Układy równan nad zbiorami liczb naturalnych

Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
Artur Jeż
14 września 2010
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
1 / 17
Równania nad zbiorami liczb naturalnych
ϕj (X1 , . . . , Xn ) = ψj (X1 , . . . , Xn )
j = 1, . . . , m
Xi ⊆ N
operacje: ∪, ∩, +
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
2 / 17
Równania nad zbiorami liczb naturalnych
ϕj (X1 , . . . , Xn ) = ψj (X1 , . . . , Xn )
j = 1, . . . , m
Xi ⊆ N
operacje: ∪, ∩, +
X + Y = {x + y | x ∈ X , y ∈ Y }
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
2 / 17
Równania nad zbiorami liczb naturalnych
ϕj (X1 , . . . , Xn ) = ψj (X1 , . . . , Xn )
j = 1, . . . , m
Xi ⊆ N
operacje: ∪, ∩, +
X + Y = {x + y | x ∈ X , y ∈ Y }
Przyklad
X = {0} ∪ (X + {2})
Artur Jeż
X = zbiór liczb parzystych
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
2 / 17
Równania nad zbiorami liczb naturalnych
ϕj (X1 , . . . , Xn ) = ψj (X1 , . . . , Xn )
j = 1, . . . , m
Xi ⊆ N
operacje: ∪, ∩, +
X + Y = {x + y | x ∈ X , y ∈ Y }
Przyklad
X = {0} ∪ (X + {2})
X = zbiór liczb parzystych
X + {1} = (X + X ) ∪ {2}
{1, 2, 3, . . .}
Artur Jeż
wiele rozwiazań,
w tym {1} oraz
,
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
2 / 17
Równania nad zbiorami liczb naturalnych
ϕj (X1 , . . . , Xn ) = ψj (X1 , . . . , Xn )
j = 1, . . . , m
Xi ⊆ N
operacje: ∪, ∩, +
X + Y = {x + y | x ∈ X , y ∈ Y }
Przyklad
X = {0} ∪ (X + {2})
X = zbiór liczb parzystych
X + {1} = (X + X ) ∪ {2}
{1, 2, 3, . . .}
wiele rozwiazań,
w tym {1} oraz
,
Charakteryzacja rozwiazań.
,
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
2 / 17
Jezyki
formalne
,
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
3 / 17
Jezyki
formalne
,
Jezyk:
czysto syntaktycznie
,
Bez wnikania w znaczenie
Jak zdefiniowany
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
3 / 17
Jezyki
formalne
,
Jezyk:
czysto syntaktycznie
,
Bez wnikania w znaczenie
Jak zdefiniowany
Definicja
alfabet Σ: skończony zbiór liter
slowo: ciag
, (skończony) liter
jezyk:
zbiór skończonych slów (podzbiory Σ∗ )
,
formalnie zdefiniowany
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
3 / 17
Jezyki
formalne
,
Jezyk:
czysto syntaktycznie
,
Bez wnikania w znaczenie
Jak zdefiniowany
Definicja
alfabet Σ: skończony zbiór liter
slowo: ciag
, (skończony) liter
jezyk:
zbiór skończonych slów (podzbiory Σ∗ )
,
formalnie zdefiniowany
Modele
maszyna
gramatyka
...
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
3 / 17
Uklady równań jezyków
formalnych
,


 ϕ1 (X1 , . . . , Xn ) = ψ1 (X1 , . . . , Xn )
..
.


ϕm (X1 , . . . , Xn ) = ψm (X1 , . . . , Xn )
Xi : podzbiór Σ∗ .
ϕi : zmienne, stale, operacje na jezykach
,
L · L0 = {ww 0 | w ∈ L, w 0 ∈ L0 }
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
4 / 17
Uklady równań jezyków
formalnych
,


 ϕ1 (X1 , . . . , Xn ) = ψ1 (X1 , . . . , Xn )
..
.


ϕm (X1 , . . . , Xn ) = ψm (X1 , . . . , Xn )
Xi : podzbiór Σ∗ .
ϕi : zmienne, stale, operacje na jezykach
,
L · L0 = {ww 0 | w ∈ L, w 0 ∈ L0 }
prosty
latwo przyciać
, do potrzeb
unifikuje gramatyki i automaty
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
4 / 17
Trudność obliczeniowa
Ogólny przypadek
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
5 / 17
Trudność obliczeniowa
Ogólny przypadek
Twierdzenie (Okhotin)
L ⊆ Σ∗ jest jedynym (najmniejszym, najwiekszym)
rozwiazaniem
ukladu
,
,
równań w postaci uwiklanej, z operacjami {∪, ∩, ·}
wtedy i tylko wtedy
L jest rekurencyjny (rek. przeliczalny, ko-rek. przeliczalny)
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
5 / 17
Trudność obliczeniowa
Ogólny przypadek
Twierdzenie (Okhotin)
L ⊆ Σ∗ jest jedynym (najmniejszym, najwiekszym)
rozwiazaniem
ukladu
,
,
równań w postaci uwiklanej, z operacjami {∪, ∩, ·}
wtedy i tylko wtedy
L jest rekurencyjny (rek. przeliczalny, ko-rek. przeliczalny)
a, b ∈ Σ
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
5 / 17
Uklady równań w postaci nieuwiklanej: gramatyki


 X1 = ϕ1 (X1 , . . . , Xn )
..
.


Xn = ϕn (X1 , . . . , Xn )
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
6 / 17
Uklady równań w postaci nieuwiklanej: gramatyki


 X1 = ϕ1 (X1 , . . . , Xn )
..
.


Xn = ϕn (X1 , . . . , Xn )
Ginsburg i Rice (∪, ·): gramatyki bezkontekstowe
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
6 / 17
Uklady równań w postaci nieuwiklanej: gramatyki


 X1 = ϕ1 (X1 , . . . , Xn )
..
.


Xn = ϕn (X1 , . . . , Xn )
Ginsburg i Rice (∪, ·): gramatyki bezkontekstowe
wada gramatyk bezkontekstowych: nie sa, zamkniete
na przeciecie
,
,
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
6 / 17
Uklady równań w postaci nieuwiklanej: gramatyki


 X1 = ϕ1 (X1 , . . . , Xn )
..
.


Xn = ϕn (X1 , . . . , Xn )
Ginsburg i Rice (∪, ·): gramatyki bezkontekstowe
wada gramatyk bezkontekstowych: nie sa, zamkniete
na przeciecie
,
,
rozszerzone przez Okhotina (∩, ∪ i ·): gramatyki koniunkcyjne
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
6 / 17
Uklady równań w postaci nieuwiklanej: gramatyki


 X1 = ϕ1 (X1 , . . . , Xn )
..
.


Xn = ϕn (X1 , . . . , Xn )
Ginsburg i Rice (∪, ·): gramatyki bezkontekstowe
wada gramatyk bezkontekstowych: nie sa, zamkniete
na przeciecie
,
,
rozszerzone przez Okhotina (∩, ∪ i ·): gramatyki koniunkcyjne
rozwiazanie
(S1 , . . . , Sn ) jest najmniejsze: Si ⊆ Si0 ,
,
dla każdego rozwiazania
(S10 , . . . , Sn0 )
,
zawsze istnieje (tw. Tarskiego) bez
Artur Jeż
c
!
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
6 / 17
Uklady równań w postaci nieuwiklanej: gramatyki


 X1 = ϕ1 (X1 , . . . , Xn )
..
.


Xn = ϕn (X1 , . . . , Xn )
Ginsburg i Rice (∪, ·): gramatyki bezkontekstowe
wada gramatyk bezkontekstowych: nie sa, zamkniete
na przeciecie
,
,
rozszerzone przez Okhotina (∩, ∪ i ·): gramatyki koniunkcyjne
rozwiazanie
(S1 , . . . , Sn ) jest najmniejsze: Si ⊆ Si0 ,
,
dla każdego rozwiazania
(S10 , . . . , Sn0 )
,
zawsze istnieje (tw. Tarskiego) bez
c
!
rozwiazanie
najwieksze:
analogicznie
,
,
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
6 / 17
Jezyki
formalne i zbiory liczb naturalnych
,
prosty przypadek: Σ = {a}.
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
7 / 17
Jezyki
formalne i zbiory liczb naturalnych
,
prosty przypadek: Σ = {a}.
nieuwiklane {∪, ·}: tylko jezyki
regularne
,
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
7 / 17
Jezyki
formalne i zbiory liczb naturalnych
,
prosty przypadek: Σ = {a}.
nieuwiklane {∪, ·}: tylko jezyki
regularne
,
c
{·, }: przyklad jezyka
nieregularnego [Leiss 1994]
,
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
7 / 17
Jezyki
formalne i zbiory liczb naturalnych
,
prosty przypadek: Σ = {a}.
nieuwiklane {∪, ·}: tylko jezyki
regularne
,
c
{·, }: przyklad jezyka
nieregularnego [Leiss 1994]
,
nieuwiklane {∪, ∩, ·}: ?
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
7 / 17
Jezyki
formalne i zbiory liczb naturalnych
,
prosty przypadek: Σ = {a}.
nieuwiklane {∪, ·}: tylko jezyki
regularne
,
c
{·, }: przyklad jezyka
nieregularnego [Leiss 1994]
,
nieuwiklane {∪, ∩, ·}: ?
jedyna informacja: dlugość an ←→ liczba n
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
7 / 17
Jezyki
formalne i zbiory liczb naturalnych
,
prosty przypadek: N
nieuwiklane {∪, ·}: okresowe
{·, c }: nieokresowe [Leiss 1994]
nieuwiklane {∪, ∩, ·}: ?
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
7 / 17
Jezyki
formalne i zbiory liczb naturalnych
,
prosty przypadek: N
nieuwiklane {∪, ·}: okresowe
{·, c }: nieokresowe [Leiss 1994]
nieuwiklane {∪, ∩, ·}: ?
wyrażenia arytmetyczne (wyrażenie regularne)
obwody arytmetyczne
automaty
gramatyki
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
7 / 17
Jezyki
formalne i zbiory liczb naturalnych
,
prosty przypadek: N
nieuwiklane {∪, ·}: okresowe
{·, c }: nieokresowe [Leiss 1994]
nieuwiklane {∪, ∩, ·}: ?
wyrażenia arytmetyczne (wyrażenie regularne)
obwody arytmetyczne
automaty
gramatyki
uklady równań
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
7 / 17
Jezyki
formalne i zbiory liczb naturalnych
,
prosty przypadek: N
nieuwiklane {∪, ·}: okresowe
{·, c }: nieokresowe [Leiss 1994]
nieuwiklane {∪, ∩, ·}: ?
wyrażenia arytmetyczne (wyrażenie regularne)
obwody arytmetyczne
automaty
gramatyki
uklady równań
LX · LY =⇒ X + Y = {x + y | x ∈ X , y ∈ Y }
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
7 / 17
Zapis pozycyjny
Liczby w zapisie k-pozycyjnym: ciagi
, cyfr z Σk = {0, 1, . . . , k − 1}.
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
8 / 17
Zapis pozycyjny
Liczby w zapisie k-pozycyjnym: ciagi
, cyfr z Σk = {0, 1, . . . , k − 1}.
(a1 . . . a` )k : liczba zapisana jako a1 . . . a` w notacji k-pozycyjnej
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
8 / 17
Zapis pozycyjny
Liczby w zapisie k-pozycyjnym: ciagi
, cyfr z Σk = {0, 1, . . . , k − 1}.
(a1 . . . a` )k : liczba zapisana jako a1 . . . a` w notacji k-pozycyjnej
zbiór liczb ←→ jezyk
formalny nad Σk
,
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
8 / 17
Zapis pozycyjny
Liczby w zapisie k-pozycyjnym: ciagi
, cyfr z Σk = {0, 1, . . . , k − 1}.
(a1 . . . a` )k : liczba zapisana jako a1 . . . a` w notacji k-pozycyjnej
zbiór liczb ←→ jezyk
formalny nad Σk
,
Przyklad
X1 = (X2 +X2 ∩ X1 +X3 ) ∪ {1}
X2 = (X12 +X2 ∩ X1 +X1 ) ∪ {2}
X3 = (X12 +X12 ∩ X1 +X2 ) ∪ {3}
X12 = X3 +X3 ∩ X1 +X2
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
8 / 17
Zapis pozycyjny
Liczby w zapisie k-pozycyjnym: ciagi
, cyfr z Σk = {0, 1, . . . , k − 1}.
(a1 . . . a` )k : liczba zapisana jako a1 . . . a` w notacji k-pozycyjnej
zbiór liczb ←→ jezyk
formalny nad Σk
,
Przyklad
X1 = (X2 +X2 ∩ X1 +X3 ) ∪ {1}
X2 = (X12 +X2 ∩ X1 +X1 ) ∪ {2}
X3 = (X12 +X12 ∩ X1 +X2 ) ∪ {3}
((10∗ )4 , (20∗ )4 , (30∗ )4 , (120∗ )4 )
X12 = X3 +X3 ∩ X1 +X2
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
8 / 17
Zapis pozycyjny
Liczby w zapisie k-pozycyjnym: ciagi
, cyfr z Σk = {0, 1, . . . , k − 1}.
(a1 . . . a` )k : liczba zapisana jako a1 . . . a` w notacji k-pozycyjnej
zbiór liczb ←→ jezyk
formalny nad Σk
,
Przyklad
X1 = (X2 +X2 ∩ X1 +X3 ) ∪ {1}
X2 = (X12 +X2 ∩ X1 +X1 ) ∪ {2}
X3 = (X12 +X12 ∩ X1 +X2 ) ∪ {3}
((10∗ )4 , (20∗ )4 , (30∗ )4 , (120∗ )4 )
X12 = X3 +X3 ∩ X1 +X2
X2 + X2 = (20∗ )4 + (20∗ )4 =
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
8 / 17
Zapis pozycyjny
Liczby w zapisie k-pozycyjnym: ciagi
, cyfr z Σk = {0, 1, . . . , k − 1}.
(a1 . . . a` )k : liczba zapisana jako a1 . . . a` w notacji k-pozycyjnej
zbiór liczb ←→ jezyk
formalny nad Σk
,
Przyklad
X1 = (X2 +X2 ∩ X1 +X3 ) ∪ {1}
X2 = (X12 +X2 ∩ X1 +X1 ) ∪ {2}
X3 = (X12 +X12 ∩ X1 +X2 ) ∪ {3}
((10∗ )4 , (20∗ )4 , (30∗ )4 , (120∗ )4 )
X12 = X3 +X3 ∩ X1 +X2
X2 + X2 = (20∗ )4 + (20∗ )4 = (10+ )4 ∪
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
8 / 17
Zapis pozycyjny
Liczby w zapisie k-pozycyjnym: ciagi
, cyfr z Σk = {0, 1, . . . , k − 1}.
(a1 . . . a` )k : liczba zapisana jako a1 . . . a` w notacji k-pozycyjnej
zbiór liczb ←→ jezyk
formalny nad Σk
,
Przyklad
X1 = (X2 +X2 ∩ X1 +X3 ) ∪ {1}
X2 = (X12 +X2 ∩ X1 +X1 ) ∪ {2}
X3 = (X12 +X12 ∩ X1 +X2 ) ∪ {3}
((10∗ )4 , (20∗ )4 , (30∗ )4 , (120∗ )4 )
X12 = X3 +X3 ∩ X1 +X2
X2 + X2 = (20∗ )4 + (20∗ )4 = (10+ )4 ∪ (20∗ 20∗ )4
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
8 / 17
Zapis pozycyjny
Liczby w zapisie k-pozycyjnym: ciagi
, cyfr z Σk = {0, 1, . . . , k − 1}.
(a1 . . . a` )k : liczba zapisana jako a1 . . . a` w notacji k-pozycyjnej
zbiór liczb ←→ jezyk
formalny nad Σk
,
Przyklad
X1 = (X2 +X2 ∩ X1 +X3 ) ∪ {1}
X2 = (X12 +X2 ∩ X1 +X1 ) ∪ {2}
X3 = (X12 +X12 ∩ X1 +X2 ) ∪ {3}
((10∗ )4 , (20∗ )4 , (30∗ )4 , (120∗ )4 )
X12 = X3 +X3 ∩ X1 +X2
X2 + X2 = (20∗ )4 + (20∗ )4 = (10+ )4 ∪ (20∗ 20∗ )4
X1 + X3 = (10∗ )4 + (30∗ )4 =
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
8 / 17
Zapis pozycyjny
Liczby w zapisie k-pozycyjnym: ciagi
, cyfr z Σk = {0, 1, . . . , k − 1}.
(a1 . . . a` )k : liczba zapisana jako a1 . . . a` w notacji k-pozycyjnej
zbiór liczb ←→ jezyk
formalny nad Σk
,
Przyklad
X1 = (X2 +X2 ∩ X1 +X3 ) ∪ {1}
X2 = (X12 +X2 ∩ X1 +X1 ) ∪ {2}
X3 = (X12 +X12 ∩ X1 +X2 ) ∪ {3}
((10∗ )4 , (20∗ )4 , (30∗ )4 , (120∗ )4 )
X12 = X3 +X3 ∩ X1 +X2
X2 + X2 = (20∗ )4 + (20∗ )4 = (10+ )4 ∪ (20∗ 20∗ )4
X1 + X3 = (10∗ )4 + (30∗ )4 = (10+ )4 ∪
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
8 / 17
Zapis pozycyjny
Liczby w zapisie k-pozycyjnym: ciagi
, cyfr z Σk = {0, 1, . . . , k − 1}.
(a1 . . . a` )k : liczba zapisana jako a1 . . . a` w notacji k-pozycyjnej
zbiór liczb ←→ jezyk
formalny nad Σk
,
Przyklad
X1 = (X2 +X2 ∩ X1 +X3 ) ∪ {1}
X2 = (X12 +X2 ∩ X1 +X1 ) ∪ {2}
X3 = (X12 +X12 ∩ X1 +X2 ) ∪ {3}
((10∗ )4 , (20∗ )4 , (30∗ )4 , (120∗ )4 )
X12 = X3 +X3 ∩ X1 +X2
X2 + X2 = (20∗ )4 + (20∗ )4 = (10+ )4 ∪ (20∗ 20∗ )4
X1 + X3 = (10∗ )4 + (30∗ )4 = (10+ )4 ∪ (10∗ 30∗ )4 ∪ (30∗ 10∗ )4
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
8 / 17
Zapis pozycyjny
Liczby w zapisie k-pozycyjnym: ciagi
, cyfr z Σk = {0, 1, . . . , k − 1}.
(a1 . . . a` )k : liczba zapisana jako a1 . . . a` w notacji k-pozycyjnej
zbiór liczb ←→ jezyk
formalny nad Σk
,
Przyklad
X1 = (X2 +X2 ∩ X1 +X3 ) ∪ {1}
X2 = (X12 +X2 ∩ X1 +X1 ) ∪ {2}
X3 = (X12 +X12 ∩ X1 +X2 ) ∪ {3}
((10∗ )4 , (20∗ )4 , (30∗ )4 , (120∗ )4 )
X12 = X3 +X3 ∩ X1 +X2
X2 + X2 = (20∗ )4 + (20∗ )4 = (10+ )4 ∪ (20∗ 20∗ )4
X1 + X3 = (10∗ )4 + (30∗ )4 = (10+ )4 ∪ (10∗ 30∗ )4 ∪ (30∗ 10∗ )4
(X2 + X2 ) ∩ (X1 + X3 ) = (10+ )4
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
8 / 17
Uogólnienie przykladu
Odpowiedź na pytanie o okresowość rozwiazań.
,
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
9 / 17
Uogólnienie przykladu
Odpowiedź na pytanie o okresowość rozwiazań.
,
Rozszerzanie o wiodac
, a, cyfre,
Odpowiada automatowi skończonemu
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
9 / 17
Uogólnienie przykladu
Odpowiedź na pytanie o okresowość rozwiazań.
,
Rozszerzanie o wiodac
, a, cyfre,
Odpowiada automatowi skończonemu
Twierdzenie
Dla automatu skończonego M istnieje nieuwiklany system z {∪, ∩, +}
o najmniejszym rozwiazaniu
(L(M))k .
,
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
9 / 17
Uogólnienie przykladu
Odpowiedź na pytanie o okresowość rozwiazań.
,
Rozszerzanie o wiodac
, a, cyfre,
Odpowiada automatowi skończonemu
Twierdzenie
Dla automatu skończonego M istnieje nieuwiklany system z {∪, ∩, +}
o najmniejszym rozwiazaniu
(L(M))k .
,
Rozszerzenia w jedna, strone:
, kres możliwości
Rozszerzenia w obie strony? (niejasne jak).
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
9 / 17
Uogólnienie przykladu
Odpowiedź na pytanie o okresowość rozwiazań.
,
Rozszerzanie o wiodac
, a, cyfre,
Odpowiada automatowi skończonemu
Twierdzenie
Dla automatu skończonego M istnieje nieuwiklany system z {∪, ∩, +}
o najmniejszym rozwiazaniu
(L(M))k .
,
Rozszerzenia w jedna, strone:
, kres możliwości
Rozszerzenia w obie strony? (niejasne jak).
Zmieniamy reprezentacje,
Liczbe, (aub)k można zdefiniować przez (au)k oraz (ub)k
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
9 / 17
Automaty kratowe
Definicja (Culik, Gruska, Salomaa)
Automat kratowy to M = (Σ, Q, I , δ, F ):
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
10 / 17
Automaty kratowe
Definicja (Culik, Gruska, Salomaa)
Automat kratowy to M = (Σ, Q, I , δ, F ):
Σ: alfabet wejściowy;
Q: skończony zbiór stanów;
I : Σ → Q ustala stany poczatkowe;
,
δ : Q × Q → Q, funkcja przejścia
F ⊆ Q: stany akceptujace.
,
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
10 / 17
Automaty kratowe
Definicja (Culik, Gruska, Salomaa)
Automat kratowy to M = (Σ, Q, I , δ, F ):
Σ: alfabet wejściowy;
Q: skończony zbiór stanów;
I : Σ → Q ustala stany poczatkowe;
,
δ : Q × Q → Q, funkcja przejścia
F ⊆ Q: stany akceptujace.
,
Twierdzenie
Dla automatu kratowego M istnieje nieuwiklany system używajacy
operacji
,
{∪, ∩, +} z (L(M))k jako najmniejszym rozwiazaniem.
,
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
10 / 17
Zlożoność obliczeniowa
Problem przynależności
Dla nieuwiklanego ukladu równań i n zdecydować, czy n należy do
najmniejszego rozwiazania.
,
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
11 / 17
Zlożoność obliczeniowa
Problem przynależności
Dla nieuwiklanego ukladu równań i n zdecydować, czy n należy do
najmniejszego rozwiazania.
,
Twierdzenie (Huynh)
Uklady z ∪, +: NP-zupelny.
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
11 / 17
Zlożoność obliczeniowa
Problem przynależności
Dla nieuwiklanego ukladu równań i n zdecydować, czy n należy do
najmniejszego rozwiazania.
,
Twierdzenie (Huynh)
Twierdzenie (Nowe!)
Uklady z ∪, +: NP-zupelny.
Uklady z ∪, ∩, +: EXPTIME-zupelny.
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
11 / 17
Zlożoność obliczeniowa
Problem przynależności
Dla nieuwiklanego ukladu równań i n zdecydować, czy n należy do
najmniejszego rozwiazania.
,
Twierdzenie (Huynh)
Twierdzenie (Nowe!)
Uklady z ∪, +: NP-zupelny.
Uklady z ∪, ∩, +: EXPTIME-zupelny.
Idea dowodu
kodowanie obliczeń ATM o ograniczonej taśmie
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
11 / 17
Zlożoność obliczeniowa
Problem przynależności
Dla nieuwiklanego ukladu równań i n zdecydować, czy n należy do
najmniejszego rozwiazania.
,
Twierdzenie (Huynh)
Twierdzenie (Nowe!)
Uklady z ∪, +: NP-zupelny.
Uklady z ∪, ∩, +: EXPTIME-zupelny.
Idea dowodu
kodowanie obliczeń ATM o ograniczonej taśmie
konfiguracja −→ (a1 0 a2 0 . . . 0 a` q a`+1 0 . . . an 0)k
przejście: zmiana wartości liczbowej (+)
symulacja alternacji: ∪ oraz ∩
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
11 / 17
Równania w postaci uwiklanej


 ϕ1 (X1 , . . . , Xn ) = ψ1 (X1 , . . . , Xn )
..
.


ϕm (X1 , . . . , Xn ) = ψm (X1 , . . . , Xn )
Xi : podzbiór N.
ϕi : zmienne, stale, operacje na zbiorach.
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
12 / 17
Równania w postaci uwiklanej


 ϕ1 (X1 , . . . , Xn ) = ψ1 (X1 , . . . , Xn )
..
.


ϕm (X1 , . . . , Xn ) = ψm (X1 , . . . , Xn )
Xi : podzbiór Σ∗ .
ϕi : zmienne, stale, operacje na jezykach.
,
Twierdzenie (Okhotin)
L ⊆ Σ∗ jest jedynym (najmniejszym, najwiekszym)
rozwiazaniem
ukladu
,
,
równań w postaci uwiklanej, z operacjami {∪, ∩, ·}
wtedy i tylko wtedy
L jest rekurencyjny (rek. przeliczalny, ko-rek. przeliczalny)
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
12 / 17
Równania w postaci uwiklanej


 ϕ1 (X1 , . . . , Xn ) = ψ1 (X1 , . . . , Xn )
..
.


ϕm (X1 , . . . , Xn ) = ψm (X1 , . . . , Xn )
Xi : podzbiór N.
ϕi : zmienne, stale, operacje na zbiorach.
Twierdzenie (Nowe!)
S ⊆ N jest jedynym (najmniejszym, najwiekszym)
rozwiazaniem
ukladu
,
,
równań w postaci uwiklanej, z operacjami {∪, +} lub {∩, +}
wtedy i tylko wtedy
S jest rekurencyjny (rek. przeliczalny, ko-rek. przeliczalny)
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
12 / 17
Równania z jedna, zmienna,
Powrót do poczatku
,
Czy można wymusić okresowość rozwiazań?
,
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
13 / 17
Równania z jedna, zmienna,
Powrót do poczatku
,
Czy można wymusić okresowość rozwiazań?
,
Np. ilość zmiennych
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
13 / 17
Równania z jedna, zmienna,
Powrót do poczatku
,
Czy można wymusić okresowość rozwiazań?
,
Np. ilość zmiennych
Twierdzenie (Okhotin)
Istnieje nieuwiklany uklad równań z jedna, zmienna, i operacjami ∪, ∩, +
o nieokresowym rozwiazaniu.
,
Kodowanie pierwszego przykladu
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
13 / 17
Równania z jedna, zmienna,
Powrót do poczatku
,
Czy można wymusić okresowość rozwiazań?
,
Np. ilość zmiennych
Twierdzenie (Okhotin)
Istnieje nieuwiklany uklad równań z jedna, zmienna, i operacjami ∪, ∩, +
o nieokresowym rozwiazaniu.
,
Kodowanie pierwszego przykladu
Czy można to uogólnić?
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
13 / 17
Jedna zmienna
Uogólnienie: kodowanie dowolnego ukladu
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
14 / 17
Jedna zmienna
Uogólnienie: kodowanie dowolnego ukladu
Kodowanie zbioru: A −→ {kn + i | n ∈ A} .
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
14 / 17
Jedna zmienna
Uogólnienie: kodowanie dowolnego ukladu
Kodowanie zbioru: A −→ {kn + i | n ∈ A} .
Twierdzenie
Istnieje efektywne kodowanie dowolnego ukladu równań w postaci
nieuwiklanej w równaniu X = ϕ(X ).
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
14 / 17
Jedna zmienna
Uogólnienie: kodowanie dowolnego ukladu
Kodowanie zbioru: A −→ {kn + i | n ∈ A} .
Twierdzenie
Istnieje efektywne kodowanie dowolnego ukladu równań w postaci
nieuwiklanej w równaniu X = ϕ(X ).
S
Rozwiazania
nowego równania sa, postaci S = m
j=0 {kn + pj | n ∈ Sj },
,
gdzie (S1 , . . . , Sm ) sa, rozwiazaniami
oryginalnego równania.
,
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
14 / 17
Jedna zmienna
Uogólnienie: kodowanie dowolnego ukladu
Kodowanie zbioru: A −→ {kn + i | n ∈ A} .
Twierdzenie
Istnieje efektywne kodowanie dowolnego ukladu równań w postaci
nieuwiklanej w równaniu X = ϕ(X ).
S
Rozwiazania
nowego równania sa, postaci S = m
j=0 {kn + pj | n ∈ Sj },
,
gdzie (S1 , . . . , Sm ) sa, rozwiazaniami
oryginalnego równania.
,
Twierdzenie
Istnieje efektywne kodowanie dowolnego ukladu równań w równaniu
ψ(X ) = ϕ(X ).
Sm
Rozwiazania
nowego
równania
s
a
postaci
S
=
j=0 {kn + pj | n ∈ Sj } ∪C ,
,
,
gdzie (S1 , . . . , Sm ) sa, rozwiazaniami
oryginalnego równania.
,
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
14 / 17
Równania z +
Pytanie
Czy można użyć tylko jednej operacji?
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
15 / 17
Równania z +
Pytanie
Czy można użyć tylko jednej operacji?
Twierdzenie (Kunc)
Dla {a, b} ⊆ Σ istnieje skończona stala L, taka że równanie
X ·L=L·X
ma ko-rek. przeliczalne trudne najwieksze
rozwiazanie.
,
,
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
15 / 17
Równania z +
Pytanie
Czy można użyć tylko jednej operacji?
Twierdzenie (Kunc)
Dla {a, b} ⊆ Σ istnieje skończona stala L, taka że równanie
X ·L=L·X
ma ko-rek. przeliczalne trudne najwieksze
rozwiazanie.
,
,
Twierdzenie
System używajacy
∪, + można zakodować w systemie używajacym
+.
,
,
Trudne rozwiazania
,
Rek. przeliczalne-trudne, ko-rek. przeliczalne trudne rozwiazania.
,
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
15 / 17
Idea kodowania
wiele zmiennych
nowa zmienna koduje stara,
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
16 / 17
Idea kodowania
wiele zmiennych
nowa zmienna koduje stara,
weryfikowalne
ψ(X ) = ϕ(X ) ⇐⇒ X = σ(A)
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
16 / 17
Idea kodowania
wiele zmiennych
nowa zmienna koduje stara,
weryfikowalne
ψ(X ) = ϕ(X ) ⇐⇒ X = σ(A)
koduje +:
A + B = C ⇐⇒ ψ+ (σ(A), σ(B)) = ϕ+ (σ(C ))
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
16 / 17
Idea kodowania
wiele zmiennych
nowa zmienna koduje stara,
weryfikowalne
ψ(X ) = ϕ(X ) ⇐⇒ X = σ(A)
koduje +:
A + B = C ⇐⇒ ψ+ (σ(A), σ(B)) = ϕ+ (σ(C ))
koduje ∪:
A ∪ B = C ⇐⇒ ψ∪ (σ(A), σ(B)) = ϕ∪ (σ(C ))
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
16 / 17
Podsumowanie
Badamy uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
Operacje ∪, ∩, +
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
17 / 17
Podsumowanie
Badamy uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
Operacje ∪, ∩, +
Rozwiazania
ukladów równań w postaci nieuwiklanej sa,
,
skomplikowane (EXPTIME-zupelne)
Jedyne (najmniejsze, najwieksze)
rozwiazania
ukladów równań
,
,
w postaci uwiklanej to dokladnie zbiory rekurencyjne (rek.
przeliczalne, ko-rek. przeliczalne)
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
17 / 17
Podsumowanie
Badamy uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
Operacje ∪, ∩, +
Rozwiazania
ukladów równań w postaci nieuwiklanej sa,
,
skomplikowane (EXPTIME-zupelne)
Jedyne (najmniejsze, najwieksze)
rozwiazania
ukladów równań
,
,
w postaci uwiklanej to dokladnie zbiory rekurencyjne (rek.
przeliczalne, ko-rek. przeliczalne)
Wyniki nawet dla jednej zmiennej i jednego równania
Wyniki dla operacji + (równania uwiklane)
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
17 / 17
Podsumowanie
Badamy uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
Operacje ∪, ∩, +
Rozwiazania
ukladów równań w postaci nieuwiklanej sa,
,
skomplikowane (EXPTIME-zupelne)
Jedyne (najmniejsze, najwieksze)
rozwiazania
ukladów równań
,
,
w postaci uwiklanej to dokladnie zbiory rekurencyjne (rek.
przeliczalne, ko-rek. przeliczalne)
Wyniki nawet dla jednej zmiennej i jednego równania
Wyniki dla operacji + (równania uwiklane)
Dzie, kuje, za uwage, !
Artur Jeż
Uklady równań nad zbiorami liczb naturalnych
14 września 2010
17 / 17