Skrypt

Skrypt z probabilistyki Karina Porath
Wstęp :
W zbiorze  jednskowych zdarzeń bądż elementów    interesować nas będzie
czas pracy T :   0; .
Czas pracy jest losowy i zależy od wyboru  . Opisany jest on za pomocą dystrybuanty
czyli funkcji zawodności F a  , określającej prawdopodobieństwo awarii do chwili a.
Prawdopodobieństwo to wyznaczymz określając podzbior A   urządzeń, które
zepsująsię do chwili a i obliczając procent A w  . Zatem włściwym problemem jest
przestrzeń probabilistyczna ; B; P , gdzie  zbiór stanów B , pewien zbiór podzbiór
z  oraz P prawdopodobieństwo (procent)określone na zbiorach A  B .
Zmienna losowa (czas pracy)
T :   R( R )
[napisac co to jest ta zmienna losowa]
Funkcja zawodności
F(a)=P(T<a), gdzie T jest czasem życia elementu , czyli niniejszy zapis mówi nam, że
awaria nastąpiła do chwili a.
[wykresy]
Funkcja niezawodności
1. W odniesieniu do elementów systemu : czas bezawaryjnej pracy danego
elementu, np. liczba godzin świecenia żarówki;
2. w odniesieniu do systemu złozonego, np. systemu rozproszonego, w który
nagromadzenie elementów zwiększa awaryjność całości, pojęcie niezawodności
rozważa się w kategoriach dostępności i telerowania awarii.
R(a)=1-F(a)=P(T  a)
FAKT:
Jeżeli istnieje pochodna
prawdopodobieństwa.
 f (s)ds

F`
x
x
F ( x) 
dystrybuanty
/
to
nazywamy
ją
gęstościa
F ( x)   f ( s)ds - w teori niezawodności zapis wygląda
0
następująco.
f ( x)  F ( x)
Własności funkcji f :
-1-
Skrypt z probabilistyki Karina Porath
1. f  0
2. f  1
b
3.P (a  T  b)   f ( s )ds
a
Intensywność uszkodzeń
R (t )
f (t )
R(t  t )  R(t ) R(t )  R(t  t )



R(t )
R(t )
tR(t )
t
Rt   Rt  t 
Intensywność uszkodzeń interpretujemy jako
, w pozostałej populacji
t
Rt  .
[wykres typowego przebiegu funkji tej]
Z niniejszego zapisu wynika, że awaria nastąpiła w przedziale [t;t+t].
[wykres i prawdopodobienstwo w zapisie calkowym]
 (t )  (ln R(t ))  
Funkcja wiodąca.
Funkja (t) przedstawia nam wyczerpanie się zapasu nieawodności.
t
(t )    ( s)ds
0
CHARAKTERYSKI LICZBOWE
Mean time to failure (MTTF)
Wartość średnia
W statystyce jest miarą przeciętnego poziomu mierzalnej cechy jednostek zbiorowości
statystycznej.

ET   tf (t )dt
o
k-ty moment

ET   t k f (t )dt
k
k=1,2,3,...
0
Wariancja
Charakteryzuje rozrzut wartości zmiennej losowej.
VART  ET 2  (ET ) 2
gdzie, ET - wartość oczekiwana zmiennej losowej x .
Odchylenie standardowe
Parametr charakteryzujący rozrzut zmiennej losowej.
  VART
-2-
Skrypt z probabilistyki Karina Porath
2.ROZKŁADY
Procesy niezawodności modeluje się następującymi rozkładami
Rozklad wykladniczy(intesywność uszkodzeń jest stała )
-da sie ten parametr ustalic, i odtworzyc.
Rozkład Weibulla (1939)
 (t )  t  1 t  0
[wykres]
  1 - rosnąca intensywność uszkodzeń; starzenie się elementów.
Łatwo załważyc, iż gdy =1 to mamy wtedy do czynienia z rozkładem wykładniczym.
b
 f   f (b)  f (a)
a
 (t )  (ln( R(t ))) / 

  (t )dt   ln R( )  ln R(0)   ln R( )
0

R( )  e

  ( t ) dt
o


R( )  exp[    (t )dt ]  exp[   t  1 dt  exp[[ t  ]0 ]  exp[   ]
0
ET  (1 
1

0
)
VART  [(1 
2

1

- wartość średnia
)   2 (1 
1
)]  

2



Funkcja gamma
W ogólności funkcja zespolona określona wzorem :
n!n z
( z )  lim
n  z ( z  1)  ...  ( z  n)
n z  expz log( n)
dla x  Re( z ) , x  0 , udowodniono, że gamma Eulera może być zdefiniowana jako :

( x)   t x 1e t dt
o
Dla x  0 (ale nie należących do zbioru liczb całkowitych)  (x ) może być obliczona
korzystając ze wzoru :

1  x  
( x)  sin x 
Funkcja gamma jest uogólnieniem pojęcia silni, jako że :
n  1  n!
1


 n    n  2n  1!!
2n  1!! 1 3  ...  2n  1
2 2

(n jest liczbą naturalną), można wykazać, że ( x  1)  x( x) - jest to funkcja
elementarna.
-3-
Skrypt z probabilistyki Karina Porath
Rozkład gamma (,)
f (t ) 

 t  1 exp( t )
( )
t0
Rozkład normalny ( standartowy) N 0,1
Dystrybuamta rozkładu normalnego standardowego
N(0;1)
  f 
1
2
e

x2
2
xR
x
 ( x) 
 f (t )dt

uN(0;1) – jeżeli U zmienna losowa określająca błąd pomiarowy, taka że EU  0 , brak
błędu systematycznego.
RT   1 - możliwości pomiarowe (np. do 1A ), wówczas prawdopodobieństwo błędu
w granicach możliwości pomiarowych.
1
P(1  U  1) 
 f ( x)dx  0,68 - rozklad pojedyńczego błedu
1
[wykresy]
Rozkład normalny N  ,  
(; )
x  N (; )
f ( x) 
1
 2
e

( x )2
2 2
ET  
VART   2
[wykres]
Dobór gęstości : jak dobrać
Apriori
Aposteriori  histogram – uporządkowanie danych empirycznych
[wykres]
x  N ( ; )
P ( a  x  b)  P (
a


x


b

)  (
b

3 Właściwości rozkładu wykładniczego
Definicja prawdopodobieństwa warunkowego.
-4-
) (
a

)
Skrypt z probabilistyki Karina Porath
A, B
P( A  B)
P( B)
P ( A  B )  P ( A)  P ( B)
P( A / B) 
P ( A / B )  P ( A)
P (T  t  s / T  t )  Q(t , s )
Q(t , s ) 
P (T  t  s ) R (t  s )

P (T  t )
R(t )
Rozkład wykładniczy jest bez pamięci, gdyż
R (t )  e  t
R (t  s )
 R(s)
R (t )
Q (t ; s ) 
e  (t  s )
e  (t )
Zachodzi twierdzenie odwrotne
Twierdzenie :
Jeżeli
R(t  s )
 R( s ) , oraz R – jeste ciągła to R(t )  e  t
R(t )
Średni czas życia E(t) od chwili t

ET   tf (t )dt
0
Twierdzenie :

Jeżeli ET   , to ET 
 R(t )dt .
0


1
1
E (t ) 
R (t  s )ds 
R (u )du

R (t ) 0
R (t ) t

E (t ) 
 R (t )  R (t )  R (t )   R (u )du
E (t )  1 
t
[ R (t )] 2

 (  R (u )du )   R (t )
t
R (t )
 E (t )
R (t )
E spełniające następujące równanie, czyli
-5-
Skrypt z probabilistyki Karina Porath
x


 F ( x)   f (u )du; x  R 


a
 F ( x)  f ( x)



ET 
1

f
F
R
 

R R
R
wówczas
 E (t )  1   (t )  E (t )

 E (0)  ET
Równanie o zmiennych rozdzielonych jednorodnych
Dodatek
Równania liniowe
yx  f x  yx  g x
Rozwiązanie mamy w postaci
f x
yx   C x e 
Metoda uzmienniania stałej
f x
f x
y   C e 
 Cf x e 
wstawiając otrzymujemy
f x
C e 
 g x 
 f x
C   e  g  x dx
y ( x)  f ( x)  y ( x)
y ( x) 

dy
dx
dy
 f ( x)dx
y 
ln y   f ( x)dx  C
f ( x ) dxC
f ( x ) dx
y ( x)  e 
 Ce 
Jeśli granica istnieje lim  t    , to dla dużych t, model zachowuje się jak rozkład
t 
wykładniczy !

lim E (t )  lim
t  
t  
 R(u)du
t
R(t )
H
 lim
t 
R(t )
 lim (1 (t ))
R (t ) t 
4 Niezawodność systemu
-6-
Skrypt z probabilistyki Karina Porath
Niech E oznacza zbiór złożony z m – elementów systemu, zakładamy, że każdy element
z E jest w stanie 0 (nie działa) i jest w stanie 1 (dzialła). Działanie systemu lub jego
brak jest określony przez niezawodność jego elementów za pomocą funkji stanów.
0;1E - zbiór wszystkich funkcji ze zbioru E do zbioru dwuelementowego
0;1E :  f
: E  0;1
Funkcja stanów :
 : 0;1  0;1-system działa lub nie
( x)  ( xi : i  E; xi  0;1)
Założenia:
 (0;0;0;...;0)  0
E
 (1;1;1;...;1)  1
Funkcja  jest funkcją nie malejacą w każdej zmiennej.
W teori niezawodności stosuje sie strukture progową „k z m „
Definiujemy funkcje porzadkujacą
t  (t i ) : i  E; t i  R
M m (t )  u 1 ; u 2  ;...; u m  
u 1  u 2   ...  u m 
k-statystyka pozycyjna
Definicja
M m( k ) (t )  u( k )
M m(i )  max( t1 ; t 2 ;...; t m )  uklad równoległy
max( t i ; i  E )
M (t )  min( t1 ; t 2 ;...; t m )  układ szeregowy
Struktura progowa „k z m” znaczy, ze struktura działa jeśli co najmniej k dowolnych
elementów działa.
E
M m( k ) : 0;1  0;1
(n)
m
FAKT:
x  0;1
E
M ((mk )) ( x)  1   xi  k
iE
x  ( xi )
Proces stanów
x : [0;)    0;1
x (t ;  )
E
Zakładamy, że system jest nieodwracalny.
x  ( x1 ; x2 ;...; xn )
[wykres]
xi ;  - trajektoria prawostonnie ciągła
-7-
Skrypt z probabilistyki Karina Porath
( xi ; i  E ) - proces stanu i-tego elementu
Określa czas awarii
Ti ( )  inf t  0; xi (t; ) - zmienna losowa jest to czas życia elementu
[wykres]
Proces stanu
E; 
Y   (x)
t0
0
xi (t ) proces stochastyczny  
1
T :   R
[wykres]
Obiekty nieodwracalne
 (0;0;0;...;0)  0
 (1;1;1;...;1)  1
Funkcje stanów
[nie wiem co to za znaczek]
 (t )  x1 (t );...; xn (t )
PT  t   1  e  i t
Struktura progowa „k z n”
Urzadzenie jest złożone z n-elementów. Funkcjonuje ono jeśli działa conajmniej kelementów.
T – czas pracy (uszkodzenia) jeśli element jest włączony
T - czas pracy (uszkodzenia) jeśli element jest wyłączony
PROCES
Z0  Z1  Z2  ...  Zn-k  Zn-k+1
[wykres]
Założenie : elementy mają rozkład wykładniczy
1.Rezerwa aktywna
vi  (n  i) - intensywność uszkodzen dla zi i = 0;1;...;n-k
-8-
Skrypt z probabilistyki Karina Porath
n – elementów
„”
n
2.Rezerwa zimna
  0
vi  k
k – elementów
R R R
R R

 - intensywność uszkodzeń
   e 
Rs (t )  R(t )   e  t
k
k
 tk
R(1)  e  t
3.Rezerwa ciepla
vi  k  n  k  i r
i  0;1;...; n  k
LICZENIE CAŁEK WYMIERNYCH
Transformata Laplace`a
Przekształcenie przeprowadzajace pewną funkcje f (x) (tzw. orginał), taką że f ( x)  0
dla t  0 , posiadającą skończoną liczbę punktów nieciągłości, oraz ograniczoną w
~
każdym przedziale, w funkcję zmiennej zespolonej L f ( s)  f ( s) (tzw. obraz), przy
czym

~
L f ( s)  f ( s)   e  sx f ( x)dx
0
przekształcenie odwrotne wyrażone jest wzorem :
 
~
1
f ( x) 
e st f ( s)ds

2i  
gdzie  - pewna stała.
Przekształcenie
Laplace’a
stosuje
się
do
rozwiązywania
liniowych
równańróżniczkowych dowolnego rzędu, które sprowadza się do równania
algebraicznego.
Splot
f i g : [0;)  R

f  g ( x) 
 f ( x  u ) g (u )du

Splot funkcji jest przemienny, łączny i rozdzielny wzdlędem dodawania. Transformata
Fouriera lub przekształcenie Laplace’a splot funkcji f i g jet iloczynem transformat
tych funkcji.
SYSTEMY NIEODWRACALNE
-9-
Skrypt z probabilistyki Karina Porath
Proces śmierci
Z0  Z1  Z2    Zn-k  Zn-k+1
vi ; i  0;1;...; n  k
 (t ) - proces stochastyczny
P(Ti  t )  Fi (t )  1  e vi t
 (t )  z 0 ; z1 ;...; z nk 1 
L f ( s) 

 f (t )e
 st
dt - transformata Laplace`a
0
Orginały :
1. f (t )  0; t  0
2. f (t )  Met [wczesniej brakuje zalozen bo niewiem jak je zapisac]
3. a) f (t ) jest przedziałami monotoniczna
b) nieciągłości pierwszego rodzaju
t
f1  f 2 (t )   f1 (t   ) f 2 ( )d
0
Twierdzenie Borela
L f1  f 2   L f1  L f 2 
Twierdzenie
Założenia : - f orginał
- f  jest ciagła
L f   sL f   f (0  )
 y ( x0 )  y 0

 y ( x)  F ( x; y( x))
[wykres z podpisem po polu wektorowym slizga sie;PEANO]
f 2f
L f   F
SF (s)  f (0  )  2F (s)
F ( s)( s  2)  f (0  )
f (0  )
s  2
Rozwiazanie :
 f (0  ) 
f  L1 

 s2 
F ( s) 
f (t )  f (0  )e 2t
Pi (t )  P {proces  (t ) jest w stanie z i w chwili t}
- 10 -
Skrypt z probabilistyki Karina Porath
[rysunek przejscia procesu z zetami ]
Pi t  t  Pi (t )(1   i t )  Pi 1 (t ) i 1t
 trwa w stanie zi  przejscie
t - jest małe
Agitacja
1; Ri (t )
x(t )  
0; Fi (t )
[wykres]
Ri (t )  e  t  1  t
Fi  1  e  t  t
Pi t  t   Pi (t )  Pi (t ) i t  Pi 1 (t ) i 1t / t
Pi (t  t )  Pi (t )

 Pi (t )  Pi (t ) i  Pi 1 (t ) i 1
t
[rysunki zetow jako proces odwracalny]
 0 ; 1 ;...; i
zi
P(Ti  t )  1  e  it   i t
P(Ti  t )  1  e  it   i t
ex  1 x
Pi (t )  P {Praca jest a stanie z i w chwili t}
Pi(t )   i Pi (t )   i 1 Pi 1 (t )

Uklad rownan Komogorowa
P0(t )   0 P0 (t )
P  (t )   P (t )
nk nk
 n k 1
L f  

 f (t )e
t
dt
0
F (s)  L f (s)
Funkcja niezawdności dla systemu „k z n”
nk
Rs (t )   Pj (t )  1  Pnk 1 (t )
j 0
Transformata Laplace`a dla funkcji niezawodności
LRs ( s) 
(s   0 )  ...  (s   nk )   0  ...  nk
s(s   0 )  ...  (s   nk )
Odnowa pojedyńczego obiektu technicznego
 0 ; 1 ;... - niezależne zmienne losowe
[rysunek z przejsciami procesu]
Zakładamy, że  0  f A - gęstość
- 11 -
Skrypt z probabilistyki Karina Porath
 1 ; 2  f - gęstość
FA - dystrybuanta
F - dystrybuanta
n 1
S n    i - czas pracy do n-tej awarii
i 0
P( S n  t )
Jak długo będzie działać urządzenie po naprawie
FAKT :
X i Y są to niezależne zmienne losowe o gęstościach f i g to X+Y ma gęstość f  g .
f  g ( x)   f ( x  y) g ( y)dy
z tego korzystać nie będziemy
R
FAKT :
Jeżeli X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o gęstościach f i g, określonych na
zbiorze [0;)

x y 0 x
f  g ( x)   f ( x  y) g ( y)dy   f ( x  y) g ( y)dy 
  f ( x  y) g ( y)dy
x y
R
0
0
Przykład :
x  wykładniczy 1
y  wykładniczy 2
X+Y
Lf x  f y   L f x  Lf y 
  

L e 1x  L e 2 x 
1
1

s   2 s  1


1
f1  f 2  L1 

 ( s  1 )( s  2 ) 
Założenie :
FA (0)  F (0)  0 - nie może być sytuacji kiedy po włączeniu urządzenie nie działa
(nastąpił wybuch); jest to sztuczne założenie.
Proces odnowy
0; t   0
n; S n  t  S n1
Pierwsze równanie mówi nam, że nie nastąpiła jeszcze awaria czyli awari nie było,
natomiast drugie równanie mówi, iż nastąpiło już n – odnów.
 (t )  
Przykład zmiennych losowych – rozkład procesu odnowy.
P (t )  n  1  PS n  t   1  PS n  t   1  Fn (t )
- 12 -
Skrypt z probabilistyki Karina Porath
n 1
S n   j - suma niezależnych zmiennych losowych
j 0
f n - gęstość dla zmiennej losowej S n
f n  f A  f  ...  f


n 1
f n  f n1  f - niezależność przechodzi na następne generacje
n 1
S n   j  S n   n1
j 0
Fn - dystrybuanta S n
P (t )  n  P (t )  n  P (t )  n  1  1  Fn1 (t )  1  Fn (t )  Fn (t )  Fn1 (t )
 (t )
FA ( x)  PT0  x   f A - gęstość
F ( x)  PTi  x ; i  1;2;...  f
Zmienne losowe ciągłe
[ rysunek z etapami przejscia]
n 1
S n   T - asymptotycznie dążą do rozkładu normalnego
i 0
f  g ( x)   g ( x  y ) f ( y )dy   g ( y ) f ( x  y )dy
f i g : [0; )  R
x
f  g ( x)   g ( y) f ( x  y)dy
0
[rysunki splotow wniosek splot wygładza funkcje; funkcje gięte splotu]
S n  f A  f  ...  f  f n - gęstość



n 1
Centralne twierdzenie graniczne
1.Mavre-Laplace`a
2.Twierdzenie Lindenberga-Levy`ego :
Jeżeli (xn) ciąg niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie, o wartości
2
średniej Ex  m i skończonej wariancji  2  VARx  Ex 2  Ex  .
Niech Fn - dystrybuanta
1 n
xj  m
n j 1

n
dla każdego y
lim Fn ( y)   ( y) 
n
1
2
y
e

t2
2
dt

- 13 -
Skrypt z probabilistyki Karina Porath
UWAGI !
1 n
xj  m
n j 1

 N 0;1
n

1
 
x j  N  m;


n j 1
n

n
Prawo wielkich liczb
-Kołmogorow
-Marcinkiewycz
Proces Bernulliego
[wykres plus rysunek przejsc]
S n  S n1  Tn1
n 1
S n   Tk - n losowych odnów
k 0
gęstość
f n  f n1  f
T0  f A  FA
Ti  f  F
f1  f A
Z twierdzenia Lindenberga-Levy`ego, mamy, że jeśli f A  f
Strumień odnowy prosty
S n  rozkład normalny
1 n 1
 T k  ET
n k 0

 N (0;1)
n

1
 
Tk  N  ET ;
 - asympotyczny

n k 0
n

x  f y  g - sumy niezależnych zmiennych
x  y  f  g - splot
f n  f A  f  ...  f


n 1
n 1
P (t )  n  1  1  Fn (t )
P( S n  t )
Fn  PS n  t 
F1  FA
t
Fn (t )   Fn1 t  x  f ( x)dx
0
- 14 -
Skrypt z probabilistyki Karina Porath
Ilość odnów do chwili t
 (t )
P (t )  n  1  1  Fn (t )
P (t )  n   Fn (t )  Fn1 (t )
P (t )  n  P (t )  n  P (t )  n  1  1  Fn1 (t )  1  Fn (t )
Funkcje odnowy
H (t )  E (t ) - średnia liczba odnów
h(t )  H (t ) - gęstość odnowy
Równanie odnowy[nazwisko tworcy tego rownania]
t
H (t )  FA (t )   f ( x) H (t  x)dx - równanie
0
H (t )  FA (t )  f  H (t )
h(t )  f A (t )  f  h(t )
Rozwiązanie równania odnowy :
Lh  L f A  L f  Lh
Lh1  L f   L f A 
L f A 
Lh 
1  L f 
H  h
F (0)  FA (0)  0 - urządzenie psuje sie po pewnym czasie, nie wybucha w chwili t = 0
H ( 0)  0
LH   sLH 
L f A 
LH  
s 1  L f 


n 0
n 0
H (t )  E (t )   nP (t )  n    nFn (t )  Fn 1 (t )   F1  F2  2F2  F3   3F3  F4   ...
F
(t )
1
F
(t )
2
F
(t )
3
 ...
Prosty strumień odnów
fA  f
Lh  L f 1  Lh
Lh
L f  
1  Lh
L f 
Lh 
1  L f 
czyli istnieje wzajemnie jednoznaczna relacja pomiędzy h i f .
Dla rozkładu ykładniczego :
Funkcja wykładnicza z parametrem  .
- 15 -
Skrypt z probabilistyki Karina Porath
L f  

s

Lh 
s
1
h(t )  
H (t )  t



s
s
Własności funkcji odnowy
H (t ) 1

t  
t

  ET - średni czas odnowy
W nieskończonoi jest rozkład wykładniczy !
1. lim
1.
MTTFO 1
t 
2

lim  H (t ) 




t 
MTTF  2MTTF MTTF 2

Założenia :
ETO  MTTFO
ET j  MTTF
j  1,2,...
 2  VarT j
Strumień stacjonarny
[rysunek wykresu]
Interesuje nas czas  R t  do następnej odnowy
P R (t )  x  ?
t
P R (t )  x   R A (t  x)   h( y) R(t  x  y)dy
0
P R  x   R A (t  x)  h  Rx (t )
R x ( z )  R( z  x)
Strumień jest stacjonarny jesli rozkład  R nie zależy od chwili t.
Twierdzenie :
x
1
Strumień jest stacjonarny  FA ( x) 
 1  F ( y) dy
MTTF 0
Przykład :
Rozkład wykladniczy jest stacjonarny
1
f A ( x) 
[1  F ( x)]
MTTF
f A ( x)  f ( x)  e t
F ( x)  1  e t
- 16 -
Skrypt z probabilistyki Karina Porath
ET 
1

[wykres ilustrujacy to zjawisko]
1. Alternatywny strumień odnów (będziemy rozważac tylko proste strumienie)
T1 ; T2 ;...; 1 ; 2 ;... - niezależne zmienne losowe
Ti  f ;  i  g
T1  1 ; T2   2 ;...
 


f g
f g
T - pauza
 - odnowa
Funkcja odnowy H – dla procesu odnowy
H (t ) 
Lh 
L f  Lg
1  L f Lg
Proces
up  1
down  0
K (t )  prawdopodobieństwo znajdowania sie elementu w stanie zdatności
1- K (t )  prawdopodobieństwo znajdowania sie elementu w stanie niesprawności
 (t )  
Strumień odnów
T1  1 ; T2   2 ;...
t
P R (t )  x   R A (t  x)   h( y) R(t  x  y)dy
0
t
K (t )  R(t )   h( y) R(t  y)dy
0
LK   LR LRLh
L f Lg
Lh 
1  L f Lg
R  1 F
F  f
F (0)  0
LF   sL f 
LR  1  sL f 
- 17 -
Skrypt z probabilistyki Karina Porath
1 1
 L f 
L f  Lg  
1 1
 1 1
 L f  Lg   1 1
 
s
s
 
LK     L f     L f  
   L f   1 










s
s
s
s
1

L
f
L
g
s
s
1

L
f
L
g
1

L
f Lg 

 


 

1  L f 

s1  L f Lg 
R  1 F
1
LR   LF 
s
1
1 L f 
LR   L f   
s
s
s
F  f
LF   sLF
L f 
L f 
LF  
s
1
L f  Lg 
L f 
1
LK   

  LH   LH u 
s s1  L f Lg  s1  L f Lg  s
K (t )  1  H (t )  H u (t )
Proces awarii
T1 ; 1  T2 ;  2  T3





f
f g
f g
Funkcja awarii
H u (t )
hu  H u
Proces odnów
T 11 ; T2   2 ; T3   3 ;...
1  K (t )  H u (t )  H (t )
Prawdopodobieństwo znajdowania sie obiektu w stanie niezdatności w chwili t, jest
równe różnicy pomiędzy oczekiwaną liczbą uszkodzeń i oczekiwaną liczbą odnów,
które do tej chwili wystąpiły.
1. ŁANCUCHY MARKOWA
[ryunek ilustrujacy proces markowa]
- 18 -
Skrypt z probabilistyki Karina Porath
Proces stochastyczny
xn;  
xn   xn;
xnn0
xn  z 0 ;...; z n 
Dane są prawdopodobieństwa przejść :
pij  xn  1  z j xn  zi 
Zakładamy, że pij nie zależy od chwili n.
p - macierz przejść
p  pij
 


pz   p 2  pij z  itd.
Procesy semimarkowskie
Procesy Markowskie
Lancuchy Markowa  wyznaczamy czas przebywania w każdym ze stanów.
Rozkład wykładniczy (u nas)
x(0); x(1); x(2) - kolejne transformacje układu. Możliwe są stany z 0 ; z1 ;...; z n 
Pi (0)  Px(o)  z i  - warunki początkowe układu
Pij  Px(n  1)  z j x(n)  zi  - prawdopodobieństwo warunkowe zmiany układu


Fij ( x)  P  n  x x(n)  z j ; x(n  1)  z j  1  e  i x - czas przebywania w danym stanie
Px(n  1)  z j ;n  x x(n)  zi   pij Fij ( x)
Proces Markowa
 (t )
S0  0
S n   0  ...   n1
 (t )  x(n)
S n  t  S n1
Pj (t )  P  (t )  z j 
Pj (0) - warunki początkowe
Proces śmierci jest jednym z procesów Markowa.
[rysunki do rownan]
R(t )  e  t
Rr (t )  e r t
R(t )  R(t )
Twierdzenie ergodyczne:
- 19 -
Skrypt z probabilistyki Karina Porath
Do czego dojdziemy jeśli nieustannie będziemy transformować.
Powracanie do stanu, który mieliśmy (o gazach, które sie nie mieszają).
Wracamy do stanu, który był pierwszy z prawdopodobieństwem stacjonarnym.
Bładzenie po kracie – zawsze prawdopodobieństwo jest dodatnie, zawsze trafimy do
jakiegoś stanu, reguła ta obowiązuje w układzie dwuwymiarowym, w trójwymiarowych
układach już tak nie jest.
 - czas przebywania
 n  z 0 ; z1 ;...; z n 
P n  z j  n1  zi   pij
P n  x   z i
 n1  z j  1  e x
i
Proces Markowski (proces wyjścia)
Proces (ciągły czas)
 (t )   n
S n  t  S n1
S n   0  ...   n1 - czas do n-tego zepsucia
[wykres ilustrujacy dane zjawisko]
P  t ; t  t  t   z i 
 i  lim r
- opuszczenie stanu z i
t  0
t
Pt ; t  t  (t )  z i 
 ij  lim
- prawdopodobieństwo opuszczenia, skaczemy z z i do
t  0
t
zj
FAKT :
 i    ij
j i
Pj (t )  Pr  (t )  z j 
Pr  t  a   t j  (t )  zi   Pij (a) - prawdopodobieństwo nie zależy od a.
FAKT :
 ij  lim
t  0
czas
1  e  t
Pij (t )
t
t  0 czas pracy
- 20 -
Skrypt z probabilistyki Karina Porath
1  e  t
t  0 czas naprawy
[rysunki i diagramy do danego procesu]
e 2 t - prawdopodobieństwo niezawodności
1  e 2t e x  1  x
1  1  2t   2t - prawdopodobieństwo zepsucia
1  2 t - zależy od tego czy na raz mogą być reperowane dwa elementy
a
z 0  z 2 jest podobne do liczenia całki
f
0
a
STATYSTYKA
Jest to nauka zajmująca się ilościowymi metodami badania prawidłowości zjawisk
(procesów) masowych. Jej celem jest poznawanie występujących prawidłowości, ich
ilościowewyrażenie oraz wyodrębnienie w nich składnika systematycznego i
przypadkowego.
- 21 -
Skrypt z probabilistyki Karina Porath
Apriori – wnioskowanie przed doświadczeniem
Aposteriori – wnioskowanie po doświadczeniu
Paramwtryczne testy istotności
MODEL 1
Test dla wartości oczekiwanej
x  N  ;  
x - szukane
 - rozkład normalny
 - znane
U  statystyka testowa
Weryfikacja hipotezy zerowej
H 0   0
Wybieramy jedna z trzech hipotez alternatywnych (konkurencyjnych)
H a    0   W  u1 ;
H a    0   W   ;u1 

 

H a    0   W    ;u    u  ; 
1
2 

 1 2

zbiór krytyczny obustronny
 - poziom istotności
Wnioskowanie statystyczne:
Jeśli wartość statystyki testowej należy do zbioru krytycznego, to odrzucamy hipotezę
zerową i przyjmujemy hipotezę alternatywną.
Jeśli wartość statystyki testowej nie należy do zbioru krytycznego, to nie ma podstaw
do odrzucenia hipotezy zerowej.
MODEL 2
Test dla wartości oczekiwanej
x  N  ;  
 - nieznane
x  0
t
 n 1
s
Weryfikacja hipotezy zerowej
H 0   0
Wybieramy jedna z trzech hipotez alternatywnych (konkurencyjnych)
H a    0   W  t n 1;1 ; 
H a    0   W   ;t n 1;1 
- 22 -
Skrypt z probabilistyki Karina Porath

 


H a    0   W    ;t
   t
 ; 
n 1;1
n 1;1
2 
2



poziom
istotności

MODEL 3
Test dla dwoch wartości średnich
x  N  x ;  x 
y  N  y ;  y 
x y
t
xy
nS x2  mS y2

nm
 n  m  2
nm
Weryfikacja hipotezy zerowej
H0x   y
Wybieramy jedna z trzech hipotez alternatywnych (konkurencyjnych)
H a  x   y   W  t n  m2;1 ;
H a  x   y   W   ;t n  m2;1 

 


H a  x   y   W    ;t

t
;






n  m  2;1
n  m  2;1
2 
2



Przykładowe zadania na kolokwium
Zadanie 1.
Rozkład wykładniczy : F (t )  1  e t
F (t )  1  e t
- 23 -
Skrypt z probabilistyki Karina Porath
F (t )  1  e t - dystrybuanta   0
F (t )  e t ( )  e t - gęstość prawdopodobieństwa
 t
R(t )  1  1

e
 e  t - funkcja niezawodności
F (t )
 (t) 
e
 t
e  t
  - intensywność uszkodzeń
Wartość średnia

T
Ex   te t dt   lim  te t dt 
T 
0
v  e
v
 t
1

 e  t
0

1
 lim  t   e t
T 


T
0
u t
u  1


 t
e
dt

 0

1
T
1
T
1
 T

1
 1
  lim  e T  2 e t T0    lim   e t   lim  2  2 e T  
T 
T 
T  



 


 
T
T 

lim  e T  lim   T
0
T 
T 

 e  
Drugi moment :

Ex 2    t 2 e t dt 
0
v  e
 t
1
u  t2
u   2t
 t2
    e  t
 


0
2
1
1


 te
 t

 2 1 2
dt     2    2

  

 0
e  t

T 2  T
2T
2
lim 
e
 lim  T 2  lim
0
t
T 
T


T



e 
 e  3
v
2
Wariancja :
VARx  Ex 2  Ex  
2
2

2


2
1
2
Odchylenie standardowe :
  VARx

1

2

1

Średni zas życia :
Ex
Rozkład wykładniczy charakteryzuje się brakiem pamięci.
- 24 -
Skrypt z probabilistyki Karina Porath
Px  t  s x  t   Px  s 
Zadanie 2.
Funkcja niezawodności : R(t )  2e t  e 2t
lim  (t )
 0
t  
R(t )  2e t  e 2t
R(t )  2e t  2e 2t   f (t )
f (t )
 (t ) 
R(t )
2e  t  2e 2t
2e t  e 2t
2e  t  2e 2t
2  2e  t
lim  (t )  lim

lim

t 
t  2e t  e  2 t
t 
2  e  t
 (t ) 
Zadanie 3.
Zainstalowano 200 żarówek, z czego 30 przepaliło się po 800 h. Jest to rozkład
wykładniczy. Oblicz średni czas życia żarówki.
Funkcja niezawodności dla rozkładu wykładniczego
170
R(t )  1  F (t )  e t  PT  t  
 R(800)  e  800
200
gdzie Pt  t  jest prawdopodobieństwem, że czas życia jest dłuższy od T.
170
 e  800 / ln
200
170
ln
  800 /   800 
200
170
ln
 200  
  2,03  10 4
800
1
800
E (T )   
 4922,50
1700

ln
200
Zadanie 4.
Czas zdatności obiektu ma rozkład Weibulla o parametrach   1,5 ,   10 3 . Dla
jakiej chwili niezawodnoścć obiektu nie jest mniejsza niż 0,95.
exp     0,95
exp  10 3 1,5  0,95




- 25 -
Skrypt z probabilistyki Karina Porath

 10 3 1,5  ln 0,95 /   10 3
ln 0,95
 1,5  
/ ln
10 3
 ln 0,95 
1,5 ln   ln  
/  1,5
3 
 10 
 ln 0,95 
ln  

10 3 

ln  
1,5
ln   2,62504002
  13,80512666

Zadanie 5.
Wzrast męższczyzn ma rozkład normalny x  N 180;3 . Ile procent całości stanowią
męższyzni posiadający wzrost powyżej 190 cm ?
b

b 
P  x  b   P U 
  

 

  
190  180 

 1
Px  190  1  PU 
  1    3   1   3,33...  0
3


 3
UWAGA :   a   1   a 
  
xi  N  0;
 - niezależne pomiary
n

x1  ...  x n
  
 N  0;

n
n

Zadanie 6.
Zakładamy, że w doświadczeniu błąd pomiaru ma rozkład normalny z parametrami 0 i
1
A, z
  1A . Ile pomiarów należy wykonać aby błąd pomiarowy nie przekroczył
10
prawdopodobieństwem 0,95.
- 26 -
Skrypt z probabilistyki Karina Porath
P A  x  b  0,95
x  ...  xn
  
x 1
 N  0;

n
n

xi  N 0;  

 


 

b  a 



 0,95
     

 

 n   n 
 0
a  0,1
b  0,1


2 0,1 n  1,95


 0,1 n  0,975
0,1 n  1,95
n  19,6
n  400
ET  

ET   tf (t )dt
0
R(t )  PT  t 

ET 
 R(t )dt
0
R (t )   f (t )
R(t )  1  f (t )
F  f
Zadanie 7.
Wyznaczyć oczekiwany czas zdatności (pozostały), gdy niniejszy czas zdatności ma
rozkład Weibulla.
 (t )  t  1
t0
- 27 -
Skrypt z probabilistyki Karina Porath


R( )  e 0
R( )  exp   
  ( t ) dt



E (t ) 
1
R(u )du - należy przesunąć
R(t ) t

1


1 

ET  1        exp  u  du
 
0
Zadanie 8.
Funkja niezawodności
R1  R2  1  R1   0  R1  R2
R1 R2

R1  1  R1   R2  R1  R2  R1  R2
P A  B  P A  PB  P A  PB
(rysunek)
(rysunek i dokończyćpisanie)!!!!!
Orginał :
f (t )  0
t0




L e at sin t 
L e at cos t 

s  a 2   2
sa
s  a 2   2
0; t  0
1; t  0
1
L (t ) 
s
1
Le at  
sa
n!
Lt n e at  
s  a n1
 (t )  
Zadanie
Losowy błąd pomiaru pewnej wielkości ma nieznany rozkład o wartości przeciętnej 0
(brak błędu systematycznego) i odchyleniu standardowym 0,8. Obliczyć
- 28 -
Skrypt z probabilistyki Karina Porath
prawdopodobieństwo, że błąd średni arytmetyczny 100 pomiarów nie przekroczy co do
wartości bezwzględnej 0,1.
Zadanie
Ile należy wykonaćpomiarów, aby błąd średni arytmetyczny nie przekroczył wartości
0,1 z prawdopodobieństwem 0,9.
Zadanie
Prawdopodobieństwo, że w czasie 1000h przestanie świecić żarówka jest równe 0,1.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że w czasie 1000h spośród 100 żarówek przestanie
świecić od 7 do 19, przy założeniu, że żarówki przepalająsię niezależnie.
Zadanie
W pewnej grupie ludzi co 10 osoba jest daltonistą. Obliczyć prawdopodobieństwo, że
wśród 100 losowo wybranych osobach jest od 5 do 12 daltonistów.
Zadanie
Wyznaczyć funkcje odnowy dla prostego strumienia odnoy w następujacych
przypadkach.
Łańcuchy Markowa
Zadanie
Jeśli jest słoneczny dzień, to mamy 60% szans, że jutro też będzie słoneczny dzień, 30%
szans, że będzie pochmurno i 10% szans, że jutro będzie padał deszcz.
(prawdopodobieństwo przejścia)
Jeśli dziesiejszy dzień jest pochmurny, to mamy 40% szans, że jutro będzie ładnie, 45%
szans, że będzie tak jak dziś pochmurno i 15%, że bedzie padać.
Jeśli dziś pada, to mamy 15% szans, że jutro będzie dzień słoneczny, 60%, że będzie
pochmurno i 25% szans, że będzie padać.
- 29 -