Liczby zespolone

Liczby zespolone
1
Liczby zespolone
Liczby zespolone – liczby uzyskane jako rozszerzenie ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną
wymaga się, aby spełniała warunek
. Każda z nich może być zapisana jako
od której
, gdzie
są
liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną.
Liczby zespolone stanowią ciało, określone są więc dla nich działania dodawania, odejmowania, mnożenia i
dzielenia. Działania są rozszerzeniem odpowiednich działań w liczbach rzeczywistych.
Postać algebraiczna (kanoniczna)
Postać
nazywana
jest
postacią
algebraiczną
liczby
zespolonej.
Występująca tu jednostka urojona
spełnia równość
Spotykany czasami, a pochodzący od tej równości zapis
jest niepoprawny, gdyż istnieją dwa pierwiastki algebraiczne z liczby
, mianowicie
oraz
.
Liczby zespolone mogą być przedstawione jako
współrzędne wektora na płaszczyźnie zespolonej
Dla liczb zespolonych postaci
•
•
Przykładowo liczba
mamy:
nazywane częścią rzeczywistą,
nazywane częścią urojoną.
jest liczbą zespoloną, której część rzeczywista wynosi
Liczby rzeczywiste są utożsamiane z liczbami zespolonymi o części urojonej równej
Liczby postaci
określa się mianem liczb urojonych.
.
, a część urojona
.
Liczby zespolone
2
Zapis alternatywny
W zastosowaniach fizycznych, elektrycznych, elektrotechnicznych itp. zapis
z powodu wykorzystywania w tych dziedzinach litery
może okazać się mylący
do innych celów, np. chwilowego natężenia prądu
elektrycznego. Dlatego też stosuje się zapis niepowodujący podobnych kłopotów, mianowicie
którym to
, w
oznacza jednostkę urojoną.
Równość
Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich
części rzeczywiste i urojone są sobie równe. Innymi słowy, liczby
zespolone postaci
oraz
są sobie równe wtedy i
tylko wtedy, gdy
oraz
.
Działania
Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych w postaci
algebraicznej wykonuje się tak samo jak odpowiednie operacje na
wyrażeniach algebraicznych, przy czym
Wykres funkcji
wykonany za pomocą techniki kolorowania dziedziny.
Odcień oznacza argument funkcji, zaś nasycenie
reprezentuje jej moduł.
.
Aby podzielić przez siebie dwie liczby zespolone, wystarczy pomnożyć dzielną i dzielnik przez liczbę sprzężoną do
dzielnika (analogicznie do usuwania niewymierności z mianownika w wyrażeniach algebraicznych):
Liczby zespolone
3
Płaszczyzna zespolona
Liczbom zespolonym można przyporządkować wzajemnie
jednoznacznie wektory na płaszczyźnie (zob. sekcję formalna
konstrukcja), podobnie jak utożsamia się wektory na prostej z
liczbami rzeczywistymi (w obu przypadkach można utożsamiać
również same punkty, gdyż wspomniane wektory zaczepia się w
początku układów współrzędnych).
Płaszczyzna zespolona
Każdej więc liczbie zespolonej
można przyporządkować wektor
i odwrotnie. Działania
dodawania i mnożenia w liczbach zespolonych odpowiadają następującym działaniom na wektorach:
•
•
,
.
Tak określoną płaszczyznę określa się mianem płaszczyzny zespolonej. Interpretacja ta, dla której w specjalny
sposób określono mnożenie, znana była już pod koniec XVIII wieku Wesselowi, mimo to przez długi czas jej
autorstwo przypisywało się Argandowi, stąd też wspomnianą płaszczyzną nazywa się również płaszczyzną
Arganda. Inną spotykaną nazwą jest też płaszczyzna Gaussa.
Moduł
Zauważmy, iż długość wektora
jest równa z twierdzenia Pitagorasa
definiujemy jako
. Dla liczby
moduł
. Moduł liczby zespolonej ma analogiczne własności do wartości
bezwzględnej liczby rzeczywistej spełniając przy tym definicję normy.
Argument
Niech
oznacza kąt, który wektor
Widać, iż
i
tworzy z prostą
, oznaczmy go przez
. Jest to tzw. argument.
. Liczba zespolona różna od zera ma nieskończenie wiele argumentów, choć
tylko jeden moduł.
Argument liczby
oznacza się przez
spełniający nierówność
(czasami też równoważnie
)
i nazywa argumentem głównym (wartością główną argumentu). W ten sposób
jest już funkcją na jeden z powyższych zbiorów nieokreśloną jedynie dla
rzeczywistych argument główny jest równy zeru dla liczb dodatnich oraz
dla ujemnych.
. Dla liczb
Liczby zespolone
4
Postać trygonometryczna
Liczba zespolona może być zatem wyrażona przez długość jej wektora (moduł) oraz jego kąt skierowany
(argument):
.
Powyższą postać liczby zespolonej nazywa się postacią trygonometryczną (z powodu użycia funkcji
trygonometrycznych), biegunową (jest przedstawieniem liczby zespolonej we współrzędnych biegunowych) lub
geometryczną (prowadzi do geometrycznej interpretacji liczb zespolonych na płaszczyźnie). Warto zauważyć, że
postać algebraiczna odpowiada współrzędnym prostokątnym.
Liczby zespolone w postaci trygonometrycznej są równe, gdy ich moduły i argumenty są równe, tj.
oraz
są równe, gdy
oraz (istotne tylko dla
)
.
Wzory pozwalające na przejście od postaci trygonometrycznej do algebraicznej są oczywiste:
.
Przejście odwrotne jest nieco bardziej skomplikowane:
,
.
Powyższy wzór posiada dużo przypadków, jednakże w wielu językach programowania istnieje wariant funkcji arcus
tangens, często nazywany arctan2 lub atan2, który przetwarza je wewnętrznie. Wzór korzystający z funkcji arcus
cosinus wymaga mniejszej liczby przypadków:
.
Mnożenie
Warto zwrócić uwagę na mnożenie liczb w postaci trygonometrycznej, niech
Wówczas iloczyn
.
Stosując odpowiednie tożsamości trygonometryczne otrzymujemy ostatecznie
,
co oznacza, że iloczyn dwóch liczb zespolonych posiada moduł będący iloczynem modułów mnożników oraz
argument równy sumie argumentów mnożonych liczb.
Liczby zespolone
5
Mnożenie przez
można zinterpretować jako obrót płaszczyzny o kąt .
Wzór de Moivre'a
Potęgowanie za pomocą mnożenia liczb zespolonych w postaci algebraicznej prowadzi do obliczenia wartości
wyrażenia
dla danego wykładnika przy warunku
. Mimo że można korzystać z własności
trójkąta Pascala, to porządkowanie tego wyrażenia może okazać się czasochłonne. Zwykle działanie to łatwiej
przeprowadzić w postaci trygonometrycznej.
Rozpatrzmy
. Na podstawie reguły indukcji matematycznej zachodzi wzór
.
Powyższy wzór jest również pomocny przy obliczaniu
przy
-tej potęgi funkcji
i
– należy wówczas obliczyć
.
Pierwiastkowanie
Wzór de Moivre'a jest prawdziwy również dla liczb wymiernych. Każda liczba zespolona
różnych pierwiastków
posiada
-tego stopnia:
, gdzie
oraz
.
Postać wykładnicza
Rozpatrzmy liczbę
wyrażając funkcje
i
za pomocą funkcji wykładniczej (zob.
wzory Eulera):
Mamy
.
Zatem ostatecznie
.
Pierwiastki zespolone wyrażają się wówczas wzorem
dla
.
Sprzężenie
Niech
. Bardzo ważną operacją jest sprzężenie liczby zespolonej,
jest ona najprostsza dla liczby w postaci algebraicznej:
Działanie to powoduje odbicie wektora liczby zespolonej względem osi
płaszczyzny zespolonej. Zatem liczba
w postaci trygonometrycznej zachowa moduł, lecz jej argument ulegnie zmianie na
lub równoważnie –
zmieni on znak na przeciwny. Skoro postać wykładnicza również zależy od modułu oraz argumentu, ta sama
obserwacja dotyczy i jej. Prawdą jest też, że sprzężenie liczby rzeczywistej (liczby zespolonej o zerowej części
urojonej) jest równe tej liczbie.
Sprzężenie przeprowadza izomorficznie ciało liczb zespolonych na siebie, jest zatem automorfizmem. Oprócz
tożsamości jest to jedyny ciągły automorfizm tego ciała, moc zbioru nieciągłych automorfizmów wynosi zaś .
Działanie sprzężenia zespolonego jest inwolucją:
.
Liczby zespolone
6
Relacja porządku
Choć można sztucznie wprowadzić jakiś porządek liczb zespolonych (np. porządek leksykograficzny), to jednak taka
relacja nie została określona i szerzej przyjęta. Nie da się bowiem sformułować jej w taki sposób, aby w zbiorze
liczb zespolonych spełniała aksjomaty ciała uporządkowanego, jak w przypadku liczb rzeczywistych. Tak więc nie
da się określić, która z dwóch liczb jest większa lub mniejsza. Można natomiast porównywać ich moduły oraz
argumenty (główne), gdyż zarówno moduł jak i argument liczby zespolonej są liczbami rzeczywistymi.
Przykłady
Przedstawmy liczbę
(zob. sekcję dot. konstrukcji) w postaciach: algebraicznej, trygonometrycznej
(biegunowej) i wykładniczej obliczając za każdym razem jej sprzężenie.
Postać algebraiczna:
,
.
Obliczamy
,
,
,
,
podobnie
.
Stąd postać trygonometryczna
oraz
to
,
,
zaś wykładnicza:
,
.
Konstrukcje i własności
Konstrukcja Hamiltona
Następująca formalna definicja liczb zespolonych pochodzi od Hamiltona, matematyka irlandzkiego.
W iloczynie kartezjańskim
wprowadza się działania dodawania i mnożenia:
•
•
gdzie
,
,
.
Tak określona struktura
jest ciałem zwanym ciałem liczb zespolonych oznaczanym symbolem
[1]
ang. complex – złożony)
. Wówczas
odpowiada wektorowi
.
(od
Liczby zespolone
7
Ciało
Ciało to struktura algebraiczna z działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia, która spełnia określone
prawa algebraiczne. Liczby zespolone jako ciało w szczególności mają więc:
• element neutralny dodawania („zero”),
,
• element neutralny mnożenia („jedynka”),
,
• element odwrotny dodawania (element przeciwny) dla każdej liczby zespolonej, dla liczby
jest nim
,
• element odwrotny mnożenia (odwrotność) dla dowolnej niezerowej liczby zespolonej, dla liczby
jest nim
.
Innymi ciałami są liczby rzeczywiste i liczby wymierne. Utożsamienie każdej liczby rzeczywistej
zespoloną
sprawia, że liczby rzeczywiste
stają się podciałem
.
Liczby zespolone
z liczbą
mogą być scharakteryzowane również jako domknięcie topologiczne liczb algebraicznych oraz
jako domknięcie algebraiczne
, co opisano dalej.
Reprezentacja macierzowa
Chociaż niezbyt użyteczne, alternatywne reprezentacje ciała liczb zespolonych mogą dać pewien wgląd w jego
naturę. Jedna ze szczególnie eleganckich reprezentacji przedstawia każdą liczbę zespoloną jako 2×2-macierz o
współczynnikach rzeczywistych, które rozciągają i obracają punkty (wektory) płaszczyzny. Każda taka macierz jest
postaci
,
gdzie
. Suma i iloczyn dwóch takich macierzy także ma tę postać, a działanie mnożenia macierzy tego
typu jest przemienne. Każda niezerowa macierz tego typu jest odwracalna, a jej odwrotność także ma tę postać. Stąd
macierze tego typu są ciałem izomorficznym z ciałem liczb zespolonych. Każda taka macierz może być zapisana
jako
,
co sugeruje, że liczba rzeczywista
powinna być utożsamiana z macierzą identycznościową
,
a jednostka urojona
z
,
obrotem o
w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Kwadrat drugiej z macierzy rzeczywiście jest
równy 2×2-macierzy reprezentującej
.
Kwadrat modułu liczby zespolonej wyrażonej jako macierz jest równy wyznacznikowi tej macierzy.
.
Jeżeli macierz postrzegana jest jako przekształcenie płaszczyzny, to obraca ono punkty o kąt równy argumentowi
liczby zespolonej i skaluje o wspólczynnik równy modułowi liczby zespolonej. Sprzężenie liczby zespolonej
odpowiada przekształceniu, które obraca o ten sam kąt, co , lecz w przeciwnym kierunku i skaluje w ten sam
sposób, co ; może to być oddane jako transpozycja macierzy odpowiadającej .
Liczby zespolone
8
Jeżeli elementy macierzy same są liczbami zespolonymi, to powstała w ten sposób algebra może być utożsamiana z
kwaternionami. Innymi słowy, ta reprezentacja macierzowa jest sposobem wyrażenia konstrukcji Cayleya-Dicksona
algebr.
Istnieją dwa wektory własne 2×2-macierzy reprezentującej liczbę zespoloną: rzeczona liczba zespolona i jej
sprzężenie.
Rzeczywista przestrzeń liniowa
Ciało
jest dwuwymiarową rzeczywistą przestrzenią liniową. W przeciwieństwie jednak do liczb rzeczywistych,
liczby zespolone nie mogą być w żaden sposób uporządkowane liniowo tak, by było to zgodne z działaniami
arytmetycznymi w nich określonymi:
nie może być przekształcone w ciało uporządkowane. Ogólniej: żadne
ciało zawierające pierwiastek z
W ogólności
gdzie
nie może być uporządkowane.
-liniowe przekształcenia
są postaci
są współczynnikami zespolonymi. Tylko pierwszy wyraz jest
-liniowy i tylko on jest holomorficzny,
drugi jest różniczkowalny w sensie rzeczywistym, lecz nie spełnia równań Cauchy'ego-Riemanna.
Funkcja
odpowiada obrotom złożonym ze skalowaniem (która nie zmienia orientacji), zaś funkcja
odpowiada symetriom złożonym ze skalowaniem (zmienia orientację).
Rozwiązania równań wielomianowych
Pierwiastek wielomianu
to liczba zespolona
zespolonej jest to, iż wszystkie wielomiany stopnia
spełniająca
. Zaskakującym wynikiem analizy
o współczynnikach rzeczywistych lub zespolonych mają
dokładnie pierwiastków zespolonych (licząc pierwiastki wielokrotnie zgodnie z ich wielokrotnością). Wynik ten
znany jest jako podstawowe twierdzenie algebry i pokazuje, że liczby zespolone są ciałem algebraicznie
domkniętym. Rzeczywiście, są one domknięciem algebraicznym liczb rzeczywistych, jak opisano niżej.
Konstrukcja algebraiczna
Jedna z możliwych konstrukcji ciała liczb zespolonych polega na rozszerzeniu ciała liczb rzeczywistych
pierwiastek wielomianu
współczynnikach. Wielomian
. Aby skonstruować to rozszerzenie, należy wziąć pierścień
jest nierozkładalny nad
jest maksymalny, a więc pierścień ilorazowy
, skąd ideał przez niego generowany
jest ciałem. Rozszerzenie to zawiera dwa pierwiastki
kwadratowe z –1; wybiera się jeden z nich i oznacza symbolem
. Zbiór
stanowi bazę tego rozszerzenia
ciała liczb rzeczywistych. Dokładniej: każdy element tego rozszerzenia można zapisać w postaci
dla pewnych a,b rzeczywistych.
o
wielomianów o
Liczby zespolone
9
Algebraiczna domkniętość
Chociaż dodano wyłącznie pierwiastki
, to otrzymane ciało ciało liczb zespolonych jest algebraicznie
domknięte – każdy wielomian o współczynnikach w
z
można rozłożyć na wielomiany liniowe o współczynnikach
. Ponieważ każde ciało ma tylko jedno, co do izomorfizmu, domknięcie algebraiczne, liczby zespolone mogą
być scharakteryzowane jako domknięcie algebraiczne liczb rzeczywistych.
Charakteryzacja algebraiczna
Opisywane rozszerzenie odpowiada dobrze znanej płaszczyźnie zespolonej, lecz fakt ten charakteryzuje je wyłącznie
algebraicznie. Ciało
jest scharakteryzowane co do izomorfizmu ciał przez następujące trzy własności:
• jego charakterystyka wynosi ,
• jego stopień przestępności nad ciałem prostym jest mocy continuum,
• jest algebraicznie domknięte.
Jedną z konsekwencji tej charakteryzacji jest to, że
samo jest prawdą dla
zawiera wiele podciał właściwych izomorficznych z
(to
, które zawiera wiele podciał izomorficznych do siebie). Jak opisano poniżej, aby odróżnić
te podciała od samych ciał
i
wymagane są rozważania topologiczne.
Charakteryzacja topologiczna
Jak zauważono wyżej, algebraiczna charakteryzacja
nie dostarcza pewnych z jego najważniejszych własności
topologicznych. Własności te są kluczowe podczas studiowania analizy zespolonej, gdzie liczby zespolone badane są
jako ciało topologiczne.
Następujące własności charakteryzują
•
•
jest ciałem,
zawiera podzbiór
•
jako ciało topologiczne:Wikipedia:Weryfikowalność
niezerowych elementów spełniających:
jest zamknięte ze względu na dodawanie, mnożenie i branie elementów odwrotnych,
• jeżeli i są różnymi elementami , to tak
• jeżeli jest niepustym podzbiorem , to
•
ma nietrywialny, będący inwolucją automorfizm
należy do
, jak i
należą do ,
dla pewnego
, który dla ustalonego
dla dowolnego niezerowygo
,
spełnia własność, że
.
Dla danego ciała o tych własnościach można zdefiniować topologię biorąc zbiory
•
jako bazę, gdzie
przebiega to ciało, a
przebiega
.
Aby przekonać się, że te własności charakteryzują
jako ciało topologiczne, należy zauważyć, że
to ciało uporządkowane zupełnie w sensie Dedekinda, które może być w związku z tym
utożsamiane z liczbami rzeczywistymi
poprzez jednoznacznie wyznaczony izomorfizm ciał. Z ostatniej
własności łatwo wynika, że grupa Galois nad liczbami rzeczywistymi ma rząd równy dwa, co uzupełnia
charakteryzację.
Lew Pontriagin pokazał, że jedynymi spójnymi lokalnie zwartymi ciałami topologicznymi są
umożliwia jeszcze jedną charakteryzację
jako ciała topologicznego, ponieważ
oraz
. Fakt ten
może być odróżnione od
poprzez uwagę, iż niezerowe liczby zespolone są spójne w przeciwieństwie do niezerowych liczb rzeczywistych.
Liczby zespolone
Historia
Liczby zespolone zostały wprowadzone do matematyki przez Girolama Cardana. Nadał on w szczególności liczbie
nazwę jednostki urojonej, nie wierząc w rzeczywiste istnienie takiego obiektu, a jedynie uznając go za
pomocniczy element w rachunku, mającym w zamierzeniu dać pierwiastki równania wielomianowego trzeciego
stopnia (tzw. wzory Cardano).
Liczbami zespolonymi zajmowali się wielcy matematycy tacy jak Hamilton, czy Euler (zob. wzór Eulera). Jest to
ciekawy przykład pojęcia o fundamentalnym znaczeniu dla techniki (m.in. elektrotechniki), które znalazło swoje
główne zastosowanie po kilkuset latach od odkrycia. Formalne określenie zbioru liczb zespolonych jako zbioru
,
z odpowiednio zdefiniowanymi działaniami dodawania i mnożenia, pochodzi od Hamiltona.
Ta sekcja jest zalążkiem. Jeśli możesz, rozbuduj ją [2].
Zastosowania
Liczby zespolone są dość wygodnym sposobem zapisu punktów płaszczyzny. Analizą euklidesowej przestrzeni
dwuwymiarowej zajmuje się w ogólności tzw. analiza wielowymiarowa, zaś analizą przestrzeni zespolonej analiza
zespolona.
Liczby zespolone znajdują zastosowanie m.in. w:
• wyznaczaniu pierwiastków równań kwadratowych, których wyróżnik jest mniejszy od zera,
• teorii fraktali,
• analizie obwodów elektrycznych prądu przemiennego.
Liczby zespolone można rozumieć m.in. jako szczególny przypadek kwaternionów, oktaw Cayleya, sedenionów.
Zobacz też
•
•
•
•
•
•
•
•
•
przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
liczby całkowite Gaussa,
liczby dualne,
liczby podwójne,
wzór Eulera,
sfera Riemanna (rozszerzona płaszczyzna zespolona),
kwaterniony,
liczby hiperzespolone,
ciało lokalne.
Linki zewnętrzne
• Zbiór ćwiczeń z rozwiązaniami + teoria [3]
• Obliczenia na liczbach zespolonych ([[język niemiecki|niem. [4]])]
Przypisy
[1]
[2]
[3]
[4]
istnieje też nieużywane powszechnie polskie oznaczenie szkolne:
http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Liczby_zespolone
http:/ / wms. mat. agh. edu. pl/ ~zrr/ zespolone/ index. htm
http:/ / komplexe-zahlen. de. / content. php?s=rechnereien
10
Źródła i autorzy artykułu
Źródła i autorzy artykułu
Liczby zespolone Źródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?oldid=21112763 Autorzy: 4C, Abbatini, AdSR, Adam majewski, Aionel, Ajank, And91, Beau, Beaumont, Beno, Bogmis,
Chymatioq, CiaPan, D.M. from Ukraine, EMeczKa, Filu, GiM, Googl, Gregul, JDavid, Kakaz, Karol Ossowski, Kbsc, Konradek, Kuki, Kurowski, Kuszi, Lethern, LimoWreck, Lord Ag.Ent,
Loxley, LukKot, Lzur, Markotek, MatFizka, Matusz, Merdis, MesserWoland, Michall, Midge, Mik, MonteChristof, Mpfiz, Neo007, Olaf, Olga007, Petryk, Pimke, Pko, Polakko, Romanm,
Rosomak, Saf, Sceptyczny, Selena von Eichendorf, Siałababamak, Stepa, Stok, Stotr, Szwejk, Taw, ToAr, ToSter, Turkusowy smok, Urzyfka, WRIM, Webkid, Wp, Ymar, Ziel, Zielu20,
conversion script, 88 anonimowych edycji
Źródła, licencje i autorzy grafik
Plik:Complex number illustration.svg Źródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Plik:Complex_number_illustration.svg Licencja: GNU Free Documentation License Autorzy: Original
uploader was Wolfkeeper at en.wikipedia
Plik:Color complex plot.jpg Źródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Plik:Color_complex_plot.jpg Licencja: Creative Commons Attribution 2.5 Autorzy: Claudio Rocchini
Plik:Complex number.svg Źródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Plik:Complex_number.svg Licencja: Creative Commons Attribution-Sharealike 2.5 Autorzy: user:MesserWoland
Plik:Wiki letter w.svg Źródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Plik:Wiki_letter_w.svg Licencja: GNU Free Documentation License Autorzy: User:Jarkko Piiroinen
Licencja
Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported
http:/ / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/
11