Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa. Lista 3 Zad. 1 Dystrybuanta zmiennej losowej X jest dana wzorem F (x) = 4 X 2k k=1 30 I(k,k+1) (x) + I(5,∞) (x) dla x ∈ R, gdzie IA jest indykatorem zbioru A, tzn. IA (x) = 1, gdy x ∈ A ⊂ R i IA (x) = 0, gdy x 6∈ A. a) Wyznaczyć punkty skokowe i skoki dystrybuanty F ; obliczyć: b) P (|X − 3| ≥ 2); c) medianę zmiennej X. Zad. 2 Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [a, b] o gęstości 1 I[a,b] (x) f (x) = b−a dla x ∈ R, gdzie I[a,b] (x) jest indykatorem przedziału [a, b]. Narysować gęstość f . Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej X. Zad. 3 Zmienna losowa X ma gęstość f (x) = (c/x)I[1/2,2] (x). Obliczyć: a) nieznaną stałą c; b) medianę zmiennej X; c) P (3/4 < X < 4/3). Zad. 4 Pewna firma ubezpieczeniowa oferuje, że wypłaci 40000 zł w razie śmierci pięćdziesięcioletniego mężczyzny w ciągu w roku trwania ubezpieczenia w zamian za 500 zł jednorazowej wpłaty. Obliczyć przeciętny zysk firmy, jeśli prawdopodobieństwo śmierci pięćdziesięcioletniego mężczyzny w ciągu roku, odczytane z polskich tablic trwania życia, równa się 0, 01081. Zad. 5 Zmienna losowa X ma wartość oczekiwaną µ i wariancję σ 2 . Obliczyć, dla jakich wartości a i b zmienna losowa a + bX ma wartość oczekiwaną zero i wariancję jeden. Zad. 6 Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [−a, a], gdzie a > 0. Obliczyć P (X 2 ≥ X 3 ). Zad. 7 Zmienna losowa X ma rozkład normalny N (0, 2.5). Obliczyć P (6X 2 ≥ 9X + X 3 )). Zad. 8 Niech X będzie zmienną losową o gęstości f (x) = θf1 (x) + (1 − θ)f2 (x), gdzie 0 < θ < 1 oraz fi jest gęstością pewnej zmiennej losowej o wartości oczekiwanej µi i wariancji σi2 dla i = 1, 2 (gęstość f jest nazywana mieszaniną gęstości f1 i f2 ). Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X. Zad. 9 (Schemat Bernoulliego, rozkład dwumianowy). Wykonuje się n niezależnych doświadczeń, z których każde może zakończyć się sukcesem z prawdopodobieństwem p, i porażką z prawdopodobieństwem 1 − p (0 < p < 1). Pokazać, że liczba Kn , wszystkich sukcesów w ciągu n doświadczeń jest zmienną losową o rozkładzie Bernoulliego (dwumianowym) b(n, p) z parametrami n, p, tzn. że n k P (Kn = k) = p (1 − p)n−k k dla k = 0, 1, . . . , n. Zad. 10 Co jest bardziej prawdopodobne, wygrać z równorzędnym przeciwnikiem dwie partie z trzech, czy cztery partie z sześciu? Zad. 11 Handlowiec zamawia codziennie 80 sztuk pewnego artykułu. Każdy z dwustu potencjalnych klientów kupuje jedną sztukę przeciętnie raz na trzy dni, niezależnie od innych klientów. Oliczyć prawdopodobieństwo, że w ustalonym dniu wszystkie sztuki będą sprzedane. Zad. 12 Dziesięciu abonentów może połączyć się z siecią telefoniczną za pomocą lokalnej centrali dysponującej n liniami. Każdy z abonentów zajmuje linię średnio 12 minut na godzinę. Zakładając, że zamówienia są dokonywane niezależnie od siebie, obliczyć, jaka jest minimalna liczba linii wystarczająca na to, by w losowo wybranej chwili z prawdopodobieństwem 0.99 obsłużyć wszystkie zgłoszenia. Zad. 13 Towarzystwo ubezpieczeń wzajemnych ma rezerwę 1000 zł z poprzedniego roku. W bieżącym roku stu klientów wpłaca po 100 zł ubezpieczenia. W przypadku śmierci ubezpieczonego firma wypłaca 4000 zł. Prawdopodobieństwo śmierci każdego z klientów jest jednakowe i równe p = 1/100. Załóżmy, że przypadki zgonów są niezależne od siebie. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że firma nie będzie wypłacalna w bieżącym roku? Zad. 14 ( R o z k ł a d P o i s s o n a). Załóżmy, że prawdopodobieństwo pn uzysania sucesu w schemacie Bernoulliego maleje wraz ze wzrostem liczby doświadczeń n w ten sposób, że npn = λ dla dowolnego n, gdzie λ jest ustaloną liczbą dodatnią. Pokazać, że λk −λ lim P (Kn = k) = e n→∞ k! dla k = 0, 1, 2, . . . , Następnie sprawdzić, czy ciąg liczb {λk e−λ /k!}, k = 0, 1, 2, . . . , jest rozkładem prawdopodobieństwa. Zad. 15 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie Poissona z parametrem λ. Sprawdzić, czy EX = V arX = λ. Zad. 16 (Rozkład geometryczny). Niech X oznacza czas czekania na pierwszy sukces w nieskończonym ciągu niezależnych doświadczeń opisanych w zad. 47. Wyznaczyć funkcję rozkładu prawdopodobieństwa i dystrybuantę zmiennej losowej X. Obliczyć jej wartość oczekiwaną. Zad. 17 Wyznaczyć stałe a i b, by funkcja a sin x + b dla |x| ≤ π/2; f (x) = 0 dla |x| > π/2; była gęstością pewnej zmiennej losowej X. Obliczyć dystrybuantę zmiennej X oraz kwantyl2 rzędu 1/2. Zad. 18 Wyznaczyć stałą c, by funkcja 0 dla x ≤ 0; F (x) = c dla x > 0, 1 − 1+x była dystrybuantą pewnej zmienej losowej X typu ciągłego. Wyznaczyć gęstość zmiennej X. Obliczyć kwantyl2 rzędu 1/4 i medianę zmiennej X. Obliczyć P (X > 1.5). Zad. 19 Dana jest funkcja 0 √dla x < −1; a 3 x + b; dla |x| ≤ 1; F (x) = 1 dla x > 1. Należy dobrać stałe a i b tak, by funkcja F była dystrybuantą pewnej zmiennej losowej typu ciągłego. Obliczyć gęstość tej zmiennej. Zad. 20 Dana jest funkcja F (x) = a + b arctg(x), x ∈ R. Dla jakich wartości a i b, funkcja F jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X. a) Wyznaczyć gęstość tej zmiennej; b) obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej X. Zad. 21 (Rozkład jednostajny) Załóżmy, że przy odczycie kąta popełniamy losowy błąd X z przedziału (−0.1, 0.1), dla którego prawdopodobieństwo P (a ≤ X ≤ b) jest proporcjonalne do b − a, przy dowolnym a, b ∈ (−0.1, 0.1), a ≤ b. Znaleźć gęstość i dystrybuantę zmiennej X. Obliczyć jej wartość oczekiwaną, wariancję oraz kwantyle2 rzędu 1/4 i 3/4. Zad. 22 (Rozkład wykładniczy). Element ulega awarii w losowej chwili X (X ≥ 0), przy czym prawdopodobieństwo, że zepsuje się w przedziale czasu [t, t + ∆t] pod warunkiem, że nie uległ awarii do chwili t, jest przy małych ∆ wielkością wprost proporcjonalną do ∆, tzn. istnieje takie λ > 0, dla którego P (t ≤ X < t + ∆|X ≥ t) = λ∆ + o(∆), gdzie o(∆) oznacza wielkość zmierzającą do zera szybciej niż ∆, tzn. o(∆)/∆ → 0 przy ∆ → 0. Pokazać, że X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ. Zad. 23 (Brak pamięci rozkładu wykładniczego). Załóżmy, że element podlega wykładniczemu prawu awarii, tzn. moment awarii X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ. Pokazać, że prawdopodobieństwo pojawienia się awarii w czasie [t, t + ∆t], pod warunkiem, że nie nastąpiła ona do chwili t, nie zależy od t. Innymi słowy element ”nie pamięta”, jak długo pracuje (własność tę w klasie rozkładów typu ciągłego ma wyłącznie rozkład wykładniczy). Zad. 24 (Rozkład normalny). Mierząc pewną wielkość fizyczną µ popełniamy błąd losowy, co sprawia, że wynik pomiaru X jest zmienną losową. Na ogół zakłada się, że wynik pomiaru ma rozkład normalny N (µ, σ) o gęstości (x − µ)2 1 f (x) = √ exp − 2σ 2 σ 2π dla −∞ < x < ∞, gdzie µ ∈ R i σ > 0 są parametrami rozkładu. Parametr µ odpowiada dokładnej wartości mierzonej wielkości, parametr σ jest związany z precyzją wykonania pomiarów. Pokazać, że EX = µ, V arX = σ 2 . Zad. 25 (Operacja standaryzacji). Pokazać, korzystając z pojęcia dystrybuanty, że standaryzowana zmienna losowa Y = (X − µ)/σ, powstająca ze zmiennej X o rozkładzie N (µ, σ), ma rozkład N (0, 1). Zad. 26 Automat tokarski ustawiony na pozycji µ produkuje wałki, których średnica ma rozkład normalny N (µ, 0.05). Wałek uważa się za dobry, jeśli jego średnica X mieści się w przedziale (20.15, 20.25). Jak powinien być ustawiony automat, aby prawdopodobieństwo wykonania braku było najmniejsze? Jaki procentowo udział w całej produkcji będą miały braki naprawialne (X > 20.25), a jaki nie naprawialne (X < 20.15), jeżeli automat ustawiono pomyłkowo na pozycji µ = 20.25? Zad. 27 Jaki jest rozkład energii kinetycznej cząstki o masie m, której prędkość jest zmienną losową o rozkładzie N (0, 1)? Zad. 28 (Rozkład arcusa sinusa). Załóżmy, że napięcie U prądu zmiennego ma losową fazę φ o rozkładzie jednostajnym na przedziale (−π/2, π/2), tzn. U = Umax sin(φ), gdzie φ jest zmienną losową o gęstości 1 dla − π2 < φ < π2 , π f (φ) = 0 dla pozostałych φ. Wyznaczyć dystrybuantę i gęstość napięcia U. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wartość napięcia przekroczy co do modułu 0.5Umax ? Zaznaczyć to prawdopodobieństwo na wykresie gęstości i dystrybuanty. Obliczyć wariancję zmiennej U. Zad. 29 Wykazać, że gdy X ma rozkład jednostajny na przedziale (0, 1), to dla dowolnego λ > 0, zmienna losowa Y = −(1/λ) ln(1 − X) ma rozkład wykładniczy z parametrem λ. Zad. 30 Przypuśćmy, że czas między chwilami zgłoszeń kolejnych klientów do pewnego systemu obsługi (np. banku) ma rozkład wykładniczy z parametrem λ = 1/(200 sekund). Należy przeprowadzić symulację zgłoszeń siedmiu klientów, korzystając z następujących liczb: 0.001, 0.193, 0.585, 0.350, 0.823, 0.174, 0.711. Liczby te są wartościami zmiennej o rozkładzie jednostajnym na przedziale (0, 1) wytworzonymi przez komputerowy generator liczb losowych. Zad. 31 W modelu Blacka-Scholesa zakłada się, że w ustalonej chwili t cena akcji St ma postać √ 1 2 St = S0 exp (µ − σ )t + σ tWt , t ≥ 0, 2 gdzie µ jest współczynnikiem wzrostu, σ jest współczynnikiem zmiennści ceny akcji (σ > 0), Wt zaś jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N (0, 1). a) Obliczyć średnią cenę akcji w chwili t, jeśli S0 jest znaną liczbą. b) Wyznaczyć dystrybuantę i gęstość zmiennej losowej St . Narysować wykres gęstości, gdy r = 0.2, S0 = 1, t = 1 oraz σ = 0.1, σ = 0.2 i σ = 0.3. Zad. 32 W pudełku jest 15 losów pustych, 4 losy wygrywające 1 zł i jeden los wygrywający 100 zł. Ciągniemy kolejno i bez zwrotu dwa losy. Niech X oznacza wygraną przypadającą na pierwszy los, Y zaś wygraną przypadającą na drugi los. Obliczyć E(X + Y ). Zad. 33 Krupier rzuca symetryczną monetą do chwili, gdy wypadnie orzeł. Gdy orzeł wypadnie w k-tym rzucie, krupier wypłaca 2k zł, ale gdy orzeł nie wypadnie po sześciu rzutach, gracz płaci S zł i gra się kończy. Ile powinna wynosić opłata S, aby gra była sprawiedliwa? Zad. 34 Dostawca zaopatruje co tydzień punkt sprzedaży w pewien artykuł. Za każdą sprzedaną sztukę dostawca ma 150 zł zysku, a za każdą nie sprzedaną traci 90 zł. Popyt jest zmienną losową X o następującym przykładzie x 0 1 2 3 4 5 6 1 2 4 9 10 8 2 P (X = x) 36 36 36 36 36 36 36 Ile sztuk powinien sprowadzić dostawca, aby jego przeciętny zysk był największy? Zad. 35 Niech l0 oznacza początkową liczebność jakieś generacji, lk zaś oznacza jej liczebność po upływie k lat, k = 1, 2, . . . , z + 1, gdzie z jest czasem życia generacji; oczywiście, lz+1 = 0. Załóżmy, że wielkość lk są znane. Obliczyć: a) prawdopodobieństwo zgonu losowo wybranej osoby w wieku x lat w ciągu roku i prawdopodobieństwo przeżycia w ciągu roku; b) prawdopodobieństwo zgonu w wieku x + k lat losowo wybranej osoby w wieku x lat; c) przeciętny czas życia losowo wybranej osoby; d) przeciętny czas życia losowo wybranej osoby, która ukończyła x lat. Zad. 36 Pewien człowiek będzie pobierał rentę dożywotnią w stałej wysokości r zł rocznie, od chwili gdy ukończy x lat, aż do chwili śmierci (renta będzie płacona z dołu, tzn. pierwsza renta będzie wypłacona, gdy ubezpieczony ukończy x + 1 lat, druga, gdy ukończy x + 2 lata itd.) Załóżmy, że znamy liczebność generacji lk w k-tym roku. Obliczyć: a) przeciętną liczbę wypłaconych rent i przeciętną wypłaconą kwotę do chwili jego śmierci; b) jaka musi być minimalna jednorazowa składka ubezpieczenia, jeśli roczna stopa procentowa lokat bankowych nie zmienia się i wynosi q · 100%, a odsetki są kapitalizowane rocznie. Zad. 37 W pewnej partii urządzeń jest 5% urządzeń, które nie działają. Pozostałe urządzenia są sprawne i czas działania każdego z nich jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ = 0.1. Niech T oznacza czas pracy losowo wybranego urządzenia z partii. a) Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej T i narysować jej wykres. Jakiego typu jest to zmienna losowa? b) Obliczyć ET. Zad. 38 Handlowiec kupuje jakiś podzielny towar po stałej cenie c zł za jednostkę i sprzedaje po stałej cenie s zł za jednostkę, gdzie s > c. Załóżmy, że popyt Y jest zmienną losową typu ciągłego z dystrybuantą F oraz gęstością f ciągłą i dodatnią na przedziale (0, ∞). Zysk handlowca jest różnicą między wpływem ze sprzedaży, a wydatkiem na zakup towaru (nie sprzedany towar traci na ważności i jest wyrzucany). Ile towaru powinien on zamówić, aby jego przeciętny zysk był największy? Zad. 39 Niech X będzie zmienną losową typu ciągłego oraz E|X| < ∞. Wykazać, że Z∞ Z0 EX = (1 − P (X ≤ t))dt − P (X ≤ t)dt. 0 −∞ Podać geometryczną interpretację tego wzoru. Zad. 40 Z partii towaru o wadliwości 5% pobrano losowo (ze zwrotem) próbkę 475 elementów. Użyć nierówności Czebyszewa1 do oszacowania prawdopodobieństwa, że wadliwość pobranej próbki jest zawarta w przedziale (1%, 9%). Zad. 41 Rzucono 1024 razy symetryczną monetą. Posłużyć się nierównością Czebyszewa1 do wyznaczenia przedziału, w którym z prawdopodobieństwem 0.99 znajdzie się liczba otrzymanych reszek. Zadania dodatkowe (nieobowiązkowe, ale polecane do samodzielnego rozwiązania) Zad. 42 Niech X oznacza wzrost losowo wybranej osoby z pewnej populacji (w centymetrach). Wykazać, że X jest zmienną losową, tzn. określić Ω i X(ω) dla każdego ω ∈ Ω. Zad. 43 Niech K oznacza kwotę, jaką ma na koncie w danym banku losowo wybray klient. Wykazać, że K jest zmienną losową. Zad. 44 Rozkład zmiennej losowej X jest dany w następującej tabeli: x −1 1 2 1 1 1 P (X = x) 16 4 2 3 3 16 Narysować wykres dystrybuanty zmiennej X. Obliczyć: a) P (X > 1); b) P (X ≤ 2); c) P (X 2 < 2); d) P (2X − 1 > 5); e) EX. Zad. 45 Zmienna losowa X ma następujący rozkład: x −2 −1 0 2 P (X = x) 18 a 12 b Wiemy, że EX = 1/8. Wyznaczyć stałe a i b; b) obliczyć V arX. Narysować wykres dystrybuanty zmiennej X. Zad. 46 Podać wzór na kwantyl2 rzędu p w rozkładzie o gęstości f (x) = e−|x| /2 (jest to tzw. rozkład Laplace’a). Zad. 47 (Rozkład zerojedynkowy). Doświadczenie może zakończyć się dwoma wynikami, które nazwiemy odpowiednio sukcesem i porażką, przy czym prawdopodobieństwo sukcesu równa się p, porażki zaś 1 − p (0 < p < 1). Niech X = 1, jeżeli uzyskano sukces oraz X = 0 dla porażki. Pokazać, że EX = p, V arX = p(1 − p). Zad. 48 Dana jest funkcja f (x) = √ c 1−x2 dla |x| < 1; 0 dla |x| ≥ 1; gdzie c jest nieznaną stałą. Wiemy, że funkcja f jest gęstością rozkładu prawdopodobieństwa jakieś zmiennej losowej X. a) Wyznaczyć wartość c, b) podać wzór na dystrybuantę zmienej X, c) obliczyć EX. Zad. 49 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na przedziale (0, 1). Niech F będzie dowolną ściśle rosnącą dystrybuantą. Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej Y określonej wzorem Y (ω) = F −1 (X(ω)) dla ω ∈ Ω, gdzie F −1 oznacza funkcję odwrotną do F. Zad. 50 W ekonometrii duże znaczenie ma funkcja produkcji typu Cobba-Douglasa postaci Y = β0 xβ1 1 · xβ2 2 . . . xβkk eW , gdzie Y jest wielkością produkcji x1 , . . . , xk oznaczają (nielosowe) nakłady czynników produkcji β0 , β1 , . . . , βk są nielosowymi parametrami, W zaś jest błędem losowym o rozkładzie N (0, σ). Wyznaczyć dystrybuantę i gęstość wielkości produkcji Y. Zad. 51 W urnie jest dziesięć kul czarnych i jedna biała. Losujemy jedną kulę i zwracamy ją do urny razem z dziewięcioma kulami o tym samym kolorze co wylosowana kula. Następnie z urny losujemy ponownie jedną kulę. Gdy obie wylosowane z urny kule będą białe, wygrywamy 10 zł, a gdy obie wylosowane będą różnych kolorów, wygrywamy 1 zł. W pozostałych przypadkach płacimy 2 zł. Sprawdzić, czy gra ta jest sprawiedliwa, tzn. czy wartość oczekiwana wygranej równa się zeru. Zad. 52 W urnie są trzy czarne kule i jedna biała. Losujemy kolejno i bez zwrotu kule, aż do momentu wyciągnięcia kuli białej. Niech X oznacza liczbę wyciągniętych kul. Obliczyć EX. Zad. 53 Rzucamy trzy razy symetryczną kostką do gry. Jeżeli wypadnie k razy parzysta liczba oczek, to wygrywamy 2k złotych, gdzie k = 0, 1, 2, 3. Ile powinna wynosić opłata za grę, aby gra była sprawiedliwa, tzn. wartość oczekiwana wygranej była równa zeru. Zad. 54 Są dwa typy rejestratorów. Pierwszy ignoruje sygnał, którego natężenie X jest zbyt małe (X < a) lub zbyt duże (X > b) dla ustalonych liczb 0 < a < b (np. oko ludzkie rejestruje fale elektrmagnetyczne tylko w zakresie od 7 · 10−7 m do 4 · 10−7 m). Drugi rejestrator, z powodu swej bezwładności, rejestruje sygnały o natężeniu mniejszym od a, jako brak sygału (zero) i natężeniu większym od b, jako sygnał maksymalny X = b (np. amperomierz). Załóżmy, że sygnał wejściowy jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na przedziale (0, 2b). Wyznaczyć dystrybuantę rejestrowanych sygnałów dla obu typów uządzeń. Zad. 55 Rzucono 360 razy symetryczną sześcienną kostką. Użyć nierówności Czebyszewa1 do wyznaczenia przedziału, w który z prawdopodobieństwem 0.9 wpadnie liczba uzyskanych szóstek. 1. Nierówność Czebyszewa: dla dowolnego > 0 i dowolnej zmiennej losowej X zachodzi P (|X| ≥ ) ≤ 1 EX 2 . 2 2. Kwantylem rzędu p (0 < p ≤ 1) zmiennej losowej X typu ciągłego o dystrybuancie F i gęstości f nazywamy każdą liczbę xp , spełniającą którykolwiek z następujących równoważnych warunków F (xp ) = p, P (X < xp ) = p, Zxp f (x)dx = p. −∞