Zadania_z_terii_licb

Podzielność liczb.
Zad 1.1 Ile jest liczb naturalnych z przedziału <500 , 1000> takich, że
a) 8 n
b) 3 n c) 7 n i 4 n
Zad 1.2 Pokazać, że dla każdej liczby naturalnej
a) 3 n 3  n b) 7 n 7  n c) Czy zawsze 6 n 6  n
Zad 1.3 Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n
10 38 n6  1
7 2 4 n 2  38 n1
9 4 2 n  30n  1
4 5 4 n 1  3
a)
b)
c)
d)
3
2
Zad 1.4 Wyznaczyć liczby naturalne n takie, że liczba n  5n  7 n  2 jest podzielna
przez
a) n+3 b) n 2  n  1
Zad 1.5 Pokazać , że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 15 daje resztę
10 a przy dzieleniu przez 12 daje resztę 3
Zad 1.6 Liczba naturalna jest taką liczbą , że przy dzieleniu przez 55 daje resztę 32 a przy
dzieleniu przez 54 daje resztę również 32. Jaką resztę otrzymamy przy dzieleniu tej
liczby przez 22?.
Liczby pierwsze.
Zad 2.1 Aby przy pomocy sita Eratostenesa
otrzymać liczby pierwsze ≤ n trzeba
„odsiewać” wielokrotności licz pierwszych 2,3,5,7…… Na jakiej liczbie pierwszej można
zaprzestać, gdy n=1000 a na jakiej gdy n = 625.
Zad 2.1 Wyznaczyć liczby pierwsze będące sumą liczb pierwszych i jednocześnie różnicą
liczb pierwszych.
Zad 2.2 Wyznacz wszystkie trójki liczb pierwszych których iloczyn jest siedmiokrotnie
większy od ich sumy.
Zad 2.3 Wyznacz wszystkie trójki liczb pierwszych których iloczyn jest trzykrotnie większy
od ich sumy.
Zad 2.4 W liczbach pierwszych rozwiąż równanie
a) pq  35  q 2 b) p 2  435  pq c) p 2  3q 2  1
n (n 1)!1  n jest licz ą pierwsz ą .
Zad 2.6 Pokazać, że dla dowolnej liczby naturalnej n istnieje przedział długości n nie
zawierający liczby pierwszej / składający się z liczb złożonych /.
Zad 2.5 Dla liczby naturalnej n > 1 pokazać, że
NWD, Równania diofantyczne liniowe.
Zad 3.1 Wyznacz a) NWD(4403,2125) b) NWD(423,123) c) NWD( 1085,87)
Zad 3.2 Znajdź liczby całkowite x,y takie, że
a) 930x+435y=NWD(930,435) b) 903x+231y=NWD(903,231)
c) 35525x+561y=NWD(35525,561)
Zad 3.3 Znajdź liczby całkowite x,y,z takie, że
a) 1245x+75y+471z=NWD(1245,75,471) b) 34x+2y+33z=NWD(34,2,33)
Zad 3.4 W liczbach całkowitych rozwiązać równanie
a) 8x+25y = 4 b) 34x+14y=9 c) 55x+111y=45 d) 24x+34y+6z= 8
Zad 3.5 Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n ułamki są nieskracalne.
a)
5n  2
n3
9n  14
b)
c)
7n  3
4n  11
4n  5
Zad 3.6 Udowodnij, że jeżeli ad-bc=1 to ułamek a  b jest nieskracalny.
cd
Zad 3.7 Rozwiązując test złożony 50 pytań uczennica otrzymała 78 punktów. Za każdą
dobrą odpowiedz otrzymała 10 punktów, za każdą złą minus 8, za pytanie pozostawione
bez odpowiedzi 0 punktów. Znajdź wszystkie możliwe rozwiązania.
Reszty z dzielenia kongruencje liniowe, Tw. Eulera , Fermata ,
kongruencje dowolnego stopnia, cechy podzielności.
Zad 4.1 Znajdź resztę z dzielenia
a) 14 352 przez 18 b) 3124552 przez 25 c) 13342  45 12 523  2219 przez 11
b) (131082  28 257 )15 ( odp. 6)
Zad 4.2 Udowodnij, że a) 7 3273  4 273
b) 13 3105  4105 c) 7 2222 5555  5555 2222
d) 11  31  61 2015  1
Zad 4.3 Wykorzystując cechy podstawowe cechy podzielności przez liczby znaleźć cyfry a
i b takie, że a) liczba 345a56372b była podzielna przez 36 b) liczba 27a62935b
podzielna przez 90.
Zad 4.4 Rozwiązać kongruencje liniowe
a) 15 x  5(mod 11) b) 4 x  3(mod 14) c) 21x  9(mod 12)
Zad 4.5 Rozwiązać układy kongruencji
a) x  5(mod 4) x  1(mod 7) x  2(mod 9)
b) 3x  2(mod 4) 9 x  6(mod 12)
Zad 4.6 Rozwiązać kongruencje
a) 563x 87  547 x 2  15  0(mod 11)
b)
28x 236  14 x 21  34 x13  5  0(mod 15)
c)
x 7  x  1  0(mod 99)
d) x10000  0(mod 11)
e) x10002  0(mod 11)
Zad 4.7 Znaleźć dwie (trzy, cztery,..) kolejne liczby naturalne podzielne przez sześciany
liczb naturalnych większych od jedności.
Zad 4.8 Wyznaczyć dwie ostatnie cyfry liczby 38(199991  51149 ) .
Zad 4.9 Wykazać, że następujące równania nie mają rozwiązań w liczbach całkowitych.
a) 7 x 2  15 y 2  9
c) x 2  y 2  51003
b) 491589 x  91936 y  455
d) x 2  y 2  (2 z  1) 2  4n 2
Zad 4.10 Oblicz
a)  (4725) b)  (20)
Zad 4.11
Rozwiąż równanie  (3 x 5 y13)  36000,  (7 x )  294  (5 x )  500
 (3x 7 y )  756
17  15 921
,
,
, 3 , 7 ,5  3
6 7 643
Zad 4.13 Znajdź wartości ułamków łańcuchowych
Zad 4.12 Wyznacz ułamki łańcuchowe liczb
4;3,2,5, 2;2,3,2,  3;3,3, 1;1 ,
4;1,3,1, 5;1,1,1,1,3
Zad 4.14 Wyznaczyć wszystkie rozwiązania równania w liczbach całkowitych
a) x 2  7 y 2  1
b) x 2  11y 2  1 c) x 2  12 y 2  1
Zad 4.15 Udowodnij, że równania mają nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach
całkowitych
a) x 2  7 y 2  14 b) x 2  8 y 2  8
Zad 4.16 Liczba 1729 jest złożona ale pokazać, że
a17291  1(mod 1729) dla a  Z i NWD(a,1729)  1
Obowiązują również dowody podstawowych twierdzeń związanych z tym
przedmiotem.
Np. podstawowego twierdzenia z algebry.