Prezentacja I

I. Liczby, działania i wyrażenia algebraiczne
Liczby zapisujemy za pomocą znaków zwanych cyframi. Mamy 10
cyfr: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.
Na osi liczbowej zaznaczono kilka kolejnych liczb ze zbioru liczb
naturalnych.
Przyjmijmy, że najmniejszą liczbą naturalną jest liczba 0.
Najpowszechniej stosowanym systemem zapisu liczb jest dziesiątkowy
system pozycyjny, co oznacza, że wartość każdej z cyfr użytych do zapisu
liczby zależy od miejsca tej cyfry zajmowanego w zapisie. Na przykład:
- w liczbie 573 cyfra 5 oznacza pięć setek, czyli jej wartość wynosi
500;
- w liczbie 5 842 cyfra 5 oznacza pięć jedności tysięcy jej wartość
wynosi 5 000;
- w liczbie 1151 cyfra 5 oznacza pięć dziesiątek i jej wartość wynosi
50.
W zbiorze liczb naturalnych wyróżniamy liczby pierwsze, liczby złożone oraz
takie, które nie są ani pierwsze, ani złożone.
Liczba pierwsza nazywamy taką liczbę naturalną, która ma tylko dwa różne
dzielniki: jeden i samą siebie.
Liczba złożona ma więcej niż dwa różne dzielniki.
Liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone.
Liczba naturalna a jest podzielna przez liczbę naturalną b 0 wtedy i tylko wtedy,
gdy istnieje liczba naturalna c, taka że a = bc.
Aby stwierdzić, czy liczba 123 456 dzieli się przez 2, 3, 4, 5, 9, 10, 25, nie musimy
wykonywać dzielenia. Wystarczy skorzystać z cech podzielności:
-Przez 2 dzielą się liczby parzyste, czyli liczby mające w rzędzie jedności cyfry 2, 4, 6, 8
lub 0.
-Przez 3 dzielą się liczby, których suma cyfr jest podzielna przez 3;
-Przez 4 dzielą się liczby, których cyfry z rzędu dziesiątek i jedności tworzą liczbę
podzielną przez 4;
-Przez 5 dzielą się liczby mające w rzędzie jedności cyfrę 0 lub 5;
-Przez 9 dzielą się liczby, których suma cyfr jest podzielna przez 9;
-Przez 10 dzielą się liczby mające w rzędzie jedności 0;
-Przez 25 dzielą się liczby będące pełnymi setkami oraz takie, których cyfry w rzędzie
dziesiątek i jedności tworzą 25, 50, 75.
Liczbę 30 przedstawiono w postaci
iloczynów liczb naturalnych w na różne
sposoby.
30  1 2  3 5  1 5  6  1 2 15  1 30
Zatem liczby 1, 2, 3, 5, 6, 15, 30 są
dzielnikami liczby 30.
Liczb 30 jest wielokrotnością
dowolnego swojego dzielnika.
Mówimy, że działanie jest
wykonalne w zbiorze, gdy dla
każdych dwóch elementów tego
zbioru wynik działania na tych
elementach należy do tego
zbioru.
Badając podzielność liczb naturalnych, możemy wyznaczyć
dzielniki, wielokrotności oraz NWD ( największy wspólny dzielnik)
i NWW (najmniejszą wspólną wielokrotność) licz naturalnych. Na
przykład:
D32= {1, 2, 4, 8, 16, 32}, D= {1, 2, 3, 4, 6, 8, 1, 24}
NWD (24, 32) = 8
W25= {25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200, 225, 250, …}
W40= {40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, …}
NWW (25, 40) = 200
Na osi liczbowej przedstawiono kilka kolejnych
liczb ze zbioru liczb całkowitych.
Zbiór liczb całkowitych tworzą liczby naturalne
oraz liczby przeciwne do nich.
Dwie liczby nazywamy liczbami przeciwnymi,
jeżeli są położone na osi liczbowej symetrycznie
względem zera.
m
Liczbami wymiernymi nazywamy liczby, które można przedstawić w postaci ułamka n ,
czyli ilorazu dwóch liczb całkowitych m, n (n  0).
1
2
7
3
Każda liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne. Rozwinięcie dziesiętne liczby
wymiernej może być:
1
2
Skończone, np.4 = 0,25 lub nieskończone, np. 3 = 0,666…
Rozwinięcia nieskończone liczb wymiernych są okresowe, to znaczy powtarza się w
2
nich pewna grupa cyfr, którą nazywamy okresem rozwinięcia. Np. 7 = 0,285714… lub
2
0,(285714). Cyfry 285714 są okresem rozwinięcia liczby 7 .
Aby porównać liczby zapisane w różny sposób, na przykład w postaci ułamków
zwykłych i liczb dziesiętnych, należy najpierw zapisać je w takiej samej postaci, czyli
zamienić ułamki zwykłe na liczby dziesiętne albo zamienić liczby dziesiętne na ułamki
zwykłe o takich samych liczebnikach lub mianownikach.
1% (jeden procent) jakiejś wielkości to jedna setna tej wielkości.
3
75% pewnej kwoty to 0,75 tej kwoty lub 4 tej kwoty.
1%liczby 200 to 0,01 liczby 200, czyli 0,01  200 = 2
Przy obliczaniach procentowych należy pamiętać, aby podać jakiej
wielkości one dotyczą.
Aby obliczyć procent danej liczby, zamieniamy procent na ułamek
zwykły lub liczbę dziesiętną i mnożymy przez daną liczbę.
Aby obliczyć liczbę, znając wartość procentu, możemy obliczyć
najpierw wartość jej 1%, a następnie pomnożyć przez 100 lub ułożyć
równanie, przyjmując za niewiadomą wartość szukanej liczby.
Możemy tez obliczyć, jaki procent jednej liczby stanowi druga.
Większość zadań związanych z procentami możemy rozwiązać za pomocą
proporcji. Najważniejsze jest wtedy ustalenie, która wielkość stanowi
100%.
3
4
 2
2
1
19
21
5

Liczby: 2 , 5 , 2 ,  , 18 to przykłady liczb niewymiernych.
Liczby niewymierne to takie liczby, których nie można przedstawić w postaci
ułamka , gdzieqp q 0 oraz p i q są liczbami całkowitymi. Często podczas
obliczeń posługujemy się przybliżeniami dziesiętnymi liczb niewymiernych.
Np.
najczęściej stosowanym przybliżeniem liczby 2 to 1,4 lub 1,41; liczby 
to 3,14; liczby 3 to 1,7 lub 1,73.
Przykłady przybliżeń liczb niewymiernych:
7  2,6
5  2,2
3
3  1,4
3
4  1,6
10  3,2
3
16  2,5
12  3,5
3
81  4,3
18  4,2
3
2  1,3
Liczby wymierne oraz liczby niewymierne tworzą zbiór liczb rzeczywistych. W
zbiorze liczb rzeczywistych nie ma liczby najmniejszej oraz największej.
Graficznym obrazem zbioru liczb rzeczywistych jest oś liczbowa.
Oś liczbowa to prosta, na której wyróżnia się punkty 0 i 1. Początkiem osi liczbowej
jest 0. każdemu punktowi osi liczbowej odpowiada dokładnie jedna liczba rzeczywista.
Działając na liczbach rzeczywistych, możemy korzystać z pojęć takich jak: Liczby
przeciwne, liczby odwrotne oraz wartość bezwzględna (moduł) liczby.
Liczby przeciwne są położone na osi symetrycznie względem zera.
Na przykład 1 jest liczbą przeciwną do liczby -1, -2 jest liczbą przeciwną
do liczby 2, 18 jest liczbą przeciwną do liczby - 18 . Liczbą przeciwną
do liczby 0 jest 0.
1
Odwrotnością liczby a różnej od zera jest liczba a .Na przykład:
2i
1
2
;-9
i
1
9
2
10
3
;0,3 i
; 3 i ;
2
3
1
3i 3 .
Wartość bezwzględna (moduł) liczby jest to odległość od zera
na osi liczbowej. Wartość bezwzględna nie może być liczbą
ujemną, ponieważ wyraża ona odległość.
Wartość bezwzględna liczby a oznaczamy a .
 3 =3 - wartość bezwzględna liczby -3 wynosi 3, bo jej
odległość na osi liczbowej od zera wynosi 3.
 2 = 2 - wartość bezwzględna liczby 2 wynosi 2 , bo jej
odległość na osi liczbowej wynosi 2 .
W zbiorze liczb rzeczywistych wykonujemy: dodawanie, odejmowanie,
mnożenie, potęgowanie, dzielenie (z wyjątkiem dzielenia przez 0) i
pierwiastkowanie.
Wykonując działanie na liczbach, można stosować prawa działań
usprawniające rachunki.
Nazwa prawa
Przemienność dodawania
Przemienność mnożenia
Łączność dodawania
Łączność mnożenia
Rozdzielność mnożenia
względem dodawania
‘’0’’ w dodawaniu
‘’0’’ w mnożeniu
‘’1’’ w mnożeniu
Przykład
Zapis symboliczny
5+7=7+5
a+b=b+a
ab=ba
5 6  65
(5+7)+8=5+(7+8)
3  4  5  3  4  5
3  7  8  3  8  7  3
0+5=5+0+5
05  5 0  0
1 5  5 1  5
(a+b)+c=a+(b+c)
ab  c  a  bc
a  c  b  ab  cb
0+a=a+0=a
0 a  a 0  0
1 a  a 1  a
Wykonując obliczenia na potęgach i pierwiastkach, warto najpierw przekształcić wyrażenie,
a potem obliczyć. Wykorzystywanie własności potęg i pierwiastków usprawnia i
przyspiesza rachunki. Dla a, b R, m, n  C stosujemy następujące własności:
2
3
2 2 2
      
3 3 3
2
 
5
5
23
Przy mnożeniu potęg o tych
32 samych podstawach dodajemy
2
  
243 wykładniki, a podstawę
3
pozostawiamy bez zmian.
5
53
3
2
2 2
2 4
        
5 5
 5  25
2 
3 2
32
 2  2  64
6
Przy dzieleniu potęg o tych
samych podstawach wykładniki
odejmujemy, a podstawę
pozostawiamy bez zmian.
Chcą podnieść potęgę do potęgi,
wykładniki mnożymy, a
podstawę pozostawiamy bez
zmian.
a m  a n  a mn
a m  a n  a mn
a 
m n
 a mn

6 2
3
   6  2
2
2
3
2
 6  2  12
3
3
1
2 5
2 5
1
           
27
5 6
5 6
3
3
5 3 125
5
   3 
216
6
6
5
5
5
9
1
9
1


 
  
5
32
18
 18 
2
800  4  100  2  4  100  2 
 2  10  2  20 2
5  20  5  20  100  10
169

625
169

13
25
625
72
72
9
9
3




128
16
128
16 4
Potęga iloczynu jest równa
iloczynowi potęg o tym samym
wykładniku.
a  b n
Potęga ilorazu równa się
ilorazowi potęg o tych samych
wykładnikach.
Pierwiastek z iloczynu jest
równy iloczynowi pierwiastków
tego samego stopnia.
Pierwiastek z ilorazu jest równy
ilorazowi pierwiastków tego
samego stopnia.
 an  bn
n
an
a
   n
b
b
n
ab  n a  n b
n
a

b
n
a
n
b
Prawa działań na pierwiastkach możemy wykorzystać do upraszczania postaci niektórych
liczb niewymiernych. Możemy:
-Wyłączać czynnik przed znak pierwiastka, np. 12  4  3  4  3  2 3
-Włączać czynnik pod znak pierwiastka, np. 3 2  32  2  9  2  18
-usunąć niewymierność z mianownika (mnożąc licznik i mianownik przez taką samą
liczbę różną od zera), np.
2
3 5

2
3 5

5
5

2 5 2 5

35
15
2
3 2

2

3 2
3 2 3 2


 
2 3 2
2 3 2

92
7

Działania na liczbach wykonujemy według ustalonej kolejności
działań:
- Najpierw potęgowanie i pierwiastkowanie
-Następnie mnożenie i dodawanie
-W końcu dodawanie i odejmowanie
Działania w nawiasach mają zawsze pierwszeństwo przed
pozostałymi.
Jeżeli działania są równorzędne, to wykonujemy je zgodnie z
kolejnością zapisu od strony lewej do prawej.
Jeżeli w zadaniach występują ułamki zwykłe i liczby dziesiętne,
obliczenia możemy wykonywać z różny sposób.
I sposób – zamieniamy ułamki zwykłe na liczby
dziesiętne
II sposób – liczby dziesiętne zamieniamy na ułamki
zwykłe, aby można było skracać przy mnożeniu
III sposób – stosujemy obie zamiany tak, aby ułatwić
sobie liczenie
Jeśli ułamki zwykłe przy zamianie na liczby dziesiętne mają
rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe, to w
obliczeniach musimy stosować ułamki zwykłe, bo inaczej
otrzymujemy przybliżoną wartość wyrażenia.
Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie, w którym występują
liczby i litery (zmienne) połączone znakami działań i nawiasami, np.
2a  7 x 
4x
6y  5
6ab
3a2  a4a  3b  5a  3
9 

7 5  
23 

3b  3
Jednomiany są to iloczyny liczb i zmiennych, np.
1
2
2
c
0,5 x 2 y 3
 3x

2
a
k
4
Wyrazy podobne są to jednomiany różniące się co najwyżej
współczynnikiem liczbowym, np.
2
0,4 x i 32x
2
2x i
11,25 x
4x
7
Sumy algebraiczne są to sumy jednomianów, np.
3x 2  7 y
2a  3
0,3a  4bx  2 x 2
i 333x

1
b
2
Wyrażenie typu 3x 2  7 y jest równe sumą algebraiczną, ponieważ można je
zapisać w postaci 3x 2   7 y .
Nie wszystkie wyrażenia maja sens dla
dowolnych wartości zmiennych. Wyrażenie
x  2y
nie ma sensu dla y = 0. Z własności
y
działań wiemy, że nie wolno dzielić przez 0,
stąd za y nie można podstawić liczby 0.
Jeżeli w wyrażeniu
algebraicznym w
miejsce liter
podstawimy
ustalone liczby i
wykonamy
wskazane działania,
to otrzymaną liczbę
nazywamy
wartością liczbową
wyrażenia.
Przekształcając wyrażenia algebraiczne, porządkujemy je i redukujemy
wyrazy podobne, np.
12x 2  3 yz  5x  8x 2  2x  12x 2  8x 2  3 yz  5x  2x  4x 2  3 yz  7 x
Jeśli przed nawiasem występuje znak dodatni (lub nie ma
żadnego znaku), opuszczamy nawiasy bez zmiany znaków
wewnątrz nawiasu, np.
2  a  2x  4b  2bx  2  a  2x  4b  2bx
Jeśli przed nawiasem występują znaki odejmowania, opuszczamy
nawias, zmieniając wszystkie znaki wewnątrz nawiasu na
przeciwne, np.
2  a  2x  4b  2bx  2  a  2x  4b  2bx
Sumy algebraiczne możemy mnożyć przez siebie, wówczas:
każdy składnik pierwszej sumy mnożymy przez każdy
składnik drugiej sumy, np.
4 x  2  b2  1  4 x  2 x  4 x 1  2  2 x  2 1  b  2 x  b 1 
 8 x 2  4 x  4 x  2  2 xb  b 
 8 x 2  2  2 xb  b
Wykonując przekształcenia wyrażeń algebraicznych, często stosujemy
wzory skróconego mnożenia:
2
2
2
Kwadrat sumy a  2ab  b  a  b 
Kwadrat różnicy a 2  2ab  b 2  a  b 2
2
2
Iloczyn sumy przez różnice a  ba  b  a  b
Zmieniając sumę algebraiczną na postać iloczynową, zwykle
wyłączamy wspólny czynnik przed nawias, np.
2 x 2 y  6 xy  (w obu wyrazach powtarza się 2xy)
 2 xy  x  2 xy  3  2 xyx  3.
Ułamki algebraiczne są ilorazami wyrażeń algebraicznych.
Mianownik ułamka zawsze musi być różny od zera, np.
3a  5
3
2x  1
2,7
5k
k 2 1
dla k  1 i k  1
2 2 1
2x  1
dla
x
1
2
Podobnie jak ułamki zwykłe ułamki algebraiczne można
skracać i rozszerzać. Jeżeli w liczniku i mianowniku ułamka
algebraicznego występuje ten sam czynnik, możemy postąpić
podobnie jak ze zwykłym ułamkiem, np.
dla x  0 i y  0
dla x  2
3x 2 y 3 z 3xxyyyz 3xyz xyz



2
6 xyy
6
2
6 xy
2 x  4 2x  2

2
x  2
x2
Działania na ułamkach algebraicznych wykonujemy
podobnie jak działania na ułamkach zwykłych.
Przykład dodawania ułamków algebraicznych:
x 2 x  x 2  2 x2
4
x2  4
 




2 x 2  x x  2 2x 2x
2x
dla x  0
Przykład mnożenia ułamków algebraicznych:
x2 2
x2  2
2x 2
x




2 y xy 2 y  xy 2 xy 2
y2
dla x  0 i y  0
Koniec części I