Rachunek Prawdopodobieństwa, lista 4

Rachunek Prawdopodobieństwa, lista 4
Zad.35. Oblicz wartość oczekiwaną zmiennej losowej o zadanym rozkładzie:
a) P (X = 0) = 21 , P (X = 1) = 12 , b) P (X = −1) = P (X = 1) = 21 , c) P (X = −6) =
P (X = 1) = 21 , P (X = 6) = 61 .
1
,
3
Zad.36. Przypuśćmy, że masz do wyboru gry, opisane zmiennymi z poprzedniego zadania. To znaczy, że np. grając w grę b) za każdym razem albo wygrywasz 1 zł z prawdopodobieństwem 12 albo
przegrywasz jedną złotówkę z prawdopodobieństwem 12 .
Jakiej średniej wygranej po 100 takich grach możesz się spodziewać w grze opisanej przez a), jakiej
w b), a jakiej w c)?
Zad.37. a) Oblicz wartość oczekiwaną zmiennej o rozkładzie P (X = 0) = 1 − p, P (X = 1) = p.
b) Wiedząc, że wartość oczekiwana sumy zmiennych jest sumą wartości oczekiwanych, a zmienna Sn
jest sumą zmiennych X1 + X2 + ... + Xn z których każda ma takim samym rozkład, jak zmienna z
punktu a), oblicz wartość oczekiwaną Sn . ODP. np
Zad.38. Dla jakiej stałej a funkcja f (x) = 0 dla x ¬ 2 oraz f (x) =
rozkładu prawdopodobieństwa?
a
x2
dla x > 2 jest gęstością
Zad.39. Oblicz wartość średnią (czyli oczekiwaną) zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym z
parametrem λ czyli z gęstością f (x) = 0 dla x ¬ 0 oraz f (x) = λe−λx dla x > 0. ODP. λ1
Zad.40*. Wykaż, że zmienna X o rozkładzie geometrycznym z parametrem p (czyli numer próby
Bernoulliego, w której pojawi się pierwszy sukces) ma własność braku pamięci, tzn. dla wszystkich
n, k = 1, 2, 3, ... zachodzi równość
P (X ­ k + n | X ­ n) = P (X ­ k).
Uwaga: Symbol P (X ­ k + n | X ­ n) oznacza prawdopodobieństwo tego, że potrzeba będzie co
najmniej k + n prób pod warunkiem, że w potrzeba będzie co najmniej n prób. Warunek ten oznacza
oczywiście, że w początkowych n − 1 próbach nie było sukcesu.
Komentarz: Ta równość oznacza, że rozkład „zapomina”, jakie były wyniki poprzednich n − 1 prób,
zatem za każdym razem próby zaczynamy od nowa (bo są niezależne).
Zad.41*. Wykaż, że zmienna X o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ też ma własność braku
pamięci, tzn. dla wszystkich s, t > 0 zachodzi równość
P (X ­ t + s | X ­ t) = P (X ­ s).
Przypomnienie: X ma rozkład o gęstości podanej w zad. 39.
Komentarz: Tylko dwa rozkłady mają własność braku pamięci: geometryczny z zad. 40 i wykładniczy.
Zad.42. Oblicz wariancję zmiennej o rozkładzie: a) P (X = 0) = 21 , P (X = 1) = 12 , b) P (X = −1) = 12 ,
P (X = 1) = 21 , c) P (X = 0) = 1 − p, P (X = 1) = p.
Zad.43. Wiedząc, że wariancja sumy niezależnych zmiennych losowych jest sumą wariancji, a zmienna
Sn jest sumą niezależnych zmiennych X1 + X2 + ... + Xn z których każda ma takim samym rozkład,
jak zmienna z zadania 42 c), oblicz wariancję zmiennej Sn . ODP. np(1 − p).
Zad.44. Korzystając z tablic standardowego rozkładu normalnego N (0, 1), oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń:
a) P (X > 3), gdy X ∼ N (3, 22 ), b) P (X < 0), gdy X ∼ N (4, 22 ), c) P (−10 < X < 10), gdy
X ∼ N (0, 52 ), d) P (−5 < X < 7), gdy X ∼ N (1, 32 ).