Zestaw 12

ARKUSZ 12 – POZIOM PODSTAWOWY
Zadania zamknięte
√
1. Ile jest równe pole kwadratu o boku 2 + 10?
√
A. 14
B. 104
C. 4 10 + 8
√
D. 14 + 4 10
2. Samochód jadący ze średnią prędkością 80 km
przebył trasę o długości 200 km. Gdyby jego
h
średnia prędkość była mniejsza o 20
A. 30 minut
km
,
h
to czas jazdy wydłużyłby się o:
B. 50 minut
C. 45 minut
D. 20 minut
3. Ile liczb całkowitych należy jednocześnie do przedziału (−3; 4 oraz do przedziału −6; 7)?
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
12 ·2−3
4. Liczba 4 √
jest równa:
2 2
19,5
B. 215
A. 2
C. 214
D. 221,5
5. Wielomian W (x) = 8x3 − x6 można zapisać w postaci:
3
A. (2x − x2 )
C. 2x − x2 (4x2 + 2x3 + x4 )
B. 2x − x2 (4x2 − 2x3 + x4 )
D. 2x − x2 (4x + 2x3 + x2 )
2
6. Iloczyn wielomianów W (x) = (3x5 − 4) oraz V (x) = 12x − 7x3 jest wielomianem stopnia:
A. jedenastego
B. trzynastego
C. siódmego
D. dziesiątego
7. Rozwiązaniem równania x3 = −8 jest liczba:
√
√
3
A. 2
B. −2
C. −2
D. −2
8. Które z podanych równań ma dokładnie taki sam zbiór rozwiązań co równanie
(x − 2) (2x + 1) = 0?
x−2 = 0
A. x − 34 = 54
B. x − 54 = 34
C. (2x+1)(x−2)
=0
D. 2x+1
3x−6
9. Który z podanych układów równań ma nieskończenie wiele rozwiązań?
5x − 9y = 3
5x − 9y = 3
A.
C.
9x − 5y = 3
−10x + 18y = 9
5x − 9y = 3
5x − 9y = 3
B.
D.
5x + 5y = 3
35x − 63y = 21
10. Która z podanych prostych jest osią symetrii wykresu funkcji y = −3x2 + 2x − 1?
A. x = 13
B. x = − 13
C. x = 23
Uwaga! Zadania 11–13 dotyczą funkcji
⎧
⎪
⎨ 2x + 7 dla −6 < x ≤ −2
f (x) = x2 − 1 dla −2 < x ≤ 3
⎪
⎩
8
dla 3 < x ≤ 5
11. Ile miejsc zerowych ma funkcja f ?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
D. x = −1
12. Zbiorem wartości funkcji f jest przedział:
A. (−6; 5
C. −5; 8
B. (−5; 8
D. (5; 8)
13. Wykres funkcji f przecina oś y w punkcie:
A. (0, 7)
B. (0, 8)
D. (0, −1)
C. (0, 1)
14. Kąt α zaznaczony na rysunku obok ma miarę:
A. ok. 34◦
B. ok. 48◦
C. ok. 56◦
D. 30◦
4 dla pewnego kąta ostrego α. Wtedy (sin α + cos α)2 jest
15. Wiadomo, że sin α · cos α = 17
równe:
A. 1
√
B. 5 1717
D. 25
17
C. 1,47
16. Liczby cos 30◦, tg 30◦, x tworzą ciąg geometryczny dla liczby x równej:
A. sin 30◦
√
√
B. 2 9 3
C. 63
D. 23
17. Dany jest ciąg an = n2 − 7n − 30. Ile ujemnych wyrazów ma ten ciąg?
A. 14
B. 12
C. 10
D. 9
18. Suma wszystkich liczb trzycyfrowych podzielnych przez 25 wynosi:
A. 19 350
B. 38 700
C. 17 550
D. 22 350
19. Jaką miarę ma kąt wklęsły AOC?
A. 140◦
B. 220◦
C. 280◦
D. 290◦
20. Pole rombu o kącie ostrym 45◦ jest równe 1. Jaką długość ma bok tego rombu?
√
√
√
4
3
A. 2
B. 1
C. 2
D. 2
21. Punkty K = (−12, 7) i M = (16, −9) są końcami przekątnej pewnego kwadratu KLMN. Środek okręgu opisanego na tym kwadracie ma współrzędne:
A. (4, −2)
B. (2, −1)
C. (14, 8)
D. (28, 16)
22. Który z podanych punktów leży na prostej przechodzącej przez punkty (1, −1) oraz
(0, −3)?
A. (10, 18)
B. (2, 5)
C. (−9, −19)
D. (101, 199)
23. W pewnym zakładzie produkcyjnym konfitura wiśniowa jest pakowana
do słoików takich jak na rysunku. Konfitura wypełnia całkowicie tę część
słoika, która ma w kształt graniastosłupa prawidłowego czworokątnego.
Krawędź boczna (wewnętrzna) tego graniastosłupa jest dwa razy dłuższa
od krawędzi podstawy. Jaką długość ma krawędź podstawy, jeżeli wiadomo, że do każdego słoika wlewa się ok. 1,6 litra konfitur?
A. ok. 6 cm
B. ok. 9 cm
C. ok. 24 cm
D. ok. 12 cm
24. Jaka jest wysokość stożka, którego powierzchnią boczną po rozcięciu
jest wycinek koła przedstawiony na rysunku?
√
√
√
√
A. 9 4 7
B. 9 2 7
C. 9 8 7
D. 9 7
25. Ze zbiorów {−6, −2, 0, 6} i {−5, −4, 5} losujemy po jednej liczbie. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że iloczyn wylosowanych liczb jest liczbą ujemną?
A. 12
B. 23
C. 13
D. 14
Zadania otwarte
26. (2 pkt) Rozwiąż nierówność: x2 − 2x ≥ 3.
27. (2 pkt) Uzasadnij, że jeżeli liczby ax , ay , az tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny, to liczba y jest średnią arytmetyczną liczb x oraz z.
28. (2 pkt) Funkcja f (x) jest malejącą funkcją liniową. Największą wartością przyjmowaną
przez tę funkcję w przedziale −3; 4 jest liczba 10, a najmniejszą liczba −4. Znajdź wzór
funkcji f .
29. (2 pkt) W czworokącie ABCD dwusieczne dwóch kolejnych kątów wewnętrznych o wierzchołkach A oraz B przecinają się w punkcie K. Przez punkt K poprowadzono odcinek
równoległy do boku AB i przecinający boki AD i BC odpowiednio w punktach L i M. Uzasadnij, że |AL| + |BM| = |LM|.
30. (2 pkt) Przekątna pewnego prostokąta tworzy z jednym z boków kąt 30◦ i jest o 3 cm
dłuższa od krótszego boku. Oblicz pole tego prostokąta.
31. (2 pkt) W pewnej klasie o profilu sportowym jest 24 uczniów. Pięć osób z tej klasy trenuje
koszykówkę, osiem osób – siatkówkę, a trzy osoby trenują obie te dyscypliny. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana osoba z tej klasy nie trenuje ani koszykówki, ani
siatkówki?
32. (4 pkt) Punkty A = (−1, −2) oraz B = (3, 5) są kolejnymi wierzchołkami rombu ABCD. Jedna
z przekątnych tego rombu zawiera się w prostej 3x + 2y − 19 = 0.
a) Znajdź równanie prostej, w której jest zawarta druga przekątna tego rombu.
b) Oblicz pole tego rombu.
33. (4 pkt) Podstawą pewnego ostrosłupa jest kwadrat o boku 4. Jedna z krawędzi bocznych
tego ostrosłupa jest prostopadła do podstawy, a jego objętość wynosi 32. Oblicz długość najdłuższej krawędzi bocznej oraz znajdź miarę kąta nachylenia tej krawędzi do płaszczyzny
podstawy. Miarę kąta podaj z dokładnością do jednego stopnia.
34. (5 pkt) Andrzej i Aneta wybrali się na przejażdżkę rowerową. Po powrocie do domu odczytali na swoich licznikach, że przebyli dystans 26,91 km oraz że koło rowerowe Andrzeja
wykonało o 1500 obrotów mniej niż koło rowerowe Anety. Jaką średnicę ma koło rowerowe
Andrzeja, jeżeli wiadomo, że obwód jego koła jest o 27 cm większy od obwodu koła Anety?
Wynik zaokrąglij do części dziesiętnych centymetra.