Relatywistyczna metoda wielokonfiguracyjna w obliczeniach

Paweł Syty
Relatywistyczna metoda wielokonfiguracyjna
w obliczeniach atomowych
Rozprawa doktorska wykonana pod kierunkiem
prof. dr hab. Józefa E. Sienkiewicza
Politechnika Gdańska
Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej
Gdańsk 2003
Dziękuję Prof. Józefowi E. Sienkiewiczowi
za opiekę naukową i pomoc przy tworzeniu pracy.
3
Spis treści
Spis treści
1. Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2. Opis metody teoretycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.1.
Równanie Diraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2.
Relatywistyczna metoda wielokonfiguracyjna . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1.
Hamiltonian Diraca-Coulomba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.2.
Poprawki do hamiltonianu Diraca-Coulomba . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.3.
Obliczanie stanów widma dyskretnego. Równania Diraca-Focka
2.2.4.
Prawdopodobieństwa przejść . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.5.
Obliczanie stanów widma ciągłego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
. . 15
3. Metodyka obliczeń numerycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.
Obliczenia czasów życia ośmiokrotnie zjonizowanego atomu wapnia . . . . . 23
3.2.
Obliczenia prawdopodobieństw przejść wzbronionych między poziomami
należącymi do konfiguracji podstawowej atomu bizmutu . . . . . . . . . . . 26
3.3.
Obliczenia różniczkowych przekrojów czynnych i polaryzacji spinowych
w rozpraszaniu powolnych elektronów na atomach argonu i ksenonu . . . . 27
4. Wyniki i dyskusja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1.
Czasy życia ośmiokrotnie zjonizowanego atomu wapnia . . . . . . . . . . . 32
4.2.
Prawdopodobieństwa przejść wzbronionych w bizmucie . . . . . . . . . . . 35
4.3.
Różniczkowe przekroje czynne i polaryzacje spinowe w rozpraszaniu
powolnych elektronów na atomach gazów szlachetnych . . . . . . . . . . . . 37
4.3.1.
Rozpraszanie elektronów na argonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3.2.
Rozpraszanie elektronów na ksenonie . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5. Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Uzupełnienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
A. Prawdopodobieństwa przejść E1 w jonie wapnia Ca8+ . . . . . . . . . . . . . . 56
B. Czasy życia poszczególnych poziomów w jonie wapnia Ca8+ . . . . . . . . . . 60
Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1. Wstęp
4
1. Wstęp
W ciągu wielu lat nie słabnie zainteresowanie, zarówno eksperymentatorów jak
i teoretyków, rozpraszaniem elektronów na atomach gazów szlachetnych. Przyczyną tego jest ciągły rozwój doświadczalnych technik badawczych pozwalających na
dokładne pomiary różniczkowych i całkowitych przekrojów czynnych, które z kolei
stają się obiektem porównań do przeprowadzanych obliczeń teoretycznych. Ta sprzyjająca sytuacja pozwala na testowanie różnych teoretycznych podejść obejmujących
swym zasięgiem teorie modelowe, półempiryczne jak i najbardziej zaawansowane
typu ab initio, czyli wywodzące się z podstawowych zasad. W szczególności dotyczy
to rozpraszania elektronów na atomach argonu i ksenonu, gdzie zgromadzono do
tej pory bardzo bogaty materiał doświadczalny i teoretyczny obejmujący nie tylko
różniczkowe i całkowite przekroje czynne, lecz również przekroje na przekazanie
momentu pędu i spinową polaryzację rozpraszanych elektronów.
Do najbardziej zaawansowanych metod teoretycznych, przeznaczonych głównie
do obliczania procesów sprężystego rozpraszania elektronów na atomach gazów szlachetnych, należy wielokonfiguracyjna metoda Hartree-Focka (MCHF) rozwinięta
na przełomie lat osiemdziesiątych i dziewięćdziesiątych ubiegłego stulecia przez
H.P. Sahę (1989, 1990, 1991). W swej pierwotnej i od lat rozwijanej postaci, metoda
MCHF jest głównym narzędziem służącym do obliczania energetycznych poziomów
atomowych oraz prawdopodobieństw przejść między nimi. W tej dziedzinie największe zasługi poniosła Charlotte Froese Fischer wraz z kierowaną przez nią grupą.
Zastosowanie tej metody do rozpraszania elektronów na atomach pozwala na najbardziej podstawowy opis efektów korelacyjnych i polaryzacyjnych w ramach metody
oddziaływania konfiguracji (CI). Uzyskane tą metodą wyniki dla helu, neonu i argonu pozostają w bardzo dobrej zgodności z dostępnymi danymi doświadczalnymi
i całym szeregiem wyników teoretycznych.
Pod koniec lat dziewięćdziesiątych J.E. Sienkiewicz wraz ze współpracownikami,
I.P. Grantem, S. Fritzschem i W.E. Baylisem (1995, 1997), zaczął rozwijać analogiczne zastosowanie wielokonfiguracyjnej metody Diraca-Focka (MCDF), tym razem
opartej o relatywistyczne równanie Diraca. Czasem ta metoda jest precyzyjniej nazywaną metodą Diraca-Hartree-Focka (MCDHF). Oprócz wszystkich pozytywnych
cech metody MCHF uwzględnia ona oddziaływanie spin-orbita i inne efekty relatywistyczne. W pierwotnym swym przeznaczeniu, jest ona również bardzo dobrze
ugruntowaną metodą obliczania relatywistycznych struktur atomowych i prawdopo-
1. Wstęp
5
dobieństw przejść, którą zawdzięczamy głównie P.A. Parpii. C. Froese Fischer i I.P.
Grantowi (1996).
Celem obecnej pracy jest dalszy rozwój zastosowań metody MCDF do rozpraszania na atomach poprzez doskonalenie i rozwój programu numerycznego, jak również
wykonanie szeregu obliczeń różniczkowych przekrojów czynnych i polaryzacji spinowej sprężyście rozpraszanych elektronów na atomach argonu i ksenonu. Atomy
te, a w szczególności ksenon, należą do cięższych gazów szlachetnych, gdzie zaniedbanie efektów relatywistycznych, w tym oczywiście podstawowego oddziaływania
spin-orbita, prowadzi do błędnych wyników, a wręcz uniemożliwia liczenie spinowej
polaryzacji rozpraszanych elektronów.
Zanim jednak przejdę do obliczeń rozpraszania elektronów na atomach przedstawię pierwotne zastosowanie metody MCDF do obliczeń struktur atomowych. Jako
obiekty do wykonania obliczeń wybrałem ośmiokrotnie zjonizowany atom wapnia
(Ca8+ ) i atom bizmutu (Bi). Ten wybór nie jest przypadkowy, oprócz bowiem
nabrania przeze mnie wprawy i biegłości w wykonywaniu obliczeń, istnieje zapotrzebowanie na alternatywne dane teoretyczne potrzebne do prawidłowej interpretacji
nowych danych doświadczalnych.
Teoretyczne obliczenia czasów życia ośmiokrotnie zjonizowanego atomu wapnia
były przeprowadzone po raz pierwszy w 1977 roku (Cheng i Johnson). Kolejne wyniki
zostały opublikowane w latach osiemdziesiątych ubiegłego stulecia (Froese Fischer
i Godefroid, 1982; Fawcett, 1983; Christensen i współprac., 1986) lecz ciągle brakowało danych doświadczalnych, mogących posłużyć do ich weryfikacji. Dopiero w drugiej
połowie lat dziewięćdziesiątych ubiegłego stulecia, został przeprowadzony w Niemczech dokładny eksperyment, który dostarczył takich danych (Träbert i współprac.,
1996). Okazało się wówczas, że dotychczasowe teoretycznie wyliczone czasy życia
omawianego jonu znacznie się różnią od czasów życia zmierzonych w doświadczeniu.
Przypuszczam, że przyczyną tych rozbieżności jest nieuwzględnienie w obliczeniach
istotnych poprawek relatywistycznych oraz relaksacji orbitali należących do różnych
grup symetrii, a także zbyt mały rozmiar bazy użytej do rozwinięcia funkcji falowej i nieodpowiednie uwzględnienie korelacji między poszczególnymi konfiguracjami.
W dzisiejszych czasach dysponujemy już narzędziami (programami komputerowymi)
zdolnymi do dużo bardziej zaawansowanych i w pełni relatywistycznych obliczeń
uwzględniających wyżej wymienione efekty oraz pozwalającymi na uwzględnienie
dziesiątek tysięcy wyznaczników Slatera w rozwinięciu funkcji falowej. Pierwszym
1. Wstęp
6
celem naukowym mojej pracy jest zatem weryfikacja wyników poprzednich obliczeń
teoretycznych przy użyciu wielokonfiguracyjnej metody Diraca-Focka.
W dalszej części rozprawy doktorskiej zastosowałem wielokonfiguracyjną metodę
Diraca-Focka do obliczenia zabronionych elektrycznych dipolowych przejść w atomie bizmutu (BiI). Obliczone w wielu pracach prawdopodobieństwa przejść dla silnych przejść dipolowych (E1) pozostają w zasadzie w dobrej zgodności z danymi doświadczalnymi. Z inną sytuacją spotykamy się w przypadku słabych przejść
magnetycznych dipolowych (M1) i elektrycznych kwadrupolowych (E2). Tego typu
przejścia pomiędzy poziomami atomowymi opisuje drugi rząd teorii promieniowania. Wyniki obliczeń teoretycznych są potrzebne do oszacowywania intensywności
obserwowanych doświadczalnie linii widmowych, jak również do weryfikacji wyników obliczeń otrzymywanych metodami półempirycznymi. Należy się spodziewać,
że nawet bardzo ograniczone mieszanie konfiguracji da dobrą zgodność z danymi
doświadczalnymi dotyczącymi energii wybranych przejść. Zazwyczaj sytuacja jest
bardziej skomplikowana, gdy chodzi o same prawdopodobieństwa przejść. Wpływ
domieszek pochodzących od innych konfiguracji jest zazwyczaj bardzo słaby i niekoniecznie musi prowadzić do poprawy zgodności z danymi doświadczalnymi. Może
to zachodzić nawet w przypadku, gdy różnice obliczonych poziomów energetycznych
dobrze zgadzają się z danymi doświadczalnymi. Stan podstawowy bizmutu o konfiguracji 6s2 6p3 jest otwartopowłokowy, co dodatkowo zwiększa stopień trudności
obliczeniowej. W swoich obliczeniach skoncentrowałem się na przejściach pomiędzy
poziomami atomowymi konfiguracji stanu podstawowego. Ponieważ są one stanami
o takiej samej parzystości (tutaj wszystkie są nieparzyste), to przejścia elektryczne dipolowe pomiędzy nimi są zabronione. Z tego względu wszystkie wzbudzone
poziomy są metastabilne. W tym wypadku jedynie przejścia magnetyczne dipolowe (M1) i elektryczne kwadrupolowe (E2) są dozwolone w drugim rzędzie teorii
promieniowania. Tego typu przejścia w talu, ołowiu, bizmucie, polonie i aktynie były intensywnie badane teoretycznie m.in. przez Biemonta i Quineta (1996), którzy
użyli relatywistycznej metody Hartree-Focka (HFR). W tej metodzie pewne całki
oddziaływania elektrostatycznego i oddziaływania spin-orbita są sparametryzowane
w celu dopasowania liczonych poziomów energetycznych do wielkości obserwowanych
doświadczalnie. Z tego powodu zgodność pomiędzy odpowiednimi poziomami energetycznymi jest duża. Ciągle jednak brak dostatecznie dobrej zgodności pomiędzy
odpowiednimi prawdopodobieństwami przejść. W celu przetestowania wielokonfigu-
1. Wstęp
7
racyjnej metody Diraca-Focka, przed przystąpieniem do obliczeń stanów z widma
ciągłego, dodatkowo wyznaczyłem sobie jako kolejny cel policzenie przejść pomiędzy
poziomami konfiguracji 6s2 6p3 atomu bizmutu. Zastosowana przeze mnie w pełni
relatywistyczna i typu ab initio metoda MCDF jest lepsza w porównaniu do użytej przez Biemonta i Quineta metody HFR, która efekty relatywistyczne traktuje
w sposób przybliżony. Obie metody są efektywne w przypadku brania pod uwagę dużych liczb oddziałujących ze sobą konfiguracji. Trzeba jednak zaznaczyć, że
stosowana tu metoda MCDF jest o wiele bardziej pracochłonna, ponieważ z powodu znanych trudności ze zbieżnością trzeba ograniczać opis efektów korelacyjnych
bądź też dodatkowo stosować inne techniki wspomagające, jak np. metodę orbitali
nieortogonalnych.
Ostatnim celem naukowym pracy jest policzenie wielokonfiguracyjną metodą
Diraca-Focka (inaczej zwaną też wielokonfiguracyjną metodą oddziaływania konfiguracji) – i porównanie z innymi dostępnymi wynikami teoretycznymi i danymi
doświadczalnymi – przekrojów czynnych na rozpraszanie i polaryzację spinową niskoenergetycznych elektronów rozpraszanych na atomach gazów szlachetnych, takich
jak ksenon i argon, a więc obliczenia stanów należących tym razem do widma ciągłego. Co bardzo ważne, nie zostały dotychczas przeprowadzone tą metodą żadne
inne obliczenia polaryzacji spinowej i różniczkowych przekrojów czynnych na rozpraszanie elektronów na argonie. W przypadku ksenonu, choć istnieją już wyniki
obliczeń polaryzacji spinowych wykonanych przy użyciu tej metody przez jej autorów (Sienkiewicz i współprac., 1995), to w rzeczywistości dopiero obecne obliczenia są
przeprowadzone na tak dużą skalę, z jednoczesnym uwzględnieniem różniczkowych
przekrojów czynnych.
Istnieje też inny, bardzo istotny powód, dla którego postanowiłem zająć się badaniem rozpraszania powolnych elektronów na argonie. Otóż, choć przekroje czynne
na rozpraszanie powolnych elektronów na atomach argonu były niejednokrotnie wyznaczane doświadczalnie, to dopiero oryginalny eksperyment z użyciem lokalnego
pola magnetycznego, przeprowadzony przez grupę pracowników Politechniki Gdańskiej (Zubek i Mielewska, 2000; Mielewska, 2003) pozwolił na ich pomiar dla dużych
kątów rozproszenia. Okazało się, że właśnie dla takich kątów istnieją znaczne rozbieżności między teorią a doświadczeniem. Jednym z ważnych celów niniejszej pracy
jest również sprawdzenie, czy nowa metoda poprawniej od dotychczasowych oddaje
1. Wstęp
8
zachowanie się krzywej przekrojów czynnych na rozpraszanie pod dużymi kątami,
przy szczególnie dokładnym uwzględnieniu efektów korelacyjno-polaryzacyjnych.
W następnym rozdziale swojej rozprawy doktorskiej przedstawię opis użytej metody teoretycznej. W kolejnym, trzecim rozdziale, omówię zastosowaną przeze mnie
technikę obliczeń numerycznych. Rozdział czwarty w całości jest poświęcony przedstawieniu i przedyskutowaniu uzyskanych wyników. Rozprawę kończą podsumowanie, uzupełnienia oraz spis literatury.
9
2. Opis metody teoretycznej
2. Opis metody teoretycznej
2.1. Równanie Diraca
Na początku 1928 r. Paul Dirac z Cambridge przedstawił Królewskiemu Towarzystwu Naukowemu (Royal Society) w Londynie swą pracę „Kwantowa teoria elektronu”. Wprowadził w niej nowe relatywistyczne równanie dla elektronu. Równanie
to, dla elektronu swobodnego (ogólniej – dla fermionu o niezerowej masie spoczynkowej), można przy użyciu jednostek atomowych zapisać w postaci (Kessler, 1985;
Sakurai, 1967; Schiff, 1977)
∂
∂
∂
∂
+ αy
+ αz
ih̄ + ih̄c αx
∂t
∂x
∂y
∂z
− βmc
2
ψ(r, t) = 0,
(1)
gdzie i oznacza jednostkę urojoną, m jest masą elektronu, c – prędkością światła,
ψ – funkcją falową elektronu, natomiast macierzowe współczynniki αx , αy , αz i β
wynoszą

αx =








αz =







0 0 0 1











0 0 1 0 
,

0 1 0 0 

1 0 0 0
0
0
1
0
0
0
0 −1
1
0
0
0
0 −1 0
0
αy =





,










β=
0
0
0 −i
0
0
i
0 −i 0
i
0
0



0 

,
0 

0

1 0
0
0
0 1
0
0 

0 0 −1
0 0
0
(2)


.
0 

−1
Współczynniki te spełniają poniższe zależności
αµ αµ + αµ αµ = 2δµµ
αµ β + βαµ = 0
(3)
β 2 = 1,
gdzie δµµ jest deltą Kroneckera.
Ponieważ αµ i β są macierzami o wymiarach 4 × 4, wzór ten ma sens jedynie
wówczas, gdy ψ posiada postać

ψ=







ψ1



ψ2 


ψ3 

ψ4
.
(4)
10
2. Opis metody teoretycznej
A zatem wyrażenie (1) reprezentuje układ czterech równań różniczkowych pierwszego rzędu, o pochodnych cząstkowych:
∂
∂
ψ4 − i
ih̄ ψ1 + ih̄c
∂t
∂x
∂
∂
ih̄ ψ2 + ih̄c
ψ3 + i
∂t
∂x
∂
∂
ψ2 − i
ih̄ ψ3 + ih̄c
∂t
∂x
∂
∂
ψ1 + i
ih̄ ψ4 + ih̄c
∂t
∂x
∂
∂
ψ4 + ψ3 − mc2 ψ1
∂y
∂z
∂
∂
ψ3 − ψ4 − mc2 ψ2
∂y
∂z
∂
∂
ψ2 + ψ1 + mc2 ψ3
∂y
∂z
∂
∂
ψ1 − ψ2 + mc2 ψ4
∂y
∂z
=0
=0
(5)
=0
= 0.
Dzięki takiemu podejściu, Diracowi udało się uniknąć pułapki, która prowadziła innych (starających się wyprowadzić relatywistyczne równanie dla elektronu analogiczną metodą jaką wyprowadzono równanie Schrödingera) do równania
Kleina-Gordona. Równanie Kleina-Gordona (Haken i Wolf, 1997) w pewnych przypadkach prowadzi bowiem (np. w zastosowaniu do pola kulombowskiego) do wyników sprzecznych z doświadczeniem albo wręcz do wyników pozbawionych sensu
fizycznego. Ponadto, równanie to nie opisywało właściwie cząstek posiadających
spin.
Wróćmy zatem do równania Diraca i opiszmy za jego pomocą elektron swobodny.
Ustalmy oś z jako kierunek propagacji fali i weźmy funkcję falową w postaci
ψj = aj ei(kz−ωt) ,
(6)
gdzie k = pz /h̄ jest wektorem falowym, a ω = E/h̄ częstością fali, przy czym E
jest energią całkowitą elektronu.1 Chcemy znaleźć współczynniki aj . W tym celu,
podstawiając wyrażenie (6) do równania (5) oraz wstawiając E = h̄ω i pz = h̄k,
otrzymujemy
−cpz a3
(E − mc2 )a1
(E − mc )a2
2
−cpz a1
1
+cpz a4 = 0
2
+(E + mc )a3
cpz a2
=0
=0
.
+(E + mc2 )a4 = 0
W kolejnych rozdziałach symbolem E będę oznaczał energię kinetyczną elektronu.
(7)
11
2. Opis metody teoretycznej
Ponieważ jest to układ równań liniowych jednorodnych, więc nietrywialne rozwiązania istnieją tylko wtedy, gdy znika następujący wyznacznik
(E − mc2 )
0
−cpz
0
(E − mc2 )
0
0
cpz
−cpz
0
(E + mc )
0
0
cpz
0
(E + mc2 )
2
,
(8)
co zachodzi gdy (E 2 − m2 c4 − c2 p2z )2 = 0, lub inaczej
E = ± c2 p2z + m2 c4 .
(9)
Będziemy rozpatrywać tylko dodatnie rozwiązania (9), co odpowiada elektronom
(ujemne energie odpowiadają bowiem pozytonom). Otrzymujemy zatem dwa liniowo
niezależne rozwiązania układu (7)
a1 = 1, a2 = 0, a3 =
cpz
, a4 = 0
E + mc2
(10)
−cpz
,
E + mc2
(11)
oraz
a1 = 0, a2 = 1, a3 = 0, a4 =
co można sprawdzić przez podstawienie.
Rozwiązanie ogólne otrzymujemy poprzez liniową kombinację powyższych rozwiązań, otrzymując ogólny kształt fali płaskiej


1
 
 
 
0
A 
  cpz
 
  E+mc2








+B






0
0
1
0
−cpz
E+mc2



 i(kz−ωt)
 e
,



(12)
gdzie A i B są pewnymi stałymi.
Zbadajmy teraz, jakie stany spinowe są opisane przez otrzymane rozwiązania.
Najpierw musimy znaleźć postać operatora spinu w teorii Diraca. Komutator tego
szukanego operatora z operatorem Hamiltona H = cα·p+βmc2 +V (r) powinien być
przeciwnego znaku niż komutator [l, H] (gdzie l = r ×p jest operatorem orbitalnego
momentu pędu), aby suma tego operatora z operatorem l komutowała z H. Takim
operatorem jest
s=
h̄
σ,
2
(13)
12
2. Opis metody teoretycznej
gdzie

σx =
0 1 0 0

















1 0 0 0 
,

0 0 0 1 

0 0 1 0

σz =

1







0
0

0
0 −1 0
σy =

0 −i 0
0
i
0
0
0 

0
0
0
0
0 −i 

i 0


,
(14)


0 

.
0 

0
0
1
0
0
0 −1
Można wykazać, że zachodzi [s, H] = −[l, H], a zatem i [l + s, H] = 0.
Ponieważ l + (h̄/2)σ może być interpretowane jako operator całkowitego momentu pędu, to wyrażenie (h̄/2)σ jest operatorem spinu (wewnętrznego momentu
pędu).
Sprawdźmy teraz, jakie stany spinowe są reprezentowane przez otrzymane rozwiązania równania Diraca. W tym celu pokażemy, że rozwiązania (10) i (11) reprezentują falę elektronu ze spinem równoległym i antyrównoległym w stosunku do
kierunku propagacji fali.
Pierwsze rozwiązanie spełnia równanie

1




0
σz 
 cpz

 E+mc2



 ikz
e



=
1



0
1·
 cpz

 E+mc2
0



 ikz
e ,



(15)
0
a zatem funkcja falowa dana przez (10) jest funkcją własną operatora sz = (h̄/2)σz
z wartością własną +(h̄/2). Podobnie, rozwiązanie (11) jest funkcją własną sz z wartością własną −(h̄/2), ponieważ zachodzi




σz 



0
1
0
−cpz
E+mc2




 ikz
e










=
0
−1
0
cpz
E+mc2



 ikz
e




=



−1 · 



0
1
0
−cpz
E+mc2



 ikz
e .



(16)
13
2. Opis metody teoretycznej
Podsumowując, równanie Diraca wyjaśnia i precyzyjnie opisuje :
– relatywistyczne elektrony,
– połówkowy spin elektronu,
– moment magnetyczny elektronu
εh̄
2mc
(gdzie ε to ładunek elektronu),
– sprzężenie spin-orbita.
Jeżeli chcemy rozważać elektrony w polu zewnętrznym, równanie Diraca będzie
teraz miało postać (Kessler, 1985)
ε
H − εφ − cα · p − A − βmc2 ψ = 0,
c
(17)
gdzie φ jest potencjałem pola elektrycznego, natomiast A jest potencjałem pola
magnetycznego.
W polu magnetycznym o indukcji B, energia elektronu związana z jego momentem magnetycznym µ wynosi
−µ · B = −
ε
ε
s · B = − 2 2 s · [E × p],
mc
mc
(18)
gdzie E jest natężeniem pola elektrycznego, związanym równaniami Maxwella z
polem magnetycznym B. Wyrażenie
−
εh̄
σ · [E × p],
4m2 c2
które otrzymujemy z wyrażenia (18) wstawiając w nim s =
(19)
h̄
σ
2
i uwzględnia-
jąc dodatkowy czynnik 1/2 wynikający z precesji Thomasa, jest nazywane energią
spin-orbita, jako że pochodzi od oddziaływania spinu z polem magnetycznym wytwarzanym w trakcie orbitalnego ruchu elektronu. Jeżeli ruch odbywa się w polu
centralnym o energii potencjalnej V (r), gdzie E = − 1ε (dV /dr)(r/r) otrzymujemy,
że
1 dV r
1 1 dV
ε
×p =
(s · l).
(20)
− 2 2s · −
2m c
ε dr r
2m2 c2 r dr
W przypadku potencjału kulombowskiego, energia spin-orbita wraz ze wzrostem odległości zanika szybciej niż energia kulombowska i dlatego przy dużych odległościach
od jądra może być zaniedbywana.
2.2. Relatywistyczna metoda wielokonfiguracyjna
2.2.1. Hamiltonian Diraca-Coulomba
Załóżmy, że jedynymi oddziaływaniami wewnątrz N–elektronowego atomu są
oddziaływania elektrostatyczne, a jądro jest punktowe, nieskończenie ciężkie i bez-
14
2. Opis metody teoretycznej
spinowe. Przy przyjęciu takich założeń i zastosowaniu jednostek atomowych, hamiltonian atomowy ma postać
H
DC
=
N
Hi +
N
−1
i=1
i=1
N
1
,
j=i+1 |r i − r j |
(21)
gdzie Hi jest jednoelektronowym operatorem Diraca
Hi = c
3
αki pik + (β i − 1)c2 + Vnuc (r i )
i = 1, . . . , N.
(22)
k=1
Hamiltonian w postaci (21) określamy mianem hamiltonianu Diraca-Coulomba.
Vnuc (r i ) opisuje w nim oddziaływanie elektronu z jądrem i przyjęte zostało jako
oddziaływanie kulombowskie, czyli dla poszczególnych elektronów przyjmuje wartość −Z/ri , gdzie Z jest liczbą atomową.
2.2.2. Poprawki do hamiltonianu Diraca-Coulomba
Podstawową poprawką do hamiltonianu H DC jest poprawka do oddziaływania
kulombowskiego pomiędzy dwoma elektronami. Polega ona na uwzględnieniu wymiany pojedynczego, tzw. podłużnego fotonu o częstości ωij . Wymiana ta jest opisana następującym operatorem oddziaływania
HB = −
N
i,j
αi · αj cos(ωij rij )
cos(ωij rij ) − 1
+ (αi · i)(αj · j )
,
rij
ωij2 rij
(23)
gdzie rij = |ri −rj |. W praktyce, poprawkę tę, nazywaną też oddziaływaniem Breita,
uwzględnia się traktując ją jako zaburzenie w granicy małych częstości, tj. ωij −→ 0.
Wzór na poprawkę upraszcza się więc do postaci
HB0
=−
N
i,j
αi · αj
1
− (αi · i)(αj · j )rij .
rij
2
(24)
Poprawkę tę dodajemy do elementów macierzowych hamiltonianu Diraca-Coulomba,
otrzymując w wyniku macierz Diraca-Coulomba-Breita.
Oprócz powyższego oddziaływania, uwzględnia się często jeszcze dwie poprawki
wynikające z elektrodynamiki kwantowej. Pierwsza z nich to tzw. energia samooddziaływania, szacowana jest poprzez funkcje wodoropodobne, a druga pochodzi
od polaryzacji próżni, polegającej w pierwszym przybliżeniu na ekranowaniu jądra
wirtualnymi parami elektron-pozyton. Uwzględnienie tej poprawki zwykle wpływa
jedynie na diagonalne elementy macierzy energii.
15
2. Opis metody teoretycznej
2.2.3. Obliczanie stanów widma dyskretnego. Równania Diraca-Focka
Funkcje falowe stanów widma dyskretnego będę obliczał za pomocą wielokonfiguracyjnej metody Diraca-Focka.
W tej metodzie, atomową funkcję stanu (ASF) przybliża się za pomocą liniowej kombinacji tzw. funkcji konfiguracyjnych (CSF) o tej samej, zadanej symetrii
w następujący sposób (Grant, 1970; Grant i współprac., 1980):
Φα (P JM) =
nc
cr (α) φr (γr P JM; N),
(25)
r=1
gdzie P oznacza parzystość danego stanu atomowego, J oznacza całkowity moment
pędu, M magnetyczną liczbę kwantową, natomiast nc jest liczbą wziętych w rozwinięciu funkcji korelacyjnych φr o zadanej symetrii. Występujące powyżej funkcje
korelacyjne (CSF) są funkcjami własnymi operatora parzystości i operatora całkowitego momentu pędu. Z tego powodu można je oznaczyć przez zbiór trzech dobrych
liczb kwantowych P JM. Konfiguracyjne funkcje stanu tworzą zatem bazę funkcji próbnych w skończonej podprzestrzeni przestrzeni Hilberta. Są one zbudowane
w następującej postaci wyznacznikowej
1
φr (γr P JM; N) = √
N!
u1 (r1 ) · · ·
u2 (r1 ) · · ·
..
.
u1 (r N ) u2 (r N )
..
.
uN (r 1 ) · · · uN (r N )
(26)
ze zbioru ortonormalnych2 spin-orbitali Diraca, opisujących elektron w stanie a


Pna κa (r) χκa ma (r/r)
1
,
ua (r) ≡ una κa ma (r) = 
r iQna κa (r) χ−κa ma (r/r).
(27)
Dzięki postaci wyznacznikowej odpowiednie iloczyny są zantysymetryzowane zgodnie z zasadą wykluczania Pauliego. Pna κa i Qna κa oznaczają odpowiednio dużą i małą
składową radialnej części spin-orbitala Diraca, na które narzucamy warunki brzegowe
Pna κa (0) = 0,
2
Qna κa (0) = 0.
(28)
Założenie o ortonormalności spin-orbitali formalnie wyraża się warunkiem ua |ub = δab i
pozwala na znaczące uproszczenie funkcjonału energii.
16
2. Opis metody teoretycznej
W powyższych wzorach na oznacza główną, a ma – magnetyczną liczbę kwantową.
Część kątowo-spinową orbitala Diraca podaje się w następujący sposób:
χκa ma (r/r) =
1
a −σ
ja ma |la , , ma − σ, σYlm
(r/r)χσ1/2 ,
a
2
σ=±1/2
(29)
gdzie ja ma |la , 12 , ma − σ, σ jest współczynnikiem Clebscha-Gordana, Ylma −σ (r/r)
jest funkcją kulistą, χσ1/2 – funkcją własną spinu, natomiast liczba kwantowa
κa = ±(ja + 1/2) dla la = ja ± 1/2 (oczywiście tutaj ja jest liczbą kwantową całkowitego momentu pędu elektronu, natomiast la – orbitalną liczbą kwantową). Postać
spin-orbitala (27) podyktowana została przyjęciem przybliżenia pola centralnego.
Występujący w powyższych wzorach symbol γr służy do oznaczania obsadzeń
elektronów na poszczególnych podpowłokach oraz sprzężeń pomiędzy tymi podpowłokami. Jego wprowadzenie pozwala na rozróżnianie poszczególnych funkcji korelacyjnych o tej samej symetrii. Zarówno radialne części funkcji φr (γr P JM; N) jak
i współczynniki mieszania konfiguracji cr (α) są obliczane metodą pola samouzgodnionego (SCF), gdzie odpowiednie elementy macierzowe są obliczane z dobrze znanej
postaci wieloelektronowego relatywistycznego hamiltonianu, w którym uwzględnia
się jedynie oddziaływanie elektrostatyczne. Wkład od poprzecznego oddziaływania
Breita, jak już wspomniano, jest uwzględniany w ramach zwykłego rachunku zaburzeń w kolejnym etapie obliczeń, w ramach metody oddziaływania konfiguracji
(CI). Wskutek tego, że poprawka ta nie jest liczona w procesie samouzgadniania,
uwzględnienie jej wpływa na energię, lecz same funkcje falowe nie ulegają zmianie.
Przy wyprowadzaniu równań ruchu zakłada się stacjonarność funkcjonału
EαDC = Φα (P JM)|H DC |Φα (P JM) ≡ cα † H DC cα
(30)
ze względu na wariację współczynników cr (α) z których utworzony jest wektor cα ,
przy ustalonych konfiguracyjnych funkcjach stanu. Wymóg ten prowadzi do równań
(H DC − EαDC I)cα = 0,
(31)
gdzie I jest macierzą jednostkową o wymiarze nc × nc .
Wielokonfiguracyjna metoda Diraca-Focka wymaga jak najlepszego dopasowania
zarówno współczynników mieszania konfiguracji cr (α) jak i funkcji Pna κa i Qna κa ,
czyli – odpowiednio – dużej i małej składowej, wchodzących w skład konfiguracyj-
17
2. Opis metody teoretycznej
nych funkcji stanu. W wyniku otrzymujemy równania na radialne funkcje falowe
Pna κa , Qna κa dla podpowłoki a – tzw. równania Diraca-Focka.
κa
d
a Ya (r)
χa(P ) (r)
+
,
Pna κa (r) − 2c − +
Qna κa (r) = −
dr
r
c
cr
r
(32)
κa
d
a Ya (r)
χ(Q) (r)
−
.
Qna κa (r) + − +
Pna κa (r) = a
dr
r
c
cr
r
Rolę potencjału kulombowskiego pełni w nich funkcja
Ya (r) = −rVnuc (r)
−


k
y k (ab)Y k (aa; r) −
b

(33)
y k (abad)Y k (bd; r) ,
b,d
gdzie
y k (ab) =
y k (abad) =
W powyższych wzorach q̄a =
1+δab
q̄(a)
1
q̄(a)
nc
r=1
nc
r=1
drr frk (ab),
(34)
k
r,s drs Vrs (abad).
(35)
d2rr qr (a) stanowi uogólnioną liczbę obsadzeń,
gdzie z kolei qr (a) jest liczbą obsadzenia orbitala a w konfiguracyjnej funkcji stanu φr .
Postać współczynników drs , drr , frk (ab), grk (ab) jest podana np. w pracy Granta i
współprac. (1980).
Za oddziaływanie wymienne związane z nierozróżnialnością elektronów odpowiadają człony
r Qnb κb
δκa κb ab
(r),
cq̄(a) a=b
Pnb κ b
(P )
(P )
χaQ (r) = Xa Q (r) +
(36)
gdzie
P Xa
Q
1
(r) =
c
k
xk (ab) =
b=a
Qnb κb xk (ab)Y k (ab; r)
Pnb κb
nc
1 drr grk (ab),
q̄(a) r=1
(r) −
Qnc κc xk (abcd)Y k (bd; r)
b,c=a,d
xk (abcd) =
Pnc κc
(r)
1 drs Vrsk (abcd).
q̄(a) r,s
,
(37)
(38)
W powyższych równaniach, a > 0 oraz ab są mnożnikami Lagrange’a, zapewniającymi unormowanie i ortogonalność funkcji o tych samych liczbach kwantowych κ.
Ich postać jest podana np. w pracy Granta i współprac. (1980).
18
2. Opis metody teoretycznej
2.2.4. Prawdopodobieństwa przejść
W swoich obliczeniach brałem pod uwagę przejścia pomiędzy stanami o określonym całkowitym momencie pędu J i parzystości P , otrzymanymi z niezależnych
obliczeń. Taką separację robi się w celu uwzględnienia oddziaływań jak największej liczby konfiguracji, ale to powoduje, że trzeba obliczać elementy macierzowe
w nieortogonalnych bazach jednoelektronowych orbitali Diraca.
Podstawowymi, obliczanymi w ten sposób wielkościami, są współczynniki Einsteina Ab→a określające prawdopodobieństwo wystąpienia emisji spontanicznej i wynikające z nich siły oscylatorów.
W przypadku jednoelektronowym, prawdopodobieństwo przejścia ze stanu b do
stanu a odpowiadającego promieniowaniu o multipolowości L opisane jest wzorem
(Grant, 1974)
Ab→a = 2π
2
[ja ] na κa |Oi(L) |nb κb ,
[jb ][L]
i = e, m,
(39)
z tzw. zredukowanym elementem macierzowym danym przez
2
na κa |Oi(L) |nb κb gdzie
a
b
c
d
e
f
=
[jb ]ω
πc

1
2
ja − 21
(−1)


ja L
1
2
0
jb
− 12
 M̄ i
ab ,
i = e, m,
(40)
jest współczynnikiem 3-j Wignera, ω jest energią multipola, a sym-
i
są następujące:
bol [j(a) ] = 2j(a) + 1. Wartości elementów M̄ab
b
b
i
= iL+1
M̄ab
gdzie z kolei
∞
2L + 1
(κa + κb )IL+ (ω),
1/2
[L(L + 1)]
(41)
ωr
)dr.
(42)
c
0
Uogólnienie wzoru (39) na przypadek wieloelektronowy, przy użyciu poprzednich
IL+ (ω)
=
(Pna κa Qnb κb + Qna κa Pnb κb )jL (
oznaczeń, daje
Ab→a = 2π
2π
2
[Ja ] Φa (Pna κa Ja Ma )|Oi(L) |Φb (Pnb κb Jb Mb ) =
[Jb ][L]
2
L
[Ja ] cr (a)cs (b)
dkl (rs) na κa |Oi(L) |nb κb ,
[Jb ][L] r,s
k,l
(43)
i = e, m,
gdzie Ja , Jb oznaczają całkowity moment pędu danego stanu.
Przejścia mogą zachodzić tylko wtedy, gdy odpowiedni element macierzowy (40)
jest różny od zera. W przypadku, gdy element ten się zeruje, mamy do czynienia
19
2. Opis metody teoretycznej
z przejściem wzbronionym. W ten sposób uzyskujemy tzw. reguły wyboru dla zachodzenia przejść. Elektryczne przejścia dipolowe mogą zachodzić, gdy spełniony
jest warunek |Jb − Ja | 1 Ja + Jb oraz zachodzi zmiana parzystości stanu; elektryczne przejścia kwadrupolowe mogą zachodzić, gdy |Jb − Ja | 1 Ja + Jb oraz
nie zmienia się parzystość stanu. W przypadku magnetycznych przejść dipolowych,
warunkiem ich zajścia jest brak zmiany parzystości stanu oraz spełnienie warunku
|Jb − Ja | 1 Ja + Jb .
Siła oscylatora jest obliczana dla wybranego multipola rzędu L. Dla konkretnego
przejścia |a → |b może ona być przedstawiona w następującej postaci:
Fa→b =
2
πc
i
.
Φ
(P
J
M
)|O
|Φ
(P
J
M
)
b
n
κ
b
b
a
n
κ
a
a
a
a
(L)
b
b
2
(2L + 1)ω
(44)
Czas życia wybranego poziomu atomowego a jest zdefiniowany jako suma prawdopodobieństw przejść do wszystkich końcowych poziomów b leżących poniżej początkowego poziomu a
τa =
−1
Aa→b
.
(45)
b
2.2.5. Obliczanie stanów widma ciągłego
Moim kolejnym celem jest rozwiązanie pełnego (N +1)–elektronowego problemu,
gdzie N elektronów jest związanych wypełniając powłoki elektronowe, natomiast dodatkowy elektron jest rozpraszany. Punktem wyjścia jest równanie własne operatora
Hamiltona uwzględniające wszystkie N +1 elektrony występujące w zagadnieniu. To
równanie własne może być zapisane w następującej postaci (Sienkiewicz i współprac.,
1995; Sienkiewicz i Baylis, 1997)
HNDC
+1 Ψ = EΨ,
(46)
gdzie HNDC
+1 jest relatywistycznym hamiltonianem opisującym jedynie oddziaływanie
elektrostatyczne pomiędzy wszystkimi elektronami i jądrem atomowym i jest nazywany hamiltonianem Diraca-Coulomba układu N + 1–elektronowego. Często jest on
zapisywany w następujący sposób:
HNDC
+1 =
N
+1
i=1

3

N
+1 N
+1
1
Z
c
αki pik + (β i − 1)c2 −  +
.
ri
i=1 j=i+1 rij
k=1
(47)
Funkcja własna Ψ występująca w równaniu (46) opisuje stan widma ciągłego,
ponieważ zawiera elektron rozpraszany na atomie.
20
2. Opis metody teoretycznej
Całkowita energia badanego układu wynosi
E = Ea + E,
(48)
gdzie przez Ea oznaczamy energię N–elektronowej tarczy atomowej, natomiast przez
E energię kinetyczną rozpraszanego elektronu.
Równanie własne (46) opisujące stan rozproszeniowy jest rozwiązywane – podobnie jak dla stanów dyskretnych – w ramach relatywistycznej metody wielokonfiguracyjnej Diraca-Focka (MCDF), w której, jak to opisano w podrozdziale 2.2.3,
atomowe funkcje stanu (ASF) przybliża się za pomocą liniowej kombinacji funkcji
korelacyjnych o zadanej symetrii (CSF) .
Funkcja falowa całego (N + 1)–elektronowego układu została przybliżona przez
Burke’a i współprac. (1971) w następujący sposób:
Ψ(P JM; N + 1) =
=A
wa
ca Φa (P JM; N)uκa ma +
a=1
wd
dj φj (P JM; N + 1).
(49)
j=1
Powyższa postać była przez lata i z sukcesami wykorzystywana przez grupę prof.
Burke’a z Belfastu, jednak gwoli ścisłości trzeba zaznaczyć, że jej oryginalne sformułowanie zostało podane przez łotewskiego fizyka M. Gailitisa.
Pierwszy wyraz w powyższym wzorze jest zantysymetryzowaną sumą wyznaczników Slatera zbudowanych z orbitali stanów związanych i jednego orbitala opisującego
rozpraszany elektron uκa ma , który może być zdefiniowany w następujący sposób:


Pκ (r)χκm (r/r)
1
,
uκm (r) = 
r iQκ (r)χ−κm (r/r)
(50)
gdzie, jak poprzednio, Pκ i Qκ są odpowiednio dużą i małą składową. Orbitale widma
ciągłego są rozwiązaniami następującego, zapisanego przy użyciu układu jednostek
atomowych, układu relatywistycznych równań (por. z równaniami (32))
κ
E V (r)
χ(P ) (r)
d
+
Pκ (r) − 2c − +
Qκ (r) = −
dr r
c
cr
r
κ
d
E V (r)
χ(Q) (r)
−
,
Qκ (r) + − +
Pκ (r) =
dr r
c
cr
r
(51)
gdzie E oznacza energię kinetyczną rozpraszanego elektronu, z kolei V (r) jest elektrostatycznym potencjałem rozproszeniowym, natomiast χ(P ) (r) i χ(Q) (r) są wyrazami opisującymi wymianę pomiędzy rozpraszanym elektronem, a elektronami
tarczy atomowej.
21
2. Opis metody teoretycznej
Należy jeszcze dodać, że we wzorze (49) pierwsze sumowanie obejmuje wszystkie
otwarte kanały rozproszeniowe wa . W przypadku rozpraszania sprężystego, z którym
mamy tutaj do czynienia, tylko jeden kanał pozostaje otwarty i otrzymujemy, że
wa = 1.
Drugi wyraz po prawej stronie równania (49) opisuje efekty korelacyjne pomiędzy
rozpraszanym elektronem a elektronami tarczy atomowej. Trzeba zwrócić uwagę na
to, że jest on zbudowany jedynie z orbitali stanów związanych czyli cały ten wyraz
należy do przestrzeni L2 . Wyraz opisuje ujemny jon złożony z atomu i dodatkowego związanego elektronu. Jest to w zasadzie elektron, który ulega rozpraszaniu na
tarczy atomowej, tutaj jednak jest on „chwilowo” związany. W zasadzie więc, ta
część powinna być zbudowana z orbitali ujemnego jonu, w praktyce jednak buduje
się ją z orbitali tarczy atomowej, przy czym uwzględnia się wirtualne wzbudzenia
elektronów. Im lepiej ten wyraz jest skonstruowany, tym doskonalej opisuje on efekty
korelacyjno-polaryzacyjne.
W przypadku rozpatrywanego tutaj rozpraszania sprężystego, współczynniki rozwinięcia dj występujące we wzorze (49) są otrzymywane z rozwiązania następującego
układu równań liniowych, o formalnej postaci podanej przez Sahę (1989, 1990), przy
czym w swoich obliczeniach zastępuję funkcje nierelatywistyczne funkcjami relatywistycznymi
AΦuκm |HN +1 − E|φj +
wd
dj φj |HN +1 − E|φj = 0, j = 1, . . . , wd .
(52)
j=1
Powyższy układ równań wyprowadza się metodą rachunku wariacyjnego przy
warunku stacjonarności funkcjonału Ψ|HN +1 − E|Ψ ze względu na wariacje współczynników dj .
Rozwiązania układu równań (52) pozwalają wyznaczyć nowy ulepszony potencjał
rozproszeniowy i nowe ulepszone wyrazy wymienne, które wstawione do równania
(51) pozwalają wyznaczyć ulepszony orbital rozproszeniowy. Ten z kolei użyty jest
do obliczania nowych współczynników dj . Tego rodzaju postępowanie prowadzone
jest do uzyskania żądanej dokładności w obliczanych przesunięciach fazowych.
W relatywistycznym zagadnieniu rozproszeniowym mamy do czynienia z dwiema zespolonymi amplitudami, z których pierwszą nazywamy amplitudą f (ϑ), natomiast drugą poboczną g(ϑ). Ta ostatnia opisuje proces polaryzacji rozpraszanej
wiązki elektronowej. Wzory na relatywistyczne amplitudy rozpraszania zostały po-
22
2. Opis metody teoretycznej
dane m.in. przez Kesslera (1985):
1 {(l + 1)[exp(2iδl+ ) − 1] + l[exp(2iδl− ) − 1]}Pl (cos ϑ),
2ik l
1 [exp(2iδl− ) − exp(2iδl+ )]Pl1 (cos ϑ),
g(ϑ) =
2ik l
f (ϑ) =
(53)
gdzie ϑ jest kątem rozproszenia, natomiast Pl (cos ϑ) i Pl1 (cos ϑ) są odpowiednio
wielomianami Legendre’a i stowarzyszonymi funkcjami Legendre’a, a δl± są relatywistycznymi przesunięciami fazowymi. Tutaj, górny indeks „+” odnosi się do rozwiązania równania (51), w którym wstawiono κ = −l − 1, natomiast indeks „−”
odnosi się do rozwiązania z wstawionym κ = l.
Otrzymane powyżej amplitudy służą do wyliczania różniczkowego przekroju
czynnego i tzw. parametrów STU opisujących spinową polaryzację rozpraszanych
elektronów:
σ(ϑ) = |f (ϑ)|2 + |g(ϑ)|2 ,
S(ϑ) =
i f (ϑ)g(ϑ)∗ − f (ϑ)∗ g(ϑ)
σ(ϑ)
2
|f (ϑ)| − |g(ϑ)|2
,
T (ϑ) =
σ(ϑ)
f (ϑ)g(ϑ)∗ + f (ϑ)∗ g(ϑ)
,
U(ϑ) =
σ(ϑ)
,
(54)
przy czym zachodzi związek, że S 2 + T 2 + U 2 = 1, co oznacza, że znajomość dwóch
z nich pozwala na wyznaczenie trzeciego (tracimy przy tym informację o znaku).
Funkcja S(ϑ), zwana funkcją Shermana, opisuje stopień spolaryzowania rozproszonej, początkowo nie spolaryzowanej, wiązki elektronów. Funkcja U(ϑ) opisuje
stopień skręcenia wektora polaryzacji w stosunku do płaszczyzny, w której znajdował
się on początkowo. Z kolei funkcja T (ϑ) opisuje stopień redukcji wiązki w kierunku
równoległym do kierunku rozpraszania. Można więc powiedzieć, że zmiana wektora
polaryzacji jest wyznaczana przez poboczną amplitudę g(ϑ) – przykładowo, jeżeli
g = 0, to wtedy otrzymujemy, że T = 1, S = U = 0 i polaryzacja wiązki w takim
przypadku się nie zmienia.
3. Metodyka obliczeń numerycznych
23
3. Metodyka obliczeń numerycznych
3.1. Obliczenia czasów życia ośmiokrotnie zjonizowanego atomu wapnia
Do wykonania zadania zastosowałem wielokonfiguracyjną metodę Diraca-Focka.
W ogólności, zastosowana przeze mnie procedura obliczeniowa składała się z trzech
następujących etapów:
– wygenerowania poprawnych funkcji falowych atomu (ASF) – do tego celu użyłem
programu GRASP-92 (Parpia i współprac., 1996);
– przetworzenia danych otrzymanych z programu GRASP-92 przy użyciu programu CESD99 (Fritzsche i Anton, 2000), aby mogły one być użyte do dalszych
obliczeń w programie REOS99;
– obliczenia prawdopodobieństw przejść promienistych (współczynników Einsteina) i czasów życia przy użyciu programu REOS99 (Fritzsche i współprac., 2000).
W jonach magnezopodobnych, a do nich zalicza się właśnie rozważany jon Ca8+ ,
możemy wyodrębnić parzysty poziom podstawowy 1 S0 o konfiguracji elektronowej
1s2 2s2 2p6 3s2 o całkowitym orbitalnym momentem pędu J = 0. Gdy rozpatrzymy
strukturę subtelną, znajdziemy 21 dodatkowych wzbudzonych stanów, należących
do konfiguracji 3s3p, 3s3d, 3p2 i 3p3d. Te stany wzbudzone posiadają orbitalne
momenty pędu w zakresie J = 0, ..., 4. Część z nich, zgodnie z regułami wyboru, wypromieniowuje poprzez elektryczne dipolowe (E1) przejścia promieniste, do
konfiguracji stanu podstawowego. Do celów obliczeniowych podzieliłem wszystkie te
poziomy na 10 grup w zależności od ich całkowitego orbitalnego momentu pędu J
i parzystości P . Wszystkie te grupy poziomów były następnie optymalizowane niezależnie od siebie. Dzięki takiemu praktycznemu podejściu, w sposób maksymalny
uwzględnione zostały korelacje elektronowe, przy czym otrzymane funkcje orbitalne
z wybranej grupy nie są wzajemnie ortogonalne do orbitali z żadnej innej grupy.
W bieżącej pracy, konfiguracyjne funkcje stanu (CSF, por. równanie (25)) dla
różnych symetrii otrzymywałem przy użyciu tzw. metody aktywnej przestrzeni (ang.
active space method). Obecnie metoda aktywnej przestrzeni stała się już standardową metodą rozwiązywania podobnych problemów (Fritzsche i współprac., 1999;
Bieroń i współprac., 1995; Godefroid i współprac., 1996). Lista konfiguracyjnych
funkcji stanu o danym całkowitym orbitalnym momencie pędu oraz określonej parzystości, została wygenerowana poprzez wzbudzenia elektronów z pewnych wybranych
3. Metodyka obliczeń numerycznych
24
konfiguracji odniesienia, do aktywnego zestawu konfiguracji. W bieżących obliczeniach jako konfiguracji odniesienia użyłem konfiguracji 3s3p, 3s3d, 3p2 oraz 3p3d.
Następnie dokonywałem wirtualnych wzbudzeń z podpowłok należących do powłoki
o głównej liczbie kwantowej n = 3 (później będę umownie te podpowłoki oznaczał
symbolem 3l, l = s, p, . . .) do podpowłok o głównej liczbie kwantowej n = 3, 4, 5
(zgodnie z przyjętym przeze mnie sposobem oznaczania, są to podpowłoki 3l, 4l
oraz 5l). Dokonywałem wzbudzeń pojedynczych jak i dwukrotnych, to znaczy elektrony wzbudzałem (wirtualnie) zarówno pojedynczo jak i parami z podpowłok 3l
do podpowłok wymienionych wcześniej. Ponieważ jony magnezopodobne posiadają tylko dwa elektrony walencyjne na zewnątrz rdzenia o konfiguracji 1s2 2s2 2p6 ,
pojedyncze i podwójne wirtualne wzbudzenia nie prowadzą do zbyt wielkiej ilości
konfiguracyjnych funkcji stanu, co pozwoliło mi na włączenie do zestawu CSF-ów
odpowiadających za inne efekty korelacyjne, na przykład polaryzację rdzenia i korelacje rdzeń-rdzeń, stosunkowo niewielkim kosztem obliczeniowym. Technikę włączania tych efektów omówię poniżej.
Oczywiście należało się spodziewać, że właśnie dzięki włączeniu do obliczeń wspomnianych efektów korelacyjno-polaryzacyjnych, otrzymane wyniki powinny być bardziej wiarygodne od poprzednich obliczeń wykonywanych przez innych autorów. Należy bowiem podkreślić, że żadne dotychczasowe obliczenia teoretyczne czasów życia
jonu Ca8+ nie uwzględniały tych efektów. Moje obliczenia są pierwszymi obliczeniami, w których włączono zarówno wspomniane korelacje jak i relaksację orbitali.
W teorii relatywistycznej, sprzężenie pola radiacyjnego z atomem jest zwykle
rozważane przy użyciu dwóch różnych cechowań – cechowania Babuszkina i Coulomba (Grant, 1974). W granicy nierelatywistycznej, cechowanie Babuszkina odpowiada tzw. formie długości, a Coulomba – prędkości. Rozbieżności między wynikami
otrzymanymi przy użyciu obu tych cechowań często stosuje się jako swoisty test
jakości otrzymanej funkcji falowej. Swoje obliczenia prowadziłem również w obu
cechowaniach, w celu porównania otrzymanych w obu przypadkach wyników. Warunkiem otrzymania dobrej zgodności między cechowaniami Babuszkina i Coulomba
jest uwzględnienie wcześniej polaryzacji rdzenia. Efekt ten uwzględniłem poprzez
włączenie pojedynczych wzbudzeń z podpowłok 1s, 2s i 2p do wszystkich podpowłok wybranej aktywnej przestrzeni, tzn. w omawianym przypadku podpowłok 3l, 4l
oraz 5l.
25
3. Metodyka obliczeń numerycznych
Z kolei wkład wynikający z korelacji rdzeń-rdzeń uwzględniłem poprzez pojedyncze i podwójne wzbudzenia z podpowłoki 2p do podpowłok 3l i 4l. Ten krok znacząco
zwiększył liczbę użytych konfiguracyjnych funkcji stanu, lecz ciągle nie przekroczyła
ona możliwości zastosowanych programów i mocy komputerów.
Liczba użytych CSF-ów (nc ) jak i rozmiar analogicznej reprezentacji wymaganej
przez program REOS99 a utworzonej przez program CESD99 (nd ) 3 , zostały zebrane
w poniższej tabeli (osobno dla każdej grupy symetrii).
JP
0+
1+
2+
3+
4+
0−
987
1−
2−
3−
1356 1232 3452
4−
nc
2045 1893 1309 2034 1912
4532
nd
7654 6530 4304 7550 5934 3200 4403 4130 8230 12320
Tab. 1. Rozmiary użytej bazy, czyli wartości liczb nc i nd dla każdej grupy symetrii.
Poprawka wynikająca z poprzecznego oddziaływania Breita pomiędzy elektronami została uwzględniona w procesie rachunku zaburzeń i dodana do elementów
macierzowych hamiltonianu Diraca-Coulomba, w wyniku czego otrzymałem macierz
hamiltonianu Diraca-Coulomba-Breita.
Orbitale dla poszczególnych grup symetrii wygenerowałem przy pomocy pakietu
GRASP-92. Jest to znany i szeroko wykorzystywany pakiet programów służący do
wykonywania obliczeń atomowych, autorstwa F.A. Parpii, C.F. Fischer oraz I. P.
Granta (1996).
Obliczenia własności przejść promienistych wykonałem przy użyciu nowego programu REOS99. Program ten pozwala – w przeciwieństwie do GRASP-a – na wielkoskalowe obliczenia prawdopodobieństw przejść, sił oscylatora oraz czasów życia.
Program ten wymaga jednak podania na wejściu nieco odmiennej reprezentacji atomowych funkcji stanu niż ta otrzymywana z GRASP-a. Reprezentacja taka została
uzyskana przy użyciu pomocniczego programu CESD99. Zarówno CESD99 jak i REOS99 wchodzą w skład pakietu programów RATIP (Fritzsche i współprac., 1999;
Fritzsche, 2001).
Wyniki obliczeń dla elektrycznych dipolowych przejść promienistych w rozważanym jonie Ca8+ zostały zebrane i omówione w rozdziale 4.
3
Szczegółowe omówienie tej reprezentacji jest zawarte w pracy Fritzsche i Grant (1995).
3. Metodyka obliczeń numerycznych
26
3.2. Obliczenia prawdopodobieństw przejść wzbronionych między
poziomami należącymi do konfiguracji podstawowej atomu bizmutu
Do obliczeń wykorzystałem – podobnie jak poprzednio – pakiet GRASP-92. Ponownie użyłem metody aktywnej przestrzeni do otrzymania zestawu konfiguracyjnych funkcji stanu. Tym razem jako konfiguracji odniesienia użyłem następującego
zestawu: (rdzeń)6s2 6p3 oraz (rdzeń)6p5 . Użyty przeze mnie rdzeń posiada następującą konfigurację elektronową: 1s2 2s2 p6 3s2 p6 d10 4s2 p6 d10 f 14 5s2 p6 d10 .
Następnie wzbudzałem wirtualnie (pojedynczo i parami) elektrony z wymienionych konfiguracji odniesienia do poziomów 6l 7s7p7d 8s8p8d 9s9p, otrzymując
aktywną przestrzeń konfiguracji. Dodatkowo, poprzez wzbudzenia elektronów z wewnętrznych podpowłok, uwzględniłem polaryzację rdzenia. W szczególności, wzbudzałem pojedyncze elektrony z wewnętrznych podpowłok 5p i 5d do wszystkich
powłok z aktywnej przestrzeni. W ten sposób otrzymałem dość dużą liczbę różnych
konfiguracji – liczba konfiguracyjnych funkcji stanu przekroczyła 15000. Następnie,
mając już wygenerowane CSF-y, przystąpiłem do generowania funkcji falowej atomu
przy użyciu odpowiedniego modułu programu GRASP-92. Do hamiltonianu dodałem także poprawkę wynikającą z oddziaływania Breita. Na tym etapie obliczeń
napotykałem na duże problemy ze zbieżnością obliczeń. Problemy te rozwiązywałem np. przez manipulowanie wielkością kroku procedury rozwiązującej odpowiednie
równania, odpowiednim wyborem procedury rozwiązującej jak i stopniowym optymalizowaniem tylko części orbitali przy pozostałych orbitalach pozostających bez
zmian.
Po wygenerowaniu funkcji falowych przystąpiłem do obliczeń magnetycznych
przejść dipolowych (M1) pomiędzy poziomami energetycznymi konfiguracji stanu
podstawowego atomu bizmutu (rdzeń)6s2 6p3 , do czego wykorzystałem tym razem
jeden z programów należących do pakietu GRASP-92. Ze względów technicznych
(ograniczenia zastosowanego programu) nie udało mi się przeprowadzić obliczeń
przy użyciu cechowania Coulomba, wszystkie obliczenia prowadziłem więc używając
cechowania Babuszkina. Ponadto, obliczyłem energie wszystkich pięciu poziomów
należących do wspomnianej konfiguracji oraz, dla weryfikacji, kilku innych poziomów.
3. Metodyka obliczeń numerycznych
27
3.3. Obliczenia różniczkowych przekrojów czynnych i polaryzacji
spinowych w rozpraszaniu powolnych elektronów na atomach
argonu i ksenonu
Konfiguracja stanu podstawowego dla argonu ma postać 1s2 2s2 p6 3s2 p6 . Do reprezentacji stanu podstawowego atomu argonu użyłem 9022 relatywistycznych konfiguracyjnych funkcji stanu o dodatniej parzystości i o całkowitym orbitalnym momentem pędu równym zero. Funkcje te zostały otrzymane przeze mnie poprzez wirtualne
wzbudzenia jednego lub dwóch elektronów z podpowłok 3s i 3p do następującego zestawu podpowłok: 3l 4l 5d 6s 6p 6d 7s 7p 8s 8p 9s 10s. Wkład z relatywistycznego
oddziaływania Breita ponownie został ujęty w procesie rachunku zaburzeń.
Atomowa funkcja stanu podstawowego oraz zestaw konfiguracyjnych funkcji
stanu zostały wygenerowane – tak jak w poprzednich przypadkach – programem
GRASP-92.
Do skonstruowania funkcji falowej stanu rozproszeniowego oraz do wygenerowania orbitali z widma ciągłego użyłem programu COWF (Continuum Wave Function
Generator). Orbitale te były następnie ortogonalizowane względem orbitali atomowych w procedurze ortogonalizacji Gramma-Schmidta.
Program COWF był kluczową częścią projektu obliczeń różniczkowych przekrojów czynnych i polaryzacji spinowych nową metodą i dlatego wymaga odrębnego
komentarza. Program ten jest planowany jako kolejny moduł należący do pakietu programów RATIP, o którym wspominałem już wcześniej, autorstwa głównie
S. Fritzsche. Niestety, po nawet pobieżnym przetestowaniu tego programu za pomocą
odpowiednio przygotowanych danych testowych, stało się oczywiste, że wymagane
będzie włożenie weń sporego nakładu pracy, aby stał się on użytecznym. Przesunięcia fazowe nie były liczone prawidłowo, powszechne były problemy ze zbieżnością
wyników, czasami program przerywał swoje działanie w niespodziewanych momentach, zgłaszając różne błędy. Mimo to, postanowiłem jednak wykorzystać właśnie
ten program, ze względu na jego następujące zalety:
– modułowa budowa (w postaci szeregu osobnych procedur), znacznie ułatwiająca
analizę działania i rozbudowę programu;
– zastosowany nowoczesny język programowania – Ansi Fortran 90/95, zapewniający szybkość działania, łatwość stosowania dynamicznych struktur danych;
3. Metodyka obliczeń numerycznych
28
– z połączenia obu poprzednich zalet wynika kolejna – stosunkowo łatwa w implementacji wektoryzacja programu, czyli dostosowanie go do uruchamiania na maszynach wieloprocesorowych; wersja równoległa programu COWF w standardzie
MPI (Snir i współprac., 2003) została już wykonana pod moim kierownictwem
naukowym (Dziedzic, 2002);
– doskonałe skomentowanie kodu programu, znakomicie ułatwiające zrozumienie
jego działania,
– wykorzystywanie przez program danych atomowych z programu GRASP-92.
Mimo tych niewątpliwych zalet, należało jednak oczywiście program skontrolować i wykryć istniejące w nim błędy, a więc uczynić go użytecznym. W tym celu
przeprowadziłem szereg długotrwałych testów wszystkich procedur programu, eliminując w nim szereg usterek, od prostych acz wyjątkowo uciążliwych pomyłek
programisty, aż po istotne błędy merytoryczne. Zadanie nie było łatwe, zważywszy,
że program liczy sobie kilkanaście tysięcy linii kodu (wraz z programami pomocniczymi i uzupełniającymi). Testowanie i poprawianie programu trwało ponad pół
roku.
Poniżej wymienię najistotniejsze odnalezione (i poprawione) przeze mnie błędy
programu COWF.
– Bardzo poważny błąd zakradł się do końcowej procedury wyliczającej przesunięcie fazowe. Procedura dokonywała interpolacji w celu dokładnego znajdowania
maksimum fali, a co za tym idzie aby przesunięcie znalezione było z możliwie
dużą dokładnością. Jednak procedura nie czyniła tego poprawnie, zwracając czasami przypadkowy punkt zamiast właściwego maksimum. Błąd zidentyfikowałem
i wyeliminowałem poprzez napisanie własnej procedury wyliczającej przesunięcia
fazowe.
– W procedurze rozwiązującej równania Diraca-Focka, w celu rozpoczęcia właściwej iteracji, należy znaleźć w niezależny sposób pięć punktów startowych. Jeden
z tych punktów był nieprawidłowo wyznaczany. Usterkę poprawiłem.
– W kilkunastu miejscach w kodzie programu wystąpiły drobniejsze, ale równie
groźne błędy, np. zamienienie w równaniach zmiennych przechowujących zawartość dużej i małej składowej.
– Problemy ze zbieżnością usunąłem poprzez zwiększenie maksymalnej dopuszczalnej liczby iteracji podczas rozwiązywania równań Diraca-Focka.
3. Metodyka obliczeń numerycznych
29
Po dokonaniu poprawek usuwających zauważone błędy, ponownie przetestowałem program. Tym razem wyniki testowe nie budziły już moich zastrzeżeń i program
był już gotowy do przeprowadzenia za jego pomocą obliczeń stanów z widma ciągłego. Publikacja z opisem programu znajduje się w przygotowaniu (Fritzsche i Syty,
2003).
Wracając do atomu argonu, należy zwrócić szczególną uwagę na polaryzację dipolową tarczy atomowej wskutek przebywania rozpraszanego elektronu w jej pobliżu.
W argonie znajduje ona swoje źródło głównie w polaryzacji orbitali 3s i 3p. W swoich
obliczeniach uwzględniłem polaryzację dipolową tarczy argonowej, używając do tego
celu metody oddziaływania konfiguracji. Związane, N + 1–elektronowe konfiguracyjne funkcje stanu odpowiadające za polaryzację dipolową, zostały zbudowane z atomowych orbitali 1s, 2p, ..., 6d, uzyskanych w relatywistycznej wielokonfiguracyjnej
metodzie pola samouzgodnionego. Konfiguracje te otrzymałem poprzez wirtualne
wzbudzenia elektronów z podpowłoki 3s do podpowłok np, n = 3, 4, 5, 6 oraz z
podpowłoki 3p do podpowłok ns oraz nd, gdzie n = 3, 4, 5, 6.
Następnie policzyłem relatywistyczne przesunięcia fazowe poprzez porównywanie
wyników numerycznych z rozwiązaniami analitycznymi dla dużych wartości r, gdzie
r2V → 0
Pκ (r)
∼ jl (kr) cos δl± − nl (kr) sin δl± ,
r
Qκ (r)
E
±
±
∼ α
j
(kr)
cos
δ
−
n
(kr)
sin
δ
.
l
l
l
l
r
Eα2 + 2
(55)
(56)
W powyższym wzorze, jl (kr) i nl (kr) są odpowiednio sferycznymi funkcjami Bessela
√
i Neumanna (Bateman i Erdély, 1953), k = 2E + α2 E 2 jest momentem pędu
rozpraszanego elektronu. Ponownie, górny indeks „+” odnosi się do rozwiązania
równania (51), w którym wstawiono κ = −l − 1, a indeks „−” do rozwiązania
z wstawionym κ = l. Ponieważ zarówno górna składowa Pκ (r) jak i dolna Qκ (r)
niosą identyczne informacje o przesunięciach fazowych, swoje obliczenia oparłem na
wzorze (55) dla dużej składowej.
Relatywistyczne przesunięcia fazowe δl± policzyłem dla l = 0, 1, . . . , 10. Dla wyższych wartości orbitalnych liczb kwantowych elektronu (do l = 50), oszacowałem
przesunięcia fazowe na podstawie nierelatywistycznego wzoru Alego i Frasera (1979)
tg δl = k 2 αd al + k 4 (αd bl + αq cl ).
(57)
3. Metodyka obliczeń numerycznych
30
W powyższym wzorze, αd i αq są – odpowiednio – dipolowymi i kwadrupolowymi polaryzowalnościami atomu, natomiast al , cl i dl to analityczne współczynniki opisane
we wspomnianej wyżej pracy.
Przesunięcia fazowe policzyłem dla następujących wartości energii rozpraszanego
elektronu: 2 eV, 3 eV, 5 eV, 7.5 eV oraz 10 eV. Obliczone przesunięcia wykorzystałem do wykreślenia polaryzacji spinowych oraz przekrojów czynnych na rozpraszanie
sprężyste elektronów na argonie. Otrzymane polaryzacje spinowe i różniczkowe przekroje czynne są pierwszymi tego typu wynikami otrzymanymi dla argonu przy użyciu
wielokonfiguracyjnej metody Diraca-Focka.
Analogiczną metodą jak dla argonu, obliczyłem polaryzacje spinowe i różniczkowe przekroje czynne na rozpraszanie niskoenergetycznych elektronów na atomach
ksenonu. Do reprezentacji stanu podstawowego atomu ksenonu użyłem 4582 relatywistycznych konfiguracyjnych funkcji stanu o dodatniej parzystości i z całkowitym
orbitalnym momentem pędu równym zero. Funkcje te zostały otrzymane przez wirtualne wzbudzenia jednego lub dwóch elektronów z podpowłok 5s i 5p do następującego
zestawu podpowłok: 5d 6s 6p 6d 7s 7p 8s 8p 9s 10s. Obliczona energia stanu podstawowego atomu ksenonu wyniosła −7438.98347 hartree. W ksenonie, polaryzacja
tarczy spowodowana jest głównie polaryzacją orbitali 5s i 5p. Polaryzację tę uwzględniłem używając metody oddziaływania konfiguracji. Związane N + 1–elektronowe
konfiguracyjne funkcje stanu odpowiadające za polaryzację dipolową, zbudowałem
z orbitali 1s, 2p, ..., 6d, które z kolei uzyskałem w relatywistycznej wielokonfiguracyjnej metodzie pola samouzgodnionego. Konfiguracje te otrzymałem, podobnie jak
w przypadku argonu, poprzez wirtualne wzbudzenia elektronów, tym razem z podpowłoki 5s do podpowłok np, n = 5, 6 oraz z podpowłoki 5p do podpowłok ns oraz
nd, gdzie n = 5, 6.
Również w tym przypadku orbitale atomowe wygenerowałem używając programu GRASP-92, przy czym wkład z relatywistycznego oddziaływania Breita ująłem
w procesie rachunku zaburzeń, a orbitale z widma ciągłego wygenerowałem programem COWF.
Relatywistyczne przesunięcia fazowe δl± policzyłem – tak jak w poprzednim przypadku – dla l = 0, 1, . . . , 10. Dla wyższych wartości orbitalnych liczb kwantowych
elektronu (do l = 50), oszacowałem przesunięcia fazowe na podstawie wspomnianego
już nierelatywistycznego wzoru Alego i Frasera (57).
3. Metodyka obliczeń numerycznych
31
Policzyłem przesunięcia fazowe dla następujących wartości energii rozpraszanych
elektronów: 2 eV, 4 eV, 6 eV, 10 eV oraz 0.67 eV. Tę ostatnią energię wybrałem
ze względu na chęć przetestowania skuteczności metody dla jeszcze niższych energii rozpraszanego elektronu, a właśnie dla energii 0.67 eV znalazłem kilka danych
doświadczalnych i teoretycznych nadających się do bezpośredniego porównania.
Następnie, przy wykorzystaniu przesunięć fazowych, policzyłem i wykreśliłem
polaryzacje spinowe i różniczkowe przekroje czynne rozpraszanych elektronów. Ponadto, przeprowadziłem dodatkowe obliczenia bez uwzględniania członu odpowiadającego za polaryzację tarczy, aby móc prześledzić jego wpływ na wyniki obliczeń.
Tak jak już wspominałem, w celu oceny, czy metoda zadziała poprawnie dla
energii rozpraszanych elektronów poniżej 1 eV, dodatkowo wykreśliłem różniczkowy
przekrój czynny na spręzyste rozpraszanie elektronów o energii 0.67 eV na atomach
ksenonu.
Należy w tym momencie podkreślić, że wykonane obliczenia różniczkowych przekrojów czynnych na rozpraszanie elektronów na ksenonie są pierwszymi tego typu obliczeniami wykonanymi w pełni relatywistyczną wielokonfiguracyjną metodą
Diraca-Focka w połączeniu z relatywistyczną metodą oddziaływania konfiguracji.
4. Wyniki i dyskusja
32
4. Wyniki i dyskusja
4.1. Czasy życia ośmiokrotnie zjonizowanego atomu wapnia
W wyniku zastosowania wielokonfiguracyjnej metody Diraca-Focka otrzymałem
energie poziomów jonu Ca8+ , prawdopodobieństwa dipolowych elektrycznych (E1)
przejść promienistych między tymi poziomami (współczynniki Einsteina) oraz ich
czasy życia.
W tabeli 2 zebrane zostały wszystkie rozpatrywane konfiguracje elektronowe jonu
wapnia Ca8+ , wraz z wyliczoną ich energią. Ponadto, na rysunku 1 przedstawiłem
graficznie energetyczne rozmieszczenie tych poziomów. Na rysunku tym odwołuję
się do oznaczeń poziomów zastosowanych w tabeli 2, podobnie w tabelach 3, 6, 7.
Rys. 1. Schemat poziomów energetycznych w jonie wapnia Ca8+ . Numeracja poziomów
zgodna z przedstawioną w tabeli 2.
33
4. Wyniki i dyskusja
Numer
poziomu
1
2
Konfiguracja
3s2
1
3s3p
3
P
0
−
1
−
2
−
−
214101
336131
P
1
D
2+
P
0
+
1
+
2
+
0
+
1
+
2
+
3
+
+
3p2
1
7
2
3
8
9
11
3p
2
3s3d
1
3
S
D
12
13
14
15
3p3d
)
0+
1
6
3p
(cm
S
4
5
Energia
−1
elektronowa
3
10
JP
1
D
2
3
F
2−
0
142631
144099
147313
339720
341695
345332
399106
412932
413018
Numer
Konfiguracja
poziomu
elektronowa
33
3d2
3
F
34
35
JP
Energia
(cm−1 )
2+
833183
3
+
833543
4
+
833793
4
+
851106
+
851274
2
1
37
2
3d
1
D
2
38
3d2
3
P
0+
855132
1
+
855342
2
+
855349
0
+
903693
1
+
918302
2
+
918456
3
+
918709
2
+
919823
−
941953
36
3d
G
39
40
41
42
2
3d
3s4d
1
3
S
D
43
44
45
1
468603
46
3
564265
47
1−
943109
48
2
−
946888
2
−
955635
3
−
955704
4
−
955752
3
−
964414
1
+
998994
1
+
1004817
+
1006201
413324
3p4s
D
P
0
3
−
4
−
2
−
2
−
1
−
0
−
1
−
23
2
−
603247
55
2
24
3−
603280
56
3+
1009620
0
+
1011589
1
+
1012731
2
+
1015131
1
+
1016501
2
+
1025288
0
+
1040632
16
17
18
1
19
3
D
P
20
21
3
22
D
25
1
26
1
27
3
3s4s
F
P
28
1
29
3
3s4p
S
S
P
30
31
32
1
P
3
−
1
−
1
+
0
+
566395
568992
572251
598901
599985
601853
602699
646032
655500
761475
775410
0
−
1
−
830698
2
−
832189
1−
832891
830413
49
3s4f
3
F
50
51
52
1
53
1
54
57
3p4p
3
3
F
P
D
P
58
59
60
3
61
1
62
1
S
D
S
Tab. 2. Obliczone energie rozpatrywanych poziomów ośmiokrotnie zjonizowanego atomu
wapnia Ca8+ .
W tabeli 3 zebrane zostały obliczone czasy życia wybranych poziomów jonu Ca8+
(w pikosekundach), dla których istnieją dane porównawcze. Swoje wyniki porównałem z innymi dostępnymi wynikami teoretycznymi oraz z jedynymi – jak do tej pory –
34
4. Wyniki i dyskusja
danymi doświadczalnymi z 1996 roku (Träbert i współprac., 1996). Wyniki podałem
zarówno dla obliczeń wykonanych przy użyciu cechowania Babuszkina, jak i Coulomba. Czasy życia dla wszystkich poziomów zostały zebrane w tabeli 7 zamieszczonej
w uzupełnieniu B. Ponadto, w tabeli 6 w uzupełnieniu A, zamieściłem policzone
przeze mnie prawdopodobieństwa elektrycznych przejść dipolowych (E1) pomiędzy
rozpatrywanymi poziomami badanego jonu. Dla zachowania przejrzystości, podałem
w niej wyniki tylko dla cechowania Babuszkina.
Numer
poziomu
Konfiguracja
elektronowa
Doświadczenie
x
(ps)
5
10
6
9
14
12
13
15
16
17
3s3p
P1
90 ± 10
S0
150 ± 8
D2
840 ± 60
2
1
2
1
2
3
3p
3p
1
3p
P2
134 ± 8
D2
72 ± 3
D2
100 ± 15
D3
117 ± 9
3s3d
1
3s3d
3
3s3d
3
3p3d
3
3p3d
3
3p3d
3
F2
653 ± 63
F3
473 ± 21
F4
513 ± 18
Teoria –
MCDF –
dotychczasowe wyniki
bieżące wyniki (ps)
(ps)
a
b
c
85.9 , 93.2 , 89.7 , 87.7
b
c
110.7 , 110.2 , 101.4
a
b
d
c
990 , 1692 , 1332 , 973
a
c
115 , 108.2 , 103.8
d
d
Babuszkin
89.5
87.7
145.3
140.5
953
928
128.3
127.2
b
c
68.3
67.9
c
d
91.3
85.4
c
d
42.3 , 43.0 , 39.8
74.7 , 71.8
76.9 , 73.0
d
d
Coulomb
125.2
117.2
346
c
632
623
303
c
451
440
284
c
502
478
Tab. 3. Czasy życia wybranych poziomów ośmiokrotnie zjonizowanego atomu wapnia Ca8+
(w pikosekundach). Cechowanie Coulomba i Babuszkina.
Oznaczenia indeksów (dane źródłowe):
x
Träbert i współprac., (1996);
a
Cheng i Johnson, (1977);
b
Froese Fischer i Godefroid, (1982);
c
Fawcett, (1983);
d
Christensen i współprac., 1986.
Porównanie uzyskanych wyników z wynikami doświadczalnymi Träberta i współprac.
(1996) pokazuje jednoznacznie, że włączenie do bazy dodatkowych funkcji konfiguracyjnych odpowiadających za polaryzację rdzenia i korelacje rdzeń-rdzeń, tak jak to uczyniłem
w swoich obliczeniach, znacząco polepsza zgodność wyników teoretycznych z pomiarami
doświadczeniem. O ile bowiem dla części poziomów, dotychczas istniejące wyniki teoretyczne dobrze się zgadzają z danymi doświadczalnymi, to dla innych występują dość duże
35
4. Wyniki i dyskusja
rozbieżności. Szczególnie wyraźnie jest to widoczne w przypadku poziomów 3s3d 1 D2 ,
3p3d 3 F2 oraz 3p3d 3 F4 , dla których to różnice między teorią a doświadczeniem były
szczególnie rażące. Wyniki moich obliczeń okazały się zgodne z danymi doświadczalnymi
dla wszystkich rozpatrywanych poziomów jonu Ca8+ . Stosunkowo niewielka rozbieżność
pozostała dla poziomu 3p2
1D ,
2
ale w tym przypadku błąd doświadczalny jest dość duży.
Należy ponadto podkreślić stosunkowo niewielki rozrzut pomiędzy wynikami otrzymanymi przy użyciu różnych cechowań – Babuszkina i Coulomba. O ile zwykle inni autorzy
uznają za duży sukces, gdy różnice między tymi cechowaniami nie przekraczają 20%,
to w moich obliczeniach różnica ta dla żadnego poziomu nie przekroczyła klikunastu%.
Świadczy to o poprawnym skonstruowaniu bazy w której rozwijano atomowe funkcje stanu.
Podsumowując, otrzymałem wyniki o wiele lepiej zgodne z jedynymi dotychczas dostępnymi danymi pomiarowymi niż wyniki otrzymane prze innych autorów. Uzyskałem to
dzięki starannemu przygotowaniu bazy z uwzględnieniem efektów relatywistycznych zaniedbywanych przez innych autorów, czyli takich efektów jak polaryzacja rdzenia, korelacje
rdzeń-rdzeń oraz relaksacja orbitali. Ten ostatni efekt został osiągnięty dzięki niezależnej
optymalizacji orbitali dla poszczególnych grup symetrii. Ponadto, uzyskałem wyniki dla
poziomów, dla których nie istnieją jeszcze żadne dostępne wyniki teoretyczne i dane doświadczalne (tabela 7). Oczywiście, nie dla wszystkich rozpatrywanych poziomów byłem w
stanie policzyć ich czasy życia, ze względu na brak przejść E1 z niektórych z nich (jest to
rzecz jasna związane z odpowiednimi regułami wyboru, zabraniającymi przejść pomiędzy
stanami o określonym całkowitym momencie pędu i parzystości (Haken i Wolf, 1997)). Są
to stany metastabilne, o czasach życia dochodzących nawet do 1 sekundy, które można
obliczyć analizując przejścia M1 i E2.
Wyniki omawianych obliczeń były zaprezentowane na konferencji 32nd EGAS (Syty i
współprac., 2000) oraz zostaną opublikowane w pracy Syty i współprac. (2003).
4.2. Prawdopodobieństwa przejść wzbronionych w bizmucie
W tabeli 4 zebrano obliczone energie wybranych poziomów atomu bizmutu i porównano je z dostępnymi danymi teoretycznymi i doświadczalnymi. Dla pełniejszej weryfikacji
wyników, w tabeli zamieszczono również energie dla parzystych stanów, choć oczywiście,
zgodnie z regułami wyboru, nie biorą one udziału w interesujących nas przejściach typu
M1.
36
4. Wyniki i dyskusja
Parzystość
nieparzyste
parzyste
Poziom
4S
DOŚW
MPBT
CI
MCDF –
(cm−1 )
(cm−1 )
(cm−1 )
bieżące wyniki (cm−1 )
0
0
0
0
11429.0
11672
11521
11550
15437.7
15593
15969
15867
21661.0
21806
22222
22321
33164.8
33337
33185
33180
32588.2
—
32823
32800
44865.1
—
44418
44873
45915.6
—
45814
46013
48498.9
—
48940
48676
49456.6
—
49599
49612
3/2
2D
3/2
2D
5/2
2P
1/2
2O
3/2
4P
1/2
4S
3/2
2P
1/2
4P
5/2
2P
3/2
Tab. 4. Energie wybranych poziomów w atomie bizmutu (cm−1 ).
Objaśnienie oznaczenia kolumn:
DOŚW – dane doświadczalne, Moore (1958).
MBPT – dane teoretyczne, obliczenia wykonane przy pomocy wielociałowego rachunku
zaburzeń, Dzuba i współprac. (1989).
CI – dane teoretyczne, obliczenia wykonane metodą oddziaływania konfiguracji przy
użyciu 354 relatywistycznych konfiguracji, Kozlov i współprac. (1996).
W kolejnej tabeli zebrano policzone prawdopodobieństwa elektrycznie wzbronionych
przejść magnetycznych dipolowych (M1) wewnątrz konfiguracji stanu podstawowego
6s2 6p3 atomu bizmutu (w s−1 ).
Przejście
4S
3/2
– 2 D3/2
4S
3/2
– 2 D5/2
4S
3/2
– 2 P1/2
X
Długość fali
876 nm
648 nm
462 nm
DOŚW
—
—
—
8.75
MBPT(1)
3.052
0.378
0.391
8.07
MBPT(2)
2.876
0.317
0.348
9.06
CI
2.618
0.260
0.328
10.07
bieżąca praca
2.570
0.274
0.358
9.39
Tab. 5. Prawdopodobieństwa przejść wzbronionych (M1) wewnątrz konfiguracji stanu podstawowego 6s2 6p3 atomu bizmutu (s−1 ). Cechowanie Babuszkina.
4. Wyniki i dyskusja
37
Objaśnienie użytych w tabeli 5 oznaczeń:
X – iloraz pierwszych dwóch prawdopodobieństw. Ponieważ (w odróżnieniu od samych
prawdopodobieństw) ten współczynnik stosunkowo łatwo wyznaczyć doświadczalnie, często jest używany do weryfikacji wyników teoretycznych.
DOŚW – wyniki doświadczalne, Macpherson i współprac. (1992).
MBPT(1) – dane teoretyczne, obliczenia wykonane przy pomocy wielociałowego rachunku
zaburzeń, Dzuba i współprac. (1989).
MBPT(2) – jak wyżej, ponadto do obliczeń wprowadzono półempiryczne poprawki wyższych rzędów, Dzuba i współprac. (1989).
CI – dane teoretyczne, obliczenia wykonane metodą oddziaływania konfiguracji przy użyciu 354 relatywistycznych konfiguracji, Kozlov i współprac. (1996), Kozlov (2001).
Zarówno wartości otrzymanych energii, jak i prawdopodobieństwa przejść pokazują
wyraźnie poprawność zastosowanej przeze mnie wielokonfiguracyjnej metody Diraca-Focka
do postawionego problemu. Wyniki pozostają bowiem w bardzo dobrej zgodności z danymi
doświadczalnymi i potwierdzają dotychczasowe obliczenia innych autorów, które były przeprowadzone przy wykorzystaniu innych metod teoretycznych, takich jak metoda oddziaływania konfiguracji, czy też wielociałowy rachunek zaburzeń z ewentualnymi poprawkami
półempirycznymi.
W przypadku rozważanych prawdopodobieństw przejść nie znane są co prawda ich
doświadczalne wartości i nie można być zupełnie pewnym poprawności otrzymanych wyników, lecz dobrym testem przeprowadzonych obliczeń może być ich iloraz, już zmierzony
doświadczalnie. Zarówno bieżące, jak i dotychczasowe wartości teoretyczne tego parametru
pozostają w dobrej zgodzie z doświadczeniem, co potwierdza prawidłowość przeprowadzonych obliczeń. Wyniki omawianych obliczeń zostały zaprezentowane na konferencji 7th
ECAMP (Syty i Sienkiewicz, 2001).
4.3. Różniczkowe przekroje czynne i polaryzacje spinowe w rozpraszaniu
powolnych elektronów na atomach gazów szlachetnych
4.3.1. Rozpraszanie elektronów na argonie
Badania doświadczalne różniczkowych przekrojów czynnych na rozpraszanie niskoenergetycznych elektronów na argonie prowadzone były od lat dwudziestych ubiegłego stulecia
(Ramsauer i Kollath, 1929, 1932; Hughes i McMillen, 1932; Webb, 1935), ale dopiero od
lat 70-tych są to pomiary przeprowadzane w szerokim zakresie kątów. Pomiary wykonywali m. in. Dehmel i współprac. (1976), Srivastava i współprac. (1981), Furst i współprac.
4. Wyniki i dyskusja
38
(1989), Gibson i współprac. (1996) oraz Panajotović i współprac. (1997). Pomiary spinowej
polaryzacji elektronów przeprowadzili m.in. Beerlage i współprac. (1981).
Zostało przeprowadzonych również wiele badań teoretycznych. Przykładowo, Amusia
i współprac. (1982) zastosowali wielociałowy rachunek zaburzeń, Fon i współprac. (1983)
oraz Bell i współprac. (1984) użyli metody R-macierzy, McEachran i Stauffer (1983, 1987)
oraz Dasgupta i Bhatia (1985) oparli się na metodzie orbitali spolaryzowanych. Nahar i Wadehra (1987, 1991), Sienkiewicz i Baylis (1987) oraz Plenkiewicz i współprac. (1988) użyli
modelowych potencjałów polaryzacyjnych. Saha (1991) użył wielokonfiguracyjnej metody
Hartree-Focka, której relatywistyczne rozwinięcie jest przedmiotem niniejszej rozprawy.
Sienkiewicz i współprac. (2001, 2002) zastosowali relatywistyczną metodę Diraca-Focka
w połączeniu z metodą orbitali spolaryzowanych do znalezienia minimów krytycznych
w rozpraszaniu elektronów na argonie i cynku.
Na rysunkach 2 – 6 przedstawiłem polaryzacje spinowe oraz różniczkowe przekroje
czynne na sprężyste rozpraszanie elektronów na atomach argonu dla wybranych energii.
Są to pierwsze wyniki, które zostały uzyskane przy użyciu wielokonfiguracyjnej metody
Diraca-Focka dla tego układu.
Dla energii rozpraszanych elektronów 2 eV (rys. 2) widać, że dla kątów 20◦ – 60◦ policzony przeze mnie różniczkowy przekrój czynny na rozpraszanie pozostaje w dość dobrej
zgodności z innymi dostępnymi wynikami teoretycznymi, jak i z przedstawionymi danymi
z pomiarów doświadczalnych. Dla kątów 60◦ – 80◦ możemy zaobserwować, że wszystkie
wyniki teoretyczne nieco przewyższają punkty doświadczalne, by później ponownie do
nich dołączyć. Dla kątów powyżej 150◦ można zauważyć, że moje wyniki schodzą nieco
poniżej pozostałych, brakuje jednak danych eksperymentalnych do weryfikacji, które z wyników teoretycznych są w tym przypadku poprawne. W przypadku polaryzacji spinowej
elektronów, nie udało mi się znaleźć odpowiednich danych porównawczych.
Z kolei dla energii 3 eV (rys. 3) mamy do czynienia z sytuacją w której otrzymane
przeze mnie wyniki nieznacznie gorzej wpasowują się w wyniki doświadczalne niż wyniki
Sahy (1996). Ponadto, dla dużych kątów osiągają one mniej więcej dwukrotnie wyższe wartości od wyników Sahy, dzięki czemu jednak lepiej odpowiadają wynikom doświadczalnym
Williamsa (1979). Otrzymaną przeze mnie polaryzację spinową porównałem z wynikami
Nahar i Wadehry (1991). Kształt krzywych jest niemal identyczny, różnią się one tylko
głębokością minimów.
Bardzo ciekawe są przypadki dla energii 5, 7.5 oraz 10 eV (rys. 4, 5, 6). Istnieją bowiem
dla tych energii dane doświadczalne dla rozproszeń pod dużymi kątami (Mielewska, 2003).
O ile dla kątów do 140◦ wszystkie wyniki teoretyczne dość dobrze odpowiadają danym
doświadczalnym, to – jak łatwo zauważyć – dla większych kątów żadne z wyników teore-
4. Wyniki i dyskusja
39
tycznych nie pozostają z nimi w zbyt dobrej zgodności. Należy jednak podkreślić, że to
właśnie wyniki moich obliczeń pozostają w najlepszej zgodności z danymi doświadczalnymi
dla dużych kątów rozproszenia. Szczególnie dobrze widać to dla energii 7.5 eV (rys. 5),
gdzie dopiero dla kątów powyżej 160◦ otrzymana przeze mnie krzywa teoretyczna przestaje przecinać punkty pomiarowe. Dla energii 10 eV (rys. 6) krzywa uzyskana przeze mnie
jest nieco bardziej stroma od wyników Mielewskiej, ale niemal idealnie odpowiada danym
doświadczalnym Fursta i współprac. (1989). Te ostatnie dane nie są jednak dostępne dla
dużych kątów rozproszenia. Moje wyniki zrównują się z wynikami Mielewskiej dla kątów
ok. 160◦ , by następnie przebiegać nieco powyżej.
Trudno jednoznacznie ocenić, czy ta poprawa zgodności jest przypadkowa, czy też
wynika z właściwości zastosowanej metody obliczeniowej. Wydaje się, że odpowiedzi na
to pytanie mogłyby dostarczyć dodatkowe obliczenia różniczkowych przekrojów czynnych
na elastyczne rozpraszanie elektronów na atomach neonu, przeprowadzone przy użyciu
wielokonfiguracyjnej metody Diraca-Focka. Dla neonu bowiem – tak jak dla argonu –
dostępne są dane doświadczalne dla rozproszeń pod dużymi kątami (Mielewska, 2003).
4. Wyniki i dyskusja
40
Rys. 2. Różniczkowy przekrój czynny oraz polaryzacja spinowa w przypadku sprężystego rozpraszania elektronów na argonie dla energii 2 eV.
4. Wyniki i dyskusja
41
Rys. 3. Różniczkowy przekrój czynny oraz polaryzacja spinowa w przypadku sprężystego rozpraszania elektronów na argonie dla energii 3 eV.
4. Wyniki i dyskusja
42
Rys. 4. Różniczkowy przekrój czynny oraz polaryzacja spinowa w przypadku sprężystego rozpraszania elektronów na argonie dla energii 5 eV.
4. Wyniki i dyskusja
43
Rys. 5. Różniczkowy przekrój czynny oraz polaryzacja spinowa w przypadku sprężystego rozpraszania elektronów na argonie dla energii 7.5 eV.
4. Wyniki i dyskusja
44
Rys. 6. Różniczkowy przekrój czynny oraz polaryzacja spinowa w przypadku sprężystego rozpraszania elektronów na argonie dla energii 10 eV.
4. Wyniki i dyskusja
45
4.3.2. Rozpraszanie elektronów na ksenonie
Jedne z pierwszych danych doświadczalnych, obejmujących spinowe polaryzacje elektronów o energiach poniżej 10 eV w sprężystym rozpraszaniu na ksenonie dostarczyli Klewer i współprac. (1979) – m.in. zmierzyli oni polaryzacje spinowe dla energii elektronów
5.5 eV, 7.5 eV i 10 eV. Następnie, Dümmler i współprac. (1995) zmierzyli te polaryzacje dla
szeregu energii z zakresu 1 – 10 eV. Teoretyczne obliczenia polaryzacji spinowej elektronu
przy niskoenergetycznym rozpraszaniu na ksenonie, wykonał – jako jeden z pierwszych
– Walker (1971). Uwzględniając w obliczeniach statyczną wymianę, przeprowadził obliczenia dla energii rozpraszanych elektronów 2 eV. Kolejne obliczenia w interesującym
mnie zakresie energii, wykonali McEachran i Stauffer (1986), używając metody orbitali
spolaryzowanych. Z kolei w pracy Jaskólski i współprac. (1987), przedstawione są wyniki
otrzymane w wyniku zastosowania podejścia quasi-relatywistycznego przy dodatkowym
użyciu modelowego potencjału polaryzacyjnego. Sienkiewicz i Baylis (1989, 1991) również
użyli modelowego potencjału polaryzacyjnego. Trzy powyższe prace przedstawiały spinową
polaryzację elektronów o energiach 5.5 eV, 7.5 eV oraz 10 eV. Szmytkowski i Sienkiewicz
(1994), wykorzystując potencjał polaryzacyjny otrzymany z relatywistycznej metody orbitali spolaryzowanych (Szmytkowski, 1991, 1993), policzyli polaryzacje spinowe dla energii
z przedziału 2 – 10 eV, dodatkowo zwięźle zbierając i podsumowując dostępne wówczas
dane (zarówno doświadczalne, jak i teoretyczne), dotyczące tematyki badań spinowej polaryzacji elektronów przy ich rozpraszaniu na ksenonie. Z kolei Sienkiewicz i współprac.
(1995) po raz pierwszy zastosowali relatywistyczną metodę wielokonfiguracyjną do obliczeń
tego typu. W pracy Buckman i współprac. (1997) zademonstrowano technikę analizy przesunięć fazowych w celu uzyskiwania spinowej polaryzacji, na podstawie eksperymentalnych
danych, takich jak różniczkowe przekroje czynne, a w pracy Sienkiewicz i współprac. (2000)
omówiono wpływ członu wymiany na polaryzację spinową elektronów.
Duża ilość danych, zarówno doświadczalnych jak i teoretycznych, jest również dostępna
dla różniczkowych przekrojów czynnych na rozpraszanie sprężyste powolnych elektronów
na ksenonie. Jedne z pierwszych pomiarów przeprowadzili Ramsauer i Kollath (1929, 1932).
W latach siedemdziesiątych ubiegłego stulecia, danych doświadczalnych dostarczyli nam
m.in. Williams i Crowe (1975) oraz Heindorff i współprac. (1976). W poźniejszym czasie,
dla energii elektronów poniżej 2 eV, pomiary przeprowadzili Weyhreter i współprac. (1988),
jednak w mocno zawężonym zakresie kątów – tylko między 20◦ a 100◦ . Register i współprac. (1986) przeprowadzili pomiary dla energii powyżej 1 eV, dodatkowo dla większego
przedziału kątów: od 10◦ do 146◦ . Innych danych, dla nieco większych energii, dostarczyli
Klewer i współprac. (1980) oraz Nishimura i współprac. (1987). Nowsze dane zawarte są np.
4. Wyniki i dyskusja
46
w pracy Gibson i współprac. (1988), gdzie wykonano pomiary różniczkowych przekrojów
czynnych dla całego szeregu energii, zaczynając od wartości 0.67 eV.
Przeprowadzono również cały szereg obliczeń teoretycznych. W latach siedemdziesiątych takie obliczenia przeprowadzili m. in. McCarthy i współprac. (1977), wprowadzając
lokalny potencjał. McEachran i Stauffer (1984, 1987) zastosowali kilka odmian metody
orbitali spolaryzowanych, Johnson i Guet (1994) użyli wielociałowego rachunku zaburzeń.
Z kolei Gianturco i Rodrigez-Ruiz (1994) zastosowali teorię funkcjonału gęstości, a Sienkiewicz i Baylis (1989) użyli modelowego potencjału polaryzacyjnego. Gibson i współprac.
(1998) przeprowadził relatywistyczne obliczenia, potencjał polaryzacyjny wprowadzając
jednak jako poprawkę do nierelatywistycznej funkcji falowej otrzymanej w procedurze
Hartree-Focka.
Przejdę teraz do omówienia swoich wyników. Na rysunkach 7 – 10 przedstawiłem
wykresy otrzymanych przeze mnie polaryzacji spinowych oraz różniczkowych przekrojów
czynnych na sprężyste rozpraszanie powolnych elektronów na atomach ksenonu. W przypadku polaryzacji spinowych przedstawiłem swoje wyniki uzyskane zarówno z uwzględnieniem członu polaryzacyjnego, jak i bez jego uwzględniania. Wyniki porównałem z wynikami doświadczalnymi uzyskanymi przez Dümmlera i współprac. (1995) oraz Gibsona
i współprac. (1998). Ogólnie rzecz biorąc, z wykresów wyraźnie wynika, że człon polaryzacyjny ma bardzo istotny wpływ na uzyskiwane rezultaty. Zaniedbanie tego członu
prowadzi do przesunięcia wykresu, rozciągnięcia w pionie.
Na rysunku 7 widać niemal idealną zgodnośc mojej krzywej z danymi doświadczalnymi Gibsona i współprac. (1998) dla energii 2 eV. Pierwsze minimum położone jest jedynie
nieco niżej. W przypadku polaryzacji spinowej widoczna jest dość dobra zgodność w zakresie kątów, dla których dostępne są dane doświadczalne. W tym, a także i w innych
przypadkach brakuje jednak danych doświadczalnych powyżej kątów 130◦ i przez to nie
można zweryfikować wyników teoretycznych. Na rysunku 8, dla energii 4 eV, widać dobrze
odwzorowane mimima różniczkowych przekrojów czynnych, jednak moja krzywa przewyższa punkty pomiarowe w pobliżu maksimum. Na dolnej części rysunku 8 widzimy dość
dobrze oddany kształt krzywej polaryzacji spinowej, jedynie struktura rezonansowa jest
w przypadku mojej krzywej nieco większa. W przypadku energii 6 eV, mimo że policzony
różniczkowy przekrój czynny pozostaje w dość dobrej zgodności z danymi Gibsona i współprac. (podobnie jak dla energii 4 eV), to polaryzacja spinowa wykazuje duże rozbieżności.
Struktura rezonansowa jest mocno rozciągnięta, położenie maksimum nie zostało dobrze
oddane.
Z ciekawą sytuacją mamy do czynienia dla energii 10 eV. Zwykle, różniczkowe przekroje
czynne na sprężyste rozpraszanie elektronów o małych energiach posiadają dwa minima,
4. Wyniki i dyskusja
47
jedno w przedziale 40◦ – 60◦ , a drugie w pobliżu 120◦ . Wraz ze wzrostem energii elektronów
od 0 do 10 eV pierwsze minimum zwykle się spłyca, a drugie pogłębia. Dla energii rzędu 10
eV często się zdarza, że pierwsze minimum zupełnie zanika. Na rysunku 9 widać wyraźnie,
że dla danych doświadczalnych pierwsze minimum zupełnie zanikło, jednak wyniki uzyskane przeze mnie wyraźnie wykazują oba mimima. W przypadku polaryzacji spinowej,
podobnie jak dla niższych energii, maksimum uzyskanej przeze mnie krzywej przebiega
nieco powyżej danych doświadczalnych.
4. Wyniki i dyskusja
48
Rys. 7. Różniczkowy przekrój czynny oraz polaryzacja spinowa w przypadku sprężystego rozpraszania elektronów na ksenonie dla energii 2 eV.
4. Wyniki i dyskusja
49
Rys. 8. Różniczkowy przekrój czynny oraz polaryzacja spinowa w przypadku sprężystego rozpraszania elektronów na ksenonie dla energii 4 eV.
4. Wyniki i dyskusja
50
Rys. 9. Różniczkowy przekrój czynny oraz polaryzacja spinowa w przypadku sprężystego rozpraszania elektronów na ksenonie dla energii 6 eV.
4. Wyniki i dyskusja
51
Rys. 10. Różniczkowy przekrój czynny oraz polaryzacja spinowa w przypadku sprężystego rozpraszania elektronów na ksenonie dla energii 10 eV.
4. Wyniki i dyskusja
52
Rys. 11. Polaryzacja spinowa elektronów jako funkcja kąta przy rozpraszaniu na ksenonie dla energii 10 eV. Inne dane porównawcze.
Rysunek 11 przedstawia również przypadek dla energii 10 eV, tym razem jednak zamiast z krzywą polaryzacji spinowej otrzymaną bez uwzględnienia członu polaryzacyjnego,
porównano otrzymany wynik z innymi obliczeniami teoretycznymi i danymi pomiarowymi.
Można zaobserwować, że dla kątów 50◦ -80◦ mój wynik osiąga lepszą zgodność z wynikami
Klewera i współprac. (1979). Wyniki Dümmlera i współprac. (1995) osiągają sporo niższe wartości w tym zakresie kątów. W pozostałych zakresach moje wyniki pokrywają się
z punktami pomiarowymi obu autorów.
4. Wyniki i dyskusja
53
Rys. 12. Różniczkowy przekrój czynny na sprężyste rozpraszanie elektronów na ksenonie dla energii 0.67 eV.
Rysunek 12 przedstawia różniczkowy przekrój czynny policzony dla bardzo niskiej
energii – 0.67 eV. Okazało się, że zastosowana metoda w zupełności nadaje się do obliczeń nawet dla tak niewielkich energii rozpraszanych elektronów. Niestety, brakuje danych
doświadczalnych dla większych kątów dla porównania ich z wynikami moich obliczeń.
W związku z bardzo niskimi energiami rozpraszanych elektronów, warto zwrócić uwagę
na przydatność użytej tutaj metody obliczeniowej do opisu zderzeń bardzo powolnych
elektronów (o energiach poniżej 10 meV) z zimnymi atomami znajdującymi się w tzw.
pułapkach atomowych. Czas oddziaływania pomiędzy rozpraszanym elektronem a atomem
jest znacznie wydłużony i efekty korelacyjno-polaryzacyjne stają się bardzo ważne.
Ponownie chciałbym podkreślić, że otrzymane przeze mnie różniczkowe przekroje czynne na sprężyste rozpraszanie elektronów na ksenonie są pierwszymi, otrzymanymi przy
użyciu relatywistycznej metody wielokonfiguracyjnej. Wyniki te przedstawiłem na konferencjach 34th EGAS (Syty i Sienkiewicz, 2002) oraz 2nd CEPAS (Syty i Sienkiewicz, 2002).
Są one również opublikowane w pracy Syty i współprac. (2003).
4. Wyniki i dyskusja
54
Okazało się, że wielokonfiguracyjna metoda Diraca-Focka w zastosowaniu do rozproszeń powolnych elektronów na atomach jest w stanie pomóc w uzyskiwaniu lepszej zgodności z danymi pomiarowymi, szczególnie dla dużych kątów rozproszenia.
5. Podsumowanie
55
5. Podsumowanie
W pracy zastosowałem wielokonfiguracyjną metodę Diraca-Focka do różnego rodzaju
obliczeń atomowych. Przeprowadziłem obliczenia zarówno dla jonów jak i dla atomów.
Rozwinąłem technikę obliczeniową dla stanów rozproszeniowych, udoskonalając jednocześnie odpowiednie programy numeryczne.
Policzyłem czasy życia dla ośmiokrotnie zjonizowanego atomu wapnia Ca8+ . Po raz
pierwszy zostały uwzględnione dla tego układu efekty korelacyjno-polaryzacyjne (polaryzacja rdzenia oraz korelacje rdzeń-rdzeń) oraz relaksację orbitali, które – jak się okazało – mają duży wpływ na otrzymanie poprawnych wyników. Dzięki ich uwzględnieniu,
otrzymane przeze mnie wyniki są dużo bardziej zgodne z doświadczeniem od dotychczas
istniejących.
Policzyłem prawdopodobieństwa przejść wzbronionych w bizmucie. I tu wyniki okazały
się zgodne z doświadczalnymi.
Jako pierwszy, przy użyciu tej metody policzyłem różniczkowe przekroje czynne i
polaryzację spinową rozpraszanych niskoenergetycznych elektronów na atomach argonu.
Dla ksenonu jako pierwszy użyłem tej metody do wykreślenia różniczkowych przekrojów
czynnych. Dodatkowo, policzyłem także polaryzację spinową. Pokazałem dużą zależność
wyników od uwzględnienia członu polaryzacyjno-korelacyjnego. Pokazałem ponadto, że
zastosowana metoda lepiej niż inne oddaje zachowanie rozpraszanego elektronu dla dużych kątów, przynajmniej w zaprezentowanych przypadkach. Niemal pewne jest, że jeszcze lepsze wyniki można by uzyskać dopuszczając możliwość otwierania się dodatkowych
niesprężystych kanałów wzbudzeniowych, które grają bardzo istotną rolę przy rozpraszaniu tak niskoenergetycznych elektronów, tym bardziej rozpraszanych pod dużymi kątami.
Uważam ponadto, że przedstawione tutaj metody i zastosowane techniki obliczeń mogą
być przydatne w opisie procesów zderzeniowych wewnątrz pułapek atomowych.
Cele postawione w pracy zostały całkowicie zrealizowane. Zastosowana przeze mnie
wielokonfiguracyjna metoda Diraca-Focka okazała się skuteczna i przydatna w całym szeregu różnych obliczeń atomowych. Wymaga ona co prawda włożenia sporego nakładu
pracy podczas przeprowadzania obliczeń i sporej intuicji, lecz otrzymywane tą metodą
wyniki wynagradzają w zupełności ponoszony trud.
56
Uzupełnienia
Uzupełnienia
A. Prawdopodobieństwa przejść E1 w jonie wapnia Ca8+
pozioma - poziomb
2
3s − 3s3p
3s2 − 3p3d
3s2 − 3s4p
2
nra
nrb
Ab→a (1/s)
1
3
2.9150E+06
1
5
1.0584E+10
1
20
3.1327E+02
1
22
1.0334E+04
1
26
2.0145E+08
1
30
6.4799E+09
1
32
3.5669E+10
3s − 3p4s
1
47
5.3282E+06
3s3p − 3p2
4
6
3.1568E+08
3
6
1.5057E+08
4
8
3.6662E+09
3
7
8.9283E+09
3
8
2.3092E+09
2
8
3.1724E+09
3
10
3.0861E+07
5
6
7.2160E+08
5
7
6.3820E+06
5
8
5.7012E+05
5
10
9.1684E+09
4
11
3.5747E+08
4
12
3.2223E+09
4
13
1.2838E+10
3
11
5.5614E+09
3
12
9.9410E+09
2
11
7.5005E+09
4
14
1.4437E+06
3
14
3.5630E+07
5
11
2.3298E+06
5
12
3.1497E+06
5
14
2.3249E+10
4
27
3.8239E+10
3
27
2.2802E+10
2
27
7.5254E+09
3
28
2.9831E+07
5
27
2.5226E+07
5
28
4.2839E+10
4
33
1.5843E+03
4
34
7.9390E+03
3
33
4.5546E+03
4
37
1.2648E+03
3
37
1.9138E+06
4
39
1.7748E+07
4
40
3.5187E+07
3
38
4.7971E+07
3
39
1.2575E+07
3
40
1.3465E+07
2
39
1.8247E+07
3
41
1.5387E+05
5
33
3.9322E+02
5
37
6.9325E+08
5
38
7.1879E+05
5
39
2.0601E+03
5
40
3.0004E+06
5
41
2.3659E+07
27
46
4.0995E+09
27
47
4.0157E+09
27
48
1.0637E+00
28
47
2.0728E+08
3s3p − 3s3d
3s3p − 3s4s
2
3s3p − 3d
3s4s − 3p4s
pozioma - poziomb
nra
nrb
3s3p − 3s4d
4
42
1.2991E+09
4
43
1.1580E+10
4
44
4.5860E+10
3
42
1.9261E+10
3
43
3.4272E+10
2
42
2.5455E+10
4
45
7.5302E+06
3
45
4.6922E+06
5
42
1.7247E+07
5
43
4.3219E+06
5
45
2.1532E+10
4
53
1.0226E+06
3
53
1.9244E+09
2
53
5.4246E+08
4
54
2.4673E+08
4
55
2.1235E+09
3
54
3.1836E+09
3
55
1.2325E+10
2
54
9.3312E+09
4
56
1.4570E+10
4
58
2.9476E+09
3
57
2.0302E+10
4
59
1.6553E+10
3
58
1.0061E+10
2
58
6.6435E+09
3
59
3.0845E+09
4
60
1.8367E+10
3
60
3.2076E+09
2
60
4.1148E+08
4
61
1.6595E+08
3
61
1.6128E+08
3
62
1.1227E+08
5
53
2.1586E+10
5
54
3.0056E+09
5
55
6.8882E+07
5
57
7.0799E+07
5
58
4.9426E+08
5
59
4.7019E+08
5
60
2.1660E+08
5
61
2.5329E+10
5
62
7.9961E+09
6
15
4.0134E+08
6
16
9.4554E+06
6
18
9.2578E+09
6
20
7.0384E+07
6
22
2.0882E+08
6
23
5.4943E+08
6
24
1.2573E+09
6
25
1.6478E+10
6
26
2.0317E+08
8
15
5.5925E+06
8
18
2.9758E+07
8
20
2.4630E+08
8
21
1.0984E+10
7
20
1.2452E+10
8
22
1.0322E+10
8
23
6.8895E+09
7
22
1.6038E+09
8
26
6.5529E+06
7
26
3.1561E+07
3s3p − 3p4p
3p2 − 3p3d
Ab→a (1/s)
57
Uzupełnienia
pozioma - poziomb
nra
nrb
Ab→a (1/s)
pozioma - poziomb
nra
nrb
3p2 − 3s4p
6
30
1.4888E+09
3s3d − 3s4p
11
29
1.3380E+10
6
31
5.1023E+04
12
30
8.5710E+09
6
32
8.9001E+09
11
30
2.8419E+09
8
29
3.2649E+06
13
31
1.1071E+10
8
30
4.3271E+05
12
31
1.9810E+09
8
31
1.4049E+05
11
31
1.3127E+08
7
30
5.2757E+04
12
32
1.4322E+09
8
32
6.4959E+05
11
32
4.7990E+08
7
32
2.9321E+06
14
30
6.1909E+08
10
30
4.1007E+07
14
31
6.3790E+03
10
32
2.7294E+08
14
32
3.4584E+09
6
47
5.1542E+09
11
46
4.0286E+08
6
48
1.5971E+09
12
47
2.8877E+08
8
46
4.1741E+10
11
47
9.6223E+07
8
47
9.9511E+09
13
48
3.3608E+08
7
47
1.3401E+10
12
48
5.9375E+07
8
48
1.0390E+10
11
48
3.9934E+06
10
47
7.9684E+07
14
47
4.0357E+08
6
49
4.4827E+02
14
48
2.2014E+06
6
50
2.6742E+05
13
49
5.3351E+08
6
52
2.4785E+10
13
50
1.3348E+10
8
49
8.6735E+03
13
51
1.2026E+11
10
20
5.0698E+06
12
49
1.8587E+10
10
22
7.6150E+05
12
50
1.0642E+11
10
26
1.4550E+10
11
49
1.0081E+11
13
15
9.4739E+06
13
52
9.5348E+03
12
15
3.4492E+08
12
52
4.1631E+03
11
15
1.5891E+09
14
49
7.9389E+04
13
16
2.9320E+08
14
50
4.8319E+03
12
16
1.8275E+09
14
52
8.7537E+10
13
17
2.2113E+09
15
27
1.2531E+01
13
18
1.6599E+07
18
27
2.3848E+01
12
18
1.5824E+07
21
27
1.0154E+05
11
18
8.3708E+07
20
27
1.8275E+05
12
20
4.3261E+09
20
28
2.1696E+05
11
20
8.9140E+07
23
27
1.1443E+05
11
21
4.7811E+09
22
27
1.3043E+05
12
22
1.7336E+08
22
28
2.9905E+04
11
22
4.3858E+09
26
27
5.5416E+03
13
23
2.7898E+07
26
28
6.8762E+07
13
24
3.7659E+09
31
33
1.7147E-05
12
23
3.6802E+09
31
34
3.7817E-04
12
24
6.0163E+08
30
33
1.0604E-02
11
23
7.7176E+08
31
37
4.2214E+00
13
25
1.0205E+07
30
37
1.5442E+04
12
25
1.5705E+06
31
39
1.0018E+03
12
26
1.2433E+07
31
40
1.4238E+03
11
26
3.3720E+06
30
38
1.8911E+03
14
15
9.7910E+06
30
39
3.7383E+02
14
16
6.6338E+05
30
40
1.6573E+02
14
18
2.7789E+08
29
39
7.3335E+02
14
20
2.5985E+06
30
41
6.8902E+05
14
22
7.2026E+05
32
33
4.7503E-05
14
23
1.5150E+03
32
37
6.0401E+04
14
24
1.4805E+06
32
38
3.7132E+02
14
25
7.2708E+09
32
39
8.6607E+01
14
26
5.8050E+09
32
40
7.2163E+02
27
29
7.6006E+08
32
41
4.3177E+06
27
30
6.5731E+08
31
42
4.8103E+07
27
31
8.2751E+08
31
43
4.3872E+08
27
32
1.2365E+08
31
44
1.7894E+09
28
30
4.9198E+07
30
42
6.4540E+08
28
32
3.1820E+08
30
43
1.2208E+09
27
49
1.0419E-08
29
42
1.0292E+09
27
50
9.7083E-09
31
45
3.1469E+05
27
52
9.4273E-09
30
45
2.5152E+08
32
42
1.0697E+08
32
43
1.5997E+08
32
45
1.5702E+09
3p2 − 3p4s
3p2 − 3s4f
3s3d − 3p3d
3s4s − 3s4p
3s4s − 3s4f
3s3d − 3p4s
3s3d − 3s4f
3p3d − 3s4s
3s4p − 3d2
3s4p − 3s4d
Ab→a (1/s)
58
Uzupełnienia
pozioma - poziomb
nra
nrb
Ab→a (1/s)
pozioma - poziomb
nra
nrb
3p3d − 3d2
17
34
7.6488E+08
3p3d − 3p4p
15
53
3.8482E+09
17
35
9.0284E+09
16
55
1.2648E+10
16
33
1.1052E+09
15
54
1.0300E+10
16
34
8.5232E+09
17
56
1.3117E+10
16
35
3.8814E+08
15
55
1.4563E+09
15
33
8.8004E+09
16
56
1.0167E+09
15
34
5.8711E+08
15
56
2.6115E+07
17
36
1.0129E+06
15
58
6.6893E+07
16
36
1.2133E+07
16
59
1.2298E+08
16
37
4.6462E+06
15
59
4.6235E+06
15
37
8.3830E+08
15
60
1.4040E+06
16
40
1.4099E+07
16
61
3.8182E+07
15
39
2.8069E+06
15
61
5.4969E+07
15
40
5.5539E+05
18
53
7.6669E+09
18
33
3.5001E+08
18
54
3.5505E+09
18
34
5.8311E+06
18
55
1.4268E+07
18
37
1.8255E+10
18
56
8.6655E+05
18
39
7.5335E+07
18
58
8.9932E+07
18
40
6.9032E+04
18
59
8.1433E+07
20
33
3.8200E+09
18
60
2.7094E+07
20
37
2.6200E+07
18
61
2.2002E+09
21
39
6.4429E+09
21
53
6.8327E+05
20
38
2.6630E+10
20
53
2.9950E+08
20
39
7.0335E+08
21
54
2.5619E+07
20
40
2.3317E+09
20
54
4.1420E+08
20
41
5.9907E+07
20
55
4.7351E+07
24
33
3.3205E+07
21
58
2.5304E+08
23
33
1.1821E+09
20
57
9.4596E+09
24
34
9.8659E+08
20
58
7.7164E+08
23
34
7.7440E+09
20
59
1.7494E+08
22
33
5.3596E+09
21
60
2.2921E+09
24
35
1.0898E+10
20
60
2.2551E+09
24
36
7.3781E+06
20
61
3.2968E+06
24
37
3.2387E+07
20
62
4.2674E+07
23
37
9.0222E+06
23
53
4.3514E+07
22
37
6.7158E+06
22
53
4.6379E+07
24
40
5.9908E+09
23
54
3.2876E+08
23
39
6.7256E+08
22
54
4.0526E+08
23
40
6.8509E+09
24
55
4.6108E+08
22
38
5.3884E+08
23
55
6.2588E+08
22
39
5.9429E+09
22
55
2.1291E+08
22
40
2.5770E+09
24
56
1.7248E+09
22
41
1.1324E+07
23
56
2.7655E+08
25
33
1.0428E+06
22
57
1.3126E+09
25
34
3.5853E+06
23
58
1.3932E+09
25
35
1.4666E+06
22
58
1.3298E+09
25
36
1.0279E+10
24
59
6.3601E+09
25
37
1.6060E+09
23
59
2.9163E+09
25
40
1.6352E+07
22
59
6.3209E+08
26
33
2.8303E+06
23
60
3.1358E+09
26
37
3.8235E+09
22
60
3.4937E+09
26
38
1.1856E+07
24
61
1.1554E+08
26
39
3.2808E+02
23
61
3.3319E+07
26
40
1.8727E+07
22
61
6.5098E+06
26
41
3.0816E+10
22
62
6.6430E+06
44
49
5.4712E+05
26
53
1.6540E+09
44
50
1.3818E+07
26
54
2.6834E+08
44
51
1.2465E+08
26
55
7.3827E+05
43
49
1.9614E+07
26
57
1.8013E+07
43
50
1.1235E+08
26
58
4.8498E+07
42
49
1.0683E+08
26
59
2.8063E+06
44
52
8.9146E+01
26
60
2.6470E+07
43
52
1.9018E+05
26
61
1.7381E+08
45
49
1.6718E+04
26
62
6.8332E+09
45
50
7.4233E+04
42
46
5.7513E+05
45
52
2.2077E+08
43
47
4.3363E+05
42
47
1.5789E+05
44
48
6.7379E+05
43
48
1.3241E+05
42
48
9.3876E+03
45
47
3.7645E-03
45
48
2.9022E-03
3s4d − 3s4f
3s4d − 3p4s
Ab→a (1/s)
59
Uzupełnienia
pozioma - poziomb
nra
nrb
Ab→a (1/s)
pozioma - poziomb
nra
nrb
3p3d − 3s4d
17
44
6.2386E+08
3d2 − 3p4s
33
47
5.2804E+00
16
43
6.4215E+08
34
48
2.7429E+02
16
44
5.4008E+07
33
48
3.3056E+01
15
42
7.3155E+08
37
47
4.9007E+05
15
43
7.5386E+07
37
48
9.0347E+02
15
44
1.4234E+06
39
46
1.5199E+06
16
45
3.8106E+06
40
47
5.6594E+05
15
45
8.3872E+06
39
47
3.6751E+05
18
42
2.7442E+07
38
47
4.6295E+05
18
43
4.7007E+06
40
48
1.1555E+06
18
44
1.7766E+05
39
48
3.6119E+05
18
45
1.3512E+08
41
47
9.7731E+03
21
42
1.6100E+06
35
50
6.4590E+04
20
42
1.8472E+06
35
51
8.2206E+05
20
43
9.9810E+05
34
49
9.4451E+04
20
45
6.4145E+03
34
50
7.5641E+05
23
42
1.5522E+05
34
51
5.6217E+04
24
43
4.6429E+05
33
49
8.1409E+05
23
43
1.8938E+05
33
50
7.3790E+04
24
44
5.1906E+05
35
52
2.8995E+02
23
44
6.2806E+05
34
52
1.0147E+03
22
42
6.1972E+03
33
52
4.0692E+03
22
43
1.1797E+06
36
50
4.1345E+02
24
45
1.9643E+06
36
51
1.7659E+02
23
45
1.0345E+03
36
52
2.0158E+05
22
45
5.9104E+03
37
49
2.1091E+02
25
43
2.2784E+06
37
50
9.1559E+02
25
44
1.1260E+04
37
52
1.9117E+07
25
45
1.3453E+09
40
49
3.6468E+01
25
55
3.9770E+06
39
49
1.2147E+02
25
56
2.0769E+05
40
50
2.2522E+02
25
59
5.6071E+07
40
52
6.0297E+04
25
61
4.5694E+09
48
53
1.2050E+04
26
42
7.0124E+04
47
53
1.0355E+08
26
43
6.8306E+03
46
53
1.9674E+07
26
45
1.4422E+07
48
54
8.7647E+06
31
53
3.9747E+06
48
55
8.4660E+07
30
53
1.7198E+09
47
54
1.0974E+08
29
53
3.0896E+08
48
56
6.4212E+08
31
54
3.5271E+08
46
54
4.0362E+08
31
55
1.6884E+09
47
55
5.4449E+08
30
54
9.6459E+08
48
58
1.0033E+08
29
54
2.1505E+09
48
59
6.7203E+08
30
55
2.6951E+09
47
57
8.0045E+08
31
56
5.2374E+09
47
58
4.0939E+08
31
58
2.7983E+09
46
58
2.9255E+08
30
57
3.8013E+09
47
59
1.5164E+08
30
58
2.5663E+08
48
60
7.8007E+08
29
58
1.1847E+09
47
60
1.5149E+08
31
59
2.6151E+09
46
60
2.3700E+07
30
59
1.6956E+09
48
61
1.1385E+07
31
60
1.1492E+09
47
61
1.1517E+07
30
60
1.7452E+09
47
62
3.7013E+07
29
60
1.2032E+09
49
53
3.7177E+05
31
61
1.3170E+08
49
54
2.9396E+06
30
61
5.8206E+08
50
55
3.0278E+06
30
62
5.6353E+08
49
55
3.8522E+05
32
53
2.7860E+09
51
56
3.4197E+06
32
54
1.5430E+09
50
56
2.9892E+05
32
55
6.4933E+08
49
56
8.7621E+03
32
57
3.6629E+08
49
58
4.8704E+04
32
58
9.1722E+06
50
59
6.8222E+04
32
59
6.0379E+07
49
59
8.7286E+03
32
60
5.9956E+08
49
60
2.0118E+02
32
61
3.5022E+09
50
61
2.2484E+04
32
62
5.9669E+09
49
61
2.9550E+03
52
55
3.6721E+04
52
56
3.1653E+01
52
59
1.6241E+05
52
61
1.0883E+07
3s4p − 3p4p
3d2 − 3s4f
3p4s − 3p4p
3s4f − 3p4p
Ab→a (1/s)
60
Uzupełnienia
B. Czasy życia poszczególnych poziomów w jonie wapnia Ca8+
Numer
Konfiguracja
poziomu
elektronowa
1
3s2
2
3s3p
1S
3
JP
0+
Numer
Konfiguracja
Coulomb
Czas życia (s)
Babuszkin
poziomu
elektronowa
-
-
33
3d2
3F
JP
Czas życia (s)
Coulomb
Babuszkin
2+
4.8932E-11
4.9345E-11
0−
-
-
34
3+
4.8563E-11
4.9234E-11
3
1−
3.5345E-07
3.4305E-07
35
4+
4.9343E-11
4.9765E-11
4
2−
-
-
36
3d2
1
4+
9.8233E-11
9.8983E-11
1−
8.9934E-11
9.4482E-11
37
3d2
1
2+
3.9987E-11
4.0023E-11
D
2+
8.5323E-10
8.4186E-10
38
3d2
3
0+
3.7343E-11
3.7654E-11
P
+
P
1
5
6
3p2
1
7
2
3
P
G
D
P
+
0
1.1323E-10
1.0453E-10
39
1
3.6749E-11
3.7653E-11
8
1+
1.1995E-10
1.0931E-10
40
2+
3.7865E-11
3.8986E-11
9
2+
-
-
41
3d2
1
0+
3.2399E-11
3.3376E-11
0+
1.0539E-10
1.0872E-10
42
3s4d
3
1+
2.0234E-11
2.0893E-11
1+
7.5325E-11
7.4879E-11
43
2+
2.0788E-11
2.0703E-11
12
2+
9.1395E-11
8.5439E-11
44
3+
2.0791E-11
2.0745E-11
13
3+
1.2523E-10
1.1172E-10
45
2+
4.0567E-11
4.0785E-11
2+
6.8356E-11
6.7902E-11
46
0−
2.2576E-11
2.2987E-11
2−
6.3274E-10
6.2398E-10
47
1−
2.1567E-11
2.1875E-11
3−
4.5128E-10
4.4034E-10
48
2−
2.1928E-11
2.2098E-11
4−
5.0269E-10
4.7810E-10
49
2−
8.5432E-12
8.8725E-12
−
3p
10
3p2
1
11
3s3d
3
1
14
15
3p3d
3
S
D
D
F
16
17
18
1
19
3
D
P
20
21
3
1
3p4s
3s4f
3
S
D
D
P
3
F
−
2
1.0101E-10
1.0049E-11
50
3
8.4637E-12
8.7653E-12
2−
5.9911E-11
6.1138E-11
51
4−
8.5673E-12
8.5908E-12
1−
5.4579E-11
5.5287E-11
52
3−
8.9232E-12
8.9653E-12
0−
6.4276E-11
6.4523E-11
53
1+
2.3765E-11
2.3876E-11
+
1
2.8180E-11
2.7981E-11
1
3p4p
F
1P
−
1
5.0244E-11
5.0543E-11
54
23
2−
4.4871E-11
4.6032E-11
55
2+
2.7908E-11
2.7992E-11
24
3−
4.4432E-11
4.4234E-11
56
3+
2.7639E-11
2.7453E-11
3−
3.9939E-11
4.0009E-11
57
0+
2.7835E-11
2.7495E-11
1−
4.9233E-11
4.8734E-11
58
1+
2.8094E-11
2.7903E-11
1+
1.4943E-11
1.5023E-11
59
2+
2.8476E-11
2.8745E-11
0+
2.5664E-11
2.5643E-11
60
3
1+
2.4263E-11
2.4938E-11
0−
7.0111E-11
7.1532E-11
61
1
2+
2.7198E-11
2.7346E-11
30
1−
4.9832E-11
4.8210E-11
62
1
0+
4.8824E-11
4.6783E-11
31
2−
7.1197E-11
7.2343E-11
1−
1.8634E-11
1.8763E-11
22
25
1
26
1
27
3s4s
32
3
1
28
29
D
3s4p
3
F
P
S
S
P
1P
3
D
3
P
S
D
S
Tab. 7. Czasy życia poziomów ośmiokrotnie zjonizowanego atomu wapnia Ca8+ (w sekundach). Cechowanie Coulomba i Babuszkina.
Literatura
61
Literatura
M.A. Ali, P.A. Fraser: The contribution of long-range forces to low-energy phaseshifts.
J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 10 (1977) 3091.
M.Ya. Amusia, N.A. Cherepkov, L.V. Chemysheva, D.M. Davidović, V. Radojević:
Slow-electron elastic scattering on argon. Phys. Rev. A 25 (1982) 219.
H. Bateman, A. Erdély (ed.): Higher Transcendental Functions, vol. I, II. McGraw-Hill,
New York, 1953.
M.J.M. Beerlage, Z. Qing, M.J. Van der Wiel: The polarisation of electrons elastically
scattered from argon and krypton at energies between 10 and 50 eV. J. Phys. B: At. Mol.
Phys. 14 (14 December 1981) 4627.
K.L. Bell, N.S. Scott, M.A. Lennon: The scattering of low-energy electrons by argon atoms.
J. Phys. B: At. Mol. Phys. 17 (1984) 4757.
E. Biemont, P. Quinet: Forbidden Lines in 6pk (k = 1 − 5) configurations. Phys. Scr. 54,
36 (1996).
J. Bieroń, F.A. Parpia, C. Froese Fischer: Large-scale multiconfiguration Dirac-Fock calculations of hyperfine interaction constants for nd2 levels of Sc+ and Y+ . Phys. Rev. A
51, (1995) 4603.
S.J. Buckman, D.R. Lun, J.C. Gibson, L.J. Allen, R.P. McEachran, L. A. Parcell: The
extraction of Sherman functions from unpolarized, low-energy electron scattering from xenon. J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 30 (1997) L619.
P.G. Burke, A. Hibbert, W.D. Robb: Electron scattering by complex atoms. J. Phys. B:
At. Mol. Opt. Phys. 4 (1971) 153.
K.T. Cheng, W.R. Johnson: Excitation energies and line strengths in the Mg isoelectronic
sequence. Phys. Rev. A 16 (1977) 263.
R.B. Christensen, D.W. Norcross, A.K. Pradhan: Electron-impact excitation of ions in the
magnesium sequence. II. S V, Ar VII, Ca IX, Cr XIII, and Ni XVII. Phys. Rev. A 34
(1986) 4704.
A. Dasgupta, A.K. Bhatia: Scattering of electrons from argon atoms. Phys. Rev. A 32,
(1985) 3335.
R.C. Dehmel, M.A. Fineman, D.R. Miller: Angular scattering of low-energy electrons by
atomic and molecular oxygen, argon, and helium. Phys. Rev. A 13 (1976) 115.
Literatura
62
M. Dümmler, G.F. Hanne, J. Kessler: Left-right asymmetries in elastic and inelastic scattering of polarized electrons from argon, krypton and xenon atoms. J. Phys. B: At. Mol.
Opt. Phys. 28 (1995) 2985.
J. Dziedzic: Obliczenia równoległe na przykładzie rozpraszania elektronów na ksenonie.
Praca dyplomowa, Politechnika Gdańska, Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej, Gdańsk (2002).
V.A. Dzuba, V.V. Flambaum, O.P. Sushkov: Summation of the high orders of perturbation
theory for the parity nonconserving E1-amplitude of the 6s7s transition in the caesium
atom. Phys. Lett. A 141 (1989) 147.
B.C. Fawcett. At. Data Nucl. Data Tables 28 (1983) 557.
W.C. Fon, K.A. Berrington, P.G. Burke, A. Hibbert: The elastic scattering of electrons
from inert gases. III. Argon. J. Phys. B: At. Mol. Phys. 16 (1983) 307.
S. Fritzsche: RATIP – A toolbox for studying the properties of open-shell atoms and ions.
J. Electr. Spec. Rel. Phenon. 114-16 (2001) 1155.
S. Fritzsche, I.P. Grant: A program for the complete expansion of jj–coupled symmetry
functions into Slater determinants. Comput. Phys. Commun. 92 (1995) 111
S. Fritzsche, J. Anton: CESD99 – A new version to represent atomic wave functions in a
determinant basis. Comput. Phys. Commun. 124 (2000) 354.
S. Fritzsche, C. Froese Fischer, C.Z. Dong: REOS99 – A revised program for transition
probability calculations including relativistic, correlation, and relaxation effects. Comput.
Phys. Commun. 124, (2000) 340.
S. Fritzsche, F. Koike, J.E. Sienkiewicz, N. Vaeck: Calculation of relativistic atomic transition and ionization properties for highly-charged ions. Phys. Scr. T80 (1999) 479.
S. Fritzsche, P. Syty: COWF - a continuum wave function generator. W przygotowaniu
do wysłania do Comput. Phys. Commun. (2003).
C. Froese Fischer, M. Godefroid: Lifetime trends for the n = 3 singlet states in the Mg
sequence. Nucl. Instr. Meth. 202 (1982) 307.
J.E. Furst, D.E. Golden, M. Mahgerefteh, J. Zhou, D. Mueller: Absolute low-energy e–Ar
scattering cross sections. Phys. Rev. A 40, (1989) 5592.
F.A. Gianturco, J.A. Rodrigez-Ruiz: Elastic scattering of low and intermediate-energy
electrons by Kr and Xe atoms. Z. Phys. D. 31 (1994) 149.
Literatura
63
J.C. Gibson, R.J. Gulley, J.P. Sullivan, S.J. Buckman, V. Chan, P.D. Burrow: Elastic
electron scattering from argon at low incident energies. J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys.
29 (1996) 3177.
J.C. Gibson, D.R. Lun, L.J. Allen, R.P. McEachran, L.A. Parcell, S.J. Buckman:
Low-energy electron scattering from xenon. J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 31 (1998)
3949.
M. Godefroid, C. Froese Fischer, P. Jönsson: Multiconfiguration Hartree-Fock calculations
of atomic properties in light atoms. Phys. Scr. T 65 (1996) 70.
I.P. Grant: Relativistic calculations of atomic structures. Adv. Phys. 19 (1970) 747.
I.P. Grant: Gauge invariance and relativistic radiative transitions. J. Phys. B: At. Mol.
Phys. 7 (1974) 1458.
I.P. Grant, B.J. McKenzie, P.H. Norrington, D.F. Mayers, N.C. Pyper: An atomic multiconfigurational Dirac-Fock package. Comput. Phys. Commun. 21 (1980) 207.
H. Haken, H.C. Wolf: Atomy i kwanty. Wprowadzenie do współczesnej spektroskopii atomowej. PWN, Warszawa (1997).
T. Heindorff, J. Hofft, P. Dabkiewicz: Elastic electron scattering from krypton and xenon
for collision energies up to 10.5 eV. J. Phys. B: Atom. Molec. Phys. 9 (1976) 89.
A.L. Hughes, J.H. McMillen: Inelastic and elastic electron scattering in argon. Phys. Rev.
39 (1932) 585.
W. Jaskólski, J. Karwowski, J. Kobus: Quasirelativistic calculations of the elastic scattering
of slow electrons from Xe atoms. Phys. Scr. 36 (1987) 436.
W.R. Johnson, C. Guet: Elastic scattering of electrons from Xe, Cs+ , and Ba2+ . Phys.
Rev. A 49 (1994) 1041.
J. Kessler: Polarized Electrons (2nd ed.). Springer, Berlin (1985).
M. Klewer, M.J.M. Beerlage, M.J. Van der Wiel: The polarisation of electrons elastically
scattered from xenon at energies between 5 and 300 eV. J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys.
12 (1979) 3935.
M. Klewer, M.J.M. Beerlage, M.J. van der Wiel: Angular distributions of electrons elastically scattered from xenon at energies between 2 and 300 eV. J. Phys. B: At. Mol. Phys.
13 (1980) 571.
M.G. Kozlov. Komunikat prywatny (2001).
Literatura
64
M.G. Kozlov, S.G. Porsev, V.V. Flambaum: Manifestation of the nuclear anapole moment
in the M1 transitions in bismuth. J. Phys. B 29 (1996) 689.
M.J.D. Macpherson, R.B Warrington, R.B Stacey, K.P. Zetie: J. Physique II 2 (1992) 749.
I.E. McCarthy, C.J. Noble, B.A. Phillips, A.D. Turnbull: Optical model for electron scattering from inert gases. Phys. Rev. A 15 (1977) 2173.
R.P. McEachran, A.D. Stauffer: Elastic scattering of electrons from neon and argon.
J. Phys. B: At. Mol. Phys. 16 (1983) 4023.
R.P. McEachran, A.D. Stauffer: Elastic scattering of electrons from krypton and xenon.
J. Phys. B: At. Mol. Phys. 17 (1984) 2507.
R.P. McEachran, A.D. Stauffer: Spin polarization of electrons elastically scattered from
xenon. J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 19 (1986) 3523.
R.P. McEachran, A.D. Stauffer: Relativistic low-energy elastic and momentum transfer
cross sections for electron scattering from xenon. J. Phys. B: At. Mol. Phys. 20 (1987)
3483.
R.P. McEachran, A.D. Stauffer: Relativistic effects in low-energy electron-argon scattering.
Aust. J. Phys. 50 (1997) 511.
B. Mielewska: Rozpraszanie sprężyste elektronów na atomach gazów szlachetnych w zakresie dużych kątów rozproszenia. Rozprawa doktorska, Politechnika Gdańska, Wydział
Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej, Gdańsk (2003).
C.E. Moore. Atomic Energy Levels vol. 3. NBS Circular No 467 (1958).
S.N. Nahar, J.M. Wadehra: Elastic scattering of positrons and electrons by argon. Phys.
Rev. A 35 (1987) 2051.
S.N. Nahar, J.M. Wadehra: Relativistic approach for e± scattering from argon. Phys. Rev.
A 43 (1991) 1275.
H. Nishimura, T. Matsuda, A. Danjo: Elastic scattering of electrons from xenon. J. Phys.
Soc. Japan 56 (1987) 70.
R. Panajotović, D. Filipović, B. Marinković, V. Pejčev, M. Kurepa, L. Vušković: Critical
minima in elastic electron scattering by argon. J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 30 (1997)
5877.
F.A. Parpia, C. Froese Fischer, I.P. Grant: GRASP92: A package for large-scale relativistic
atomic structure calculations. Comput. Phys. Commun. 94 (1996) 249
Literatura
65
B. Plenkiewicz, P. Plenkiewicz, J.P. JayGerin: Pseudopotential calculations for elastic scattering of slow electrons (020 eV) from noble gases. I. Argon. Phys. Rev. A 38 (1988) 4460.
C. Ramsauer, R. Kollath: Ann. Phys. 3 (1929) 536.
C. Ramsauer, R. Kollath: Ann. Phys. (Leipzig) 12 (1932) 837.
D.F. Register, L. Vuskovic, S. Trajmar: Elastic electron scattering cross sections for Xe in
the 1-100 eV impact energy region. J. Phys. B: At. Mol. Phys. 19 (1986) 1685.
H.P. Saha: Low-energy elastic scattering of electrons from neon atoms. Phys. Rev. A 39
(1989) 5048.
H.P. Saha: Accurate ab initio calculation on the low-energy elastic scattering of electrons
from helium. Phys. Rev. A 40 (1989) 2976.
H.P. Saha: Accurate ab initio calculation of scattering length and phase shifts at very low
energies for electron-neon scattering. Phys. Rev. Lett. 65 (1990) 2003.
H.P. Saha: Accurate ab initio calculations on elastic scattering of low-energy electrons by
argon atoms. Phys. Rev. A 43 (1991) 4712.
H.P. Saha. Nie opublikowane wyniki (1996).
J.J. Sakurai: Advanced Quantum Mechanics. Addison-Wesley Pub Co, Massachusetts
(1967).
L. Schiff: Mechanika kwantowa. PWN, Warszawa (1977).
J.E. Sienkiewicz, W.E. Baylis: A relativistic approach to the elastic scattering of electrons
by argon. J. Phys. B: At. Mol. Phys. 20 (1987) 5145.
J.E. Sienkiewicz, W.E. Baylis: Low-energy elastic e–Xe scattering: the effect of exchange
in the polarisation potential J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 22 (1989) 3733.
J.E. Sienkiewicz, W.E. Baylis: The polarization of electrons elastically scattered from xenon. J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 24 (1991) 265.
J.E. Sienkiewicz, W.E. Baylis: Relativistic multiconfiguration approach to the spin polarization of slow electrons elastically scattered from krypton. Phys. Rev. A 55 (1997) 1108.
J.E. Sienkiewicz, S. Fritzsche, I.P. Grant: Relativistic configuration-interaction approach
to the elastic low-energy scattering of electrons from atoms. J. Phys. B: At. Mol. Opt.
Phys. 28 (1995) L633.
J.E. Sienkiewicz, S. Fritzsche, P. Syty: Exchange contributions to spin polarization in
low-energy electron scattering from Xe and Hg. Acta Phys. Pol. A 98 (2000) 41.
66
Literatura
J.E. Sienkiewicz, V. Konopińska, S. Telega, P. Syty: Critical minima in elastic electron
scattering from argon. J. Phys. B: At., Mol. and Opt. Phys. 34 No. 13 (2001) L409.
J.E. Sienkiewicz, S. Telega, P. Syty, S. Fritzsche: Differential cross section minima in
elastic scattering of electrons from zinc. Phys. Lett. A 293 (2002) 183.
L.T. Sin Fai Lam: Elastic scattering of low-energy positrons by krypton and xenon.
J. Phys. B: At. Mol. Phys. 15 (1982) 143.
M. Snir, S. Otto, S. Huss-Lederman, D. Walker, J. Dongarra: MPI: The Complete Reference. http://www.netlib.org/utk/papers/mpi-book/mpi-book.html.
S.K.
Srivastava,
H.
Tanaka,
A.
Chutjian,
S.
Trajmar:
Elastic scattering
of
intermediate-energy electrons by Ar and Kr.
Phys. Rev. A 23 (1981) 2156.
P. Syty, S. Fritzsche, J.E. Sienkiewicz: The MCDF study of the low-lying levels of the
Mg-like Ca8+ ion. Wysłana do Eur. J. D. (2003).
P. Syty, J.E. Sienkiewicz: Transition probabilities of forbidden lines in Bi I. Materiały
konferencyjne – 7th European Conference on Atomic and Molecular Physics (ECAMP).
Berlin (2001).
P. Syty, J.E. Sienkiewicz: Relativistic multiconfiguration method in elastic low-energy scattering of electrons from xenon. Materiały konferencyjne – 34th Conference of the European
Group for Atomic Spectroscopy (EGAS). Sofia (2002).
P. Syty, J.E. Sienkiewicz: Relativistic multiconfiguration method in low-energy scattering of
electrons from xenon atoms. Materiały konferencyjne – 2nd Conference on the Elementary
Processes in Atomic Systems (CEPAS). Gdańsk (2002).
P. Syty, J.E. Sienkiewicz, S. Fritzsche: MCDF study of the lifetimes of n = 3 levels in
Mg-like Ca8+ ion. Materiały konferencyjne – 32nd Conference of the European Group for
Atomic Spectroscopy (EGAS). Wilno (2000).
P. Syty, J.E. Sienkiewicz, S. Fritzsche: Relativistic multiconfiguration method in low
energy scattering of electrons from xenon atoms. Rad. Phys. Chem. (2003), w druku.
http://dx.doi.org/10.1016/S0969-806X(03)00305-0.
R. Szmytkowski: The relativistic polarized orbital theory of the elastic electron and positron
scattering from closed-shell atoms. J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 24 (1991) 3895.
R. Szmytkowski: The elastic positron scattering from mercury in the relativistic polarized
orbital method. J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 26 (1993) 535.
Literatura
67
R. Szmytkowski, J.E. Sienkiewicz: Spin polarization of slow electrons elastically scattered
from xenon atoms. J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 27 (1994) 2277.
E. Träbert, E.H. Pinnington, J.A. Kernahan, J. Doerfert, J. Granzow, P.H. Heckmann, R
Hutton: Beam - foil study of the lifetimes of levels in Na-like Ca X, Mg-like Ca IX and
Si-like Ca VII. J. Phys. B 29 (1996) 2647.
D.W. Walker: Relativistic effects in low energy electron scattering from atoms. Adv. Phys.
20 (1971) 257.
G.M. Webb: The elastic scattering of electrons in argon and krypton. Phys. Rev. 47 (1935)
379.
M. Weyhreter, B. Barzick, A. Mann, F. Linder: Measurements of differential cross sections
for e–Ar, Kr, Xe scattering at E = 0.05 − 2 eV. Z. Phys. D 7 (1998) 333.
J.F. Williams: A phaseshift analysis of experimental angular distributions of electrons
elastically scattered from He, Ne and Ar over the range 0.5 to 20 eV. J. Phys. B: At. Mol.
Phys. 12 (1979) 265.
J.F. Williams, A. Crowe: The scattering of electrons from inert gases. II. Absolute differential elastic cross sections for neon, krypton and xenon atoms. J. Phys. B: At. Mol.
Phys. 8 (1975) 2233.
M. Zubek, B. Mielewska. Komunikat prywatny (2000).
(94 poz.)