argumenty n < 3000, dla których zachodzi równość f(n + !)=/(«) + 1. Funkcja /, określona na zbiorze liczb naturalnych większych od 9, przyporządkowuje każdej liczbie n cyfrę dziesiątek liczby n. a) Określ zbiór wartości funkcji /. b) Dla ilu argumentów mniejszych od 999 funkcja / przyjmuje wartość 5? c) Dla jakich ke C+liczba I Ok jest miejscem zerowym f u n k c j i / ? d) Dla jakich n nie zachodzi równość f(n+ l)=/(n)? 108. Podczas napełniania zbiornika uszkodzony został zawór odpływowy, przez który zaczęła wydostawać się woda 40 z prędkością 10 mVmin. Awarię usunięto po 9 minutach. E 35 a Na wykresie pokazano, jak zmieniała się ilość wody w 30 / zbiorniku od momentu wystąpienia awarii do momentu jej 25 i usunięcia. i 15 a) Oblicz 10 1) ile m' wody dostarczono do zbiornika w ciągu dwóch i i i 5 początkowych minut, 02) z jaką prędkością (w nr/min) dostarczano wodę do 3 4 5 Czas [minuty] zbiornika w ciągu piątej i szóstej minuty, 3) ile m 3 wody wydostało się ze zbiornika w czasie trwania awarii. b) W jakim przedziale czasu dostarczano wodę do zbiornika z prędkością 10 m 7min? c) W którym momencie przestano dostarczać wodę do zbiornika? i"" PRZEKSZTAŁCENIA WYKRESU FUNKCJI 109. Wykres funkcji f{x) = 3x-6 przesunięto o 2010 jednostek w górę otrzymując wykres funkcji g. a) Napisz wzór funkcji g. b) R Wykres funkcji g można otrzymać również przesuwając wykres funkcji/wzdłuż osi OX. O ile j e stek i w którą stronę należy przesunąć wykres funkcji / ? c) [2009 2010] Znajdź punkt przecięcia z osią OY wykresu funkcji h(x) = —f(x). 110. Na rysunku obok zamieszczono wykres funkcji / : (-6, 7) a) Podaj najmniejszą i największą wartość funkcji / w przedziale (-4; 4). b) Podaj zbiór wszystkich argumentów, dla których wartość funkcji / jest z przedziału (-1; 3). c) Podaj miejsca zerowe funkcji g(x) =f{x+ 3). d) [2009 2010] Naszkicuj wykres funkcji g takiej, że y R. ..j....j—-i-— N sL; : 0 l\ : \A g(x)=f(-x). 111. R Dziedziną funkcji g jest zbiór liczb rzeczywistych. Wykres funkcji f(x) = xĄ - 3x3 - lx2 + 6x otrzyma przesuwając wykres funkcji g wzdłuż osi OX o 2010 jednostek w lewo. a) Oblicz g(2009). b) Znajdź miejsca zerowe funkcji g. 112. Obok zamieszczono wykres funkcji/. Funkcja g określona jest w następujący sposób g(x) - \f(x- 1) + 21. a) Naszkicuj wykres funkcji g. b) Podaj zbiór miejsc zerowych funkcji g. c) Podaj zbiór rozwiązań nierówności g(x) <2x + 4. 113. Wykres funkcji fix) = x x-3 przesunięto o wektor .. - - 2 -x-6 symetrycznie względem początku układu współrzećr>.± wzór i wyznacz dziedzinę funkcji g. _ następnie przesunięty wykres odb Irrr.—uoo wykres pewnej funkcji g. Znaj