Topologia

Nazwa przedmiotu:
Topologia
Topology
Kierunek:
Matematyka
Rodzaj przedmiotu:
Poziom kwalifikacji:
Semestr:
obowiązkowy dla wszystkich
specjalności
I stopnia
IV
Rodzaj zajęć:
Liczba godzin/tydzień:
Liczba punktów:
wykład, ćwiczenia
2W, 2C
4 ECTS
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
I. KARTA PRZEDMIOTU
CEL PRZEDMIOTU
C1. Zapoznanie studentów z przestrzeniami metrycznymi.
C2. Zapoznanie studentów z podstawowymi pojęciami metrycznymi, np. zupełność.
C3. Zapoznanie studentów z przestrzeniami topologicznymi.
C4. Zapoznanie studentów z podstawowymi pojęciami topologicznymi, np. ciągłość
odwzorowania oraz zwartość i spójność przestrzeni topologicznej.
WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI
1. Wiedza z zakresu zbieżności ciągów.
2. Wiedza z zakresu ciągłości funkcji.
3. Wiedza z zakresu podstaw teorii mnogości.
EFEKTY KSZTAŁCENIA
EK 1 – student definiuje przestrzenie metryczne, zbieżność ciągów i ciągłość funkcji w
przestrzeniach metrycznych
EK 2 – student definiuje przestrzeń topologiczną, przestrzeń spójną , przestrzeń zwartą oraz
wymienia ich podstawowe własności
EK 3 – student potrafi sprawdzić czy dane odwzorowanie jest metryką, narysować kulę w danej
metryce, obliczyć domknięcie, wnętrze i brzeg zbioru
EK 4 – student potrafi sprawdzić ciągłość funkcji na przestrzeni metrycznej, spójność i zwartość
wybranych przestrzeni metrycznych
TREŚCI PROGRAMOWE
Forma zajęć – WYKŁADY
Liczba
godzin
W 1 – Przestrzenie metryczne. Przykłady metryk.
2
W 2 – Kula otwarta. Zbiory otwarte. Średnica zbioru. Przestrzenie ograniczone.
2
W 3 – Ciągi zbieżne w przestrzeniach metrycznych. Równoważność metryk.
2
W 4 – Domknięcie zbioru. Zbiory domknięte. Własności domknięcia. Brzeg i wnętrze
zbioru. Zbiory gęste, brzegowe i nigdziegęste.
2
W 5 – Funkcje ciągłe na przestrzeniach metrycznych.
2
W 6 – Przestrzenie metryczne zupełne. Przykłady.
2
W 7 – Twierdzenie Cantora o ciągu zstępującym. Twierdzenie Baire’a.
2
W 8 – Przestrzenie metryczne zwarte. Twierdzenie Weierstrassa. Twierdzenie o
homeomorfizmie.
2
W 9 – Przestrzenie metryczne spójne i łukowo spójne.
2
W 10 – Przestrzenie topologiczne. Przykłady. Baza i podbaza.
2
W 11 – Aksjomaty oddzielania.
2
W 12 – Odwzorowania ciągłe na przestrzeniach topologicznych. Homeomorfizmy.
2
W 13 – Podprzestrzenie. Topologia indukowana. Przykłady.
2
W 14 – Przestrzenie topologiczne zwarte.
2
W 15 – Przestrzenie topologiczne spójne.
2
Forma zajęć – ĆWICZENIA
Liczba
godzin
C 1, C 2–sprawdzanie, czy dane odwzorowanie jest metryką.
4
C 3 – ilustracja graficzna kul w wybranych metrykach.
2
C 4 – obliczanie średnic zbiorów.
2
C 5 – badanie zbieżności ciągów w wybranych przestrzeniach.
2
C 6 – dowodzenie warunków równoważnych związanych z domknięciem, wnętrzem i
brzegiem zbioru.
2
C 7 – kolokwium
2
C 8 – badanie ciągłości funkcji na przestrzeniach metrycznych.
2
C 9 – sprawdzanie zupełności wybranych przestrzeni metrycznych.
2
C 10 – sprawdzanie zwartości wybranych przestrzeni metrycznych.
2
C 11 – sprawdzanie spójności wybranych przestrzeni metrycznych.
2
C 12 – przykłady przestrzeni spójnych nie będących łukowo spójnymi.
2
C 13 – sprawdzanie, czy dana rodzina podzbiorów ustalonego zbioru jest topologią.
2
C 14 – równoważne definicje przestrzeni topologicznych.
2
C 15 - kolokwium
2
NARZĘDZIA DYDAKTYCZNE
1. – wykład
2. – ćwiczenia tablicowe
3. – podanie listy zadań w Internecie
SPOSOBY OCENY (F – FORMUJĄCA, P – PODSUMOWUJĄCA)
F1. – ocena samodzielnego przygotowania do ćwiczeń
F2. – ocena aktywności podczas zajęć
F3. – ocena za prace domowe
P1. – ocena umiejętności rozwiązywania zadań z tematyki przedstawionej na wykładzie – zaliczenie
ćwiczeń na ocenę poprzez uzyskanie ponad 50% punktów z dwóch kolokwiów
OBCIĄŻENIE PRACĄ STUDENTA
Forma aktywności
Średnia liczba godzin na
zrealizowanie aktywności
Godziny kontaktowe z prowadzącym
30W 30C → 60 h
Zapoznanie się ze wskazaną literaturą
10 h
Konsultacje z prowadzącym
5h
Przygotowanie do ćwiczeń
10 h
Przygotowanie do kolokwiów
15 h
Suma
100 h
SUMARYCZNA LICZBA PUNKTÓW ECTS
4 ECTS
DLA PRZEDMIOTU
Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje na zajęciach
wymagających bezpośredniego udziału prowadzącego
2,6 ECTS
Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje w ramach zajęć o
charakterze praktycznym
2,4 ECTS
LITERATURA PODSTAWOWA I UZUPEŁNIAJĄCA
R. Engelking, Zarys topologii ogólnej. PWN, 1968
K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii. PWN, Warszawa 1977
W. Rzymowski, Przestrzenie metryczne w analizie. Wyd. UMCS, Lublin 2000
PROWADZĄCY PRZEDMIOT ( IMIĘ, NAZWISKO, ADRES E-MAIL)
1. dr Grzegorz Biernat [email protected]
MATRYCA REALIZACJI I WERYFIKACJI EFEKTÓW KSZTAŁCENIA
Efekt
kształcenia
Odniesienie
danego efektu do
efektów
zdefiniowanych
dla kierunku
Matematyka
Cele
przedmiotu
Treści
programowe
Narzędzia
dydaktyczne
Sposób
oceny
EK1
K_W02
K_W04
K_W07
K_W05
K_U01
K_U09
K_U10
EK2
K_W02
K_W04
K_W07
K_W05
K_U01
K_U10
EK3
K_U01
K_U23
K_U24
EK4
K_U01
K_U23
K_U24
C1
C2
W1-W5
C1- C5
W6 - W15
C9 – C14
C2
W1-W5
C1- C5
C3, C4
W6 - W15
C9 – C14
1, 2
1, 2, 3
1, 2, 3
1, 2, 3
F1
F2
F3
P1
F1
F2
F3
P1
F1
F2
F3
P1
F1
F2
P1
II. FORMY OCENY - SZCZEGÓŁY
Na ocenę 2
EK1
Student nie
spełnia
wymagań na
ocenę
dostateczną
Na ocenę 3
Student definiuje
przestrzenie
metryczne,
zbieżność ciągów i
ciągłość funkcji w
przestrzeniach
metrycznych
Na ocenę 4
Na ocenę 5
Student definiuje
przestrzenie metryczne,
zbieżność ciągów i
ciągłość funkcji w
przestrzeniach
metrycznych, wymienia
podstawowe ich
własności
Student definiuje
przestrzenie metryczne,
zbieżność ciągów i
ciągłość funkcji w
przestrzeniach
metrycznych, wymienia
własności i przeprowadza
ich dowody
EK2
Student nie
spełnia
wymagań na
ocenę
dostateczną
student definiuje
przestrzeń
topologiczną,
przestrzeń spójną ,
przestrzeń zwartą
oraz wymienia ich
podstawowe
własności
student definiuje
przestrzeń
topologiczną, przestrzeń
spójną , przestrzeń
zwartą oraz wymienia
ich własności
student definiuje
przestrzeń topologiczną,
przestrzeń spójną ,
przestrzeń zwartą oraz
wymienia i dowodzi ich
własności
EK3
Student nie
spełnia
wymagań na
ocenę
dostateczną
student potrafi
sprawdzić czy dane
odwzorowanie jest
metryką, narysować
kulę w danej
metryce, obliczyć
domknięcie, wnętrze
i brzeg zbioru
student potrafi
sprawdzić czy dane
odwzorowanie jest
metryką, narysować
kulę w danej metryce,
obliczyć domknięcie,
wnętrze i brzeg zbioru
oraz podaje warunki
równoważności
związane z
domknięciem,
wnętrzem i brzegiem
zbioru
student potrafi sprawdzić
czy dane odwzorowanie
jest metryką, narysować
kulę w danej metryce,
obliczyć domknięcie,
wnętrze i brzeg zbioru
oraz podaje i
przeprowadza dowody
warunków
równoważności
związanych z
domknięciem, wnętrzem i
brzegiem zbioru
EK4
Student nie
spełnia
wymagań na
ocenę
dostateczną
student potrafi
sprawdzić ciągłość
funkcji na przestrzeni
metrycznej, spójność
i zwartość
wybranych
przestrzeni
metrycznych
student potrafi
sprawdzić ciągłość
funkcji na przestrzeni
metrycznej, spójność,
zwartość i zupełność
wybranych przestrzeni
metrycznych
student potrafi sprawdzić
ciągłość funkcji na
przestrzeni metrycznej,
spójność, zwartość i
zupełność wybranych
przestrzeni metrycznych,
wymienia i dowodzi ich
własności
Dopuszcza się wystawienie oceny połówkowej o ile student spełniający wszystkie efekty kształcenia
wymagane do oceny pełnej spełnia niektóre efekty kształcenia odpowiadające ocenie wyższej.
III. INNE PRZYDATNE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE
1. Wszelkie informacje dla studentów na temat planu zajęć dostępne są na stronie internetowej:
www.wimii.pcz.pl
2. Informacja na temat konsultacji przekazywana jest studentom podczas pierwszych zajęć z danego
przedmiotu oraz umieszczona jest na stronie internetowej Instytutu Matematyki:
www.im.pcz.pl