postulaty mechaniki kwantowej

postulaty mechaniki kwantowej
6 grudnia 2016
postulaty mechaniki kwantowej
Postulaty mechaniki kwantowej
Mechanika kwantowa, jej postulaty i interpretacja: wynikiem prac "komitetu" przy Nielsie Bohrze.
1
Stan układu można w sposób zupełny opisać przez element przestrzeni wektorowej: wektor
stanu / funkcje˛ falowa˛ Ψ(r, t), zależna˛ od położeń czastki
˛
(czastek)
˛
i czasu.
• zasada superpozycji
2
Każdej wielkości mierzalnej (A) odpowiada liniowy operator hermitowski Â.
• reguły kwantyzacji
3
Możliwym wynikiem pomiaru wielkości A jest jedna z wartości własnych jej operatora
4
Prawdopodobieństwo, że w wyniku pomiaru A na układzie w stanie Ψ otrzymamy an dane
przez: pn = |hΨ|Ψn i|2 . Jeśli uzyskano wynik an funkcja po pomiarze Ψ → Ψn (kolaps funkcji
falowej)
5
Ewolucja czasowa funkcji falowej dana jest przez równanie Schroedingera i~ ∂Ψ
∂t = HΨ.
postulaty mechaniki kwantowej
Postulat 1: Przestrzeń funkcyjna i zasada superpozycji
• Stan układu można w sposób zupełny opisać przez element przestrzeni wektorowej: wektor
stanu / funkcje˛ falowa˛ Ψ(r, t), zależna˛ od położeń czastki
˛
(czastek)
˛
i czasu.
• Ψ - funkcja falowa, lub funkcja stanu.
• |Ψ(r, t)|2 interpretujemy jako gestość
˛
prawdopodobieństwa znalezienia czastki
˛
w punkcie r w
chwili t.
• Funkcje stanu tworza˛ przestrzeń wektorowa,
˛ to jest : jeśli Ψ1 i Ψ2 to funkcje stanu, to
Ψ3 = aΨ1 + bΨ2 jest również pełnoprawna˛ funkcja˛ stanu.
• fakt znany jako: zasada superpozycji.
• jedna z konsekwencji: interferencja dwuszczelinowa
• warunki stawiane funkcji falowej:
1
Ψ - skończona w każdym punkcie (skończone prawdopodobieństwa)
2
normalizowalna
3
ciagła
˛
z pochodna˛ (prad
˛ gestości
˛
prawdopodobieństwa - wtedy może być ciagły)
˛
postulaty mechaniki kwantowej
Postulat 2: Każdej wielkości mierzalnej odpowiada liniowy operator
hermitowski
• funkcje falowe (wektory stanu) tworza˛ przestrzeń wektorowa.
˛
• w przestrzeni wektorowej zdefiniowany operator Ô, czyli ÔΨ jest również elementem
przestrzeni wektorowej.
• wielkościom fizycznym przyporzadkowane
˛
operatory
∂
• reprezentacja położeniowa: x̂ = x, pˆx = −i~ ∂x
• reprezentacja położeniowa: r̂ = r, p̂ = −i~∇
• operatory złożonych wielkości fizycznych: zastepujemy
˛
w wyrażeniach klasycznych wielkości
przez ich operatory
ˆ
p2
x + V (x)
• operator energii (Hamiltona, hamiltonian) 1D: Ĥ = T̂ + V̂ = 2m
• r̂ = (x, y , z)
• moment pedu
˛
L̂ = r̂ × p̂
postulaty mechaniki kwantowej
Postulat 2: Każdej wielkości mierzalnej odpowiada liniowy operator
hermitowski
• operator liniowy: Â(ψ + φ) = Âψ + Âφ
d
• operator liniowy np. : dx
• operator Âf (x) ≡ f (x) + 5 liniowy nie jest
• definicja operatora hermitowskiego wykorzystuje iloczyn skalarny : ...
postulaty mechaniki kwantowej
Iloczyn skalarny
• ψ, φ ∈ V iloczyn skalarny hψ|φi → C, jeśli
1
przemienny ze sprz˛eżeniem hψ|φi = hφ|ψi∗
2
nieujemny hψ|ψi ­ 0 (równość jeśli ψ = 0).
3
liniowy hψ|aφ + bχi = ahψ|φi + bhψ|χi
• dla funkcji całkowalnych z kwadratem hφ|ψi =
R∞
−∞
φ∗ (x)ψ(x)dx
• fcje z tej klasy znikaja˛ w ±∞
• z (3) wynika hψ|aφi = ahψ|φi
• z (3) i (1) wynika haψ|φi = a∗ hψ|φi
postulaty mechaniki kwantowej
Operator hermitowski
• Każdej wielkości mierzalnej (A) odpowiada liniowy operator hermitowski Â.
• Przestrzeń wektorowa V : Ψ ∈ V to ÂΨ ∈ V ,
• Aˆ† sprz˛
eżenie hermitowskie operatora  : hψ|Âφi = hAˆ† ψ|φi
• A jest operatorem hermitowskim, jeśli: Aˆ† =  .
• A jest operatorem antyhermitowskim, jeśli: Aˆ† = − .
postulaty mechaniki kwantowej
Operator hermitowski
• Aˆ† sprz˛
eżenie hermitowskie operatora  : hψ|Âφi = hAˆ† ψ|φi
• A jest operatorem hermitowskim (samosprz˛
eżonym), jeśli: Aˆ† =  .
• przykład 1: x̂ = x, x ∗ = x
R∞
• hψ|x̂φi =
−∞
ψ ∗ (x)xφ(x)dx =
R∞
−∞
(xψ(x))∗ φ(x)dx = hxψ|φi
• wniosek x † = x
d
• przykład 2: dx
:
d
• hψ| dx
φi =
R∞
−∞
R∞
−∞
∗
0
ψ ∗ (x)φ0 (x)dx = ψ ∗ (x)φ(x)|∞
−∞ −
(−ψ (x)) φ(x)dx =
†
d
• wniosek ( dx
)
d
h− dx
R∞
−∞
(ψ 0 (x))∗ φ(x)dx =
ψ|φi
d
= − dx
∗
• uwaga: ψ (x)φ(x)|∞
−∞ = 0 dlatego, że funkcje całkowalne z kwadratem znikaja˛ w ±∞
postulaty mechaniki kwantowej
Operator hermitowski
d
d
• hψ| dx
φi = h− dx
ψ|φi
d
• przykład 2: p̂ = −i~ dx
:
d
d
d
d
• hψ| − i~ dx
φi = −i~hψ| dx
φi = −i~h− dx
ψ|φi = hi~ dx
ψ|φi
d †
d
• wykorzystano kolejno hψ|aφi = ahψ|φi, ( dx
) = − dx
, haψ|φi = a∗ hψ|φi
• wniosek p̂ † = p̂
postulaty mechaniki kwantowej
własności operatora hermitowskiego
• Tw. 1 wartości własne operatora hermitowskiego sa˛ rzeczywiste
• przykład
∂
• funkcje własne pedu,
˛
p̂ = −i~ ∂x
∂
• −i~ ∂x
φp (x) = pφp (x)
• φp (x) = C exp( ip
~ x), wniosek p = ~k , φp (x) = C exp(ikx)
• dowód
• † = Â
• równanie własne |Âφi = α|φi
• |Âφi = α|φi hφ|·
• hφ|Âφi = αhφ|φi
• h† φ|φi = hÂφ|φi = hαφ|φi = α∗ hφ|φi
• wniosek α∗ = α cbdu
postulaty mechaniki kwantowej
własności operatora hermitowskiego
• Tw. 2 wektory własne operatora hermitowskiego odpowiadajace
˛ różnym wartościom własnym
sa˛ ortogonalne
• dowód
• † = Â, α1 6= α2
• |Âφ2 i = α2 |φ2 i
• |Âφ2 i = α2 |φ2 i hφ1 |·
• |Âφ1 i = α1 |φ1 i
• |Âφ1 i = α1 |φ1 i hφ2 |·
• hφ2 |Âφ1 i = α1 hφ2 |φ1 i
• hφ1 |Âφ2 i = α2 hφ1 |φ2 i
• hφ1 |Âφ2 i = α2 hφ1 |φ2 i
• hÂφ2 |φ1 i = α2 hφ2 |φ1 i
• hφ2 |Âφ1 i = α2 hφ2 |φ1 i
• odjać
˛ stronami
• 0 = (α1 − α2 )hφ2 |φ1 i
• wniosek: hφ2 |φ1 i = 0 cbdu
postulaty mechaniki kwantowej
∗
Postulaty 3 i 4
• 3) Możliwym wynikiem pomiaru wielkości A jest jedna z wartości własnych jej operatora
• 4) Prawdopodobieństwo, że w wyniku pomiaru A otrzymamy an dane przez: pn = |hΨ|Ψn i|2 .
• Możliwym wynikiem pomiaru wielkości A jest jedna z wartości własnych jej operatora
• ÂΨn = an Ψn
• układ w stanie Ψ: pstwo, że w wyniku pomiaru A otrzymamy an dane przez: pn = |hΨ|Ψn i|2
• jeśli Ψ = Ψn to wynik pomiaru: an na pewno
• mówimy wtedy, że wielkość fizyczna A jest określona w stanie Ψn
• zestaw wielkości, które moga˛ być jednocześnie określone w stanie kwantowym odpowiadaja˛
komutujacym
˛
operatorom.
postulaty mechaniki kwantowej
Wynik pomiaru wielkości fizycznej cd.
• zazwyczaj (dla ogólnej funkcji falowej) wynik pomiaru wielkości fizycznej jest zmienna˛ losowa.
˛
• QM podaje rozkład prawdopodobieństwa: możliwe do uzyskania wyniki oraz
prawdopodobieństwach ich uzyskania
• QM dla ogólnego stanu nie pozwala przewidzieć wyniku pojedynczego pomiaru, daje
natomiast oczekiwania statystyczne
• wartośc oczekiwana: średni wynik wielu pomiarów (np. wartość oczekiwana rzutu kostka:
˛ 3.5)
• mierzymy np. położenie, dostajemy N1 razy wielkość x1 , N2 razy wielkość x2
• hxi =
P
N x
Pi i i
i
Ni
• dla ciagłego
˛
rozkładu prawdopodobieństwa – np. znalezienia czaski
˛ w punkcie x: ρ = P(x):
• hxi =
R∞
xP(x)dx
R−∞
∞
−∞
P(x)dx
=
R∞
x|Ψ(x,t)|2 dx
R−∞
∞
−∞
|Ψ(x,t)|2 dx
• dla unormowanej funkcji: hxi =
R∞
−∞
x|Ψ(x, t)|2 dx
• ogólnie mechanika kwantowa: wartość oczekiwana pomiaru A w unormowanym stanie Ψ
dana przez hΨ|AΨi = hΨ|A|Ψi = hAi
postulaty mechaniki kwantowej
Postulaty 3 i 4
• 3) Możliwym wynikiem pomiaru wielkości A jest jedna z wartości własnych jej operatora
• 4) Prawdopodobieństwo, że w wyniku pomiaru A otrzymamy an dane przez: pn = |hΨ|Ψn i|2 .
• ÂΨn = an Ψn
• dowolny stan Ψ można przedstawić w bazie stanów własnych
• Ψ=
P
n
cn Ψ n
• normalizacja hΨ|Ψi =
P
n
|cn |2 = 1
• prawdopodobieństwo pomiaru an dane przez
P
pn = |hΨ|Ψn i|2 = |h
m
cm Ψm |Ψn i|2 = |
• wartość średnia wielu pomiarów hAiΨ =
P
m
P
n
∗
hΨm |Ψn i|2 = |
cm
pn an =
P
n
P
m
∗
δmn |2 = |cn |2
cm
|cn |2 an
P
P
cm Ψm |Â
cn Ψn i =
n
P ∗
P
P ∗
P
P mP
∗
cm hΨm |Â
cn Ψn i =
cm hΨm |
cn ÂΨn i =
cm cn an hΨm |Ψn i =
n
m
n
m
n
Pm P ∗
P
• to samo brutalnie: wartość oczekiwana hÂiΨ = hΨ|ÂΨi = h
m
n
cm cn an δmn =
n
an pn
postulaty mechaniki kwantowej
Postulat 4 cd: Kolaps funkcji falowej
• 4) Prawdopodobieństwo, że w wyniku pomiaru A otrzymamy an dane przez: pn = |hΨ|Ψn i|2 .
Jeśli uzyskano wynik an funkcja po pomiarze Ψ → Ψn (kolaps funkcji falowej)
• Stan czastki
˛
Ψ=
P
n
cn Ψn , gdzie ÂΨn = an Ψn
• Jeśli w wyniku pomiaru uzyskamy an , mechanika kwantowa stwierdza, iż funkcja falowa ulega
zmianie (kolapsowi) do Ψ → Ψn .
postulaty mechaniki kwantowej
Postulat 4 cd: Kolaps funkcji falowej
• kryształ dwójłomny
•
• pomiar polaryzacji pojedynczego fotonu: ψ = a1 | li + a2 | ↔i
•
postulaty mechaniki kwantowej
Postulat 4 cd: Kolaps funkcji falowej
• pomiar polaryzacji pojedynczego fotonu: ψ = a1 | li + a2 | ↔i
• pionowa pstwo : |a1 |2 , pozioma |a2 |2
• jeśli pierwszy pomiar wykryje polaryzacje
˛ pionowa˛ to po pomiarze stan fotonu ψ = | li i dalej:
•
postulaty mechaniki kwantowej
Postulat 4 cd: Kolaps funkcji falowej
• 4) Prawdopodobieństwo, że w wyniku pomiaru A otrzymamy an dane przez: pn = |hΨ|Ψn i|2 .
Jeśli uzyskano wynik an funkcja po pomiarze Ψ → Ψn (kolaps funkcji falowej)
• tzw stan EPR. 2 fotony: ΨEPR = √1 (| li1 | li2 + | ↔i1 | ↔i2 )
2
• stan EPR: nie wiadomo jaka jest polaryzacja fotonu 1, wiadomo tylko ze jest taka sama jak
fotonu 2
• pomiar polaryzacji 2, stan po kolapsie | li1 | li2 lub | ↔i1 | ↔i2 zależnie od wyniku pomiaru
- ustawia stan polaryzacji fotonu 1.
• stan EPR - stan splatany
˛
(entangled) w przeciwieństwie do stanu separowalnego
• np: Ψseparowalny = | li1 | ↔i2 - tutaj pomiar polaryzacji na 1 nie zmienia stanu 2.
• EPR 1934, Einstein: spooky, moon, dice.
• opinia Einsteina stan jest określony od poczatku,
˛
niezależnie od pomiaru, a funkcja falowa to
zapis naszej informacji, możliwa głebsza
˛
teoria
• problem uważany za akademicki do lat 70 XXw
postulaty mechaniki kwantowej
Postulat 4 cd: Kolaps funkcji falowej
• 4) Prawdopodobieństwo, że w wyniku pomiaru A otrzymamy an dane przez: pn = |hΨ|Ψn i|2 .
Jeśli uzyskano wynik an funkcja po pomiarze Ψ → Ψn (kolaps funkcji falowej)
• |qubiti = a|truei + b|falsei → |truei z pstwem |a|2 ,
• półżywy= √1 żywy+ √1 martwy→
2
2
n
żywy
martwy
na
na
50%
50%
• kot Schroedingera - sprz˛
eżony z układem kwantowomechanicznym
• Kot w stanie splatanym
˛
z niestabilnym jadrem:
˛
Ψ=
1
√
2
(|żyjeikot |przed rozpademijadro
+ |martwyikot |po rozpadzieijadro
˛
˛ )
• pomiar (otwarcie pudełka) określa stan kota
•
.
• source: http:ova-achiever.blogspot.com201210peeing-on-schrodingers-cat.html
postulaty mechaniki kwantowej
Komutator
• [Â, B̂] = ÂB̂ − B̂ Â
• operatory komutuja˛ (sa˛ przemienne), jeśli komutator jest 0
• jeśli sa˛ przemienne - wynik działania nie zależy od kolejności
• położen: x̂ = x, parzystość P: P̂f (x) = f (−x)
• [x̂, P̂]φ = x P̂φ(x) − P̂xφ(x) = xφ(−x) + xφ(−x) 6= 0
• [x, y ] = 0
∂
• [ ∂x
x, y ] = 0
∂
• [x, i ∂x
] = −i
∂
• [x, −i~ ∂x
] = i~
postulaty mechaniki kwantowej
Komutator a relacja Heisenberga
1
wartość oczekiwana wielkości A: dla stanu Ψ: hAiΨ = hAi = hΨ|AΨi.
2
(∆A)2 = h(A − hAi)2 i = hA2 i − hAi2
3
∆x∆p ­
4
ogólnie dla dowolnego stanu kwantowego Ψ: ∆A∆B ­
5
[x, p] = i~
6
ponadto: jeśli [Â, B̂] = 0 to operatory maja˛ wspólny zbiór wektorów własnych
7
ped
˛ i energia kinetyczna w próżni sa˛ przemienne
8
energia i moment pedu
˛
dla atomu wodoru sa˛ przemienne
9
ped
˛ i położenie nie moga˛ być jednocześnie określone
~
2
(relacja nieoznaczności Heisenberga)
1
2 |h[A, B]i|
postulaty mechaniki kwantowej
Postulat 5: równanie Schroedingera
• opis falowy czastek
˛
(1924)- z probabilistyczna˛ interpretacja˛ funkcji falowej (1926)
• jeśli fale - pytanie o równanie, które maja˛ spełniać (równanie falowe dla czastek
˛
materialnych)
• w klasycznym równaniu falowym
∂ 2 Ψ(x,t)
∂x 2
=
2
1 ∂ Ψ(x,t)
v2
∂t 2
• 1926: równanie Schrödingera
• i~
∂Ψ(x,t)
∂t
2 ∂ 2 Ψ(x,t)
∂x 2
= −~
2m
+ V (x, t)Ψ(x, t)
• znane również jako równanie Schrödingera zależne od czasu
2
2
~
• w 3D: i~ ∂Ψ
∂t = − 2m ∇ Ψ + V (x, y , z)Ψ(x, y , z, t)
• w RS: 1 rzad
˛ pochodnej czasowej zamiast drugiego, przestrzeń zespolona
• RS - odgadniete,
˛ nie można go wyprowadzić z bardziej podstawowych zasad
• wyniki w doskonałej zgodności z doświadczeniem (granica nierelatywistyczna). Schrödinger
swoje równanie zweryfikował dla atomu wodoru.
postulaty mechaniki kwantowej
Postulat 5: równanie Schroedingera - rozwiazania
˛
separowalne
• i~
∂Ψ(x,t)
∂t
2 ∂ 2 Ψ(x,t)
∂x 2
= −~
2m
+ V (x)Ψ(x, t)
• szukamy rozwiaza
˛ ń separowalnych Ψ(x, t) = ψ(x)f (t)
•
i~ df (t)
f (t) dt
• stała separacji E
R
i~
df
f
=
2
1 d ψ(x)
ψ(x) dx 2
+ V (x)
2 d 2 ψ(x)
dx 2
• −~
2m
• i~ df
=E
f dt
•
2
= −~
2m
R
Edt
• i~ ln f = Et + C
+ V (x)ψ(x) = Eψ(x)
• równanie nazywane równaniem Schrödingera
niezależnym od czasu
• stała separacji E - energia czastki
˛
• f = D exp(−iEt/~)
• rozwiazania
˛
w formie separowalnej – rozwiazania
˛
równania S. niezależnego od czasu – stany
własne operatora energii (Hamiltonianu) ≡ stany stacjonarne.
• |ΨE (x, t)|2 = ρ(x), brak zależności od t, stad
˛ stacjonarność rozwiaza
˛ ń
• W przypadku ogólnym dla rozwiaza
˛ ń r.S. zależnego od czasu |Ψ(x, t)|2 = ρ(x, t)
• ρ(x, t) - gestość
˛
prawdopodobieństwa znalezienia czastki
˛
w punkcie x w chwili t.
postulaty mechaniki kwantowej
Postulat 5: równanie Schroedingera - rozwiazania
˛
separowalne
• i~
∂Ψ(x,t)
∂t
2 ∂ 2 Ψ(x,t)
∂x 2
= −~
2m
+ V Ψ(x, t)
• szukamy rozwiaza
˛ ń separowalnych Ψ(x, t) = ψ(x)f (t)
•
i~ df (t)
f (t) dt
• stała separacji E
R
i~
df
f
=
2
1 d ψ(x)
ψ(x) dx 2
+ V (x)
2 d 2 ψ(x)
dx 2
• −~
2m
• i~ df
=E
f dt
•
2
= −~
2m
R
Edt
• i~ ln f = Et + C
+ V (x)ψ(x) = Eψ(x)
• równanie nazywane równaniem Schrödingera
niezależnym od czasu
• stała separacji E - energia czastki
˛
• f = D exp(−iEt/~)
• rozwiazania
˛
w formie separowalnej – rozwiazania
˛
równania S. niezależnego od czasu – stany
własne operatora energii (Hamiltonianu) ≡ stany stacjonarne.
• |ΨE (x, t)|2 = ρ(x), brak zależności od t, stad
˛ stacjonarność rozwiaza
˛ ń
• W przypadku ogólnym dla rozwiaza
˛ ń r.S. zależnego od czasu |Ψ(x, t)|2 = ρ(x, t)
• ρ(x, t) - gestość
˛
prawdopodobieństwa znalezienia czastki
˛
w punkcie x w chwili t.
postulaty mechaniki kwantowej
Równanie Schroedingera - przypadek ogólny
• równanie Schroedingera (zależne od czasu) i~ ∂Ψ
∂t = HΨ.
• Jeśli w warunku poczatkowym
˛
Ψ(x, t = 0) = Ψn jest funkcja własna˛ H (spełnia r.S. bez
czasu, HΨn = En Ψn ).
• Ψ(x, t) = exp(− iE~n t )Ψn (x) - forma separowalna, znana
• Dla ogólnych warunków poczatkowych,
˛
o ile H nie zależy od czasu:
Ψ(x, t) =
P
n
cn exp(− iE~n t )Ψn (x)
• Funkcje własne operatora hermitowskiego odpowiadajace
˛ różnym wartościom własnym sa˛
ortogonalne, dlatego:
• cm = hΨm |Ψ(t = 0)i
postulaty mechaniki kwantowej
Niezależne od czasu równanie Schrödingera: czastka
˛
w próżni
2 d 2 ψ(x)
dx 2
• −~
2m
+ V (x)ψ(x) = Eψ(x)
• próżnia : V (x) = 0
2 d 2 ψ(x)
dx 2
• −~
2m
•
d 2 ψ(x)
dx 2
= Eψ(x)
2
= − 2mE
2 ψ(x) = −k ψ(x)
• E(k ) =
~
~2 k 2
2m
- paraboliczna relacja dyspersji, widmo ciagłe
˛
• ψ(x) = A sin kx, A cos kx
• ψ(x) = B exp(±ikx)
postulaty mechaniki kwantowej
Czastka
˛
w próżni
1
próżnia : V (x) = 0, funkcje własne operatora energii
2
−~
2m
ψE (x) = EψE (x)
3
E(k ) =
~2 k 2
2m
4
ψE (x) = A sin kx, A cos kx albo ψE (x) = B exp(±ikx) (degeneracja poziomów
energetycznych, ciagłe
˛
widmo energii)
2 d2
dx 2
5
∂
funkcje własne pedu,
˛
p̂ = −i~ ∂x
6
∂
φp (x) = pφp (x)
−i~ ∂x
7
φp (x) = C exp( ip
~ x), wniosek p = ~k
8
wspólne funkcje własne p z H, lecz nie z P
9
wniosek: φp (x) = ψE (x), E =
p2
2m
10
zwyczajowo (tr. Fouriera) C =
√1
2π
11
[H, p] =
12
operatory przemienne (komutujace)
˛
wtedy i tylko wtedy, gdy można wskazać zupełny zbiór
wspólnych funkcji własnych (patrz określone wielkości)
13
pokazać, że operatory przemienne maja˛ wspólne funkcje własne.
2
1
2m [p , p]
= 0, [H, P] = 0 lecz [p, P] 6= 0 relacja przemienności nie jest przechodnia
postulaty mechaniki kwantowej
Czastka
˛
w próżni
1
próżnia : V (x) = 0, funkcje własne operatora energii
2
−~
2m
ψE (x) = EψE (x)
3
E(k ) =
~2 k 2
2m
4
ψE (x) = A sin kx, A cos kx albo ψE (x) = B exp(±ikx) (degeneracja poziomów
energetycznych, ciagłe
˛
widmo energii)
2 d2
dx 2
5
∂
funkcje własne pedu,
˛
p̂ = −i~ ∂x
6
∂
−i~ ∂x
φp (x) = pφp (x)
7
φp (x) = C exp( ip
~ x), wniosek p = ~k
8
wniosek: φp (x) = ψE (x), E =
p2
2m
9
zwyczajowo (tr. Fouriera) C =
√1
2π
10
[H, p] =
11
operatory przemienne wtedy i tylko wtedy, gdy można wskazać zupełny zbiór wspólnych
funkcji własnych
12
pokazać, że przemienienne maja˛ wspólne funkcje własne.
2
1
2m [p , p]
wspólne funkcje własne p z H
= 0, [H, P] = 0 lecz [p, P] 6= 0 relacja przemienności nie jest przechodnia
postulaty mechaniki kwantowej
Czastka
˛
w próżni
1
próżnia : V (x) = 0, funkcje własne operatora energii
2
−~
2m
2 d 2 ψ(x)
ψ(x)
dx 2
= Eψ(x)
~2 k 2
2m
3
E(k ) =
4
ψP (x) = A sin kx, A cos kx albo ψp (x) = B exp(±ikx)
5
P parzystość: wartości własne ±1 dla funkcji parzystych i nieparzystych (pokazać)
6
[H, P] = [H, p] = 0 ale [P, p] 6= 0
postulaty mechaniki kwantowej
Stany stacjonarne
• równanie Schroedingera zależne od czasu
• i~
∂Ψ(x,t)
∂t
2 ∂ 2 Ψ(x,t)
∂x 2
= −~
2m
+ V Ψ(x, t)
• rozwiazania
˛
separowalne Ψ(x, t) = f (t)ψE (x)
• f = D exp(−iEt/~)
• cz˛
eść przestrzenna:
2 d 2 ψE (x)
dx 2
• −~
2m
+ V (x)ψE (x) = EψE (x)
• dla stanów stacjonarnym mamy wiec:
˛ Ψ(x, t) = exp(−iEt/~)ψE (x)
• |Ψ(x, t)|2 = ρ(x), brak zależności od t
postulaty mechaniki kwantowej
Nieskończona studnia potencjału - stany własne energii
1
V (x) = 0 dla x ∈ (0, L) oraz V (x) = ∞ dla x 6∈ (0, L)
2
00
Hψ(x) = − ~
2m ψ (x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x)
2
3
w obszarze, gdzie potencjał staje sie˛ nieskończony dla utrzymania skończonej wartości
Eψ(x), trzeba aby funkcja falowa ψ(x) = 0
2
4
00
wewnatrz
˛ studni: Hψ(x) = − ~
2m ψ (x) = Eψ(x) - jak w próżni
5
ψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx), E =
6
ψ(0) = ψ(L) = 0 → A = 0, kn L = nπ
7
ograniczenie przestrzenne: kwantyzacja wartości własnych energii
8
En =
9
normalizacja |B|2
~2
2m
nπ
L
2
, ψn = B sin( nπ
L x)
2
RL
0
sin2 ( nπ
L x) = 1, całka: L/2 (z jedynki trygonometrycznej dla całkowitych
okresów fcje sin ), B =
10
~2 k 2
2m
p
2
L
n - liczba kwantowa, n = 1 - stan podstawowy, n > 1 stany wzbudzone.
11
postulaty mechaniki kwantowej
Nieskończona studnia potencjału - stany własne energii
1
V (x) = 0 dla x ∈ (0, L) oraz V (x) = ∞ dla x 6∈ (0, L)
2
00
Hψ(x) = − ~
2m ψ (x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x)
2
3
w obszarze, gdzie potencjał staje sie˛ nieskończony dla utrzymania skończonej wartości
Eψ(x), trzeba aby funkcja falowa ψ(x) = 0
2
4
00
wewnatrz
˛ studni: Hψ(x) = − ~
2m ψ (x) = Eψ(x) - jak w próżni
5
ψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx), E =
6
ψ(0) = ψ(L) = 0 → A = 0, kn L = nπ
7
ograniczenie przestrzenne: kwantyzacja wartości własnych energii
8
En =
9
normalizacja |B|2
~2
2m
nπ
L
2
, ψn = B sin( nπ
L x)
2
RL
0
sin2 ( nπ
L x) = 1, całka: L/2 (z jedynki trygonometrycznej dla całkowitych
okresów fcje sin ), B =
10
~2 k 2
2m
p
2
L
n - liczba kwantowa, n = 1 - stan podstawowy, n > 1 stany wzbudzone.
11
postulaty mechaniki kwantowej
Oscylator harmoniczny
1
gładki potencjał w okolicy minimum daje sie˛
zazwyczaj przybliżyć przez parabole˛
2
V (x) =
3
H =
mω 2 2
2 x
2 ∂2
−~
2m ∂x 2 +
V (x)
1
2)
4
En = ~ω(n +
5
ψn = Cn exp(− mωx
2~ )Hn (
6
Hn - wielomiany Hermita
7
2
d
Hn (x) = An exp(x 2 ) dx
n exp(−x ), H0 = 1,
2
p mω
2~
x)
n
H1 = x, H2 = 2x 2 − 1, H3 = 4x(x 2 − 3)
8
postulaty mechaniki kwantowej
Oscylator harmoniczny - rozwiazania
˛
niestacjonarne
• Ψ0 =
mω
π~
• Ψ1 =
4
π
1/4
1/4
P
• Ψ(x, t) =
1
√
2
n
2
• |Ψ(x, t)| =
p
dhxi
dt
•
dhpi
dt
=
2
x exp(− mw
2~ x ), E1 = 3~ω/2
(Ψ0 + Ψ1 )
•
cn exp(− iE~n t )Ψn (x)
exp(−i
2
1
2 (Ψ0
~
2mω
3/4
+
ω
2 t) (Ψ0
Ψ21
t = 0,
T =
2π
ω
+ Ψ1 exp(−iωt))
+ 2Ψ0 Ψ1 cos(ωt))
cos(ωt)
p
mω~
2
hpi
m
(jak w klasycznej definicji predkości)
˛
• hpi = −
•
mω
~
1
√
2
• Ψ(x, t = 0) =
• Ψ(x, t) =
• hxi =
2
exp(− mw
2~ x ), E0 = ~ω/2
sin(ωt)
d
= −mω 2 hxi = − dhxi
V (hxi) (jak w II zasadzie dynamiki
Newtona)
• widzimy, że dla oscylatora kwantowomechaniczne wartości
oczekiwania spełniaja˛ równania mechaniki klasycznej
postulaty mechaniki kwantowej
•
t = T /4
•
t = T /2
Oscylator harmoniczny - rozwiazania
˛
niestacjonarne
mω
π~
• Ψ0 =
1/4
2
exp(− mw
2~ x ), E0 = ~ω/2
1/4
4
• Ψ1 =
mω
~
π
• Ψ(x, t = 0) =
• Ψ(x, t) =
P
n
1
√
2
3/4
2
x exp(− mw
2~ x ), E1 = 3~ω/2
(Ψ0 + Ψ1 )
•
cn exp(− iE~n t )Ψn (x)
t = 0,
T =
• Ψ(x, t) = √1 exp(−i ω
2 t) (Ψ0 + Ψ1 exp(−iωt))
2
2π
ω
• |Ψ(x, t)|2 = 12 (Ψ20 + Ψ21 + 2Ψ0 Ψ1 cos(ωt))
• hxi =
p
dhxi
dt
•
dhpi
dt
=
cos(ωt)
mω~
2
hpi
m
(jak w klasycznej definicji predkości)
˛
• hpi = −
•
~
2mω
p
sin(ωt)
•
t = T /4
•
t = T /2
= −mω 2 hxi = h−∇V (x)i (jak w II zasadzie dynamiki
Newtona)
• widzimy, że dla oscylatora kwantowomechaniczne wartości
oczekiwania spełniaja˛ równania mechaniki klasycznej
postulaty mechaniki kwantowej
Zmiana wartości średniej w czasie, wielkości zachowane w mechanice
kwantowej
d
• dt
hΨ(x, t)|AΨ(x, t)i = dtd
• i~
∂Ψ(x,t)
∂t
R
dx(Ψ∗ (x, t)AΨ(x, t)) =
R
dx dtd (Ψ∗ (x, t)AΨ(x, t))
= HΨ(x, t)
d
1
• dt
hΨ(x, t)|AΨ(x, t)i = h ∂A
∂t i + i~ h[A, H]i
• wielkości zachowane w sensie wartości średnich w czasie gdy operator nie zależy jawnie od
czasu, oraz komutuje z Hamiltonianem
• np. dla czastki
˛
w próżni [p, H] = 0 - zachowana średnia wielkość pedu
˛
• dla czastki
˛
w potencjale V (x) mamy [p, H] = [p, V ] 6= 0 i ped
˛ nie jest zachowany
• dla potencjałów niezależnych od czasu wartość oczekiwana energii jest zachowana
postulaty mechaniki kwantowej
Zmiana wartości średniej w czasie, wielkości zachowane w mechanice
kwantowej
d
• dt
hΨ(x, t)|AΨ(x, t)i =
• i~
∂Ψ(x,t)
∂t
R
dx dtd (Ψ∗ (x, t)AΨ(x, t))
= HΨ(x, t)
d
1
• dt
hΨ(x, t)|AΨ(x, t)i = h ∂A
∂t i + i~ h[A, H]i
• wielkości zachowane w sensie wartości średnich w czasie gdy operator nie zależy jawnie od
czasu, oraz komutuje z Hamiltonianem
• np. dla czastki
˛
w próżni [p, H] = 0 - zachowana średnia wielkość pedu
˛
• dla czastki
˛
w potencjale V (x) mamy [p, H] = [p, V ] 6= 0 i ped
˛ nie jest zachowany
• dla potencjałów niezależnych od czasu wartość oczekiwana energii jest zachowana
postulaty mechaniki kwantowej
Twierdzenie Ehrenfesta
d
1
• dt
hΨ(x, t)|AΨ(x, t)i = h ∂A
∂t i + i~ h[A, H]i
• wniosek 3 twierdzenie Ehrenfesta:
1
[p, H ] = −i~∇V (x ) →
2
[r , H ] = i~p/m →
d
dt
d
dt
hpi = −h∇V i
hxi =
1
hpi
m
• Wartości oczekiwane spełniaja˛ klasyczne równania ruchu
• pytanie: czy środek pakietu porusza sie
˛ po klasycznej trajektorii ?
d
• nie całkiem, byłoby tak gdyby w równaniu (1): dt
hpi = −∇V|hxi
• równania klasyczne i kwantowe maja˛ identyczny sens gdy pakiet silnie zlokalizowany w
porównaniu z odległościami jakie pokonuje
• twierdzenie: wskazywane jako II zasade
˛ dynamiki Newtona jako graniczny wynik mechaniki
kwantowej (albo r. Schrödingera)
postulaty mechaniki kwantowej
Twierdzenie Ehrenfesta
d
1
• dt
hΨ(x, t)|AΨ(x, t)i = h ∂A
∂t i + i~ h[A, H]i
• wniosek 3 twierdzenie Ehrenfesta:
1
[p, H ] = −i~∇V (x ) →
2
[r , H ] = i~p/m →
d
dt
d
dt
hpi = −h∇V i
hxi =
1
hpi
m
• Wartości oczekiwane spełniaja˛ klasyczne równania ruchu
• pytanie: czy środek pakietu porusza sie
˛ po klasycznej trajektorii ?
d
• nie całkiem, byłoby tak gdyby w równaniu (1): dt
hpi = −∇V|hxi
• równania klasyczne i kwantowe maja˛ identyczny sens gdy pakiet silnie zlokalizowany w
porównaniu z odległościami jakie pokonuje
• twierdzenie: wskazywane jako II zasade
˛ dynamiki Newtona jako graniczny wynik mechaniki
kwantowej (albo r. Schrödingera)
postulaty mechaniki kwantowej
Równanie Schrödingera zależne od czasu: rozwiazanie
˛
numeryczne
• i~ ∂Ψ
∂t = HΨ
• schemat Cranka-Nicolson - odpowiednik kwadratury trapezów
• i~
Ψ(x,t+∆t)−Ψ(x,t)
∆t
=
1
2 (HΨ(x, t
+ ∆t) + HΨ(x, t))
•
Ψ(x, t + ∆t) = Ψ(x, t) +
∆t
(HΨ(x, t + ∆t) + HΨ(x, t))
2i~
2
2
• H = −~
2m ∇ + V (x)
• rachunek na siatce różnicowej o skoku ∆x, ∇2 Ψ(x, t) →
Ψ(x+∆x,t)+Ψ(x−∆x,t)−2Ψ(x,t)
∆x 2
• wzór (1) iterowany aż do uzgodnienia
postulaty mechaniki kwantowej
(1)
Pakiet falowy
• ~ω = 1 meV, m = 0.067m0 (GaAs)
• warunek poczatkowy
˛
jak w przykładzie wyżej
• Ψ(x, t = 0) = √1 (Ψ0 + Ψ1 )
2
p dp
• klasycznie: dx
dt = m , dt = −∇V (x)
•
• gestość
˛
prawdopodobieństwa,
• niebieska: ścieżka klasyczna
postulaty mechaniki kwantowej
Pakiet falowy II
• ~ω = 1 meV, m = 0.067m0 (GaAs)
• warunek poczatkowy
˛
- fcja falowa stanu
podstawowego, sztucznie przesunieta
˛ w prawo
o xs = 23.6 nm (wartość średnia z
poprzedniego rachunku)
• Ψ(x, t = 0) = Ψ0 (x − xs )
p dp
• klasycznie: dx
dt = m , dt = −∇V (x)
•
• gestość
˛
prawdopodobieństwa, oraz średnie
położenie pakietu
• niebieska linia - wynik klasyczny bez zmian
postulaty mechaniki kwantowej
Pakiet falowy II
• ~ω = 1 meV, m = 0.067m0 (GaAs)
• warunek poczatkowy
˛
- fcja falowa stanu
podstawowego, sztucznie przesunieta
˛ w prawo
o xs = 23.6 nm (wartość średnia z
poprzedniego
rachunku)Ψ(x, t = 0) = Ψ0 (x − xs ).
•
• gestość
˛
prawdopodobieństwa, oraz średnie
położenie pakietu
•
• średnie: energii kinetycznej, potencjalnej,
całkowitej, parzystości, pedu
˛
• niebieska linia - wynik klasyczny bez zmian
d
1
• dt
hΨ(x, t)|AΨ(x, t)i = h ∂A
∂t i + i~ h[A, H]i
postulaty mechaniki kwantowej
Pakiet falowy III
• ~ω = 1 meV, m = 0.067m0 (GaAs)
• do potencjału dodany gaussowski rdzeń,
warunek poczatkowy
˛
- średnia wartość bez
zmian stopień lokalizacji zmniejszony
•
p dp
• klasycznie: dx
dt = m , dt = −∇V (x) (zielona
krzywa)
•
• rachunek kwantowy: krzywa niebieska z
symulacji, zgodna z
d
1
dt hxi = m hpi
d
dt
hpi = −h∇V i
• zobaczyć: fcja falowa przechodzi przez obszar
zabroniony dla czastki
˛
klasycznej
postulaty mechaniki kwantowej
Pakiet falowy
• wyrzucony potencjał oscylatora, nieskończona
studnia potencjału na końca
• w mechanice klasycznej: tw. o powrocie
Poincare - układ zachowawczy, ograniczony w
przestrzeni fazowej, po pewnym czasie zbliża
sie˛ dowolnie blisko warunku poczatkowego
˛
• w mechanice kwantowej: układ ograniczony,
dyskretne widmo energii - tutaj studni
nieskończonej, skończona liczba stanów
własnych w danym zakresie energii.
• Ψ(x, t) =
Pk
n=1
•
• ewolucja okazuje sie
˛ periodyczna
postulaty mechaniki kwantowej
cn exp(−iEn t/~)ψn (x)
bieżacy
˛ pakiet falowy
• Ψ(x, t = 0) =
mω
π~
1/4
2
exp(− mw
2~ x )
• ped
˛ średni jest zerowy (pakiet sie˛ rozpływa),
• nadać mu ped
˛
Ψ0 (x, t = 0) = Ψ(x, t = 0) exp(ik0 x), wtedy
hpi = ~k0
• wyrzucony potencjał oscylatora, nieskończona
studnia potencjału na końca
•
• odbicia i interferencja. zanim dojdzie do
•
odbicia - ped
˛ zachowany
postulaty mechaniki kwantowej
prad
˛ gestości
˛
prawdopodobieństwa
• ρ(x, t) = Ψ∗ (x, t)Ψ(x, t)
∗
∗
• i~ ∂ρ
∂t = Ψ (x, t)HΨ(x, t) − Ψ(x, t)HΨ (x, t)
• wyrażenie z potencjałem znika
2
~
• i~ ∂ρ
∂t = − 2m
Ψ∗ (x, t)∇2 Ψ(x, t) − Ψ(x, t)∇2 Ψ∗ (x, t)
∂ρ
~
• równanie ciagłości
˛
∂t + ∇ · j = 0
i~
• ~j = 2m
(Ψ∇Ψ∗ − Ψ∗ ∇Ψ)
• dla Ψ = exp(ikx): jx = ~k
m
p
• ~k
˛
m = m (odpowiednik predkości)
• wniosek: jeśli funkcja rzeczywista, prad
˛ nie płynie
• jakie poznaliśmy stany stacjonarne, w których funkcja była rzeczywista?
postulaty mechaniki kwantowej
problemy rozproszeniowe
• problemy rozpraszania: rozwiazujemy
˛
równanie Schrödingera Hψ = Eψ dla danej energii
(ogólnie 2 rozwiazania
˛
~2 k 2 /2m, ±k , ruch w prawo i w lewo).
• czastka
˛
pada z lewej strony na skok potencjału
• ψx<0 = exp(ikx) + r exp(−ikx)
• zakładamy amplitude
˛ 1 fali padajacej
˛
(rozwiazujemy
˛
równanie własne, wektory
własne określone z dokładnościa˛ do stałej
multiplikatywnej)
2 2
• r - amplituda fali odbitej, ~2mk = E
• dla x > 0 fala która przeszła
Ψx>0 = t exp(ik 0 x),
~2 k 02
2m
−V =E
• ciagłość
˛
pradu
˛ prawdopodobieństwa
ψx<0 (x = 0) = ψx>0 (x = 0), oraz
0
0
ψx<0
(x = 0) = ψx>0
(x = 0)
•
• 1 + r = t, k (1 − r ) = tk 0
0
• r = k −k
, t = k 02k+k
k 0 +k
• V = 0, k 0 = k , nie ma odbicia (nie ma sie od
czego odbić)
postulaty mechaniki kwantowej
problemy rozproszeniowe
• ψx<0 = exp(ikx) + r exp(−ikx)
2 k 02
• Ψx>0 = t exp(ik 0 x), ~ 2m
−V =E
0
• r = k −k
, t = k 02k+k
k 0 +k
i~
• ~j = 2m
(Ψ∇Ψ∗ − Ψ∗ ∇Ψ)
~k
• prad
˛ gestości
˛
pstwa fali padajacej
˛ : ji = 2m
,
0
~k
odbitej jr = |r |2 2m
, jt = |t|2 ~k
2m
• BTW: wiemy że ji − jr = jt = j 6= f (x)
• prawdopodobieństwo odbicia R = jjr ,
transmisji T =
• R =
•
~2 k 2
2m
jt
ji
i
iT +R =1
|k −k 0 |2
|k 0 +k |2
= E,
~2 k 02
2m
•
−V =E
postulaty mechaniki kwantowej
problemy rozproszeniowe
• odbicie - bardzo prawdopodobne, szczególnie
• R =
|k 0 −k |2
|k 0 +k |2
dla niskich energii
• zjawisko bez odpowiednika w fizyce klasycznej
2 2
2 k 02
• ~2mk = E, ~ 2m
−V =E
•
• skok potencjału: w (nano)technologii
półprzewodnikowej kontakt dwóch
półprzewodników o inaczej położonych
pasmach przewodnictwa
•
• zamiast masy elektronu w próżni tzw. masa
efektywna m = 0.067m0 , skok potencjału 100
meV
postulaty mechaniki kwantowej
problemy rozproszeniowe
• weźmy schodek
•
• dla E < V Ψx>0 = t exp(ik 0 x),
~2 k 02
2m
p= E − V ; k
•
dla E > V poprzednie
wzory obowiazuj
˛ a˛ ze zmianem znaku V
• R =
|k 0 −k |2
|k 0 +k |2
2 k 02
2 2
• ~2mk = E, ~ 2m
+V =E
0
= ±iκ,
κ=
2m(V − E)/~2
Ψx>0 = t exp(−κx) → jt = 0 → R = 1
• uwaga: dla x > 0 sa˛ 2 rozwiazania
˛
równania
własnego exp(−κx) oraz exp(κx). Drugie
odrzucamy jako eksplodujace
˛ w +∞
• głebokość
˛
wnikania xw = κ1 , dla danych jak
wyżej Ve = 100 meV, E = 75 meV, xw = 4.35
nm.
• czastk˛
˛ e można znaleźć w obszarze, w którym
potencjał przekracza jej energie˛ – do efektu
tunelowego
postulaty mechaniki kwantowej
problemy rozproszeniowe
• weźmy schodek o wysokości 100 meV
•
•
• głebokość
˛
wnikania xw = κ1 , dla danych jak
•
• E = 50 meV, E = 90 meV, E = 120 meV
wyżej Ve = 100 meV, E = 75 meV, xw = 4.35
nm.
postulaty mechaniki kwantowej
problem rozpraszania 1D: bariera
•
• regiony I, II, III : przed, w i za bariera;
˛ czastka
˛
pada z lewej
√
• E > V , kI = kIII = k =
√
2mE
~
, kII =
2m(E−V )
.
~
• ΨIII = t exp(ikx) (odrzucamy fale w lewo)
• ΨII = c exp(ikII x) + d exp(−ikII x)
• ΨI = exp(ikx) + r exp(−ikx) (normalizacja amplitudy fali padajacej
˛ do 1)
• R = |r |2 , T = |t|2 . T =
1+
V 2 sin2 (kII A)
4E(E−V )
−1
.
• czastka
˛
nie zawsze przejdzie nawet jeśli E > V , T = 1 jeśli kII A = nπ - całkowita liczba
połówek długości fali w barierze, rezonanse, interferencja w barierze.
postulaty mechaniki kwantowej
problem rozpraszania 1D: bariera
• pierwszy rezonans T (E) = 1
•
•
• wyniki dla T (E), szerokość bariery A = 20 nm,
wysokość 10 meV, m = 0.067m0
• drugi rezonans T (E) = 1
•
• rezonans: kII A = nπ → A = n2 λ0
• interferencja w obszarze II pozwala na
•
przezroczystość bariery przy skończonej energii
postulaty mechaniki kwantowej
problem rozpraszania 1D: bariera, efekt tunelowy
•
wynik: E = 5 meV, V = 10 meV, A = 20 nm
• regiony I, II, III : brzed, w i za bariera;
˛ czastka
˛
pada z lewej
√
• E < V , kI = kIII = k =
√
2mE
~
,κ=
2m(V −E)
.
~
• ΨIII = t exp(ikx) (odrzucamy fale w lewo)
• ΨII = c exp(κx) + d exp(−κx)
• ΨI = exp(ikx) + r exp(−ikx) (normalizacja amplitudy fali padajacej
˛ do 1)
• R = |r |2 , T = |t|2 . T =
κA >> 1 → T =
16 VE
1+
(1 −
E
V
V 2 sinh2 (κA)
4E(V −E)
−1
gdy
) exp(−2κA)
postulaty mechaniki kwantowej
efekt tunelowy
• czastka
˛
kwantowa potrafi uciec z uwiezienia
˛
mimo że jej energia niższa niż bariera potencjału
•
• rozpad α - jadro
˛
opuszcza czastka
˛
o ładunku +2e i energii rz˛edu 4-8 MeV
• podczas gdy Vc » wieksze
˛
od tej energii tam gdzie zanikaja˛ siły jadrowe
˛
(dla r = 1 fm
Ze2 /(4π0 r ) = Z × 1.44 MeV)
• kT = 1.44 MeV dla T = 16.87 GK – nie ma takich temperatur , w środku Słońca 15 milionów
K - fuzja na drodze tunelowania również
• czas życia izotopu α promieniotwórczego - różnia˛ sie
˛ o 20 rz˛edów wielkości
E
• ... gdy κA >> 1 → T = 16 V
(1 − VE ) exp(−2κA)
postulaty mechaniki kwantowej
skaningowy mikroskop tunelowy
•
•
• żelazo na miedzi, IBM
•
postulaty mechaniki kwantowej
układ 2 barier
•
• widzimy różna˛ szerokość rezonansów, obowiazuje
˛
• wyniki dla T (E), szerokość bariery A = 20 nm
(czarne wyniki niżej) lub A = 10 nm (czerwone
niżej), wysokość barier V = 10 meV, szerokość
studni B = 100 nm, m = 0.067m0
zasada ∆E∆t '
~
2
, gdzie ∆t - czas życia
• w naszym przypadku: czasowi przebywania w
studni stanu, którego lokalizacje ograniczyć do
obszaru miedzy
˛
barierami.
• zasada podobna do zasady nieoznaczoności
Heisenberga, cz˛esto tak również
kojarzona/nazywana. ściśle rzecz biorac
˛ zasada
Heisenberga dotyczy wartości, których operatory
nie komutuja:
˛ nie jest znany operator czasu.
• stany stacjonarne: stany własne energii ∆E=0,
•
(na rysunku E w meV)
∆t = ∞
• dla rezonansów przy E < V obowiazuje
˛
warunek:
B=
n
2λ
postulaty mechaniki kwantowej
problem rozpraszania 1D: studnia
• na zewnatrz
˛ studni Ψ = l exp(κx), na lewo,
Ψ = r exp(−κx), na prawo, κ =
•
p
0
−2m
E
~2
0
• wewnatrz:
˛
Ψ = a exp(ik x) + b exp(−ik x)
• E > 0 - stany rozproszeniowe, V = −|W | na
zewnatrz
˛ studni: k , wewnatrz
˛ studni
p
k0 =
• T =
2m(E − V )/~2 = 2π/λ0
1+
V 2 sin2 (k 0 A)
4E(E−V )
−1
.
• rezonans: k 0 A = nπ → A = n2 λ0
• E > 0: 2 stany z ±k widmo ciagłe
˛
E, stany
zdekolalizowane
• E < 0 - stany zwiazane,
˛
widmo dyskretne, tylko
• znacznie wygodniej jednak: ustawić środek studni
w x = 0, wtedy [H, P] = 0, wtedy
• stany parzyste : Ψ = l exp(κx) dla x < −A/2,
Ψ = cos(k 0 x) dla x ∈ [−A/2, A/2],
Ψ = l exp(−κx) (1 przy cos ze wzgledu
˛
na fakt, iż
stany własne określone co do stałej
multiplikatywnej, unormować można później).
• stany nieparzyste : Ψ = l exp(κx) dla x < −A/2,
Ψ = sin(k 0 x) dla x ∈ [−A/2, A/2],
Ψ = −l exp(−κx)
niektóre wartości własne energii sa˛ możliwe
(kwantyzacja energii)
postulaty mechaniki kwantowej
problem rozpraszania 1D: studnia
• parzyste : Ψ = l exp(κx) dla x < −A/2,
Ψ = cos(k 0 x) dla x ∈ [−A/2, A/2],
Ψ = l exp(−κx)
0
k A
• l exp(− κA
2 ) = cos( 2 )
0
0
k A
• κl exp(− κA
2 ) = k sin( 2 )
• 2 równania, 1 parametr swobodny l - rozwiazania
˛
tylko dla pewnych E
0
• κ = k 0 tg( k 2A ) - wyrazimy przez energie,
˛
κ(E) > 0 i gładka , tg - osobliwości gdy
π
k0A
2 = (2n + 1) 2
• nieparzyste Ψ = l exp(κx) dla x < −A/2,
Ψ = sin(k 0 x) dla x ∈ [−A/2, A/2],
Ψ = −l exp(−κx)
0
• κ = −k 0 ctg( k 2A ) [prawa strona: osobliwości gdy
•
• κ=
k0 =
p
−2m E2 ,
~
p
2m(E − V )/~2 = 2π/λ0
k0A
2
=
(2n) π2 ]
• mamy skończona˛ liczbe
˛ stanów zwiazanych
˛
(zależność od A i V , w 1D przynajmniej 1 stan
zwiazany)
˛
postulaty mechaniki kwantowej
studnia potencjału
• parzyste : Ψ = l exp(κx) dla x < −A/2,
Ψ = cos(k 0 x) dla x ∈ [−A/2, A/2],
Ψ = l exp(−κx)
0
k A
• l exp(− κA
2 ) = cos( 2 )
0
0
k A
• κl exp(− κA
2 ) = k sin( 2 )
• 2 równania, 1 parametr swobodny l - rozwiazania
˛
tylko dla pewnych E
0
• κ = k 0 tg( k 2A ) - wyrazimy przez energie,
˛
κ(E) > 0 i gładka , tg - osobliwości gdy
π
k0A
2 = (2n + 1) 2
• nieparzyste Ψ = l exp(κx) dla x < −A/2,
•
m = 0.067m0 , A = 50 nm,
V = −100 meV.
• κ=
k0 =
p
−2m E2 ,
~
p
2m(E − V )/~2 = 2π/λ0
Ψ = sin(k 0 x) dla x ∈ [−A/2, A/2],
Ψ = −l exp(−κx)
0
• κ = −k 0 ctg( k 2A ) [prawa strona: osobliwości gdy
k0A
2
=
(2n) π2 ]
• mamy skończona˛ liczbe
˛ stanów zwiazanych
˛
(zależność od A i V , w 1D przynajmniej 1 stan
zwiazany)
˛
postulaty mechaniki kwantowej
studnia potencjału
• dokładne wartości E – numerycznie (metody
do rozwiazywania
˛
równań nieliniowych)
• κ=
p
−2m
E
~2
, k0 =
p
2m(E + V )/~2 = 2π/λ0
• parzyste : Ψ = l exp(κx) dla x < −A/2, Ψ = cos(k 0 x)
dla x ∈ [−A/2, A/2], Ψ = l exp(−κx)
• nieparzyste Ψ = l exp(κx) dla x < −A/2,
Ψ = sin(k 0 x) dla x ∈ [−A/2, A/2], Ψ = −l exp(−κx)
• im wieksza
˛
energia: tym głebsza
˛
penetracja w bariere˛
• w granicy nieskończenie głebokiej
˛
studni penetracja
zaniedbywalna, wtedy
0
• dla parzystych: k 2A = (2n + 1) π
2
0
• dla nieparzystych: k 2A = (2n) π
2
•
• m = 0.067m0 , A = 50 nm, V = −100 meV,
E1 = −98.15 meV, E2 = −92.4 meV,
E3 = −83.25 meV.
~2 nπ 2
• ogólnie k 0 A = nπ → E = V + 2m
( A )
0
postulaty mechaniki kwantowej
wiecej
˛
niż 1 wymiar
• dotychczasowe rozważania: 1D, czastka
˛
swobodna w 2D
2
2
py
2
px
• H = 2m
+ 2m
= −~
2m
∂2
∂x 2
+
∂2
∂y 2
= Hx + Hy
• separacja zmiennych - gdy potencjał w postaci sumy cz˛
eści zależnych od
x, y
• Ψ = Ψx (x)Ψy (y ) do równania własnego HΨ = EΨ , podzielić przez Ψ
•
Hx Ψx (x)
Ψx (x)
+
Hy Ψy (y )
Ψ( y )
=E →
Hx Ψx (x)
Ψx (x)
= Ex ,
Hy Ψy (y )
Ψy (y )
= Ey , Ex + Ey = E.
• wniosek: jeśli Hamiltonian można podzielić na sume
˛ operatorów zależnych
od ortogonalnych współrz˛ednych, to funkcja falowa: iloczyn funkcji tych
operatorów, a energia: suma
1
• Ψ = Ψx (x)Ψy (y ) = 2π
exp(ikx x + iky y ),
E(kx , ky ) =
~2
2m0
(kx2 + ky2 ) =
~2
2m0
(k2 ) - paraboliczna relacja dyspersji
postulaty mechaniki kwantowej
wiecej
˛
niż 1 wymiar
• dotychczasowe rozważania: 1D, lecz przestrzeń 3D
• uwiezienie
˛
w jednym z kierunków V (r) = V (z) - studnia kwantowa
2
2
2
py
2
px
pz
∂2
∂2
∂2
• H = 2m
+ 2m
+ 2m
+ V (z) = −~
2m ( ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2 ) + V (z) = Hxy + Hz
• separacja zmiennych - gdy potencjał w postaci sumy cz˛
eści zależnych od x, y , z
• Ψ = Ψ(x, y )Ψz (z) do równania własnego HΨ = EΨ , podzielić przez Ψ
•
Hxy Ψ(x,y )
Ψ(x,y )
+
Hz Ψz (z)
Ψ(z)
=E →
Hxy Ψ(x,y )
Ψ(x,y )
= Exy oraz
• jeśli V (z) : nieskończona studnia potencjału, Ez =
n = 2k + 1, Ψnz = sin(n πL x) dla n = 2k .
Hz Ψz
Ψz
~2
2m0
= Ez , E = Ex,y + Ez
2
n
π
( nπ
L ) , Ψz = cos(n L x) dla
1
• w naszym przypadku: Ψ(x, y , z) = 2π
exp(ikx x + iky y )Ψnz (z), oraz
E =
~2
2m0
(kx2 + ky2 ) +
~2
2m0
2
( nπ
L ) .
•
• Relacja dyspersji: dla studni kwantowej
postulaty mechaniki kwantowej
studnia kwantowa
• w naszym przypadku:
Ψ(x, y , z) =
E =
~2
2m0
(kx2
1
2π
+
exp(ikx x + iky y )Ψnz (z), oraz
ky2 )
+
~2
2m0
2
( nπ
L ) .
•
•
• Relacja dyspersji: dla studni kwantowej
• struktury produkowane z wykorzystaniem
materiałów półprzewodnikowych o podobnej
strukturze krystalicznej (gładki wzrost) i różnych
przerwach energetycznych.
• Podstawowe problemy MQ, rozważane przed II WŚ
- zastosowanie do układów produkowanych od lat
80 XXw.
•
postulaty mechaniki kwantowej
nanostruktury półprzewodnikowe
2
2
~
• jeśli V (z) : nieskończona studnia potencjału, Ez = 2m
( nπ
L ) ,
0
Ψz =
cos(n πL x)
dla n = 2k + 1, Ψz =
sin(n πL x)
dla n = 2k .
1
• w naszym przypadku: Ψ(x, y , z) = 2π
exp(ikx x + iky y )Ψnz (z), oraz
E =
~2
2m0
(kx2 + ky2 ) +
~2
2m0
2
( nπ
L ) .
•
• dla energii poniżej drugiego modu (E(n = 2, kx = 0, ky = 0)), wszystkie
stany odpowiadaja˛ n = 1 - układ efektywnie 2D
~2 nx π 2
~2 n y π 2
~2 2
• druty kwantowe: E = 2m
( Lx ) + 2m
( Ly ) + 2m
k
0
0
0
~2 ny π 2
~2 nz π 2
~2 n x π 2
• kropki kwantowe E = 2m
( Lx ) + 2m
( Ly ) + 2m
( Lz )
0
0
0
• kropka kwantowa: sztuczny atom (lata 90 XXw).
• atomy naturalne: obiekty 3D o symetrii obrotowej → moment pedu
˛
postulaty mechaniki kwantowej
dwuwymiarowy oscylator harmoniczny
2
~
• H = Hx + Hy , Hx = − 2m
∂2
0 ∂x 2
+
2 2
1
2 m0 ωx x
• Hx ψn (x) = (nx + 12 )~ωx ψnx (x)
2
pm
m ωx
• ψnx (x) = Cnx exp(− 02~ )Hn (
0ω
~ x),
gdzie Hn - wielomian
Hermite’a=1, z, z 2 − 1, z 3 − 3z, etc.
2 2
• oscylator izotropowy ω = ωx = ωy , V = mω
2 r ,
En = Enx ,ny = ~ω(1 + nx + ny ) = ~ω(1 + n) ; ψ(x, y ) = ψnx (x)ψny (y )
•
E
~ω
2~ω
2~ω
3~ω
3~ω
3~ω
n = nx + ny
0
1
1
2
2
2
nx
0
1
0
1
0
2
ny
0
0
1
1
2
0
• stan o energii (1 + n)~ω , jest n krotnie zdegenerowany. Zazwyczaj stopień degeneracji
(liczba zdegenerowaych stanów) rośnie z energia.
˛
•
postulaty mechaniki kwantowej
moment pedu
˛
→
−
→
−
→
−
• klasycznie L = r × p =
→
−
ex
x
px
→
−
ey
y
py
→
−
ez
z
pz
= (ŷ p̂z − ẑ p̂y , ẑ p̂x − x̂ p̂z , x̂ p̂y − ŷ p̂x )
∂
∂
• kwantujemy L̂z = x̂ pˆy − ŷ pˆx = −i~x ∂y
+ i~y ∂x
• [L̂x , L̂y ] = [ŷ p̂z − ẑ p̂y , ẑ p̂x − x̂ p̂z ] = i~L̂z
• ogólnie [L̂i , L̂j ] = i~
P3
k =1
ijk L̂k , z ijk - symbol antysymetryczny (Leviego-Civity).
• Lx , Ly - wielkości niekompatybilne
• L2 = L2x + L2y + L2z
• [L̂2 , L̂z ] = [L̂2 , L̂x ] = [L̂2 , L̂y ] = 0 → baza: funkcje własne L̂2 oraz L̂z .
postulaty mechaniki kwantowej
składowa z-owa momentu pedu
˛
• kwantujemy L̂z = x̂ pˆy − ŷ pˆx
∂
∂
• L̂z = −i~x ∂y
+ i~y ∂x
• współrz˛
edne biegunowe x = r cos(φ), y = r sin(φ)
∂
• L̂z = −i~ ∂φ
• L̂z = −i~
∂x ∂
∂φ ∂x
+
∂y ∂
∂φ ∂y
• [T , Lz ] = 0 (sprawdzić)
• o ile potencjał ma symetrie
˛ obrotowa,
˛ to jest V (r) = V (|r|) → [H, Lz ] = 0, czyli istnieja˛
wspólne funkcje własne energii i z-owej składowej momentu pedu
˛
• L̂z f (φ) = λf (φ) → fλ (φ) = √1 exp(imφ)
2π
• ze wzgledu
˛
na f (φ + 2π) = f (φ) → m - integer
• wartość własna λ = m~
• m - magnetyczna liczba kwantowa
postulaty mechaniki kwantowej
wspólne funkcje własne H i Lz
∂
• L̂z = −i~ ∂φ
• Hamiltonian 2D we współrz˛
ednych biegunowych dla radialnego potencjału:
2
~
H = − 2m
( 1r
0
∂
∂r
+
∂2
∂r 2
−
1
~2 r 2
L̂2z ) + V (r )
• [L̂z , H] = [L̂z , V (r)]
• potencjał ma symetrie
˛ obrotowa˛ (jest radialny) gdy V (r) = V (r )
• jeśli potencjał izotropowy (o symetrii obrotowej, niezależny od kata)
˛ [L̂z , V (r )] = 0
fm (φ) =
√1
2π
exp(imφ)
• każda funkcja typu Ψ(r , φ) = F (r )fm (φ) - funkcja własna L̂z
• uwaga: dla funkcji własnych L̂z mamy izotropowa˛ gestość
˛
ładunku |Ψ(r , φ)|2 = |F (r )|2
postulaty mechaniki kwantowej
wspólne funkcje własne H i Lz
• Hamiltonian w biegunowych dla radialnego potencjału:
2
~
H = − 2m
( 1r
0
∂
∂r
+
∂2
∂r 2
−
1
r 2 ~2
L̂2z ) + V (r )
2 2
2
~2 1 ∂
• radialny Hamiltonian dla stanów o określonym m: H = − 2m
(
+ ∂ 2 ) + ~ m 2 + V (r )
∂r
2m0 r
0 r ∂r
• potencjał odśrodkowy/ centryfugalny, skutek : fm (r ) przy r → 0 znika jak r |m| . tylko stany z
m = 0 maja˛ niezerowa˛ gestość
˛
prawdopodobieństwa w r = 0. Poziomy energetyczne z +|m|
oraz −|m| zdegenerowane.
• odpowiedni fakt w fizyce klasycznej: ciała z m 6= 0 nie spadaja˛ na centrum potencjału (np.
źródło potencjału grawitacyjnego)
postulaty mechaniki kwantowej
moment pedu
˛
3D
• [Lˆ2 , L̂z = 0]
∂
• L̂z = −i~ ∂φ
(bez zmian z biegunowych)
• Lˆ2 = −~2
∂
1
sin θ ∂θ
∂
sin θ ∂θ
+
∂2
1
sin2 θ ∂φ2
• operator nie zawiera r , a wiec
˛ jest przemienny z każdym V (r )
2
~
• ponadto H = V (r ) − 2m
∇2
0
2
∂
• ∇2 = ∂ 2 + 2r ∂r
− 21 2 Lˆ2
∂r
~ r
•
2
• [H, L̂ ] = 0
postulaty mechaniki kwantowej
moment pedu
˛
3D
∂
∂
• L̂z = −i~ ∂φ
, Lˆ2 = −~2 sin1 θ ∂θ
∂
sin θ ∂θ
+
Lˆz 2
sin2 θ
•
2
• wspólne funkcje własne L̂ oraz L̂z : harmoniki sferyczne
Ylm (θ, φ)
• L̂2 Ylm = ~2 l(l + 1)Ylm (tzw. kwadrat kwantowy: l(l + 1))
p
• rysunek obok: (
(6) = 2.4 - moment pedu
˛
jest dłuższy niż
jego maksymalna składowa z-owa)
• wniosek: energia dla potencjałów radialnych zależeć może
tylko od l, nie m - degeneracja ze wzgledu
˛
na m
• orbitalna liczba kwantowa: l = 0, 1, 2, 3, orbitale s, p, d, f
• dla danej l możliwe wartości magnetycznej liczby kwantowej
m = −l, −l + 1, . . . , 0, 1, . . . , l − 1, l
• Lˆz Ylm = ~mYlm
• Ylm (θ, φ) = Nlm Plm (cos θ) exp(imφ)
• Plm - stowarzyszone wielomiany Legendre’a,
postulaty mechaniki kwantowej
moment pedu
˛
3D
•
• wspólne funkcje własne L̂2 oraz L̂z : harmoniki sferyczne
Ylm (θ, φ)
• Ylm (θ, φ) = Nlm Plm (cos θ) exp(imφ)
• Plm - tzw. stowarzyszone wielomiany Legendre’a,
m
d
Plm = Cm (1 − x 2 )m/2 dx
m Pl (x)
• uwaga: to dla nieparzystych m wcale nie sa˛ wielomiany
• Pl - wielomiany Legendre’a
• Y00 = √1
• Y10 =
•
p4π
(normalizacja do kata
˛ pełnego |Y00 |2 )
3
4π
cos θ, Y1±1 =
p
Y20 = C(3 cos2 θ − 1), Y2±1
Y2±2 = C exp(±2iφ) sin2 θ
3
8π
exp(±iφ) sin θ
= C exp(±iφ) sin θ cos θ,
• źródło: Wolfram
• zgodnie z wcześniejsza˛ dyskusja:
˛ stany z
l 6= 0 znikaja˛ w r = 0.
postulaty mechaniki kwantowej
atom wodoru
2
2
~
e
• H = V (r ) − 2m
∇2 , V (r ) = − 4π
0
0r
2
∂
• ∇2 = ∂ 2 + 2r ∂r
− 12 l(l + 1)
∂r
r
m
• ψnlm = Rnl (r )Yl (θ, φ) [tak dla każdego V (r )]
m e4
• Hψnlm = En ψnlm z En = − 12 [ 2 0 2 ]
2n
π ~ 0
• brak zależności energii od l, tylko dla V (r ) = −1/r
r
• Rnl (r ) = Cnl exp(− na
)r l L2l+1
( r ), promień
n−l−1 na
Bohra a =
•
Lba
4π0 ~2
m0 e2
= 0.05292 nm.
- uogólnione wielomiany Laguerra
•
• n - główna liczba kwantowa (1, 2, . . . )
• l - orbitalna liczba kwantowa (0, 1, . . . , n − 1)
• m - magnetyczna liczba kwantowa (−l, −l + 1, . . . , l − 1, l)
• degeneracja: n− tego poziomu n2 -krotna
postulaty mechaniki kwantowej
atom wodoru
2
2
~
e
• H = V (r ) − 2m
∇2 , V (r ) = − 4π
0
0
2
∂
• ∇2 = ∂ 2 + 2r ∂r
− 12 l(l + 1)
∂r
r
• ψnlm = Rnl (r )Ylm (θ, φ),
m e4
• Hψnlm = En ψnlm z En = − 12 [ 2 0 2 ],
2n
π ~ 0
[]-jednostka Hartree, 27.211 eV
r
• Rnl (r ) = Cnl exp(− na
)r l L2l+1
( r ), promień
n−l−1 na
Bohra a =
•
Lba
4π0 ~2
m0 e2
= 0.05292 nm.
- uogólnione wielomiany Laguerra
• n = 1, 2, . . . , l = 0, 1, . . . n − 1,
m = −l, −l + 1, . . . l − 1, l
•
•
postulaty mechaniki kwantowej
atom wodoru
•
• rozmiar orbity - proporcjonalny do n2 (atom wodoru może
być dowolnie wielki)
• atomy rydbergowskie, n → ∞
• jony wodoropodobne, EnZ = −Z 2 EnH , anZ = a0 /Z .
•
postulaty mechaniki kwantowej
widmo i potencjał kulombowski
• 2hT i = −hV i
• próg continuum
•
postulaty mechaniki kwantowej
przejścia promieniste
• stany własne H gestość
˛
ładunku elektronowego e|Ψ|2 nie
zależy od czasu
• najbardziej efektywne sprz˛
eżenie –
dipolowe. Pstwo przejścia : |hΨm |xΨn i|2 ,
• superpozycja stanów własnych
Ψ = an Ψn exp(−iEn t/~) + am Ψm exp(−iEm t/~), weźmy
rzeczywiste a i Ψm/n
• |Ψ|2 =
• pstwo przejścia dipolowego niezerowe
gdy zmiana parzystości, ∆l = ±1 oraz
∆m = 0, ±1
• przejścia dozwolone - znaczy z
n t)
|am Ψm (x)|2 +|an Ψn (x)|2 +2am an Ψm (x)Ψn (x) cos( Em −E
~
• zmienna w czasie gestość
˛
ładunku, ruch - generuje zmienne
n , które
w czasie pole elektryczne o cz˛estości ν = Em −E
h
sprz˛ega sie˛ z polem elektromagnetycznym. sprz˛eżenie
prowadzi do przejścia elektronu do niższego stanu z emisja˛
fotonu o energii hν
dipolowym elementem przejścia 6= 0
• reguły wyboru dla przejść dipolowych
• przejścia "zabronione" przez reguły
wyboru również zachodza,
˛ ale dużo mniej
efektywnie (przejścia kwadrupolowe).
postulaty mechaniki kwantowej
przejścia priomieniste
• najbardziej efektywne sprz˛
eżenie :
dipolowe hΨm |xΨn i, jego wartość
decyduje o tempie relaksacji, które jest
niezerowe gdy zmiana parzystości,
∆l = ±1 oraz ∆m = 0, ±1, (przejścia
dozwolone, reguły wyboru dla przejść)
• pozostałe przejścia: zabronione wg reguł
wyboru
• uwaga 1) dla każdego mechanizmu
deekscytacji - inne reguły wyboru 2)
istnieja˛ przejścia wyższego rz˛edu:
kwadrupolowe (ab, gdzie a, b = x, y , z o
znacznie dłuższych czasach przejścia)
•
postulaty mechaniki kwantowej
efekt Zeemana
• atom w polu magnetycznym, opis - zmiana operatora pedu
˛
p → p − eA, gdzie B = ∇ × A
2
2
2
2
2
e2
e
e~
• operator energii kinetycznej: T = − ~
2m ∇ + 8m0 B (x + y ) + 2m0 BLz , gdzie µB = 2m0
• czynnik z B 2 - diamagnetyczny, czynnik z Lz - paramagnetyczny
• zewnetrzne
˛
B które można osiagn
˛ ać
˛ w laboratorium sa˛ małe - czynnik paramagnetyczny
dominujacy,
˛ diamagnetyczny - tylko gdy zerowy moment pedu
˛
• Efekt Zeemana - znosi degeneracje,
˛ ze wzgledu
˛
na magnetyczna˛ liczbe˛ kwantowa:
˛ m
•
postulaty mechaniki kwantowej
efekt Zeemana
• zobaczmy klasycznie: moment magnetyczny petli z pradem:
˛
µ = IA, I = −ef , gdzie f -
obrótów na jednostk˛e czasu, µ = −ef πR 2
→
−
−
• moment pedu:
˛
Lz = m0 vR = m0 2πRfR , →
µ = − 2me L
0
• energia oddziaływania dipola magnetycznego z zewnetrznym
˛
polem magnetycznym
→
−
−
E = −→
µ · B = −µB cos θ = −µz B =
• E =
e~
2m0
e
2m0
Lz B
mB = µB mB, µB = magneton Bohra
• stad
˛ nazwa liczby m zwiazanej
˛
z Lz - magnetyczna liczba kwantowa, B rozszczepia poziom o
danym l na 2l + 1 podpoziomów.
postulaty mechaniki kwantowej
doświadczenie Sterna-Gerlacha
• 1922 Stern i Gerlach - atomy w gradiencie
pola magnetycznego: wykrycie kwantyzacji
momentu magnetycznego
•
• moment magnetyczny atomu: zwiazany
˛
prawie
całkowicie z elektronami, moment
magnetyczny jadra
˛
jest mały (ważny – NMR,
e~
ale mały 2m
)
• możliwych wartości m dla danego l jest 2l + 1
linii
•
• przy pomiarach na atomach srebra
e~
• gradient B: E(x, m) = 2m
mB(x) = µB mB(x)
0
• klasycznie: w niejednorodnym polu
magnetycznym poza momentem sił, siła
wypadkowa
(konfiguracja: 4d 10 5s1 , czyli na otwartej
powłoce moment pedu
˛ orbitalny 0), 2 linie (???
czemy nie jedna i czemu parzysta liczba )
• 1925 Goudsmit, Uhlenbeck - hipoteza spinu
elektronowego
postulaty mechaniki kwantowej
spin
• 1925 Goudsmit, Uhlenbeck - hipoteza spinu elektronowego
•
• ruch dookoła jadra
˛
i wokół własnej osi (wewnetrzny
˛
moment pedu
˛
spin)
• spin - wewnetrzny
˛
moment pedu,
˛
który charakteryzuje spinowa liczba kwantowa s = 1/2
(odpowiednik l)
• możliwych 2s + 1 = 2 stanów, w sensie rzutu spinu na wybrany kierunek ms = ± 21 .
• S 2 = s(s + 1)~2 = 34 ~2
µ ~
L
• dipolowy moment orbitalny µ
~l = − ~B
µ ~
S
B
• dipolowy moment spinowy µ
~s = −2 ~
• dwójka - spinowy czynnik żyromagnetyczny (z równania Diraca).
• E(l = 0, s) = −µ
~s · ~
B = + me ~
S·~
B
• dla l = 0 cały moment magnetyczny w spinie, tzw. dublety spinowe rozszczepione przez pole
magnetyczne
postulaty mechaniki kwantowej
spinowy efekt Zeemana dorobić
postulaty mechaniki kwantowej