LZM` 2016 Seria nr 2 Określmy funkcję następująco

Liga zadań maturalnych – LZM’ 2016
Seria nr 1
1. Rozwiąż równanie:
cosxsin5x +ctgxsin2x = 0
2. Udowodnij, że jeśli liczby rzeczywiste a, b, c, d spełniają
równości: ab = c + d, a + b = cd, to
(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)≥0
3.
Wyznacz wszystkie pary (x , y) dla których wielomian
P(t) = (t2 – 4) (t2 + yt +x) ma dokładnie 2 miejsca zerowe.
Zilustruj ten zbiór na płaszczyźnie.
4.
W romb wpisano okrąg.
Uzasadnij, że punkty styczności rombu z okręgiem są
wierzchołkami prostokąta.
Czy można stosunek pól rombu oraz prostokąta z
polecenia powyżej wyrazić jedynie jako funkcję kąta
ostrego tego rombu? Jeżeli tak – podaj wzór, jeśli nie –
podaj kontrprzykład.
Liga zadań maturalnych – LZM’ 2016
Seria nr 2
5. Określmy funkcję następująco:
Jeśli x∈<k;k+1), k - liczba całkowita, to f(x) = x - k2+1.
Wykaż, że funkcja f nie ma miejsc zerowych.
𝒙
6. Rozważmy funkcje f(x) = 1 - 𝟑 +
g(y) = 𝒚 +
𝒚𝟐
𝟐
+
𝒚𝟑
𝟒
𝒙𝟐
𝟗
𝒙𝟑
- 𝟐𝟕 + …
+…
Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie: f(x) = g(y)
7.
Doświadczenie losowe polega na tym, że losujemy
jednocześnie dwie liczby ze zbioru {1,2,3, …, n}, gdzie n≥2.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia:
A - suma wylosowanych liczb jest nie większa od n
Liga zadań maturalnych – LZM’ 2016
Seria nr 3
8. Uzasadnij, że dla dowolnych dodatnich
rzeczywistych a, b prawdziwa jest nierówność:
liczb
√𝑎2 + 20162 + √𝑎2 + 𝑏 2 + √𝑏 2 + 20162 ≥ √2 (a + b + 2016)
9. Okrąg o środku A i promieniu długości r jest styczny
zewnętrznie do okręgu o środku B i promieniu długości R
(R > r). Prosta k jest styczna jednocześnie do obu okręgów
i tworzy z prostą AB kąt ostry 𝜶. Wyznacz sin 𝜶 w zależności od
riR
10. Określ liczbę rozwiązań równania:
|
2𝑥
𝑥−2
|=
𝑘−2
2𝑘
w zależności od parametru k.